Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik. Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt

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1 KARLSRUHER INSTITUT FÜR TECHNOLOGIE INSTITUT FÜR ANALYSIS Dr. Christoph Schmoeger Heiko Hoffmann WS 203/4 Höhere Mathematik I für die Fachrichtung Informatik Lösungsvorschläge zum 9. Übungsblatt Aufgabe 33 a Untersuchen Sie die Funktionenfolge f n n : D R n N jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. i f n = ne n2 für D := R Hinweis: lim y ye y = 0. ii f n = ne n2 für D :=, 2] iii f n = n +n 2 2 für D := [ 2, ] iv f n = n +n 2 2 für D := [0, ] b Untersuchen Sie die folgenden Funktionenreihen auf D jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. i ii k=0 k für D :=, ] k=0 cosk k 2 für D := R Lösungsvorschlag: zu a i: Ist = 0, so gilt offenbar lim n f n = 0. Ist 0, so gilt f n = n2 e n2 für jedes n N. Wegen 0 gilt lim n n 2 =, sodass mit Hilfe des Hinweises lim n f n = 0 auch für 0 folgt. Die Funktionenfolge konvergiert also punktweise auf ganz R gegen die Nullfunktion. Wir zeigen nun, dass die Konvergenz jedoch nicht gleichmäßig ist. Wäre die Konvergenz gleichmäßig, so gäbe es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit f n < ɛ für alle D und alle n n 0. Insbesondere müsste dann fn n < ɛ für alle n n0 gelten. Wir erhielten also lim n f n n = 0. Es gilt jedoch f n n Also liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. = e n n. zu a ii: In Teil a haben wir bereits die punktweise Konvergenz gegen die Nullfunktion auf ganz R eingesehen; darum gilt dies a fortiori auf dem Intervall, 2]. Hier liegt aber sogar gleichmäßige Konvergenz vor. Sei nämlich ɛ > 0 beliebig. Aus lim y ye y = 0 ergibt sich

2 die Eistenz einer Zahl M > 0 derart, dass 0 < ye y < ɛ für alle y > M gilt. Für jedes n N mit n > M erhalten wir alsdann 4 n2 4n > M für alle 2. Folglich gilt f n = n2 e n2 2 n2 e n2 < ɛ für alle n > M 4 und alle 2. Mithin konvergiert die Funktionenfolge auf, 2] gleichmäßig gegen die Nullfunktion. zu a iii: Es gilt f n = n + n 2 2 = + n 2 n n für alle [, ] und n N. Daher konvergiert die Funktionenfolge auf [, ] gleichmäßig 2 2 und dementsprechend auch punktweise gegen die Nullfunktion. zu a iv: Für = 0 gilt offenbar lim n f n = 0 und für 0 erhalten wir f n = n + n 2 = 2 n + n 2 n 0 wegen lim n n =. Also konvergiert die Funktionenfolge auf [0, ] punktweise gegen die Nullfunktion. Hier liegt allerdings keine gleichmäßige Konvergenz mehr vor. Wäre die Konvergenz nämlich gleichmäßig, so gäbe es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit f n < ɛ für alle D und alle n n 0. Insbesondere müsste dann fn n < ɛ für alle n n0 gelten. Wir erhielten also lim n f n n = 0. Es gilt allerdings fn n = für alle n N. 2 zu b i: Für = gilt offenkundig k=0 k = k=0 0 = 0. Für, ist die geometrische Reihe k=0 k konvergent mit Reihenwert. Daher ist dann auch k=0 k = k=0 k konvergent mit Reihenwert. Die Funktionenreihe konvergiert folglich auf, ] punktweise gegen die unstetige Funktion, falls,, f :, ] R; 0, falls =. Da jedoch die Partialsummen der Funktionenreihe stetige Funktionen ja sogar Polynome sind, kann die Konvergenz nicht gleichmäßig sein, da sonst f ja dann ebenfalls stetig sein müsste. zu b ii: Wegen cosk k für alle R erhalten wir gleichmäßige und auch punktweise 2 k 2 Konvergenz gemäß dem Weierstraß schen Majorantenkriterium.

3 Aufgabe 34 a Untersuchen Sie die Funktionenfolge f n n : D R n N jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz., falls Q, n i f n = 0, falls R \ Q, für D := R minn, }, falls 0 <, ii f n = 0, falls = 0, für D := [0, ] minn, }, falls 0, iii f n = man, }, falls < 0, für D := R iv f n = + n 2 für D := R 2 v f n = n für D := 0, b Untersuchen Sie die Funktionenreihe n n= n i 0, ] ii α, mit α 0, auf jeweils auf punktweise und gleichmäßige Konvergenz. Lösungsvorschlag: zu a i: Offenbar gilt f n für alle R und alle n N. Daher konvergiert die n Funktionenfolge auf ganz R gleichmäßig und erst recht punktweise gegen die Nullfunktion. zu a ii: Es ist klar, dass lim n f n 0 = 0 gilt. Ist nun 0, so eistiert ein n 0 N derart, dass n > für alle n n 0 erfüllt ist, was f n = für alle n n 0 impliziert. Dies wiederum zieht lim n f n = nach sich. Somit konvergiert die Folge f n n auf [0, ] punktweise gegen die Funktion, falls 0 <, f : [0, ] R; 0, falls = 0. Die Konvergenz ist jedoch nicht gleichmäßig. Denn wenn sie gleichmäßig wäre, so gäbe es zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit f n f < ɛ für alle D und alle n n 0. Insbesondere müsste dann fn n f 2 n < ɛ für alle n 2 n0 gelten. Wir erhielten also lim n fn n f 2 n = 0. Es gilt jedoch 2 f n n 2 f Also liegt keine gleichmäßige Konvergenz vor. = n n 2 n. 2 n

4 zu a iii: Wir haben lim n f n 0 = 0. Für > 0 gilt lim n n =. Daher eistiert insbesondere ein n 0 N dergestalt, dass n > für alle n n 0 gilt. Deshalb ergibt sich lim n f n =. Für < 0 gilt lim n n =. Daher eistiert insbesondere ein n 0 N dergestalt, dass n < für alle n n 0 gilt. Somit ergibt sich lim n f n =. Wir haben somit eingesehen, dass die Folge f n n auf R punktweise gegen die unstetige Funktion, falls > 0, f : R R;, falls < 0, 0, falls = 0 konvergiert. Offenkundig ist jede der Funktione f n auf R \0} stetig. Und wegen und lim minn, } = lim n = 0 = f n lim man, } = lim n = n N haben wir jeweils auch Stetigkeit bei 0. Also sind alle Funktionen f n stetig. Deshalb kann keine gleichmäßige Konvergenz vorliegen, da in diesem Falle f selbst ebenfalls stetig sein müsste. zu a iv: Wir zeigen, dass die Folge f n n auf R gleichmäßig also auch punktweise gegen die Betragsfunktion konvergiert. Dies folgt sofort aus der Abschätzung n = n n + 2 = 2 n, die für alle R und alle n N gültig ist. zu a v: Wir haben offenkundig lim n f n = für alle 0,. Die Folge konvergiert also auf 0, punktweise gegen die Einsfunktion. Da die Funktionen g n : [0, ] R; n alle stetig sind, erhalten wir mit Aufgabe 5 der 8. Saalübung sup n = sup n n 0 = 0, [0,] für jedes n N. Wäre die Konvergenz gleichmäßig, so gäbe es insbesondere zu ɛ = ein 2 n 0 N mit g n < für alle D und alle n n 2 0. Zu jedem n N wählen wir nun ein n D mit g n n. Insbesondere müsste dann g 2 2 n n < für alle n n 2 0 gelten, was nicht möglich ist. zu b i: Da die alternierende harmonische Reihe konvergiert und n n= n = n n= n =: f für 0, ] gilt, sehen wir sofort, dass punktweise Konvergenz gegen die Funktion f auf 0, ] vorliegt. Wäre die Konvergenz sogar gleichmäßig, so erhielten wir mit f n := n k= k k

5 0, ] zu jedem ɛ > 0 ein n 0 N mit f n f < ɛ für alle D und alle n n 0. Insbesondere erhielten wir für ɛ = ein n 0 N mit f n f n+ f n f + f f n+ < 2 für alle D und alle n n 0. Daher wäre jede der Funktionen f n f n+ mit n n 0 auf D beschränkt. Doch tatsächlich sind wegen f n f n+ = n + 0, ], n N die Funktionen f n f n+ auf 0, ] für kein n N beschränkt. zu b ii: Sei α 0,. Wie in Teil b i liegt auf α, punktweise Konvergenz gegen die Funktion f α, vor, wobei f wie in Teil b i definiert sei. Dann erhalten wir mit der Notation aus Teil b i f f n = k n k k k α k n k k k k= für alle α, 0 und n N, woraus sich wegen k n k lim = 0 n k k k= k= k= k= k= die gleichmäßige Konvergenz auf α, ergibt.

6 Aufgabe 35 a Bestimmen Sie jeweils die Ableitung der Funktion f : 0, R. i f = loglog + ii f = ep iii f = log + cos2 iv f = sin2 v f = + cos 2 vi f = + 2 b Zeigen Sie, dass die Funktion f : [, ] R; 2 sin, falls 0, 0, falls = 0, differenzierbar ist, bestimmen Sie f und untersuchen Sie die Funktion f auf Stetigkeit. Lösungsvorschlag: zu a i: Wir berechnen f = log + + = + log +. zu a ii: Wir haben f = 4 ep ep = ep zu a iii: Wir erhalten f = = + cos2 cos sin. + cos cos sin + cos 2 zu a iv: Wegen f = epsin 2 log erhalten wir f = epsin 2 log 2 sin cos log + sin 2 = sin2 2 sin cos log + sin2.

7 zu a v: Zunächst einmal gilt ja d d = d ep log = ep log d Hiermit ergibt sich f = = 2 + cos cos 2 log + = + log. + log + 2 cos sin + log cos sin. 2 zu a vi: Aus f = ep 2 log + = ep 2 log + log folgt f = ep 2 log + log 2log + log = 2 2 log + log zu b: Offenkundig ist f auf [, ] \ 0} stetig differenzierbar mit f = 2 sin + 2 cos = 2 sin cos 2 für alle 0. Des Weiteren gilt für 0 f f0 0 = 2 sin = sin, woraus lim 0 f f0 0 = 0 folgt. Somit ist f in der Tat überall differenzierbar und es gilt f = 2 sin cos, falls 0, 0, falls = 0, für alle [, ]. Wir zeigen nun, dass f nicht in 0 stetig ist. Hierzu betrachten wir die Nullfolge n n := Dann erhalten wir f πn n n = n+ für alle n N, insbesondere ist f n n keine Nullfolge. Mithin ist f nicht in 0 stetig.

8 Aufgabe 36 Es sei 0 R und es sei f : R R eine Funktion. a Zeigen Sie: Ist f in 0 differenzierbar, so gilt lim h 0 f 0 +h f 0 h = f 0. b Beantworten Sie die folgende Frage und begründen Sie Ihre Antwort: Ist f in 0 differenzierbar, falls der Grenzwert lim 0 +h f 0 h f h 0 eistiert? Lösungsvorschlag: zu a: Es gilt wie behauptet. f 0 + h f 0 h = 2 f0 + h f 0 h = 2 f0 + h f 0 h h 0 2 f 0 + f 0 = f 0 + f 0 f 0 h h + f 0 + h f 0 h zu b: Die Funktion f ist nicht notwendigerweise in 0 differenzierbar, falls der Grenzwert f lim 0 +h f 0 h h 0 eistiert. Um das einzusehen, betrachten wir die Funktion f : R R, welche durch f0 := 0 und f := für 0 gegeben ist. Diese ist bei 0 := 0 nicht differenzierbar, da sie dort nicht einmal stetig ist. Für jedes h 0 gilt aber offenkundig f f 0 + h f 0 h = fh f h = = 0, woraus lim 0 +h f 0 h h 0 = 0 folgt.