Hochschule Rhein-Main. Sommersemester 2015

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1 Vorlesung Hochschule Rhein-Main Sommersemester 2015 Dr. Roland Stamm 22. Juni 2015

2 Erinnerung Eine Option ist das Recht (aber nicht die Verpflichtung) ein Produkt S in der Zukunft zu einem heute festgelegten Preis (dem Strike) K zu kaufen oder zu verkaufen. Optionen gibt es in zwei Richtungen : Call Option: Die Option, das Produkt zu kaufen Put Option: Die Option, das Produkt zu verkaufen Es gibt drei Grundtypen von einfachen Optionen: Europäisch: Kann nur an einem zukünftigen Datum ausgeübt werden; Amerikanisch: Kann zu jedem Zeitpunkt zwischen Vertragsabschluss und Verfallstag ausgeübt werden; Bermudan: Kann zu bestimmten vertraglich festgelegten Terminen ausgeübt werden. Die Auszahlung des Halters einer Kaufoption ist: max(s(t ) K, 0). Die Auszahlung des Halters einer Verkaufsoption ist: max(k S(T ), 0).

3 Erinnerung II Für den Preis einer europäischen Call- bzw. Put-Option gilt die Black-Scholes-Formel: C = S 0 Φ(d + ) K e rt Φ(d ) (1) P = S 0 Φ( d + ) + K e rt Φ( d ), (2) d ± = ln(s 0/K) + rt ± σ 2 t/2 σ. t Dabei sind S 0 = heutiger Aktienpreis K = Strike t = Verfallstermin der Option r = risikoloser Zins bis Zeitpunkt t σ = annualisierte Volatilität des Aktienkurses Φ = Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

4 Erinnerung III Wir können auch den Forwardpreis F (t) = S 0 e rt verwenden: C = e rt [F (t)φ(d + ) K Φ(d )] d ± = ln(f (t)/k) ± σ2 t/2 σ. t Allgemein definieren wir die Black76-Formel durch B(ω, F, K, ν) := ω [F Φ(ω d + ) K Φ(ω d )], (3) ln(f/k) ± ν2 d ± =. ν wobei ω = ± ein Vorzeichen ist. Dann ist etwa C = e rt B(+, F (t), K, σ t) P = e rt B(, F (t), K, σ t).

5 Normale Black76-Formel Ist der Werttreiber einer Option nicht log-normal, sondern normal verteilt, so verwendet man die Normale Black76-Formel: NB(ω, F, K, ν) := ω [ϕ(ω d) + ω Φ(ω d)], (4) d = F K. ν Dabei ist ϕ(x) die Dichtefunktion der Standardnormalverteilung: ϕ(x) = 1 2π e x2 /2 = Φ (x).

6 Die Option, in einen Zinsswap einzutreten, heißt Swaption. Je nachdem, ob der Optionsinhaber dabei die feste Rate zahlt oder empfängt, wenn er die Option ausübt, heißt sie analog zum zugrundeliegenden Swap Payer oder Receiver Swaption. Der Strike ist die Swaprate, zu der der Optionsinhaber in den Swap eintreten kann. werden in der Regel als europäische oder Bermudan gehandelt. Eine typische Anwendung ist das Absichern eines kündbaren Wertpapiers oder Darlehens mit einem Swap und einer zusätzlichen Swaption. Bei den europäischen ist die Art der Ausübung ( Settlement ) sehr wichtig (s.u.): Physisch: Der Optionsinhaber und der Stillhalter (= Verkäufer der Option) treten bei Ausübung in einen tatsächlichen Swap ein Cash Settlement: Der Optionsinhaber erhält bei Ausübung den Wert des Swaps mit fester Rate K in bar ausgezahlt.

7 Wert einer europäischen Swaption bei Ausübung Der Optionsinhaber wird eine europäische Option nur ausüben, wenn er dadurch einen Gewinn macht. Der Käufer einer Payer-Swaption wird also ausüben, sofern K kleiner als die faire Swaprate c(t) bei Ausübung ist. Entsprechend wird die Receiver-Swaption ausgeübt, wenn K > c(t). Zum Verfallstermin t ist der Wert P S(t) des (Payer-)Swaps mit Rate K und Nominal N = 1 gegeben durch P S(t, K) = 1 P (t, t n) K A(t; t 0, t n), der eines Swaps mit der fairen Swaprate c(t; t 0, t n) dagegen P S(t, c(t; t 0, t n)) = 1 P (t, t n) c(t; t 0, t n) A(t, t 0, t n) = 0. Der Wert der Option am Verfallstermin ist also P SO(t, K) = max(p S(t, K) P S(t, c(t; t 0, t n)), 0) = max((c(t; t 0, t n) K) A(t; t 0, t n), 0) (5) = A(t; t 0, t n) max(c(t; t 0, t n) K), 0). Dies ist der Wert einer Calloption auf die Swaprate.

8 Wert einer europäischen Swaption, Forts. Alternative Herleitung: Wegen P S(t, c(t; t 0, t n)) = 1 P (t, t n) c(t; t 0, t n) A(t, t 0, t n) = 0 muss gelten: 1 P (t, t n) = c(t; t 0, t n) A(t; t 0, t n). Setzt man dies in P S(t, K) = 1 P (t, t n) K A(t; t 0, t n) ein, so erhält man P S(t, K) = [c(t; t 0, t n) K] A(t; t 0, t n). Analog ist der Wert einer Receiver-Swaption bei Ausübung RSO(t, K) = A(t; t 0, t n) max(k c(t; t 0, t n)), 0). (6)

9 Unterschied zwischen Cash und Physical Settlement Um Dispute zu vermeiden, wird bei mit Cash Settlement eine Standardformel zur Bestimmung des Barwertes verwendet: Ist am Verfallstag die Swaprate c des Swaps festgelegt, so wird die standardisierte Annuität A = n i=1 (1 + c ) i = (1 + c )n 1 (1 + c ) n+1 c (7) mit konstanter Periodenlänge des festen Beins definiert und dann zur Berechnung des Wertes verwendet: A max(±(c K), 0). Ein weiterer Unterschied ist das Kreditrisiko. Der Verkäufer einer Swaption mit Cash Settlement hat kein Kreditrisiko. Bei physischer Lieferung dagegen schon, s. nächste Folie.

10 Unterschied zwischen Cash und Physical Settlement, Forts. Swaption, Cash Forward Swap Swaption, Physical 2.50 Amount Time / Years Abbildung : Exposures für eine Swaption mit Cash bzw. Physical Settlement.

11 Bewertung von europäischen Eine europäische Payer (Receiver) Swaption ist eine Call- (Put-) Option auf die Swaprate. Unter der Annahme, dass die Swaprate log-normal verteilt ist, kann man eine Swaption mit der Black76-Formel (3) bewerten: P SO(t) = A(t; t 0, t n) B(+, c(t; t 0, t n), K, σ t) RSO(t) = A(t; t 0, t n) B(, c(t; t 0, t n), K, σ t) Dabei ist t der Verfallstag der Option und der Starttag des Swaps, c(0; t 0, t n) die Forward-Swaprate und σ die Volatiltiät der Swaprate. Ist die Swaprate normalverteilt (z.b. weil sie negativ werden kann), so kann man eine Swaption mit der Normalen Black76-Formel (4) bewerten: P SO(t) = A(t; t, t n) NB(+, c(t; t 0, t n), K, σ t) RSO(t) = A(t; t, t n) NB(, c(t; t 0, t n), K, σ t). Europäische werden am Markt über ihre Volatilität quotiert. Diese hängt von drei Dimensionen ab: Zeit bis zum Ausübungstermin Laufzeit des zugrundeliegenden Swaps Moneyness (s.u.).

12 Quotierung von europäischen Abbildung : ATM Swaption Volatilitäten für am 30/12/2008.

13 Moneyness Eine Swaption heißt at the money (ATM), wenn der Strike K gleich der Forward-Swaprate c(t; t 0, t n) ist. Die Differenz µ = c(t; t 0, t n) K wird oft als Moneyness bezeichnet. Eine Swaption heißt im Geld (in the money), wenn der Optionsinhaber heute ausüben würde. Für eine Payer-(Receiver-)Swaption heißt das, dass µ > 0 (< 0) sein muss. Gilt dagegen µ < 0 (> 0), so ist die Option aus dem Geld (out of the money). Bestimmung der Forward-Swaprate: Der Barwert eines Forward-Swaps mit fixer Rate c ist P V (t) = c n m δ(t i 1, t i ) P (t, t i ) f(t; t j 1, t j ) δ(t j 1, t j ) P (t, t j ) i=1 } {{ } =:A(t;t 0,t n) j=1 = c A(t; t 0, t n) (P (t, t 0) P (t, t m)). Die Forward-Swaprate c(t; t 0, t n) ist das c, für das P V (t) = 0 gilt, also c(t; t 0, t n) = P (t, t 0) P (t, t n). (8) A(t; t 0, t n)

14 Ein Caplet ist eine Calloption auf eine LIBOR-Rate L(t 1, t 2 ). Ihre Auszahlung in t 2 ist N max(l(t 1, t 2 ) K, 0) δ(t 1, t 2 ). Analog ist ein Floorlet eine Putoption auf die LIBOR-Rate. Unter der Annahme, dass die Forwardrate F (t; t 1, t 2 ) lognormal verteilt ist mit Standardabweichung σ t 1 t, kann man Caplets/Floorlets mit der Black76-Formel (3) bewerten: C/F (t, K) = N P (t, t 2 ) δ(t 1, t 2 ) B(ω, F (t; t 1, t 2 ), K, σ t 1 t). Ein Caplet/Floorlet ist at the money, falls K = F (t; t 1, t 2 ). Ein Cap ist eine Reihe von Caplets für aufeinanderfolgende Perioden [t 0, t 1 ],..., [t n 1, t n], typischerweise mit festem Strike K für alle Perioden. Der Barwert eines Caps ist einfach die Summe der Barwerte der einzelnen Caplets. Entsprechend ist ein Floor eine Reihe von Floorlets.

15 Put-Call Parity für Da die Forward-Raten für die unterschiedlichen Perioden im allgemeinen verschieden sind, ist die Definition von ATM für etwas komplizierter als für : Ein Cap ist ATM falls C(t, K) = F (t, K). Das Auszahlungsprofil eines Long Cap und eines Short Floor ist gegeben durch P (t) = N n [max(f (t, t i 1, t i ) K, 0) max(k F (t, t i 1, t i ), 0)] δ i P (t, t i ) i=1 n = N F (t, t i 1, t i ) δ i P (t, t i ) N K A δ (t, t 0, t n) i=1 ( ) = N P (t, t 0 ) P (t, t n) K A δ (t, t 0, t n), das Auszahlungsprofil eines Swaps mit derselben Frequenz auf dem festen und dem variablen Bein. Der ATM Strike K für einen Cap ist also die Par Rate (eines Swaps mit derselben Laufzeit), da diese per Definition den Barwert des Swaps zu 0 macht.

16 Quotierung von Wie werden auch typischerweise über die Volatilität quotiert. Erst seit Kurzem werden wegen der negativen Forward-Raten auch direkt Preise quotiert. Im Gegensatz zu haben die Cap/Floor-Volatilitäten nur zwei Dimensionen, weil alle liquiden Instrumente zu Spot starten, und Forward-starting Caps als Differenz zweier Spot-starting Caps dargestellt werden können: Laufzeit in Jahren Strike. Caps werden also nicht wie je nach Abstand zu ATM sog. floating Smile quotiert, sondern mit festem Strike (sog. fixed Smile). Die Verwendung der quotierten Volatilität ist, für jede Periode in der Black76-Formel C(t, K) = N P (t, t 2 ) B(ω, F (t; t 1, t 2 ), K, σ t 1 t) dasselbe quotierte σ zu verwenden. Die quotierte Volatilität ist in diesem Sinne eine Durchschnittsgröße. Benötigt man die Volatilität für einzelne Caplets/Floorlets, um z.b. laufende Geschäfte zu bewerten, so muss man dafür ein Bootstrapping für Volatilitäten durchführen.

17 Quotierung von Caps/ Abbildung : Volatilitäten für Caps/ am 30/12/2008.

18 Ähnlichkeiten zwischen europäischen und Caps Betrachte die unterschiedlichen Auszahlungsprofile für Nominal 1 und gleicher Zahlungsfrequenz auf festem und variablem Bein sowie Strike K. Payer Swaption: ( n ) max (F (t; t i 1, t i ) K) δ i P (t, t i ), 0. i=1 Cap: n max(f (t; t i 1, t i ) K, 0) δ i P (t, t i ). i=1 Erinnerung: Unter der Voraussetzung gleicher Zahlungsfrequenz auf beiden Beinen sowie Gleichheit von Diskont- und Forward-Kurve ist der ATM-Strike für beide Instrumente gleich!

19 1 Bestimmen Sie die faire Forward-Swaprate mit Startzeitpunkt t = t 0 > 0 und Endzeitpunkt t n. 2 Was ist die Put-Call-Parity für europäische? 3 Beweisen Sie Gleichung (7). 4 Wie ändern sich (5) und (6), wenn man auf OIS-Diskontierung umstellt?

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