Dank. Grundlagen der Theoretischen Informatik / Einführung in die Theoretische Informatik I. Gleichmächtigkeit von DEA und NDEA

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1 Dnk Vorleung Grundlgen der Theoretichen Informtik / Einführung in die Theoretiche Informtik I Bernhrd Beckert Diee Vorleungmterilien ieren gnz weentlich uf den Folien zu den Vorleungen von Ktrin Erk (gehlten n der Univerität Kolenz-Lndu) Jürgen Dix (gehlten n der TU Cluthl) Intitut für Informtik Sommeremeter 2007 Ihnen eiden gilt mein herzlicher Dnk. Bernhrd Beckert, April 2007 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 Ein NDEA, der die folgende Sprche kzeptiert: L / = {w {,} w ht oder l Teilwort} Strtzutnd: Menge der lten Strtzutände, lo {1, 5}. Nächter Schritt: Üergng von {1,5} mit (1,) = {1,2} (5,) = {5,6} Alo, neuer Zutnd {1,2,5,6} mit δ ADEA ({1,5},) = {1,2,5,6} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222

2 Nächter Schritt: Üergng von {1, 5} mit. (1,) = {1} (5,) = {5} Für den Eingeuchten leit A DEA lo im Strtzutnd. Nächter Schritt: Üergng von {1,2,5,6} mit (1,) = {1,2} (2,) = {3} (5,) = {5,6} (6,) = /0 Alo, neuer Zutnd {1,2,3,5,6} mit δ ADEA ({1,2,5,6},) = {1,2,3,5,6} uw. B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 E ergit ich folgender determinierter Automt A DEA : Kontruktion de determinierten endlichen Automten A DEA forml: Gegeen: Indeterminierter endlicher Automt A NDEA = (K,Σ,,I,F) Wir kontruieren: Determinierten endlichen Automten A DEA = (K,Σ,δ,I,F ) mit K = 2 K (die Potenzmenge von K ) Üergngfunktion δ : 2 K Σ 2 K mit δ (M,) := [ (q, ) q M B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222

3 Kontruktion de determinierten endlichen Automten A DEA forml: Gegeen: Indeterminierter endlicher Autom A NDEA = (K,Σ,,I,F) Wir kontruieren: Determinierten endlichen Automten mit A DEA = (K,Σ,δ,I,F ) I = I (die Menge der initilen Zutände von A NDEA ) F = {M K M F /0} (lle Zutndmengen von A NDEA, die einen finlen Zutnd enthlten) Kontruktion de determinierten endlichen Automten A DEA forml: Gegeen: Indeterminierter endlicher Autom A NDEA = (K,Σ,,I,F) Wir kontruieren: Determinierten endlichen Automten A DEA = (K,Σ,δ,I,F ) Merke: /0 K δ (/0,x) = /0 für lle x Σ B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 Lemm: E it δ [ (M,w) = (q,w) q M Bewei durch Induktion üer die Länge von w: Induktionnfng: δ [ (M,) = M = {q} = [ (q,) q M q M Lemm: E it δ [ (M,w) = (q,w) Induktionchritt: q M δ (M,w) = δ (δ (M,w),) Def. von = S p δ (M,w) (p,) Definition von δ = S p ( ) (p,) q M (q,w) Ind.-Vor. für δ (M,w) = {q q M p (q,w) q (p,)} = {q q M q (q,w)} Def. von = S q M (q,w) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222

4 Teil III Bewei (Schlu) E gilt für lle w Σ : w L(A DEA ) gdw δ (I,w) F (Def. der Sprche eine Automten) gdw δ (I,w) F (d I = I per Def.) gdw δ (I,w) F /0 (Def. von F ) gdw S q I (q,w) F /0 (nch Lemm) gdw q I q F ( q (q,w) ) gdw w L(A NDEA ) (Def. der Sprche eine Automten) Dmit: L(A DEA ) = L(A NDEA ) 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 Automten mit -Knten Automten mit -Knten: Definition Vom NDEA zum Automten mit -Knten Biher (NDEA): Knten mit einem Buchten echriftet Jetzt (Automt mit -Knten): Knten mit einem Wort echriftet E drf uch d leere Wort ein! Ein Automten mit -Knten knn... in einem Schritt ein gnze Wort verreiten einen Zutndüergng mchen, ohne dei einen Buchten zu leen Definition 13.1 (Automt mit -Knten) Ein Automt mit -Knten (-NDEA) A it ein Tupel A = (K,Σ,,I,F) Dei it K eine endliche Menge von Zutänden, Σ ein endliche Alphet, (K Σ ) K eine eine Üergngreltion, I K eine Menge von Strtzutänden, F K eine Menge von finlen Zutänden B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222

5 Automten mit -Knten: Üergngreltion Automten mit -Knten: Akzeptierte Sprche Definition 13.2 (Erweiterung von zu ) (K Σ ) K it (ähnlich wie für NDEA) definiert durch: ( (q,), q ) gdw q = q oder ( (q,), q ) ( (q,w 1 w 2 ), q ) gdw q K ( (q,w 1 ), q ) ( (q,w 1 ), q ) ( (q,w 2 ), q ) ( (q,w 2 ), q ) Definition 13.3 (Von -NDEA kzeptierte Sprche) Die von einem Automten mit -Knten A = (K,Σ,,I,F) kzeptierte Sprche it L(A) := { w Σ 0 I q F ( ( 0,w) q) } B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 Automten mit -Knten: Beipiel Beipiel 13.4 (Automten mit -Knten) Gleichmächtigkeit von Automten mit -Knten und NDEA 0 Theorem 13.5 (-NDEA gleich mächtig wie NDEA) Zu jedem Automten mit -Knten A exitiert ein indeterminierter endlicher Automt A mit L(A) = L(A ) Akzeptiert: {} {}{} + {} {} + {} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222

6 Gleichmächtigkeit: Bewei Bewei. Trnformtion von A in einen NDEA ohne -Knten Gleichmächtigkeit von Automten mit -Knten und NDEA 1 Eretze Üergänge: mit nur einem Buchten mrkiert eiehlten mit einem Wort w mrkiert ( w = n) eretze durch n Üergänge (verwende n 1 neue, zuätzlicher Zutände) -Üergänge ttt dieen ( (q,), q ) für jede Pr Bewei (Fortetzugn) Trnformtion von A in einen NDEA ohne -Knten 2 Zuätzliche Initilzutände: Fll q I und ( (q,), q ), dnn uch q I 3 Finlzutände leien unverändert ( (q,), q ) und ( (q,), q ) B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 Gleichmächtigkeit: Beipiel Gleichmächtigkeit: Beipiel Beipiel 13.6 (Der Automt mit -Knten... ) Beipiel 13.7 (... wird trnformiert in den äquivlenten NDEA) p 0 (,1) 2 1 3, p p (,1) (,2) Akzeptiert: {} {}{} + {} {} + {} Akzeptiert: {} {}{} + {} {} + {} B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Automten mit epilon-knten SS / 222

7 Teil III Stz von Kleene 1 Determinierte endliche Automten (DEA) 2 Indeterminierte endliche Automten (NDEA) 3 Automten mit epilon-knten 4 Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen 5 Pumping Lemm Theorem 14.1 (Stz von Kleene: RAT = L 3 ) Eine Sprche L it rtionl gdw L it regulär. Merke: L it rtionl heißt: e git einen endlichen Automten, der L kzeptiert L it regulär heißt: e git eine linklinere Grmmtik für L 6 Wortproleme 7 Rtionl = Regulär B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 222 B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 222 Stz von Kleene Stephen Cole Kleene 1909, d 1994 Mthemtiker und Logiker Promovierte ei Church in Princeton (wie Turing und viele ndere) Profeor n der Univerität von Wiconin Einer der Begründer der theoretichen Informtik Unter nderem: Erfinder der Regulären Audrücke B. Beckert Grundlgen d. Theoretichen Informtik: Endliche Automten kzeptieren genu die Typ-3-Sprchen SS / 222

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