Fachkommission zentrale Abschlussprüfungen Mathematik Berufliches Gymnasium

Transkript

1 Seite 1 Themenkorridore 1 für die zentralen Abschlussprüfungen Mathematik an Beruflichen Gymnasien in Schleswig-Holstein für die Jahre 2012 und 2013 (Inhaltliche Erläuterungen zu den EPA) Beim Nachweis der fachlichen Kompetenzen kommt den fachlichen Inhalten aus den Sachgebieten Analysis, Lineare Algebra/Analytische Geometrie und Stochastik besondere Bedeutung zu. Alle drei Sachgebiete müssen für die Abiturprüfung zur Verfügung stehen. (EPA Mathematik, Kapitel I, 1.2) Im Folgenden werden die inhaltlichen Vorgaben der EPA gegliedert nach den sieben zugrunde gelegten Leitideen für die schriftliche zentrale Abschlussprüfung Mathematik an Beruflichen Gymnasien in Schleswig-Holstein präzisiert und erläutert. Diese Erläuterungen sind in der nachfolgenden Tabelle kursiv dargestellt. Die Differenzierung zwischen grundlegendem Anforderungsniveau (ga) und erhöhtem Anforderungsniveau (ea) erfolgt nicht über den Erwerb größerer algebraischer Fähigkeiten im ea, sondern über die systematische, vertiefte und reflektierte wissenschaftspropädeutische Arbeit im ea gegenüber einer wissenschaftspropädeutisch orientierten Grundbildung im ga. Die Unterscheidung im Grad der Schwierigkeit und Komplexität wird vor allem über Parameter gesteuert, darüber hinaus unterscheiden sich die Aufgaben im ga und ea durch den Grad der Vorstrukturierung, die Anforderungen an Selbstständigkeit bei der Bearbeitung der Aufgaben, die Offenheit der Aufgabenstellung sowie den Umfang und die Art der bereitgestellten Hilfsmittel und Informationen. (vgl. EPA Mathematik, Kapitel I, 1.4.1). 1 Der fächerübergreifend genutzte Begriff des Themenkorridors beschreibt in diesem Zusammenhang die zu vermittelnden mathematischen Inhalte.

2 Seite 2 grundlegendes Anforderungsniveau (ga) 1. LEITIDEE FUNKTIONALER ZUSAMMENHANG Einfache Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen an konkreten Beispielen, Grundkompetenzen im Umgang mit den Funktionen: n x x a x mit n Z; x a e ; x a sin x erhöhtes Anforderungsniveau (ea) Einfache Verknüpfungen und Verkettungen von Funktionen allgemein, Grundkompetenzen im Umgang mit den Funktionen: n x x a x mit n Z; x a e ; x a sin x Vertiefte Behandlung (siehe Vortext) von mindestens zwei Funktionsklassen. Grundkompetenzen werden im Umgang mit folgenden Funktionstypen erworben. Es gelten in den angegebenen Termen,,,,,, Ganzrationale Funktion bis zum vierten Grad mit der Gleichung = Gebrochenrationale Funktion mit der Gleichung = Trigonometrische Funktion mit der Gleichung = sin + + oder = cos + + Exponentialfunktion mit der Gleichung (bei beliebiger Basis b): = + Produktfunktion mit der Gleichung = + Alle genannten Funktionen können untereinander additiv verknüpft werden oder zu abschnittsweise definierten Funktionen zusammengestellt werden. Sollte g(x) ganzrational sein, bleibt es bei dieser Funktion maximal vom Grad 4. Exemplarische Darstellung der Inhalte in Beispielaufgaben ga HT 2 11 Aufgabe 3b; ea HT 11 1 Exp.; ea HT 11 1a Trig.; ga VT HT: Haupttermin zentrale Abschlussprüfungen Mathematik BG 3 VT: Vortermin zentrale Abschlussprüfungen Mathematik BG

3 Seite 3 Einfache Verkettungen sind solche, bei denen die innere Funktion linear ist. Unter einfachen Verknüpfungen von Funktionen werden Produktfunktionen verstanden, bei denen eine der beiden Funktionen linear und die andere einfach verkettet ist. Behandlung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad 4 sowie einfache anwendungsbezogene Funktionen der Form f(x)/x mit f(x) ganzrational. Umkehren von Funktionen in konkreten Fällen. Die Umkehrung einer Funktion tabellarisch und graphisch darstellen. Ableitung von Funktionen, Deutung der Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung. Auch graphisches Differenzieren. Einfache Verkettungen sind solche, bei denen die innere Funktion linear ist. Unter einfachen Verknüpfungen von Funktionen werden Produktfunktionen verstanden, bei denen eine der beiden Funktionen linear und die andere einfach verkettet ist. Vertiefte Behandlung ganzrationaler Funktionen bis zum Grad 4 sowie einfache anwendungsbezogene Funktionen der Form f(x)/x mit f(x) ganzrational. Vertiefung (siehe Vortext) einer weiteren Funktionsklasse: Exponentialfunktionen oder trigonometrische Funktionen. Umkehren von Funktionen in konkreten Fällen. Die Umkehrung einer Funktion tabellarisch und graphisch darstellen. Ableitung von Funktionen, Deutung der Ableitung als lokale Änderungsrate und als Tangentensteigung. Auch graphisches Differenzieren ggfs. mit stetigen, nicht differenzierbaren Stellen. ea VT 10, HT 11, T Exp. bzw. Trig. ea HT 11 3a; ga T 11 3d Ableitungsregeln. Faktor-, Summen- und Potenzregel, Ableitung von Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen, Kettenregel für einfach verkettete Funktionen, Produktregel für einfache verknüpfte Funktionen. Untersuchung von Funktionen an besonderen Stellen. Besondere Stellen sind z.b. ullstellen, Extremstellen (auch bei Randextrema), Wendestellen, Randstellen. Ableitungsregeln. Faktor-, Summen- und Potenzregel, Ableitung von Exponentialfunktionen und trigonometrischen Funktionen, Kettenregel für einfach verkettete Funktionen, Produktregel für einfache verknüpfte Funktionen. Untersuchung von Funktionen an besonderen Stellen (auch qualitativ Kurvenscharen). Besondere Stellen sind z.b. ullstellen, Extremstellen (auch bei Randextrema), Wendestellen, Randstellen. ea HT 11 1d Exp ea HT 11 1a und l Exp.; ea HT 11 1d Trig.; ga VT 10 1b 4 NT: Nachschreibtermin zentrale Abschlussprüfungen Mathematik BG

4 Seite 4 Integration von Funktionen, Deutung des Integrals als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt. Auch graphisches Ermitteln von Integralen. Mögliche Anwendungsbeispiele: Füllvorgänge, Wachstumsvorgänge, Geschwindigkeiten, Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Grundverständnis). Kein formaler Beweis. Darstellung des Zusammenhangs am konkreten Beispiel. Unterscheidung zwischen Integral- und Stammfunktion. Einfache Integrationsregeln. Faktor-, Summen- und Potenzregel für ganzrationale Funktionen. Zufallsgrößen. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung werden mithilfe von Definitions- und Wertebereich beschrieben und als Funktionen dargestellt. Insbesondere die Funktionseigenschaften von binomialverteilten Zufallsgrößen werden untersucht. Integration von Funktionen, Deutung des Integrals als aus Änderungen rekonstruierter Bestand und als Flächeninhalt. Auch graphisches Ermitteln von Integralen und Skizzieren des Graphen einer Stammfunktion. Mögliche Anwendungsbeispiele: Füllvorgänge, Wachstumsvorgänge, Geschwindigkeiten, Zusammenhang zwischen Ableitung und Integral, Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (Formulierung und Beweis). Kein formaler Beweis. Darstellung des Zusammenhangs am konkreten Beispiel. Unterscheidung zwischen Integral- und Stammfunktion. Einfache Integrationsregeln. Faktor-, Summen- und Potenzregel für ganzrationale Funktionen. Zufallsgrößen. Zufallsgröße und Wahrscheinlichkeitsverteilung werden mithilfe von Definitions- und Wertebereich beschrieben und als Funktionen dargestellt. Insbesondere die Funktionseigenschaften von binomialverteilten und normalverteilten Zufallsgrößen werden untersucht. ea HT 11 1h Exp.; ga HT 11 3d ga VT 10 1g; ea VT 10 1f Trig.

5 Seite 5 2. LEITIDEE GRE ZPROZESSE / APPROXIMATIO Grenzwertbegriff (nur propädeutisch), Grenzwerte bei Funktionen. Im Vordergrund steht die numerische Erfahrung der Approximation, nicht der formale achweis. Näherungsweise Berechnung von Nullstellen. Mithilfe eines beliebigen Verfahrens. 3. LEITIDEE MODELLIERE Untersuchung realitätsnaher Probleme mit Hilfe von Funktionen, Extremalprobleme, Wachstumsprozesse, Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen. Aufstellen von Funktionsgleichungen aus gegebenen Bedingungen. Z. B. Extremwertaufgaben (auch ohne rechnerische Verfahren der Differentialrechnung) und Modellierung von Funktionen einschließlich geeigneter Plausibilitätsüberprüfungen. Grenzwertbegriff, Grenzwerte bei Funktionen, auch asymptotisches Verhalten von Funktionen. Im Vordergrund steht die numerische Erfahrung der Approximation, nicht der formale achweis. einfache Hyperbeln, Exponentialfunktionen. Näherungsweise Berechnung von Nullstellen und von Integralen. Mithilfe jeweils eines beliebigen Verfahrens. Untersuchung realitätsnaher Probleme mit Hilfe von Funktionen, Extremalprobleme, Wachstumsprozesse, Anpassung von Funktionen an vorgegebene Bedingungen, Zusammenhang zwischen diskreten und stetigen Modellierungen. Aufstellen von Funktionsgleichungen aus gegebenen Bedingungen. Z. B. Extremwertaufgaben (auch ohne rechnerische Verfahren der Differentialrechnung) und Modellierung von Funktionen einschließlich geeigneter Plausibilitätsüberprüfungen. ea HT 11 1e Exp.; ea VT 10 1c Exp. ga HT 11 1a; ea HT 11 1a Trig

6 Seite 6 Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen. Aufstellen von Matrizen und Gleichungssystemen aus gegebenen Bedingungen. Interpretation und grundlegende Kompetenzen im Umgang mit Matrizen und elementare Matrizenoperationen inkl. Kehrmatrix (inverse Matrix) in rechnerisch einfachen Fällen (2x2), Grenzmatrizen. Ein Verfahren der beurteilenden Statistik, Simulation von Zufallsexperimenten. Mehrstufige Zufallsexperimente werden als Baumdiagramme dargestellt und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Anwendungszusammenhänge werden mithilfe einer Zufallsgröße und ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert. Das Vorliegen einer binomialverteilten Zufallsgröße wird begründet. Ein Zufallsexperiment wird, z.b. mithilfe von Zufallszahlen, simuliert. Entscheidungsregeln für ein- und zweiseitige Hypothesentests bei vorgegebenen Irrtumswahrscheinlichkeit werden entwickelt und begründete Entscheidungen getroffen. Anwendung von Matrizen bei mehrstufigen Prozessen, auch Fixpunktproblem. Aufstellen von Matrizen und Gleichungssystemen aus gegebenen Bedingungen. Interpretation und grundlegende Kompetenzen im Umgang mit Matrizen und elementare Matrizenoperationen inkl. Kehrmatrix (inverse Matrix) in rechnerisch einfachen Fällen (2x2), Grenzmatrizen und Fixvektor. Mit der Behandlung von Fixpunktproblemen wird in diesem Bereich die geforderte Tiefe erreicht. Ein Verfahren der beurteilenden Statistik, Simulation von Zufallsexperimenten. Mehrstufige Zufallsexperimente werden als Baumdiagramme dargestellt und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten berechnet. Anwendungszusammenhänge werden mithilfe einer Zufallsgröße und ihrer Wahrscheinlichkeitsverteilung modelliert. Das Vorliegen einer binomialverteilten Zufallsgröße wird begründet. Ein Zufallsexperiment wird, z.b. mithilfe von Zufallszahlen, simuliert. Entscheidungsregeln für ein- und zweiseitige Hypothesentests werden entwickelt und begründete Entscheidungen getroffen. Die Wahrscheinlichkeiten für Fehler 1. und 2. Art werden bei der Erläuterung der Entscheidung berücksichtigt. ga VT 10 2; ga HT 11 2b; ea HT 11 2e; ga T 11 2a, b ga HT 11 3g Stoch; ea VT 10 3f Stoch ga HT 11 2a Stoch; ea T 11 2a Stoch ga HT 11 2e Stoch; ea T 11 2f Stoch ea T 11 2g Stoch

7 Seite 7 4. LEITIDEE MESSEN Bestimmung von Flächeninhalten (nur begrenzte Flächen bestimmtes Integral). Bestimmung von Winkeln und Abständen mit Hilfe des Skalarprodukts, keine windschiefen Geraden. Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren. Abstandsberechnungen: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade. Zufallsgrößen (Erwartungswert und Standardabweichung von binomialverteilten Zufallsgrößen). Erwartungswert und Standardabweichung werden berechnet und interpretiert; dabei ist die Zufallsgröße binomialverteilt oder diskret und in Tabellenform vorgegeben. 5. LEITIDEE ALGORITHMUS Rekursion / Iteration. Es reicht ein Verfahren zur ullstellenberechnung. Bestimmung von Flächeninhalten (auch unbegrenzte Flächen uneigentliches Integral). Bestimmung von Winkeln und Abständen mit Hilfe des Skalarprodukts, einschließlich windschiefer Geraden. Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren. Kreuzprodukt. Abstandsberechnungen: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene, Gerade-Gerade. Zufallsgrößen (Kenngrößen von Zufallsgrößen). Erwartungswert und Standardabweichung von Zufallsgrößen werden berechnet und interpretiert. Rekursion / Iteration. Es reicht je ein Verfahren zur ullstellenberechnung und zur Integration. Hinweise zu Beispielaufgaben siehe unter Leitidee 6 ga HT 11 3f Stoch; ea HT 11 3g Stoch

8 Seite 8 Lösen linearer Gleichungssysteme. Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen ermitteln. Ein algorithmisches Verfahren an Hand eines konkreten. Beispiels erklären und anwenden können. Höchstens 3x3-Systeme. Rechnen mit Matrizen. Addition, Subtraktion und Multiplikation durchführen. Lösen von Matrizengleichungen. Bestimmen einer Kehr- (inversen) und transponierten Matrix, Potenzen von Matrizen (z. B. Markow-Kette). Stochastische Matrizen, Grenzmatrizen. Lösen linearer Gleichungssysteme, auch Fragen der Lösbarkeit. Lösungsmengen von linearen Gleichungssystemen ermitteln. Kriterien für die Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme. Ein algorithmisches Verfahren erklären und anwenden können. Rechnen mit Matrizen. Addition, Subtraktion und Multiplikation durchführen. Lösen von Matrizengleichungen. Bestimmen einer Kehr- (inversen) und transponierten Matrix, Potenzen von Matrizen (z. B. Markow-Kette). Stochastische Matrizen, Grenzmatrizen. ea VT10 1d Trig; ea VT 10 2c AnGeo; ga/ea VT 10 2d Stoch; ga/ea VT 10 3e LinAlg.; ea HT 11 1c Trig; ga HT 11 1d ga HT 11 2b LinAlg; ga HT 11 3g LinAlg; ea HT 11 3f LinAlg; ga T 11 2c, 2d, 3g AnGeo; ga T 11 3e LinAlg ga VT 10 3g LinAlg ga HT 11 2e, 3e, 3f LinAlg ea HT 11 3g LinAlg; ga T 11 3f, 3g LinAlg 6. LEITIDEE RÄUMLICHES STRUKTURIEREN / KOORDINATISIEREN Festlegung eines geeigneten Koordinatensystems, Vektoren im Anschauungsraum. Vektoren im 2- und 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem. Festlegung eines geeigneten Koordinatensystems, Vektoren im Anschauungsraum. Vektoren im 2- und 3-dimensionalen kartesischen Koordinatensystem. ga HT 11 3e

9 Seite 9 Darstellung geometrischer Objekte in einem Schrägbild, Koordinatendarstellung von Vektoren, Linearkombination, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit (geometrische Deutung steht im Vordergrund), Beschreibung und Untersuchung von geometrischen Objekten mit Hilfe von Vektoren. Rechenoperationen in der Koordinatendarstellung von Vektoren. Zeichnerische Addition und S-Multiplikation im Schrägbild. Linearkombination, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit. (Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren; siehe auch Leitidee 4), orthogonale Vektoren, Einheitsvektor. Vektorielle Beschreibung von Geraden, Punktprobe, Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden, ggf. Schnittwinkel. Vektorielle Beschreibung von Ebenen: Parameterform, Koordinatenform. Lage zwischen Gerade und Ebene, auch Schnittwinkel. (Abstandsberechnungen: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade; siehe auch Leitidee 4). Darstellung geometrischer Objekte in einem Schrägbild, Koordinatendarstellung von Vektoren, Linearkombination, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit, Beschreibung und Untersuchung von geometrischen Objekten mit Hilfe von Vektoren Rechenoperationen in der Koordinatendarstellung von Vektoren. Zeichnerische Addition und S-Multiplikation im Schrägbild. Linearkombination, lineare Abhängigkeit und lineare Unabhängigkeit. (Skalarprodukt, Betrag eines Vektors, Winkel zwischen Vektoren; siehe auch Leitidee 4), orthogonale Vektoren, Einheitsvektor. Kreuzprodukt. Vektorielle Beschreibung von Geraden, Punktprobe, Untersuchung der gegenseitigen Lage von Geraden, ggf. Schnittwinkel. Vektorielle Beschreibung von Ebenen: Parameterform, Koordinatenform, ormalenform. Lage zwischen Gerade und Ebene, auch Schnittwinkel. Lage Ebene Ebene. (Abstandsberechnungen: Punkt-Punkt, Punkt-Gerade, Punkt-Ebene; siehe auch Leitidee 4). (Abstand Gerade-Gerade; siehe auch Leitidee 4) Teilungsverhältnisse. in allen AnaGeo-Aufgaben gefordert ga VT 10 3f; ga HT 11 3e;gA T 11 3h ga VT 10 3e; ga HT 11 3g; ga T 11 3g; ea T 11 3f ga VT 10 2a, 3g; ea VT 10 2d, 3f; ga HT 11 2a, 2c; ga T 11 2b, 3e ea HT 11 2c ga VT 10 2e; ea VT 10 3g; ga HT 11 3f; ga T 11 2c, d; ea T 11 2d ga VT 10 3h; ea VT 10 3e; ga HT 2b, 3h; ea HT 11 3g; ga T 11 2e, f ga VT 10 2c; ga HT 11 2d; ga T 3f ea T 11 3e ga VT 10 2a,b; ea HT 11 3g; ga T 2a, f ea VT 10 2e ea T 11 3g

10 Seite LEITIDEE ZUFALL Wahrscheinlichkeit, Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeiten von einfachen und zusammengesetzten Ereignissen (Additionssatz, Multiplikationssatz, Gegenwahrscheinlichkeit). Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wahrscheinlichkeitsverteilung (insbesondere auch die Binomialverteilung) als Funktion darstellen und anwenden. Wahrscheinlichkeit, Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten, Unabhängigkeit von Ereignissen, bedingte Wahrscheinlichkeiten. Wahrscheinlichkeiten von einfachen und zusammengesetzten Ereignissen (Additionssatz, Multiplikationssatz, Gegenwahrscheinlichkeit, bedingte Wahrscheinlichkeit, Unabhängigkeit von Ereignissen). Wahrscheinlichkeitsverteilung. Wahrscheinlichkeitsverteilung (insbesondere auch die Binomial- und die ormalverteilung) als Funktion darstellen und anwenden. ga VT 10 3g Stoch; ea VT 11 2f Stoch; ea HT 11 2e Stoch ga HT 11 2b-d Stoch; ea HT 11 2a-c Stoch ea HT 11 2b Stoch Erwartungswert und Standardabweichung. Erwartungswert und Standardabweichun. ga HT 11 2e Stoch; ea HT 3e Stoch

11 Seite 11 Weitere Hinweise: Formelsammlung: Es wird nach Beschluss der Fachkonferenz einheitlich eine beliebige Formelsammlung (auch selbst entwickelte Formelsammlungen) zugelassen. Taschenrechner-Nutzung Die Lösungswege werden unter Berücksichtigung der Operatoren schlüssig dokumentiert. Lösungsansätze werden grundsätzlich dargestellt. Einzelne Teilschritte werden erläutert, wenn die Aufgabenstellung dies verlangt. Der CAS Aufgabensatz ist dann zu wählen, wenn der Taschenrechner ein Computeralgebrasystem enthält. Ausblick: CAS-Klausuren 2013 Für die CAS-Aufgaben der zentralen Abschlussprüfungen werden die mathematischen Inhalte 2013 dort erweitert, in denen der Einsatz des CAS zum Tragen kommt. Dies betrifft: den Einsatz ganzrationale Funktionen höheren Grades als vier, die Möglichkeit der Verkettung von Funktionen mit ganzrationalen Funktionen höheren Grades, die Möglichkeit der Verknüpfung ganzrationaler Funktionen höheren Grades mit einer Exponentialfunktion oder einer trigonometrischen Funktion, die Größe der linearen Gleichungssysteme bzw. Matrizen (größer als 3x3 Systeme) Alle genannten Funktionen können untereinander additiv verknüpft oder zu abschnittsweise definierten Funktionen zusammengestellt werden. Für Aufgabenteile die ggf. auch ohne Einsatz des CAS bearbeitet werden sollen, gilt der o.g. Themenkorridor. Ausblick: Nicht-CAS-Klausuren 2013 Für die Nicht-CAS-Aufgaben der zentralen Abschlussprüfungen wird der vorliegende Themenkorridor voraussichtlich unverändert bleiben.