Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern. 1. Auflage 2010 Alle Rechte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern

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2 Günter Baars (unter Mitarbeit von R. Ciorciaro, S. Hitz, F. Lang, R. Schlegel, P. Süess) E-Lern- und Lehrmedium: Quantenchemie und Chemie farbiger Stoffe Leitprogramm: Quantenchemie und chemische Bindungen Korrektorat: Dina Baars, Bern Illustrationen: Christoph Frei, Bern 1. Auflage 010 Alle Rechte vorbehalten Copyright Pädagogische Hochschule PHBern

3 Inhalt Inhaltsverzeichnis Arbeitsanleitung 5 Fundamentum Übersicht und Lernziele 6 1. Grundlagen Die Überlagerung (Interferenz) von Wellen; stehende Wellen Schwingungsfähige Systeme Lösungen zu den Aufgaben 16 Licht und Elektronen als Teilchen- und Wellenerscheinung 18.1 Übersicht und Lernziele 18. Licht Licht als Wellenerscheinung 19.. Die Beugung von Licht 1..3 Der Fotoelektrische Effekt; Licht als Teilchenstrahl 5..4 Der Welle/Teilchen-Dualismus von Licht; Antreffwahrscheinlichkeit eines Photons 31.3 Elektronen Elektronen als Teilchen Linienspektren; Elektronen mit Welleneigenschaften Die Beugung von Elektronen Materiewellen 4.4 Zusammenfassung der experimentellen Ergebnisse 46.5 Lösungen zu den Aufgaben 47 3 Das Wasserstoff-Atom Übersicht und Lernziele Der Grundzustand des Wasserstoff-Atoms Die ψ1s-wellenfunktion (Amplitudenfunktion) Die Energien des Wasserstoff-Atoms im Grundzustand Die Elektronendichte ψ 1s; die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ 1s dv Die radiale Elektronendichte ψ 1s; die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ 1s 4πr dr Aufenthaltsraum (Ladungswolke, Elektronenwolke) des Elektrons im Grundzustand des Wasserstoff-Atoms Zusammenfassung des Grundzustands ψ1s des Wasserstoff-Atoms Der erste angeregte Energiezustand des Wasserstoff-Atoms (. Energiezustand); die s-wellenfunktion Die Wellenfunktion ψs Die Energie des Wasserstoff-Atoms im ersten angeregten Energiezustand ψs Die Elektronendichte ψ s; die Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ s dv Die radiale Elektronendichte ψ s; die radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeit ψ s 4πr dr Zusammenfassung des ersten angeregten Zustands ψs Der erste angeregte Energiezustand des Wasserstoff-Atoms (. Energiezustand); die ψp-wellenfunktionen Darstellung von Raumpunkten in Polarkoordinaten Die Wellenfunktionen ψp x, ψp y und ψp z 76 3

4 Inhalt Die Energie des Wasserstoff-Atoms im ersten angeregten Zustand (die drei ψp-wellenfunktionen) Die Elektronendichten ψ p; die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ψ p dv Die radialen Elektronendichten ψ p; die radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeiten ψ p 4πr dr Zusammenfassung des ersten angeregten Zustands ψp Die höheren Energiezustände des Wasserstoff-Atoms Die Wellenfunktionen im Überblick Lösungen zu den Aufgaben 93 4 Die Atombindung im Wasserstoff-Molekül Übersicht und Lernziele Der bindende Zustand Der antibindende Zustand Das Orbitalenergieschema Lösungen zu den Aufgaben Mehrelektronensysteme Übersicht und Lernziele Die Wellenfunktionen in höheren Atomen: Atomorbitale Von Atom- zu Molekülorbitalen; σ- und π-bindungen 109 Additum Moleküle der Elemente der. Periode Übersicht und Lernziele Homonucleare, zweiatomige Moleküle der. Periode Das Li -Molekül Das Be -Molekül Die B -, C - und N -Moleküle Die O -, F - und Ne -Moleküle Heteronucleare, zweiatomige Moleküle (CO, NO) Lösungen zu den Aufgaben Anhang Konstanten, Zeichen, Einheiten und Formeln Alles hat seine Wellenlänge Zitate zur Quantenmechanik Die Schrödinger-Gleichung Herleitung der Wellenfunktion ψ1s; Berechnung der kinetischen, potentiellen und Gesamtenergie des Wasserstoff-Atoms im Grundzustand Die Einheit für ψ am Beispiel der Wellenfunktion ψ1s Berechnung der Wahrscheinlichkeit, das Elektron eines Wasserstoff- Atoms im Innern einer Kugel mit verschiedenen Radien anzutreffen 146 4

5 Arbeitsanleitung Arbeitsanleitung Unterricht diesmal ohne Lehrer Nur Lesen wäre ja langweilig Sie arbeiten in diesem Programm selbständig. Nach jedem Kapitel findet beim Lehrer eine kurze Prüfung statt, sodass Sie kontrollieren können, ob Sie das Gelernte auch verstanden haben. Sie dürfen das nächste Kapitel bearbeiten, sobald Sie die Prüfung bestanden haben. Sollte das nicht der Fall sein, beschäftigen Sie sich nochmals während einer Lektion mit dem vorhergehenden Kapitel und lösen dann anschliessend einen zweiten Test. Das Programm bietet den Vorteil, dass Sie das Gelernte in Ihrem Tempo durch verschiedene andere Aktivitäten festigen. Es erscheinen deshalb öfters folgende Symbole mit entsprechenden Anweisungen: Sie lösen die Aufgabe Sie kontrollieren selbst, ob Sie das soeben Gelernte auch verstanden haben. Als Hilfsmittel steht Ihnen die Formelsammlung (Abschnitt 7.1) zur Verfügung. Die Lösung(en) befindet sich jeweils am Ende des Kapitels. Oder - Sie arbeiten im Labor Finden Sie jemanden, der gleich weit ist wie Sie. Gehen Sie dann ins Labor und führen Sie gemeinsam das vorgeschlagene Experiment durch. Chemikerinnen und Chemiker arbeiten nie ohne Labormantel und Schutzbrille!!! Manchmal steht das Wichtigste in einem Buch Sie bekommen also Information direkt, ohne Lehrer-Filter. Holen Sie das Buch und lesen Sie den entsprechenden Text. Doch trotz der vielen Hilfsmittel geht es ohne Köpfchen nicht Dieses Bildchen bezeichnet sogenannte Merksätze, also Sätze, welche Sie sich unbedingt einprägen sollten. 5

6 Fundamentum 1.1 Übersicht und Lernziele Übersicht Lektionsablauf Das Thema dieses Leitprogramms ist die Quantenchemie. Sie verschafft uns Zugang zu einem neuen Atommodell. Dieses basiert auf wellenmechanischen Überlegungen. In diesem Kapitel erfahren Sie einiges über Wellen. Sie lernen, welche verschiedenen Arten von Wellen es gibt, wie sie sich ausbreiten und was passiert, wenn sich Wellen überlagern. Zuerst lesen Sie den Theorieteil oder beginnen mit den angeführten Experimenten. Nach jedem Abschnitt hat es kleinere Aufgaben, welche Sie alleine bearbeitet sollen. Nach Abschluss eines Kapitels findet bei Ihrer Lehrperson eine kurze Prüfung statt. Wenn Sie diese bestanden haben, beginnen Sie mit dem nächsten Kapitel. Lernziele 1. Sie wissen, was man unter einer Welle versteht und können Transversal- von Longitudinalwellen unterscheiden.. Sie kennen die Begriffe harmonische Welle, harmonischer Oszillator, Wellenlänge λ, Elongation s, Amplitude s max, Schwingungsdauer T, Fortpflanzungsgeschwindigkeit c und Frequenz f. 3. Sie haben den Zusammenhang zwischen der Überlagerung (Interferenz) von Wellen und stehenden Wellen verstanden und können konstruktive von destruktiver Interferenz unterscheiden. 4. Sie können die Besonderheit von schwingungsfähigen Systemen begründen. 6

7 1. Grundlagen Wellen V 1.1 V 1. Eine lange, weiche Schraubenfeder (oder ein Seil, wie ein Vorhang an der Zimmerdecke aufgehängt oder auf einem Tisch liegend und an den Enden mit leichter Spannung gehalten; gilt für alle entsprechenden Versuche) wird waagrecht zur Federlänge ausgelenkt und wieder zurückgeführt. Eine lange, weiche Schraubenfeder wird ruckartig in Richtung der Federlänge bewegt. Welle = Störung, die sich fortbewegt - Als Welle bezeichnet man eine vom Erreger wegwandernde Störung. Erreichen benachbarte Teilchen (Massenpunkte, Oszillatoren) nacheinander dieselbe Auslenkung, so entsteht der Eindruck einer sich ausbreitenden Welle, obwohl die Teilchen selbst nicht wandern. - Bei einer Welle unterscheidet man Bewegungsrichtung der Oszillatoren und Fortpflanzungsrichtung der Störung. Die Ebene, in der Bewegungs- und Fortpflanzungsrichtung liegen, heisst Schwingungsebene. - Bei Transversalwellen (Querwellen) verläuft die Bewegungsrichtung der Teilchen senkrecht zur Fortpflanzungsrichtung (Abb. 1.1). - Bei Longitudinalwellen (Längswellen) sind Bewegungs- und Fortpflanzungsrichtung parallel (Abb. 1.). Abb. 1.1 Fortpflanzung einer Störung durch ein Seil (Transversalwelle) 7

8 Abb. 1. Fortpflanzung von Dichteveränderungen in Luft bzw. modellmässig an einer Feder (Longitudinalwelle) V 1.3 Fortlaufende harmonische Welle Eine lange, weiche Schraubenfeder wird an einem Ende zu harmonischen Transversalschwingungen (hervorgerufen durch eine räumlich und zeitlich gleichmässige Bewegung) angeregt. Abb. 1.3 Verlauf der Bewegung eines Erregers, der auf einem Wellenträger eine fortlaufende harmonische Transversalwelle erzeugt T: Zeit für eine vollständige Bewegung; s: Weg; t: Zeit Schwingung harmonische Welle Oszillator Elongation Amplitude Schwingungsdauer - Eine Schwingung ist eine Bewegung, die in periodischer Folge um die Gleichgewichtslage (Ruhelage) eines Oszillators erfolgt. Ist die Bewegung des Erregers zeitlich und räumlich gleichmässig (harmonische Schwingung), so entsteht eine harmonische Welle. - Harmonische Oszillatoren sind Massenteilchen, die harmonische Schwingungen ausführen können. - Elongation: momentane Auslenkung eines Massenpunkts Zeichen: s Einheit: cm, m... - Amplitude: maximale Auslenkung eines Massenpunkts Zeichen: s max Einheit: cm, m... - Schwingungsdauer: Zeit, die ein Massenpunkt für eine volle Hin- und Herbewegung (volle Schwingung) benötigt. Zeichen: T Einheit: s, min Verknüpfung: T = c λ c: Fortpflanzungsgeschwindigkeit der Störung; λ: Wellenlänge 8

9 Abb. 1.4 Bildung einer fortschreitenden harmonischen Welle (Transversalwelle) Eine fortlaufende harmonische Welle kann sich auf einer Feder ausbilden, weil die einzelnen Massenpunkte (Oszillatoren) miteinander verknüpft sind (Abb. 1.4). So wird die Bewegung von Punkt P1 zeitverschoben von allen nachfolgenden Oszillatoren ausgeführt. Schliesslich, zur Zeit t = T (nach Abschluss einer vollständigen Schwingung des Erregers), bewegen sich die beiden Punkte P1 und P13 simultan (phasengleich) miteinander. Ihr Abstand entspricht der Wellenlänge λ. Dies bedeutet, dass sich während einer Schwingungsdauer T die Welle um eine Wellenlänge fortbewegt. Zu einem späteren Zeitpunkt schwingen die Punkte P und P14, P3 und P15 etc. phasengleich. Da vom Erreger einer harmonischen Welle laufend Energie auf den Wellenträger fliesst, besitzen die Oszillatoren eine zeitlich konstante Energie E. Experimentelle Untersuchungen haben gezeigt, dass die Energie eines harmonisch schwingenden Oszillators direkt proportional dem Produkt aus dem Quadrat der Frequenz f, dem Quadrat der maximalen Auslenkung (Amplitude) s max und der Masse m ist: 9

10 E Oszillator = 1 m f s max [J] Frequenz Fortpflanzungsgeschwindigkeit - Die Frequenz gibt die Anzahl Schwingungen pro Sekunde an: Zeichen: f Einheit: Hz (Hertz) oder s -1 1 c Verknüpfung: f = = T λ - Die Geschwindigkeit, mit der sich ein Wellenberg oder eine Verdichtung in der Fortpflanzungsrichtung bewegt, ist die Fortpflanzungsgeschwindigkeit c. Die Fortpflanzungsgeschwindigkeit einer Welle in einem Wellenträger hängt von dessen physikalischen Eigenschaften ab. Fortpflanzungsgeschwindigkeit = Frequenz Wellenlänge bzw. Wellenlänge/Schwingungsdauer: c = f λ = T λ [m s -1 ] Wellenlänge - Geschwindigkeit eines Oszillators: Zeichen: v Einheit: m s -1 - Als Wellenlänge wird der kürzeste Abstand zwischen zwei phasengleich schwingenden Oszillatoren bezeichnet (zwei Oszillatoren mit dem gleichen Schwingungszustand: gleiche Elongation s und gleiche Fortpflanzungsgeschwindigkeit c der Störung). Zeichen: λ Einheit: cm, m... c Verknüpfung: λ = c T; λ = f Oszillatorenergie - Energie eines Oszillators: E Oszillator = 1 m f s max J m: Masse; f: Frequenz; s max : Amplitude Abb. 1.5 Zwei Momentanbilder einer fortlaufenden harmonischen Transversalwelle zur Zeit t und t + Δt 10

11 A 1.1 Eine Wasserwelle hat eine Wellenlänge von 0,0 m. Sie breitet sich mit einer Geschwindigkeit von 0,1 m s -1 aus. Mit welcher Frequenz schwingen die Oszillatoren auf der Wasseroberfläche? V 1.4 Wellenlänge/Frequenz Eine lange, weiche Schraubenfeder wird an einem Ende mit unterschiedlichen Frequenzen quer zur Schraubenlänge bewegt. - Bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit verkleinern sich die Wellenlängen mit zunehmender Frequenz. - Die Wellenlänge (Frequenz) ist ein Mass für die Energie eines Oszillators. Je kleiner (grösser) die Wellenlänge (Frequenz), desto grösser ist die Energie des Oszillators (bei konstanter Ausbreitungsgeschwindigkeit und konstanter Amplitude). E Oszillator = 1 m f s max = 1 v m λ s max J v: Teilchengeschwindigkeit A 1. Eine Transversalwelle breitet sich mit der Geschwindigkeit c = 3 m s -1 A 1.3 aus. Die Frequenz beträgt 0,5 s -1. Wie gross ist die Wellenlänge λ? Zu welchem Zeitpunkt beginnt ein Oszillator im Abstand von s = 10 m zu schwingen? Eine Rundfunkwelle hat die Wellenlänge λ = 600 m und breitet sich mit Lichtgeschwindigkeit (c =, m s -1 ) aus. Berechnen Sie die Frequenz, mit der der Sender schwingt. 1.3 Die Überlagerung (Interferenz) von Wellen; stehende Wellen Interferenz V 1.5 Die beiden Enden einer langen, weichen Schraubenfeder werden gleichzeitig und gleich weit nach der gleichen Seite ausgelenkt und sofort wieder in die ursprüngliche Lage zurückgeführt. 11

12 V 1.6 Die beiden Enden einer langen, weichen Schraubenfeder werden gleichzeitig und gleich weit nach verschiedenen Seiten ausgelenkt und sofort wieder in die ursprüngliche Lage zurückgeführt. Abb. 1.6 a) konstruktive und b) destruktive Interferenz zweier Wellen - Laufen zwei Störungen (Wellen) aufeinander zu, so durchdringen sie sich ungestört, sie überlagern sich. - Bei konstruktiver Interferenz verstärken sich die Auslenkungen, während es bei destruktiver Interferenz bei gleicher Amplitude zu einer Auslöschung kommt. V 1.7 Stehende Wellen Eine lange, weiche Schraubenfeder wird an einem Ende zu harmonischen Schwingungen (hervorgerufen durch eine räumlich und zeitlich gleichmässige Bewegung) angeregt. Das andere Ende der Feder hält man fest. 1

13 Abb. 1.7 Ausbildung einer stehenden Welle c und c 1 Geschwindigkeit und Richtung der Wellen 1 und A 1.4 Studieren Sie die Abbildung 1.7 "Ausbildung einer stehenden Welle". Zeichnen Sie mit einer Farbe die Auslenkung des Wellenträgers ein, die man effektiv zu den verschiedenen Zeitpunkten (t = 0 bis t = T ) sieht. 13

14 - Zwei gegeneinanderlaufende, gleichartige (Frequenz, Amplitude) harmonische Wellen bilden aufgrund der Interferenz eine stehende harmonische Welle aus. - Die Orte, an denen die Oszillatoren zu keinem Zeitpunkt ausgelenkt werden, nennt man Schwingungsknoten. - Zwischen zwei Knoten schwingen Oszillatoren gleichphasig, aber mit unterschiedlichen Amplituden. Die Bereiche zwischen den Schwingungsknoten heissen Schwingungsbäuche. - Schwingungsknoten und Schwingungsbäuche sind ortsfest. - Die Oszillatoren besitzen unterschiedliche Energien. - Der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Knoten entspricht der halben Wellenlänge. 1.4 Schwingungsfähige Systeme V 1.8 Schwingungsfähiges System Ein Gummischlauch oder eine weiche Schraubenfeder wird an zwei Stativen befestigt und von einem Exzenter zu harmonischen Schwingungen angeregt. Abb. 1.8 Versuchsanordnung zur Erzeugung der Eigenschwingungen eines Gummiseils Bestimmte Frequenzen des Erregers führen zu stehenden Wellen auf der Feder. Da diese an den beiden Stativen befestigt ist, müssen dort immer Schwingungsknoten vorhanden sein. Auf der übrigen Länge des Wellen- 14

15 Eigenschwingung Schwingungsknoten vorhanden sein. Auf der übrigen Länge des Wellenträgers variiert die Anzahl der Schwingungsknoten je nach Frequenz des Erregers. Man spricht in diesem Zusammenhang von Eigenschwingung bzw. Eigenfrequenz des Wellenträgers. Abb. 1.9 Mögliche stehende Wellen (Eigenschwingungen) eines Gummiseils sowie die dazugehörenden Wellenlängen λ n: Nummer des Schwingungszustands - Bei gegebenen Randbedingungen können sich auf einem Wellenträger (einem schwingungsfähigen System) nur ganz bestimmte (diskrete) stehende Wellen (Eigenschwingungen) ausbilden. - Für die Wellenlänge der Eigenschwingungen eines Wellenträgers L gilt: λ = (n: Nummer des Schwingungszustands; L: Länge des Wellenträgers) n Bedingung für diese Beziehung ist, dass die linearen Wellenträger an beiden Enden geschlossen sind, d.h. einen Knoten ausbilden. 15

16 Tabelle1.1 Zusammenhang zwischen Schwingungszustand, Knotenzahl und Wellenlänge eines schwingungsfähigen Systems Schwingungszustand n Anzahl Knoten zwischen den Enden des Wellenträgers L 1 L 3 3 L L : : : : : : n n-1 n L Wellenlänge λ A 1.5 A 1.6 Was versteht man unter einer harmonischen Welle? Eine Gitarrensaite schwingt in ihrem Grundzustand. Die stehende Welle hat somit zwei Schwingungsknoten (Auflagepunkte der Saite). Um wievielmal ist die Schwingungsenergie größer, wenn die Saite mit 4 Schwingungsknoten (einschliesslich der Auflagepunkte und bei gleichbleibender Amplitude) schwingt? 1.5 Lösungen zu den Aufgaben A 1.1 A 1. Die Ausbreitungsgeschwindigkeit c beträgt 0,1 m sec -1. Die Wellenlänge λ ist 0,0 m. Somit ergibt sich für die Frequenz f: c = f λ c f = λ f 0,1-1 = = 6,00 s 0,0 Die Wasserwelle hat eine Frequenz von 6 Hz. c 3 λ = λ = = 1 m f 0,5 λ t = s T s T t = λ 1 s 10, mit T = t = = = 40 s f f λ 0,5 1 A 1.3 c = λ f f = c λ = 600 8, = 5 10 s 16

17 A 1.4 A 1.5 Von einer harmonischen Welle spricht man dann, wenn eine Welle durch eine zeitlich und räumlich gleichmässige Störung entsteht. s A 1.6 Die Energie E ist proportional zu λ c λ f = max [E Oszillator = 1 m f s max und ; c ist konstant]. Mit der doppelten Amplitude smax und der doppelten Wellenlänge λ folgt: gross. = 1. Die Energie ist somit gleich 17