Frank Heitmann 2/71. 1 Betrachten wir Σ für ein Alphabet Σ, so ist Σ die Menge

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1 Formle Grundlgen der Informtik Kpitel 2 und reguläre Sprchen Frnk Heitmnn 7. April 24 Frnk Heitmnn /7 Alphet und Wörter - Zusmmengefsst Die wichtigsten Dinge zu Alpheten und Wörtern: Σ für eine Menge von Symolen (ein Alphet), z.b. Σ = {,, c} oder Σ = {, }. λ oder ɛ für ds leere Wort. Ds leere Wort ist nie in einem Alphet Σ! Konktention: Von Symolen oder Worten: =, cd = cd Von Wortmengen: {, c} {λ, c} = {, c, cc} R 2, R 3 oder uch Σ 2, Σ 3 und w 2, w 3 usw. für mehrfch Hinterinnderusführen von. Sonderfll: R = {λ} und uch w = λ (w ein Wort) R + für lle Worte, die sich durch elieiges Aneinnderreihen von Worten us R ilden lssen. R wie R +, er λ kommt noch hinzu. Frnk Heitmnn 2/7 Alphete und Wörter - Noch zwei Nottionen Alphete, Wörter und Sprchen Noch zwei Nottionen: Definition/Nottion Sei Σ ein Alphet, x Σ ein Symol und w Σ ein Wort. Mit w ist die Länge von w gemeint, lso z.b. = 3 und = 5. Außerdem ist λ =. 2 Mit w x ist die Anzhl der x in w gemeint. Z.B. ist mit Σ = {,, 2} = 3, 222 = und 222 =. Definition Betrchten wir Σ für ein Alphet Σ, so ist Σ die Menge ller endlichen Wörter (üer dem Alphet Σ). 2 Jede (Teil-)Menge L Σ heißt formle Sprche. Ds Ziel Ziel ist es nun einen Automten zu hen, der estimmte Wörter kzeptiert (und lle nderen nicht). Ein Automt kzeptiert dmit eine formle Sprche! Frnk Heitmnn 3/7 Frnk Heitmnn 4/7

2 - Beispiel Der deterministische, endliche Automt Definition (DFA) Ein deterministischer, endlicher Automt (DFA) ist ein 5-Tupel z z z 2 mit: A = (Z, Σ, δ, z, Z end ) Der endlichen Menge von Zuständen Z. Dem endlichen Alphet Σ von Eingesymolen. Der Üerführungsfunktion δ : Z Σ Z. Dem Strtzustnd z Z. Der Menge der Endzustände Z end Z. Frnk Heitmnn 5/7 Frnk Heitmnn 6/7 Ein Beispiel Ein Beispiel z z z 2 z z z 2 (z, ) oder ˆδ(z, ) (z, ) (z, ) oder ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) Frnk Heitmnn 7/7 Frnk Heitmnn 8/7

3 Ein Beispiel Ein Beispiel z z z 2 z z z 2 (z, ) (z, ) (z, ) oder ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) (z, ) (z, ) (z, ) (z, ) oder ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) Frnk Heitmnn 9/7 Frnk Heitmnn /7 Ein Beispiel Akzeptierte Sprche Definition (Akzeptierte Sprche) Die von einem DFA A kzeptierte Sprche ist die Menge z z z 2 (z, ) (z, ) (z, ) (z, ) (z 2, λ) oder ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) = ˆδ(z, ) = z 2 L(A) := {w Σ ˆδ(z, w) Z end } = {w Σ (z, w) (z e, λ), z e Z end } Diese Menge wird uch ls reguläre Menge ezeichnet. Die Fmilie ller regulären Mengen wird mit REG ezeichnet. Wichtige Anmerkung A kzeptiert ein Wort w genu dnn, wenn w is zum Ende gelesen werden knn und wir dnn in einem Endzustnd sind. Frnk Heitmnn /7 Frnk Heitmnn 2/7

4 Eine Technik Zusmmenfssung - Begriffe Wichtiges Vorgehen Ermittelt mn für einen DFA A seine kzeptierte Sprche, so ist L(A) = M zunächst eine Behuptung, die zu zeigen ist! Wichtiges Vorgehen Hierzu sind dnn zwei Richtungen zu zeigen: L(A) M. Jedes Wort, dss der Automt kzeptiert ist ttsächlich in M. Bei der Argumenttion geht mn von einem Wort w us, ds der Automt kzeptiert (w L(A)) und zeigt, dss dnn uch w M gilt. M L(A). Jedes Wort us M wird uch von dem Automten kzeptiert. Mn geht von einem (elieigen!) Wort us M us ( Sei w M, dnn... ) und zeigt, dss dieses uch von A kzeptiert wird, lso in L(A) ist. Frnk Heitmnn 3/7 Begriffe isher (endliche Automten): DFA Zustände, Strtzustnd, Endzustände Üerführungsfunktion δ : Z Σ Z erweitere Üerführungsfunktion ˆδ : Z Σ Z Konfigurtion, Konfigurtionsüergng Rechnung, Erfolgsrechnung kzeptierte Sprche reguläre Menge, REG vollständig, initil zusmmenhängend Wichtige Anmerkung Alle diese Begriffe sind wichtig (uf dieser Grundlge uen wir uf). Dher die fleissig lernen! Frnk Heitmnn 4/7 Noch zwei Begriffe Definition Ein DFA A = (Z, Σ, δ, z, Z end ) heißt vollständig, wenn zu jedem (z, x) Z Σ ein z existiert mit δ(z, x) = z. 2 initil zusmmenhängend, wenn es zu jedem z Z ein Wort w git mit ˆδ(z, w) = z. Hinweis vollständig = jede Einge knn gelesen werden initil zusmmenhängend = jeder Zustnd erreichr Technik Techniken zum Konstruieren von DFAs Methode : Ws will ich speichern? (Und wie sehen dnn die Zustände us?) Frnk Heitmnn 5/7 Frnk Heitmnn 6/7

5 - Beispiel Beispiel M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} Wie konstruieren wir hierfür einen DFA? Tipp: Ws wollen wir uns merken? Definition/Nottion (zur ) Sei Σ ein Alphet, x Σ ein Symol und w Σ ein Wort. Mit w x ist dnn die Anzhl der x in w gemeint. Z.B. ist mit Σ = {,, 2} = 3, 222 = und 222 =. - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} Die Idee Wir merken uns im Zustnd, o die Anzhl der isher gelesenen en gerde (g) oder ungerde (u) ist. Eenso für die en. Ds sind zwei Informtionen, die jeweils genu einen von zwei Werten nnehmen können (führt zu vier Zuständen) und die wir leicht mit jedem gelesenen Symol ktulisieren können. Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Frnk Heitmnn 7/7 Frnk Heitmnn 8/7 - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} z gg z ug z gg z ug z gu z uu z gu z uu Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Frnk Heitmnn 9/7 Frnk Heitmnn 2/7

6 - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} z gg z ug z gg z ug z gu z uu z gu z uu Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Frnk Heitmnn 2/7 Frnk Heitmnn 22/7 - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} - Beispiel Ds Prolem M := {w {, } w ist gerde und w ist ungerde} z gg z gu z ug z uu z gg z ug z gu z uu Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Frnk Heitmnn 23/7 Die Durchführung Wir notieren gg, gu, ug, uu für die Zustände. gu ˆ= gerde Anzhl en, ungerde Anzhl en ug ˆ= ungerde Anzhl en, gerde Anzhl en... Frnk Heitmnn 24/7

7 Methode - Anmerkungen Beweis der Korrektheit Bemerkung Bisweilen (nicht hier, er mnchml) wird mit dieser Methode ein nicht erreichrer Teil mitkonstruiert. Dieser knn dnn weggelssen werden. Es genügt dnn sich uf die initile Zusmmenhngskomponente einzuschränken. Wichtige Anmerkung Egl, wie mn den Automten konstruiert, dnch ist stets ein Beweis von L(A) = M nötig! Ist die Konstruktion gut (d.h. liegt ihr eine eingängige Idee zugrunde), so ist der Beweis er oft sehr viel einfcher. z gg z gu Sei w M, dnn knn w nch Konstruktion (der Automt ist vollständig) zu Ende gelesen werden. Nch Konstruktion der Zustände und der Zustndsüergänge enden wir dnn in z gu (d w eine gerde Anzhl von en und eine ungerde Anzhl von en enthält) und kzeptieren. Also ist uch w L(A). z ug z uu Frnk Heitmnn 25/7 Frnk Heitmnn 26/7 Beweis der Korrektheit Beweis der Korrektheit z gg z gu Sei w L(A). D w kzeptiert wird, muss A in z gu enden. Dies ist er nch Konstruktion gleichedeutend dmit, dss w gerde viele en und ungerde viele en enthält. Dmit gilt uch w M. z ug z uu Anmerkung Mn könnte noch die Zustände und Zustndsüergänge durchgehen und rgumentieren, dss sie wirklich ds gewünschte leisten (z.b. ds der Wechsel von z gg nch z gu eine erfordert und ds dnn j wirklich ungerde viele en gelesen wurden, wenn vorher gerde viele gelesen wurden). Bei kleineren Beispielen ist ds er meist klr. Es ist dnn er nötig vorher gut die Konstruktion zu erklären! Und us dieser Konstruktion müssen sich Dinge leiten lssen, die gerucht werden, sonst mcht die Formulierung nch Konstruktion keinen Sinn! Frnk Heitmnn 27/7 Frnk Heitmnn 28/7

8 2 2 - Beispiel Technik Techniken zum Konstruieren von DFAs Methode 2: On-the-fly-Konstruktion... Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} Wir strten mit dem Strtzustnd: z Ws pssiert ei einer? Frnk Heitmnn 29/7 Frnk Heitmnn 3/7 2 - Beispiel 2 - Beispiel Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} Bei : Keine neuen Informtionen. Wir leien in z : Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} Bei : Vielleicht endet ds Wort hier. Dnn sind wir fertig! Also ruchen wir einen neuen Zustnd, in dem wir kzeptieren! z z z Ws pssiert ei einer? Mit z sind wir fertig (keine weiteren Symole in Σ). Aer wir hen eine neuen Zustnd! Ws pssiert hier ei? Frnk Heitmnn 3/7 Frnk Heitmnn 32/7

9 2 - Beispiel 2 - Beispiel Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} Bei : Wir wollen nicht mehr kzeptieren und könnten einen neuen Zustnd einführen. Aer wir hen wieder genu so viele Infos wie in z, lso gehen wir einfch dhin! z z Und ws pssiert ei? Bei wollen wir weiterhin kzeptieren und leien einfch in z. z Und sind fertig, d wir in llen Zuständen lle Symole lesen können! z Frnk Heitmnn 33/7 Frnk Heitmnn 34/7 Methode 2 - Anmerkungen Bemerkung D mn sich für jeden Zustnd zu jeder Einge üerlegt, ws pssiert, wird der konstruierte Automt i.a. vollständig und initil zusmmenhängend sein. Bemerkung Kritisch ei dieser Konstruktionsmethode ist irgendwnn zu merken, wnn ereits vorhndene Zustände enutzt werden können und im esten Fll uch, wofür sie stehen; spw. knn mn oen z x mit letztes gelesenes Symol ist x identifizieren (x {, }). Wichtige Anmerkung Nochml: Egl, wie mn den Automten konstruiert, dnch ist stets ein Beweis von L(A) = M nötig! Ist die Konstruktion gut (d.h. liegt ihr eine eingängige Idee zugrunde), so ist der Beweis er oft sehr viel einfcher. Frnk Heitmnn 35/7 Beweis der Korrektheit Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} z Sei w = v M. D der Automt vollständig ist, knn w uf jeden Fll gnz gelesen werden. D w uf endet, muss der Automt mit dieser letzten nch Konstruktion in den Zustnd z wechseln (d jeder Zustnd eine -Knte zu z ht). Mit z Z end folgt w L(A). Frnk Heitmnn 36/7 z

10 Beweis der Korrektheit Auf zu neuen Ufern... Beispiel M := {, } {} = {w Σ v Σ : w = v} z z Und jetzt ws neues... Sei w L(A). Dnn muss nch Konstruktion ds Wort uf enden, d z der einzige Endzustnd ist und lle Knten nch z mit eschriftet sind. Dnn ist er sofort uch w M. Frnk Heitmnn 37/7 Frnk Heitmnn 38/7 Sinn? Beim DFA git es zu einem z Z und einem x Σ einen Nchfolgezustnd δ(z, x). Der Nchfolgezustnd ist lso determiniert. Dies knn mn ufweichen... z Nch Lesen von ist der Automt nichtdeterministisch sowohl in z ls uch in z 2. Informl kzeptiert der nichtdeterministische, endliche Automt ein Wort dnn, wenn es irgendeine Rechnung git, in der er einen Endzustnd erreicht. z z 2 c ABER WARUM?!? Mn knn dmit oft sehr schnell Automten entwerfen. Z.B. für die Sprche von een (Wörter, die uf enden):, z z... und wir werden später noch mehrere Stellen sehen, n denen ds Konzept des Nichtdeterminismus hilfreich ist... Frnk Heitmnn 39/7 Frnk Heitmnn 4/7

11 Die Üerführungsfunktion Der nichtdeterministische, endliche Automt z z z 2 c Definition (NFA) Ein nichtdeterministischer, endlicher Automt (NFA) ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, δ, Z strt, Z end ) Wie würdet ihr die Üerführungsfunktion definieren? δ : Z Σ Z 2 δ : Z Σ Z 3 δ : Z Σ 2 Z 4 δ : 2 Z Σ Z 5 gnz nders... mit: Der endlichen Menge von Zuständen Z. Dem endlichen Alphet Σ von Eingesymolen. Der Üerführungsfunktion δ : Z Σ 2 Z. Der Menge der Strtzustände Z strt Z. Der Menge der Endzustände Z end Z. Frnk Heitmnn 4/7 Frnk Heitmnn 42/7 Der nichtdeterministische, endliche Automt Üerführungsfunktion und Rechnung Definition (NFA - Alterntive) Ein nichtdeterministischer, endlicher Automt (NFA) ist ein 5-Tupel A = (Z, Σ, K, Z strt, Z end ) mit: Der endlichen Menge von Zuständen Z. Dem endlichen Alphet Σ von Eingesymolen. Der Zustndsüergngsreltion K Z Σ Z Der Menge der Strtzustände Z strt Z. Der Menge der Endzustände Z end Z. Definition (Erweiterte Üerführungsfunktion) Die erweiterte Üerführungsfunktion ˆδ : 2 Z Σ 2 Z wird für lle Z Z, x Σ und w Σ rekursiv definiert durch ˆδ(Z, λ) := Z ˆδ(Z, xw) := z Z ˆδ(δ(z, x), w), z z ˆδ({z }, ) = ˆδ({z }, ) = ˆδ({z, z }, ) = ˆδ({z, z }, λ) ˆδ(, λ) = {z, z } Frnk Heitmnn 43/7 Frnk Heitmnn 44/7

12 Üerführungsfunktion und Rechnung Definition (Konfigurtion) Eine Konfigurtion eines NFA A ist ein Tupel (z, w) Z Σ mit der Bedeutung, dss A im Zustnd z ist und noch ds Wort w zu lesen ist. 2 Ein Konfigurtionsüergng ist dnn (z, w) (z, v) gdw. w = xv, x Σ und z δ(z, x) ist. Wichtige Anmerkung Achtung: Anders ls eim DFA gehen hier ei der Konfigurtion Informtionen verloren! Ein NFA knn sozusgen in mehreren Konfigurtionen gleichzeitig sein. Der Sinn hier ist, dss mn üer estimmte Rechnungen ähnlich wie eim DFA sprechen will. Frnk Heitmnn 45/7 Üerführungsfunktion und Rechnung Definition (Rechnung) Eine Rechnung uf dem Wort w Σ ist eine Folge von Konfigurtionsüergängen, die in (z, w) mit z Z strt eginnt. 2 Endet die Rechnung in (z, λ) und ist z Z end, so ist dies eine Erfolgsrechnung. 3 Existiert uf einem Eingewort w eine Erfolgsrechnung, d.h. git es eine Rechnung, die in (z, w) mit z Z strt eginnt und in (z e, λ) mit z e Z end endet, dnn wird w kzeptiert. Frnk Heitmnn 46/7 Akzeptierte Sprche Ein Beispiel, Definition (Akzeptierte Sprche) Die von einem NFA A kzeptierte Sprche ist die Menge L(A) := {w Σ ˆδ(Z strt, w) Z end } = {w Σ (z, w) (z e, λ), z Z strt, z e Z end } z z Alle möglichen Rechnungen uf dem Wort : (z, ) (z, ) (z, ) lockiert (z, ) (z, ) (z, ) (z, λ) lehnen (z, ) (z, ) (z, ) (z, λ) kzeptieren! D es (mindestens) eine kzeptierende Rechnung git, kzeptiert der Automt die Einge! Frnk Heitmnn 47/7 Frnk Heitmnn 48/7

13 Üerführungsfunktion und Rechnung Frgen... Anmerkung, Mn knn die erweiterte Üerführungsfunktion uch wie folgt definieren: ˆδ(Z, λ) := Z, z z z2 Ws ist ˆδ({z }, )? ˆδ(Z, xw) := ˆδ( z Z δ(z, x), w) Diese Drstellung ht den Vorteil, dss sich im ersten Argument die Menge der isher erreichten Zustände smmelt. z 2 2 {z 2 } 3 {z, z 2 } 4 {z, z } 5 {z, z, z 2 } Frnk Heitmnn 49/7 Frnk Heitmnn 5/7 Frgen... Frgen...,, z z z2, Ws ist ˆδ({z }, )?, z z z2 z 2 2 {z 2 } 3 {z, z 2 } 4 {z, z } J! 2 Nein! Git es eine Rechnung uf, ei der A lockiert? 5 {z, z, z 2 } Frnk Heitmnn 5/7 Frnk Heitmnn 52/7

14 Frgen... Zur Nchereitung, z z, z2 Welche Sprche kzeptiert dieser NFA? {, } {}{, } 2 {, }{}{, } 3 {, } {}{, } Zur Nchereitung Richtige Antworten sind: {, }{}{, } Frnk Heitmnn 53/7 Frnk Heitmnn 54/7 Äquivlenz? Die Idee Ausgehend von der Areitsweise eines NFA mcht es Sinn Anmerkung Jeder DFA knn uch ls spezieller NFA gesehen werden, indem mn δ N (z, x) = {δ D (z, x)} und Z strt = {z } setzt (δ N ist die Üerführungsfunktion des NFA, δ D die des DFA). Alterntiv geht uch: K := {(z, x, z ) z Z, x Σ, z = δ(z, x)} Aer geht ds uch ndersherum?? Frnk Heitmnn 55/7 Sich die Zustände, in denen der NFA nch Lesen eines Teilwortes sein knn, zu merken (z.b. in einer Menge). Aufgrund der Akzeptnzedingung eines NFA Sollten wir genu dnn kzeptieren, wenn in der gemerkten Menge ein Endzustnd uftritt. Erinnern wir uns n die Konstruktionsmethoden von vorhin: Ist Z = n, so git es 2 n Teilmengen von Z. Dies sind endlich viele! Wir hen lso nur endliche viele Informtionen, die wir uns merken müssen! Die Endzustände sind dnn leicht ruszufinden. Die Üergngsfunktion (des DFA) knn dnn fst so wie ˆδ (des NFA) definiert werden. Frnk Heitmnn 56/7

15 Der Potenzutomt Der Potenzutomt - Anmerkungen Stz Zu jeder von einem NFA A kzeptierte Menge L knn ein DFA B konstruiert werden mit L(B) = L. Die Konstruktion Sei A = (Z, Σ, δ, Z strt, Z end ) der NFA. Wir definieren B = (Z, Σ, δ, z, Z end ) mit Z := 2 Z 2 Σ := Σ 3 δ (M, x) := z M δ(z, x) oder lterntiv δ (M, x) := z M {z Z (z, x, z ) K 4 z := Z strt 5 Z end := {M 2Z M Z end } Frnk Heitmnn 57/7 Anmerkungen zur Konstruktion: Z ist die Menge ller Teilmengen von Z. Ds Eingelphet wird üernommen. Strtzustnd des DFA ist gerde die Menge der Strtzustände des NFA (denn in einem dieser Zustände strtet j jedes Rechnung des NFA). Endzustände des DFA sind ll jene Mengen, die mindestens einen Endzustnd des NFA enthlten (denn, wenn wir uns in der Menge merken, wo der NFA gerde potentiell sein könnte und dort ein Endzustnd dei ist, dnn kzeptieren wir j!) Die Üerführungsfunktion geht lle Zustände in der ktuellen Menge durch, schut, wo wir von dort mit dem ktuellen Symol hinkommen und tut ll die dei heruskommenden Zustände in eine Menge. Frnk Heitmnn 58/7 Der Potenzutomt - Ein Beispiel Der Potenzutomt - Ein Beispiel,,, z z z2, z z z2 Wir uen nur die initile Zusmmenhngskomponente und eginnen mit dem Strtzustnd: {z } Mit zu {z, z }, mit zu {z } {z } {z, z } Wohin gelngen wir mit einem? Wohin mit einem? Wohin nun von {z, z } mit und? Frnk Heitmnn 59/7 Frnk Heitmnn 6/7

16 Der Potenzutomt - Ein Beispiel, Der Potenzutomt - Ein Beispiel,, z z z2, z z z2 Es ist δ(z, ) = {z, z } und δ(z, ) = z 2 lso insgesmt δ ({z, z }, ) = {z, z, z 2 } und ähnlich für : Es ist δ(z, ) = {z } und δ(z 2, ) = lso insgesmt δ ({z, z 2 }, ) = {z } und ähnlich für : {z } {z, z } {z, z 2 } {z, z, z 2 } {z } {z, z 2 } {z, z } {z, z, z 2 } Wohin nun von {z, z 2 } mit und? Frnk Heitmnn 6/7 Und von {z, z, z 2 }? Frnk Heitmnn 62/7 Der Potenzutomt - Ein Beispiel,, z z z2 Es ist δ(z, ) = {z }, δ(z, ) = {z 2 } und δ(z 2, ) = lso insgesmt δ ({z, z, z 2 }, ) = {z, z 2 } und ähnlich für : Der Potenzutomt - Ein Beispiel Und fertig!,, z z z2 {z } {z, z 2 } {z, z } {z, z, z 2 } {z } {z, z 2 } {z, z } {z, z, z 2 } Endzustände? Frnk Heitmnn 63/7 Frnk Heitmnn 64/7

17 Der Potenzutomt - Korrektheit der Konstruktion Beweis. Wir zeigen per Induktion üer w, dss für jedes w Σ und M Z ˆδ (M, w) = ˆδ(M, w) Ind.-Anfng w =, d.h. w = λ. In diesem Fll ist ˆδ (M, w) = ˆδ(M, w) = M (wegen der Definition der erweiterten Üerführungsfunktion). Ind.-Annhme: Gelte die Aussge für Wörter der Länge n. Ind.-Schritt: Sei w Σ mit w = n +. Wir zerlegen w in xv (lso w = xv) mit x Σ. x ist lso ds erste Symol... Beweis. Fortsetzung des Induktionsschrittes: Nch den Definitionen der erweiterten Üerführungsfunktionen folgt nun ˆδ(M, xv) = ˆδ( z M δ(z, x), v) ˆδ (M, xv) = ˆδ (δ (z, x), v) = ˆδ ( z M δ(z, x), v) Letztere Gleichheit ufgrund der Definition von δ. Sei z M δ(z, x) = M. Nun gilt er v = n und dmit ist die Induktionsnnhme nwendr, d.h. es ist ˆδ (M, v) = ˆδ(M, v) und dmit insgesmt ˆδ (M, w) = ˆδ(M, w). Frnk Heitmnn 65/7 Frnk Heitmnn 66/7 Ds Ergenis Beweis. Aschluss des Beweises: Setzen wir für M die Menge Z strt zw. z ein (ws ds gleiche ist nch Konstruktion), so erhlten wir ˆδ (z, w) = ˆδ(Z strt, w) Nch Konstruktion und Definition der Akzeptnzedingung kzeptieren nun sowohl A ls uch B genu dnn, wenn in ˆδ (z, w) zw. ˆδ(Z strt, w) ein Endzustnd des NFA uftritt. D diese Mengen gleich sind, kzeptiert A folglich genu dnn, wenn B kzeptiert und dmit ist L(A) = L(B). Stz DFAs und NFAs sind äquivlente Automtenmodelle. Beide kzeptieren dmit die regulären Sprchen. Anmerkung Akzeptieren zwei DFAs A und A 2 die gleiche Sprche, gilt lso L(A ) = L(A 2 ), so sgt mn A und A 2 sind äquivlent. Eenso sprechen wir uch ei zwei Automten unterschiedlicher Automtenmodelle dvon, dss sie äquivlent sind, wenn sie die gleiche Sprche kzeptieren. Ist es so wie hier möglich zu jedem Automten des einen Modells einen äquivlenten Automten des nderen Modells zu kontruieren, so sgen wir, dss die Automtenmodelle äquivlent sind. Frnk Heitmnn 67/7 Frnk Heitmnn 68/7

18 Eine letzte Anmerkung... Zusmmenfssung Anmerkung Der Potenzutomt ht nch Konstruktion exponentiell mehr Zustände ls der NFA (2 Z im Vergleich zu Z ). Oft werden diese nicht lle gerucht, es git er Beispiele wo diese Zhl erreicht wird. Die hohe Zhl ist lso keine Schwäche der Konstruktion! Bemerkung Eine gute Näherung ht mn schon mit:,, z z z 2, z3 Wir hen heute: Zwei Konstruktionsmethoden für DFAs kennengelernt. NFAs kennengelernt. Gezeigt, dss DFAs und NFAs äquivlent sind. Dfür die Potenzutomtenkonstruktion kennengelernt und ewiesen. zw. Verllgemeinerungen dvon. Ein äquivlenter DFA für diese Sprche ht mindestens 2 n Zustände. Frnk Heitmnn 69/7 Frnk Heitmnn 7/7 Wichtige Begriffe und Techniken Wichtige Begriffe: NFA Anpssung der Begriffe vom DFA, Zustndsüergngsreltion Wichtige Techniken: Konstruktionsmethoden für DFAs (und NFAs) Potenzutomtenkonstruktion Idee einer Induktion üer die Wortlänge Frnk Heitmnn 7/7

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