(1 + o(1)) n ln(n) π(n) =

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1 Satz 164. (Euklid): Es gibt unendlich viele Primzahlen Beweis. (Widerspruch:) Angenommen, es gäbe nur k < viele Primzahlen p 1,...,p k. Es ist dann q := (p 1 p 2... p k ) + 1 eine Zahl, die nicht durch p 1,...p k teilbar ist. Es muss aber eine Darstellung von q als Produkt von Primzahlpotenzen geben - Widerspruch! Definition 165. π(n) := {p n : p ist prim} bezeichnet die Anzahl der Primzahlen kleiner oder gleich n. BSP: π(10) = 4, π(100) = 25, π(1000) = 168,... Satz 166. (Primzahlsatz) Für alle n N gilt: π(n) = (1 + o(1)) n ln(n) In der Praxis ignoriert man den o(1)-term meist, und schätzt π(n) direkt mit n/ln(n) ab. BSP: Es ist exp(10) 22062, ln(exp(10)) = 10, also gibt es etwa 2206 Primzahlen die kleiner als sind. Goldbach-Vermutung: Jede gerade Zahl > 3 lässt sich als Summe zweier Primzahlen ausdrücken. 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=7+5, 14= =11+5, 18=11+7, 20=13+7,... Vermutung: Es gibt unendlich viele Primzahlzwillinge, also Paare (p, p + 2), wobei p und p + 2 prim sind. (3,5), (5,7), (11,13), (17,19),... Primzahlzwillinge müssen die Form 6n 1, 6n + 1 haben. Anfang 2009 sind zwei Zahlen mit fast Dezimalstellen das grösste bekannte Zwillingspaar. Im Juli 2010 steht im wiki als derzeit grösste bekannte Paar von Primzahlzwillingen ± 1(= ± 1), das sind Zahlen mit Stellen. Fermat vermutete, er habe eine gute Methode gefunden, grosse Primzahlen zu finden: Definition 167. Eine Primzahl der Form p = 2 n + 1 für n N heisst Fermatsche Primzahl Natürlich sind nicht alle Zahlen der Form Primzahlen! BSP: 3 = 2 + 1, 5 = , 17 = sind prim, 9 = nicht. Definition 168. Eine Zahl F(n) = 2 2n + 1 mit n N, heisst n-te Fermatsche Zahl Satz 169. Eine Fermatsche Primzahl ist eine Fermatsche Zahl Beweis. (Widerspruch) Annahme, eine Fermatsche Primzahl enthalte im Exponenten einen ungeraden Faktor u : p = 2 u v +1 = 2 vu +1 = a u +1, mit a = 2 v. Für ungerade Exponenten (und nur für solche) kann man aber eine Zahl der Form a u + 1 zerlegen: a u + 1 = (a + 1) (a u 1 a u a 2 a + 1) Also ist p nicht prim - Widerspruch! 51

2 F(0) = 3, F(1) = 5, F(2) = 17, F(3) = 257, F(4) = sind prim. F(5) = = ist nicht prim (Euler, 1732) F(6) = * ist nicht prim (Landry, 1880) F(7) = * (Morrison/Brillhart, 1970) Auch für einige grösserer Fermatsche Zahlen sind Zerlegungen bekannt. Man vermutet inzwischen, das nur F(0),..., F(4) Primzahlen sind. Definition 170. Eine Primzahl p = 2 n 1 für ein n N heisst Mersenne-Primzahl Natürlich sind nicht alle Zahlen der Form Primzahlen! BSP: 3, 7, 63 sind prim, 15 nicht Für Mersenne-Zahlen lässt ist ein relativ einfacher, effizienter Primzahltest, der Lucas-Lehmer-Test, anwenden. Deswegen sind die grössten bekannten Primzahlen sind meistens Mersenne-Primzahlen. Gemeldet wurden 2008 zwei neue grösste bekannte Primzahlen: mit Stellen, und mit Stellen. Bei der Suche nach grossen Primzahlen werden seit 1951 Computer eingesetzt. Bis 1996 waren das idr einzelne (Super-)Computer, danach ein per Internet verteilt rechnendes System GIMPS (Great Internet Mersenne Prime Search), das die Leerlaufzeiten von Rechnern ausnutzt. Dem steht imzwischen etwas der Energiespargedanke entgegen. ( Primzahltests: brute force: Dividieren bis zum Wert der Wurzel Mit einem Sieb: Lukas-Lehmer-Test: Nur für Mersenne-Zahlen. (u.a. GIMPS)... Der Fermatscher Primzahltest beruht auf dem kleinen Fermatscher Satz. Er sagt aus, das eine Zahl n nicht prim ist, wenn für alle 1 < a < n nicht gilt a n 1 1 (mod n). Das ist nur eine hinreichende, keine notwendige Bedingung. Es gibt also zerlegbare Zahlen, die die obige Bedingung auch erfüllen. Auf einer Verfeinerung davon, die die Anzahl der zu prüfenden Faktoren herabsetzt, beruht auch der Lukas- Lehmer-Test, der dann für Zahlen mit einer einfachen und kleinen Primfaktorzerlegung gut funktioniert. Der Wahrscheinlichkeitstest nach Solovay-Strassen beruht auf einem Satz von Euler und liefert Eulersche Pseudoprimzahlen. Der Miller-Rabin-Test beruht auf einem Satz von Miller und liefert starke Pseudoprimzahlen. Lemma 171. Sei p ein Primzahl, k N, dann ist ϕ(p k ) = p k (1 1/p) Beweis. Es gibt p k Zahlen, die kleiner oder gleich p k sind. Von diesen wird p k genau von den Vielfachen von p geteilt. Davon gibt es genau p k 1. Also sind die teilerfremden Zahlen die Differenz: ϕ(p k ) = p k p k 1 = p k (1 1/p) Lemma 172. Sei n N, n > 1 mit folgender Primzahlzerlegung: Dann ist n = p m1 1 pm2 2...pm k k ϕ(n) = (p 1 1)p m1 1 1 (p 2 1)p m (p k 1)p m k 1 k 52

3 Beweis. direkt mit dem obigen Lemma. Satz 173. (Euler): Für alle natürlichen Zahlen n > 1 gilt für alle a mit n > a > 0 und ggt(n, a) = 1: Für Primzahlen gilt natürlich ϕ(p) = p 1 a ϕ(n) 1 (mod n) Satz 174. ( kleiner Fermat ): Für alle natürlichen Zahlen p > 1 gilt: p ist eine Primzahl m Z p {0}: m p 1 1 (mod p) Beweis. ( :) aus der Bemerkung und dem Satz von Euler ( :) Sei q ein beliebiger Teiler von p, dann gibt es k, l mit q p 1 = 1 + k p, und l q = p, also q p 1 1 = k l q. Das kann nur für q = 1 allgemein gelten, also ist p prim. Beispiel: p = 4, Z p = {0,1,2,3}, 1 3 = 1, 1 1 (mod 4) 2 3 = 8, 8 0 (mod 4) 3 3 = 27, 27 3 (mod 4) Beispiel: p = 5, Z p = {0,1,2,3,4}, 1 4 = 1, 1 1 (mod 5) 2 4 = 16, 16 1 (mod 5) 3 4 = 81, 81 1 (mod 5) 4 4 = 256, (mod 5) 4.4 Polynome Definition 175. Sei K ein Körper, n N und a 0,...a n K, dann ist ein Polynom vom Grad n (deg(p) = n) über K p(x) := a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 p(x) = x 2 53

4 p(x) = x 3 p(x) = x 3 + x 2 Definition 176. Sie p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0. Dann ist diese Darstellung nennt man Horner-Schema p(x) = (((...(a n x + a n 1 ) x + a n 2 ) x + a n 3 )... + a 1 ) x + a 0 Das Horner-Schema ist mit folgendem Algorithmus zu berechnen: INPUT: x enthalten den Argumentwert, das Array a[] die Koeffizienten. OUTPUT: Der Wert p(x) in der Variable p p = a[n]; for (i=n; i>0 ; i = i-1) { p = p*x + a[i-1] } Man kann p(x) für ein x also in O(n) Schritten auswerten. Definition 177. Für zwei Polynome p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 und q(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0 und k := max(m, n) ist (mit entsprechend ergänzten Koeffizienten) 1. (p + q)(x) := p(x) + q(x) = (a k + b k )x k (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ), 2. (p q)(x) := p(x) q(x) = (a k b k )x k (a 1 b 1 )x + (a 0 b 0 ), und 3. (pq)(x) := p(x) q(x) = c (m+n) x (m+n) + c (m+n) 1 x (m+n) c 1 x + c 0. Für i = 0,...,n + m ist dabei c i := j=0,...,i a jb i j 54

5 Satz 178. Seien a(x), b(x) zwei Polynome, und b(x) 0. Dann gibt es eindeutig bestimmte Poynome q(x) und r(x) mit 1. a(x) = q(x)b(x) + r(x) 2. r(x) = 0 oder deg(r) < deg(b) Beweis. (1. Existenz:) Falls deg(b) > deg(a) ist offenbar mit r := a,a = 0 q + a der Satz erfüllt. Wir betrachten also nur noch deg(a) deg(b) und machen eine Induktion nach deg(a): IA: deg(a) = 0 = deg(b) => a = a 0 und b = b 0 sind konstant. Damit erfüllt q(x) = a 0 /b 0 und r(x) = 0 die Erwartungen. IS: deg(a) > 0, deg(b) deg(a), und sei a(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 und b(x) = b m x m + b m 1 x m b 1 x + b 0. Sei weiter s(x) := a(x) (a n /b m )x n m b(x) Dafür gibt es nach IV eine Darstellung s(x) = t(x)b(x) + r(x). Es ist dann also a(x) = s(x) + (a n /b m )x n m b(x) = t(x)b(x) + (a n /b m )x n m b(x) + r(x) = (t(x) + (a n /b m )x n m )b(x) + r(x), wir haben also eine Darstellung für a(x) als Produkt mit Rest wie im Satz gefunden. Beweis. (2. Eindeutigkeit:) Angenommen. es gäbe zwei Darstellungen der o.g. Form, also a(x) = q 1 (x)b(x)+r 1 (x) = q 2 (x)b(x) + r 2 (x) Dann gilt auch (q 1 q 2 )b = r 2 r 1 Wenn q 1 q 2 0, ist deg((q 1 q 2 )b) deg(b). Es ist aber deg(r 2 r 1 ) < deg(b) Widerspruch! Die Polynome q und r aus dem obigen Satz lassen sich in O(n 2 ) Schritten bestimmen. Man kann die Begriffe teilt und Teiler ganz kanonisch auf Polynome erweitern, damit auch die gesamte Modulo- Rechung, und auch den ggt zweier Polynome mit dem Euklidischen Algorithmus bestimmen Nullstellen Definition 179. Für ein Polynom p(x) heisst ein Wert x 0 mit p(x 0 ) = 0 Nullstelle von p. Für lineare Polynome ist das einfach: x a = 0 x = a Für quadratische Polynome kann man eine Formel herleiten ax 2 + bx + c = 0 x 2 + (b/a)x + c/a = 0 wird mit Umbenennung p := b/a und q := c/a zu der normierten Form x 2 + px + q = 0 Lösung durch quadratische Ergänzung: Man überlegt, das man eine Gleichung der Form (x + s) 2 = 0 durch einfaches Ziehen der Wurzel lösen kann Mit dem Ansatz über (x + s) 2 = x 2 + 2sx + s 2 identifiziert man p = 2s also s 2 = (p/2) 2. Damit: x 2 + px + q = 0 x 2 + px = q, ergänze (p/2) 2 55

6 (x + p/2) 2 = +(p/2) 2 q x + p/2 = ± (p/2) 2 q x 1 = p/2 + (p/2) 2 q, x 2 = p/2 (p/2) 2 q Für (reduzierte) kubische Polynome gibt es auch - kompliziertere - Formeln, die Cardanischen Formeln. Auch für Polynome vierten Grades gibt es noch Formeln, für allgemeinere Polynome höheren Grades sind nur noch für Spezialformen Formeln bekannt. ( Man kann aber die Schwierigkeit reduzieren, wenn man schon eine Nullstelle kennt: Wenn x 1 eine Nullstelle von p(x) ist, dann gibt es ein Polynom q(x) mit deg(q) = deg(p) 1, und p(x) = (x x 1 )q(x), und die weiteren Nullstellen von p und q stimmen überein. Satz 180. Ein Polynom p 0 über R hat höchstens deg(p) Nullstellen. Beweis. (Induktion über deg(p)) IA: deg(p) = 0, also p(x) konstant ungleich 0 - ok. IS: Sei deg(p) = n > 0. Hat p keine Nullstelle, ist der Satz erfüllt. Hat p eine Nullstelle p 0, so gibt es Polynome q, r mit p = q(x p 0 ) + r, und deg(r) < deg(x p 1 ) = 1, also deg(r) = 0. r ist also konstant, und für x = p 0 liefert die Gleichung dann 0 = 0 + r, also ist r = 0. Damit ist p = q(x p 0 ), und deg(q) = deg(p) 1, und q hat nach IV maximal n 1 Nullstellen. Satz 181. (Fundamentalsatz der Algebra) Über den komplexen Zahlen zerfällt jedes Polynom vollständig in lineare Faktoren. Satz 182. (Fundamentalsatz der Algebra, formaler:) Ein Polynom p vom Grad n über den komplexen Zahlen C hat genau n komplexe Nullstellen. Der Satz wird mit Mitteln der Funktionentheorie oder der Algebra beweisen, siehe dort. Die Nullstellen müssen dabei nicht unbedingt verschieden sein, sie können mit einer gewissen Häufigkeit auftreten Sind die Nullstellen p 1,...p n, und ist p normiert, so ist p(x) = (x p 1 )(x p 2 )...(x p n ). Ist p nicht normiert, kommt noch der höchste Koeffizient als konstanter Faktor im Produkt dazu. Beispiele: x 3 7x x 9= (x 1)(x 2 6x + 9)= (x 1)(x 3)(x 3) x 2 + 1= (x + i)(x i) Partialbruchzerlegung Definition 183. Für zwei Polynome p, q ist eine Partialbruchzerlegung eine Darstellung des Quotienten p/q als Summe von Brüchen, bei denen die Nenner Potenzen von linearen Funktionen sind. Im Komplexen gilt genauer: Ist für geeignete k,m 1,...m k, a 1,...a k q(x) = (1 a 1 x) m1 (1 a 2 x) m2...(1 a k x) m k, und ist deg(p) < deg(q), so gibt es Polynome r 1,...r k mit deg(r 1 ) < m i und p(x) q(x) = r 1 (x) (1 a 1 x) r k (x) m1 (1 a k x) m k Funktionsapproximation Satz 184. (Approximationssatz von Weierstraß:) Jede stetige Funktion läßt sich auf einem kompakten Intervall gleichmäßig durch Polynome approximieren. Karl Weierstraß - z.b. ist Approximation über Taylorpolynome möglich. 56

7 sin(x) = x2n+1 n=0 ( 1)n (2n+1)! Da Polynome stark oszillieren, nimmt man auch gern Polynomstückchen zur Funktionsinterpolation, und setzt die Gesamtfunktion daraus zusammen: Ein Spline n-ten Grades ist eine stückweise aus Polynomen mit maximalem Grad n zusammengesetzte Funktion. An die Stellen, an denen zwei Polynomstücke zusammenstoßen werden dabei noch bestimmte Bedingungen z.b. bezüglich der Differenzierbarkeit gestellt. Was macht Funktionsapproximationen eigentlich interessant? Manchmal hat man gar keine Funktionen, sonder nur Messwerte. Zu gegebenen Paaren (x,p(x)) kann man ein geeignetes Polynom p recht einfach berechnen. Manchmal sind die Approximationen gutmütiger, und hinreichend für die Modellierung eines Problems. Der Algorithmus von Strassen und Schönhage macht sich eine Umwandlung des Problems in einen andere Struktur zunutze, er benutzt die schnelle diskrete Fourier-Transormation (DFT). Die prinzipielle Idee dabei ist folgende: Man kann eine Funktion, z.b. ein Polynom, durch eine Funktionalgleichung angeben. Viele Funktionen kann man aber auch eindeutig dadurch bestimmen, das man geeignete Paare von Werten und Funktionswerten (SStützstellen") angibt. Insbesondere Polynome vom Grad n sind eindeutig bestimmt, wenn man n solcher Paare angibt. Bei der FFT sind die Stützstellen idr Einheitswurzeln. Die Eindeutigkeit erlaubt auch eine Rücktransformation der Darstellung in die ursprüngliche Form. Nützlich ist das dann, wenn man zu einer schwierigen Operation o auf der Originaldarstellung eine aequivalente, effiziente Operation o auf der Transformierten findet. Dann kann man statt Aufgabe o Lösung folgenden Weg realisieren: Aufgabe DFT DFT(Aufgabe) o DFT(Lösung) IDFT Lösung Damit läßt sich z.b die Multiplikation zweier Polynome vom Grad n in O(nlog(n)) Zeit berechnen. Die FFT wird auch sehr erfolgreich in der Signalverarbeitung und anderen Bereichen verwendet. Definition 185. Für n N heissen die n verschiedenen komplexen Nullstellen 1, ω,ω 2,...,ω n 1 der Polynome x n 1 n-te Einheitswurzeln, ω heisst dann n-te Einheitswurzel Satz 186. In C ist für jedes n = 0,1,2,... ω = exp(2πi/n) eine n-te Einheitswurzel. Beweis. exp(2πi/n) n = exp(2πi) = 1 57