$Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die
|
|
- Franziska Beckenbauer
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 $Id: reell.tex,v /10/28 14:16:56 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen Wir wollen diese Vorlesung mit den reellen Zahlen beginnen, diese sind die normalen Zahlen und man kann sie sich etwa als alle abbrechenden und nicht abbrechenden Dezimalzahlen denken. Wir werden einige der Grundeigenschaften der reellen Zahlen hier herleiten, dies geschieht nicht weil an diesen irgendein Zweifel besteht sondern um die in der Mathematik verwendeten Beweismethoden an einigen einfachen Beispielen vorzuführen. Mathematik ist keine empirische Wissenschaft, man kann mathematische Aussagen nicht durch Versuche oder die Erhebung irgendwelcher Daten begründen, es steht nur ein rein deduktives Vorgehen zur Verfügung. Eine solche deduktive Begründung einer mathematischen Aussage nennt man dann einen Beweis derselben. 1.1 Die Arithmetik der reellen Zahlen Auf den reellen Zahlen sind zwei Grundrechenarten gegeben, zu je zwei reellen Zahlen x, y sind eine Summe x + y und ein Produkt x y definiert. Dabei sind Summe und Produkt selbst wieder reelle Zahlen. Dass bei den Grundrechenarten Subtraktion und Division erst einmal fehlen ist beabsichtigt, diese zählen wir nicht zu den vorgegebenen Grundoperationen sondern wir werden sie definieren. Wie gesagt wollen wir einige Grundrechenregeln der reellen Zahlen beweisen. Es gibt drei verschiedene grundsätzliche Beweismethoden, die wir auch alle kennenlernen werden, und die am häufigsten angewandte Methode ist der sogenannte direkte Beweis. Bei diesem wird eine Kette von Folgerungen hingeschrieben die mit der zu beweisenden Aussage endet. Man kann dabei nicht alle Rechenregeln beweisen, man braucht ja irgendwelche bereits feststehenden Tatsachen mit denen die Folgerungskette beginnen kann. Diese Grundannahmen mit denen alles anfängt und deren Wahrheit man von vornherein annimmt, werden in diesem Zusammenhang Axiome genannt, bei den reellen Zahlen haben wir dann die Axiome der reellen Zahlen. In der Auswahl dieser Axiome liegt eine gewisse Willkür, es gibt aber einen üblichen Satz von Axiomen die wir auch hier verwenden wollen. Insgesamt handelt es sich um 16 Axiome die der Übersichtlichkeit halber in vier Gruppen aufgeteilt werden. Die erste dieser Gruppen sind die Axiome für Addition und Multiplikation und diese werden als die sogenannten Körperaxiome bezeichnet, das Wort Körper hat hier aber nichts mit irgendwelchen geometrischen Objekten zu tun. Wir listen die Körperaxiome jetzt auf: Die Körperaxiome: (A1) Das Assoziativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt (x + y) + z = x + (y + z). 1-1
2 (A2) Das Kommutativgesetz der Addition: Für alle reellen Zahlen x, y gilt x + y = y + x. (A3) Es gibt eine reelle Zahl 0, genannt Null, mit 0 + x = x für jede reelle Zahl x. (A4) Für jede reelle Zahl x gibt es eine reelle Zahl x, genannt das additive Inverse von x, mit ( x) + x = 0. (M1) Das Assoziativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt (x y) z = x (y z). (M2) Das Kommutativgesetz der Multiplikation: Für alle reellen Zahlen x, y gilt x y = y x. (M3) Es gibt eine reelle Zahl 1, genannt Eins, mit 1 0 und 1 x = x für jede reelle Zahl x. (M4) Für jede reelle Zahl x mit x 0 existiert eine reelle Zahl x 1, genannt das multiplikative Inverse von x, mit x 1 x = 1. (D) Das Distributivgesetz: Für alle reellen Zahlen x, y, z gilt x (y + z) = x y + x z. Im Distributivgesetz, und natürlich auch sonst, verwenden wir hier die übliche Konvention Punkt vor Strich. Diese ist allerdings kein Axiom, ja nicht einmal eine mathematische Aussage, sondern nur eine Frage der Notation. Auch Multiplikationszeichen werden wir im Folgenden meist weglassen. Im Axiom (M3) ist es übrigens wirklich notwendig 1 0 zu fordern, lassen wir diese Bedingung weg, so könnte Null die einzige reelle Zahl sein. Aus den Körperaxiomen kann man alle arithmetischen Rechenregeln folgern, wenn man so will beschreiben die Körperaxiome genau das normale Rechnen. Die Körperaxiome sind auch weitgehend minimal, d.h. man kann, mit einer Ausnahme, keines dieser Axiome aus den anderen Axiomen herleiten. Die einzige Ausnahme ist das Kommutativgesetz der Addition, dieses folgt aus den restlichen Axiomen. Wir werden hier exemplarisch einige Rechenregeln für die reellen Zahlen beweisen, und beginnen mit der für jede reelle Zahl x gültigen Regel ( x) = x. Beachte das wir hier kein x bestimmen müssen, dies ist keine Gleichung die es aufzulösen gilt. Gemeint ist das wann immer wir für x eine reelle Zahl einsetzen so entsteht eine wahre Aussage, es gelten also beispielsweise ( 1) = 1, ( 127, 53) = 127, 53 und so weiter. Wir behaupten also: 1-2
3 (F1) Für jede reelle Zahl x gilt ( x) = x. Das F1 soll dabei für Folgerung 1 stehen, dies ist keine feststehende Bezeichnung dieser Aussage sondern nur ein temporärer Name für die Zwecke dieses Abschnitts. Wie schon gesagt bedarf jede mathematische Aussage eines Beweises, und einen solchen wollen wir nun vorführen. Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Dann ist ( x) (A3) = 0 + ( ( x)) (A2) = ( ( x)) + 0 (A4) = ( ( x)) + (( x) + x) (A1) = (( ( x)) + ( x)) + x (A4) = 0 + x (A3) = x. Wir wollen diesen Beweis jetzt noch etwas kommentieren und zunächst die Verwendung von Variablen erläutern. Im normalen Sprachgebrauch ist eine Variable eine Größe deren Wert sich im Laufe der Zeit oder in Abhängigkeit anderer Größen ändert, aber in der Mathematik wird das Wort Variable in einem etwas anderen Sinne verwendet. Nehmen wir etwa die Variable x im Lemma. Diese wurde mit Sei x eine reelle Zahl eingeführt, und dies meint das wir uns eine reelle Zahl nehmen und dieser den Namen x geben. Diese Zahl ändert sich dann im folgenden nicht, der Wert von x ist nicht etwas variables und es ist beispielsweise völlig sinnlos so etwas wie Sei x := 3 sagen zu wollen, man könnte allerhöchstens den Fall betrachten das x gleich 3 ist. Variablen in der Mathematik sind nur Namen für mathematische Objekte und keine sich ändernden Größen, die Namensgebung Variable kommt daher das etwa unsere Variable x ein Name für eine völlig beliebige reelle Zahl ist, die Variabilität liegt in den potentiell möglichen Werten für x aber eben nicht im gewählten Wert selbst. Dies weicht vom üblichen Sprachgebrauch etwas ab, aber daran muss man sich letztlich gewöhnen. Es gibt einige, wenige Ausnahmen zum oben gesagten, beispielsweise die Integrationsvariable in einem bestimmten Integral wie 1 0 x 2 dx. Das Symbol x ist hier eine echte Variable, man spricht hier auch von einer formalen Variablen. Derartige Variablen treten immer nur in gebundener Form auf, beispielsweise gibt es das x im obigen Integral nur innerhalb des Integranden, Formeln wie x 2 /2 = 1 x dx sind weder wahr noch falsch sondern nur unsinnig. Ein weiteres 0 Beispiel für formale Variablen kommt in unserer Behauptung Für jede reelle Zahl x ist ( x) = x vor, das x ist hier in der Allaussage gebunden. Jede Variable muss eingeführt werden, insbesondere müssen wir in unserem Beweis die Variable x einführen und dies geschieht mit dem einleitenden Satz Sei x eine reelle Zahl. Die eigentliche Rechnung im Beweis ist dann nur eine Abfolge von Anwendungen der Axiome. Dass wir dabei bei jedem Schritt angeben welches Axiom jeweils verwendet 1-3
4 wird ist eher unüblich, dies ist jetzt nur als Hilfestellung zum Anfang gedacht, später wird dann etwas mehr eigenes Mitdenken erwartet. Nicht alle mathematischen Aussagen sind einfach Gleichungen, häufiger sind Implikationen also Aussagen des Typs wenn irgendetwas gilt, so gilt auch etwas anderes. Als ein Beispiel für eine solche Aussage nehmen wir: (F2) Seien x, y, z drei reelle Zahlen mit x + z = y + z. Dann ist auch x = y. Beweis: Seien also x, y, z drei reelle Zahlen und es gelte x + z = y + z. Dann folgt auch x (A3) = 0 + x (A2) = x + 0 (A4) = x + (( z) + z) (A2) = x + (z + ( z)) (A1) = (x + z) + ( z) = (y + z) + ( z) (A1) = y + (z + ( z)) (A2) = y + (( z) + z) (A4) = y + 0 (A2) = 0 + y (A3) = y. Auch hier sind wieder einige Kommentare angebracht. Wir haben den Beweis wieder mit Seien x, y, z... begonnen, da Variablen nun einmal eingeführt werden müssen. Andererseits werden x, y, z auch in der Formulierung von (F2) eingeführt, diese beginnt ja ebenfalls mit Seien x, y, z drei reelle Zahlen, und es ist eine übliche Konvention in solchen Fällen die Variablen stillschweigend aus der Formulierung der zu beweisenden Aussage zu übernehmen. Selbiges trifft auch auf die sonstigen Annahmen, bei (F2) ist dies x + z = y + z, zu, man kann den Beweis also verkürzen und den ersten Satz einfach weglassen. In den allermeisten Fällen werden wir im Folgenden dieser Konvention folgen. Dies werden wir aber nicht tun wenn die Aussage explizit als Allaussage formuliert ist, wenn also (F2) beispielsweise in der Form Für alle reellen Zahlen x, y, z mit x + z = y + z ist auch x = y formuliert wäre, dann denken wir uns x, y, z in der Aussage gebunden und müssten sie dann im Beweis wieder einführen. Weiter sehen wir an diesem Beweis das es allmählich lästig wird immer wieder alles auf die Axiome zurückzuführen, einige Argumente wiederholen sich dabei ständig, wie etwa oder (F3) Für jede reelle Zahl x ist x + 0 = x (F4) Für jede reelle Zahl x ist x + ( x) = 0. Benutzt man diese Hilfsaussagen anstelle der Axiome selbst, so kann man den obigen Beweis zu x = x+0 = x+(z+( z)) = (x+z)+( z) = (y+z)+( z) = y+(z+( z)) = y+0 = y 1-4
5 verkürzen. Eine weitere Verkürzung ergibt sich indem das Assoziativgesetz (A1) in Notation umgesetzt wird, das Axiom besagt ja das die Klammerung bei Addition keine Rolle spielt, und wenn sie keine Rolle spielt kann man sie auch gleich weglassen, man schreibt also x+y+z statt (x+y)+z, und entsprechend für vier und mehr Summanden. Mit dieser Konvention kann man den Beweis noch etwas einfacher schreiben x = x + 0 = x + z + ( z) = y + z + ( z) = y + 0 = y. Entsprechendes gilt für die Multiplikation, es kommen allerdings einige kleine Komplikationen hinzu da die Null kein multiplikatives Inverses hat. Klar oder analog zu (F2) sind (F5) Für jede reelle Zahl x ist x 1 = x. (F6) Für jede reelle Zahl x mit x 0 ist x x 1 = 1. (F7) Sind x, y, z reelle Zahlen mit x z = y z und z 0, so ist x = y. Die multiplikative Form von (F1) ist etwas komplizierter (F8) Ist x 0 eine reelle Zahl, so ist auch x 1 0 und (x 1 ) 1 = x. In der Tat brauchen wir zum Beweis dieser Aussage eine weitere Hilfsaussage, nämlich (F9) Für jede reelle Zahl x gilt 0 x = 0. Diese harmlos aussehende Behauptung ist tatsächlich die erste Stelle an der wir das Distributivgesetz benötigen, alle unsere bisherigen Beweise sind mit den ersten acht Axiomen ausgekommen. Der Beweis von (F9) kann beispielsweise folgendermaßen geführt werden: Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Dann gilt 0 x + 0 = 0 x (A3) = (0 + 0) x (D) = 0 x + 0 x, und eine Anwendung von (F2) liefert 0 x = 0. Mit (F9) können wir jetzt endlich die Aussage (F8) einsehen. Beweis: Sei x eine reelle Zahl mit x 0. Da nach (M4) und (M3) dann x 1 x = 1 0 ist, aber nach (M3) auch 0 x = 0 gilt, muss x 1 0 sein. Weiter ist und mit (F7) folgt (x 1 ) 1 = x. (x 1 ) 1 x 1 = 1 = x x 1 Die Aussage (F9) hat zwei weitere wichtige Konsequenzen, die erste davon ist der Zusammenhang zwischen Multiplikation un dem additiven Inversen, dies meint die wohlbekannte Regel 1-5
6 (F10) Für jede reelle Zahl x ist x = ( 1) x. Beweis: Sei x eine reelle Zahl. Nach (F9) ist dann ( x) + x = 0 = 0 x = (( 1) + 1) x = ( 1) x + 1 x = ( 1) x + x, also haben wir x = ( 1) x nach (F2). Kommen wir zur letzten heute zu behandelnden Aussage der sogenannten Nullteilerfreiheit, dass also ein Produkt nur Null ist wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Der Beweis dieser Tatsache verwendet eine sogenannte Fallunterscheidung. (F11) Sind x, y zwei reelle Zahlen mit x y = 0, so ist x = 0 oder y = 0. Beweis: Seien also x, y reelle Zahlen mit x y = 0. Ist y = 0, so sind wir bereits fertig. Im anderen Fall nehmen wir dagegen y 0 an, und da nach (F9) auch 0 y = 0 = x y, mit y 0 gilt, liefert (F7) in diesem Fall x = 0. Beachte das das oder in (F11) ein einschließendes oder ist, d.h. es ist auch möglich das x = 0 und y = 0 gelten. Dies ist die in der Mathematik übliche Konvention, das Wort oder steht immer für die einschließende Version, in den erstaunlich seltenen Fällen in denen die ausschließende Version gemeint ist schreibt man explizit entweder... oder. Dies soll an Beispielen für Herleitungen von Rechenregeln erst einmal reichen. Wie schon bemerkt sind Subtraktion und Division keine eigenständigen Rechenoperationen, sondern sie können in Termen von Addition und Multiplikation definiert werden, sind also letztlich nur Schreibweisen. Für reelle Zahlen x, y definieren wir die Differenz von x und y als x y := x + ( y) und im Fall y 0 definieren wir den Quotienten von x durch y als x y := x y 1. Als eine Übungsaufgabe werden Sie zeigen, dass dann die üblichen Bruchrechenregeln gelten. Wie schon bemerkt ergeben sich aus den Körperaxiomen alle Rechenregeln für die Grundrechenarten. Hiermit sind allerdings nur die Gleichheiten gemeint, also Aussagen der Form =, bei Ungleichheiten sieht alles anders aus. Zum Beispiel reichen die Körperaxiome nicht aus um zu beweisen, man kann mit ihnen nicht einmal zeigen, dass es eine von Null und Eins verschiedene reelle Zahl gibt. 1-6
2 Die Körper-Axiome. I. Axiome der Addition (A.1) Assoziativgesetz. Für alle x, y, z R gilt (x + y)+z = x +(y + z).
17 Wir setzen in diesem Buch die reellen Zahlen als gegeben voraus. Um auf sicherem Boden zu stehen, werden wir in diesem und den folgenden Paragraphen einige Axiome formulieren, aus denen sich alle Eigenschaften
Mehr$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $
$Id: korper.tex,v 1.17 2012/05/10 12:25:27 hk Exp $ 4 Körper In der letzten Sitzung hatten wir den Körperbegriff eingeführt und einige seiner elementaren Eigenschaften vorgeführt. Insbesondere hatten wir
Mehr1 Modulare Arithmetik
$Id: modul.tex,v 1.11 2012/04/16 19:15:39 hk Exp $ $Id: gruppen.tex,v 1.11 2012/04/17 10:30:56 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.3 Restklassen Wir waren gerade damit beschäftigt eine Beispiele zum Rechnen
Mehr$Id: mengen.tex,v /11/16 20:09:23 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v /11/16 20:12:23 hk Exp hk $
$Id: mengen.tex,v.7 2008//6 20:09:23 hk Exp $ $Id: komplex.tex,v.2 2008//6 20:2:23 hk Exp hk $ I. Grundlagen 3 Mengen und Abbildungen 3.4 Vollständige Induktion und endliche Mengen Wir wollen noch ein
Mehr1 Modulare Arithmetik
$Id: modul.tex,v 1.10 2012/04/12 12:24:19 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.2 Euklidischer Algorithmus Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen a und b
Mehr1 Die reellen Zahlen. 1.2 Aussagen und Mengen. Mathematik für Physiker I, WS 2013/2014 Montag 4.11
$Id: reell.tex,v 1.18 2013/11/04 12:13:45 hk Exp hk $ 1 Die reellen Zahlen 1.2 Aussagen und Mengen Wir sind gerade damit beschäftigt den Mengenbegriff zu diskutieren und am Ende der letzten Sitzung hatten
Mehr1 Mengen und Aussagen
$Id: mengen.tex,v 1.2 2010/10/25 13:57:01 hk Exp hk $ 1 Mengen und Aussagen Der wichtigste Grundbegriff der Mathematik ist der Begriff einer Menge, und wir wollen damit beginnen die klassische, 1878 von
Mehr24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN
24 KAPITEL 2. REELLE UND KOMPLEXE ZAHLEN x 2 = 0+x 2 = ( a+a)+x 2 = a+(a+x 2 ) = a+(a+x 1 ) = ( a+a)+x 1 = x 1. Daraus folgt dann, wegen x 1 = x 2 die Eindeutigkeit. Im zweiten Fall kann man für a 0 schreiben
MehrLineare Algebra und analytische Geometrie I
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2015/2016 Lineare Algebra und analytische Geometrie I Vorlesung 3 Gruppen In der linearen Algebra wird im Allgemeinen ein Grundkörper K zugrunde gelegt, über den sich
Mehr1. Gruppen. 1. Gruppen 7
1. Gruppen 7 1. Gruppen Wie schon in der Einleitung erläutert wollen wir uns in dieser Vorlesung mit Mengen beschäftigen, auf denen algebraische Verknüpfungen mit gewissen Eigenschaften definiert sind.
Mehr$Id: gruppen.tex,v /04/19 12:20:27 hk Exp $
$Id: gruppen.tex,v 1.12 2012/04/19 12:20:27 hk Exp $ 2 Gruppen 2.1 Isomorphe Gruppen In der letzten Sitzung hatten unter anderen den Begriff einer Gruppe eingeführt und auch schon einige Beispiele von
Mehr$Id: reihen.tex,v /06/12 10:59:50 hk Exp $ unendliche Summe. a 1 + a 2 + a 3 +.
Mathematik für Informatiker B, SS 202 Dienstag 2.6 $Id: reihen.tex,v.8 202/06/2 0:59:50 hk Exp $ 7 Reihen Eine Reihe ist eine unendliche Summe a + a 2 + a 3 +. Die Summanden a i können dabei reell oder
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} Ganze Zahlen : Aus
MehrZahlen und elementares Rechnen (Teil 1)
und elementares Rechnen (Teil 1) Dr. Christian Serpé Universität Münster 6. September 2010 Dr. Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen (Teil 1) 6. September 2010 1 / 40 Gliederung
MehrVollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die kontinuierlich ablaufende Zeit.
Kapitel 4 Reelle Zahlen 4.1 Die reellen Zahlen (Schranken von Mengen; Axiomatik; Anordnung; Vollständigkeit; Überabzählbarkeit und dichte Mengen) Als typisches Beispiel für die reellen Zahlen dient die
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
Mathematik für Physiker I, WS 200/20 Freitag 0.2 $Id: folgen.tex,v. 200/2/06 :2:5 hk Exp $ $Id: reihen.tex,v. 200/2/0 4:4:40 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Cauchyfolgen Wir kommen nun
MehrReelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen
9 2. Vorlesung Reelle Zahlen, Gleichungen und Ungleichungen 4 Zahlenmengen und der Körper der reellen Zahlen 4.1 Zahlenmengen * Die Menge der natürlichen Zahlen N = {0,1,2,3,...}. * Die Menge der ganzen
MehrMathematik und angewandte Mathematik 1. HAK (1. Jahrgang) 1. AUL (1. Jahrgang) Mathematik und angewandte Mathematik 1. HLW (1.
Unterrichtsfach Lehrplan HAK: Mathematik und angewandte Mathematik 1. HAK (1. Jahrgang) 1. AUL (1. Jahrgang) Lehrplan HLW: Mathematik und angewandte Mathematik 1. HLW (1. Jahrgang) Lehrplan HTL: Mathematik
MehrZahlen und elementares Rechnen
und elementares Rechnen Christian Serpé Universität Münster 7. September 2011 Christian Serpé (Universität Münster) und elementares Rechnen 7. September 2011 1 / 51 Gliederung 1 2 Elementares Rechnen 3
Mehr3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.
3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es
Mehr$Id: folgen.tex,v /05/31 12:40:06 hk Exp $ an 1 2 n 1 ist gerade, 3a n 1 + 1, a n 1 ist ungerade.
$Id: folgen.tex,v. 202/05/3 2:40:06 hk Exp $ 6 Folgen Am Ende der letzten Sitzung hatten wir Folgen in einer Menge X als Abbildungen a : N X definiert, die dann typischerweise in der Form (a n ) n N, also
MehrZahlen und metrische Räume
Zahlen und metrische Räume Natürliche Zahlen : Die natürlichen Zahlen sind die grundlegendste Zahlenmenge, da man diese Menge für das einfache Zählen verwendet. N = {1, 2, 3, 4,...} bzw. N 0 = {0, 1, 2,
MehrGrundlagen der Mathematik
Universität Hamburg Winter 2016/17 Fachbereich Mathematik Janko Latschev Grundlagen der Mathematik Lösungsskizzen 2 Präsenzaufgaben (P2) Wir betrachten drei Teilmengen der natürlichen Zahlen: - A = {n
MehrWeitere Eigenschaften
Weitere Eigenschaften Erklärung der Subtraktion: x y := x + ( y) (5) Die Gleichung a + x = b hat die eindeutig bestimmte Lösung x = b a. Beweis: (a) Zunächst ist x = b a eine Lösung, denn a + x = a + (b
Mehr2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen
2.2 Konstruktion der rationalen Zahlen Wie wir in Satz 2.6 gesehen haben, kann man die Gleichung a + x = b in Z jetzt immer lösen, allerdings die Gleichung a x = b im allgemeinen immer noch nicht. Wir
MehrKapitel II. Algebraische Grundbegriffe
Kapitel II. Algebraische Grundbegriffe 1 Ringe und Körper Für das Rechnen in Z haben wir in Kap. I, 1 Regeln aufgestellt, welche auch in Q und R gelten. Damit werden Z, Q und R zu Ringen im folgenden Sinn:
Mehr7 Vektorräume und Körperweiterungen
$Id: vektor.tex,v 1.3 2009/05/25 15:03:47 hk Exp $ 7 Vektorräume und Körperweiterungen Wir sind gerade bei der Besprechung derjenigen Grundeigenschaften des Tensorprodukts, die mit vergleichsweise wenig
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
Mehr6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen
$Id: folgen.tex,v.7 200//29 :58:57 hk Exp hk $ 6 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 6. Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung hatten wir den Begriff der Konvergenz einer reellen oder komplexen Folge gegen
MehrMathematik und Logik
Mathematik und Logik 5. Übungsaufgaben 2006-11-21 1. Beweisen Sie, daß die Aussage allgemeingültig ist. A = A Beweis. Dies ist ein Spezialfall von (((A = B) = B) = B) = (A = B), was wir wie folgt beweisen.
MehrMathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010
Mathematik für Naturwissenschaftler I WS 2009/2010 Lektion 4 23. Oktober 2009 Kapitel 1. Mengen, Abbildungen und Funktionen (Fortsetzung) Berechnung der Umkehrfunktion 1. Man löst die vorgegebene Funktionsgleichung
Mehr2 ZAHLEN UND VARIABLE
Zahlen und Variable 2 ZAHLEN UND VARIABLE 2.1 Grundlagen der Mengenlehre Unter einer Menge versteht man die Zusammenfassung von unterscheidbaren Objekten zu einem Ganzen. Diese Objekte bezeichnet man als
MehrRationale, irrationale und reelle Zahlen. 4-E Vorkurs, Mathematik
Rationale, irrationale und reelle Zahlen 4-E Vorkurs, Mathematik Rationale Zahlen Der Grund für die Einführung der rationalen Zahlen ist der, dass wir mit ihnen auch Gleichungen der Form q x = p lösen
Mehr1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen
Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 13 1.2 Eigenschaften der ganzen Zahlen Dieser Abschnitt handelt von den gewöhlichen ganzen Zahlen Z und ihren Verknüpfungen plus und mal. Man kann die natürlichen
MehrTerme und Gleichungen
Terme und Gleichungen Rainer Hauser November 00 Terme. Rekursive Definition der Terme Welche Objekte Terme genannt werden, wird rekursiv definiert. Die rekursive Definition legt zuerst als Basis fest,
Mehr$Id: gruppen.tex,v /04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v /04/24 15:35:17 hk Exp $
$Id: gruppen.tex,v 1.13 2012/04/24 15:25:02 hk Exp $ $Id: ring.tex,v 1.11 2012/04/24 15:35:17 hk Exp $ 2 Gruppen 2.3 Zyklische Gruppen Wir hatten am Ende der letzten Sitzung bewiesen, dass in einer endlichen
MehrElemente der Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 1 Der Gruppenbegriff Definition 1.1. Eine Verknüpfung auf einer Menge M ist eine Abbildung : M M M, (x,y) (x,y) = x y. Statt (x,y)
MehrTechnische Universität München Zentrum Mathematik. Übungsblatt 7
Technische Universität München Zentrum Mathematik Mathematik (Elektrotechnik) Prof. Dr. Anusch Taraz Dr. Michael Ritter Übungsblatt 7 Hausaufgaben Aufgabe 7. Für n N ist die Matrix-Exponentialfunktion
Mehr2 RECHENGESETZE 2 auch dieses Rechengesetz gilt, wenn einmal bewiesen, natürlich vorwärts wie rückwärts, also gilt dann ebenfalls: Es folgt wieder der
1 DEFINITION DER POTENZIERUNG 1 Potenzgesetze 1 Definition der Potenzierung Wir definieren für eine rationale Zahl a und eine natürliche Zahl n die Potenzierung wie folgt: a n := a a a ::: a Diese Art
MehrDidaktische Grundlagen Arithmetik
Didaktische Grundlagen Arithmetik Vertiefung www.math-edu.de/dgarithmetikv Folien erstellt auf der Grundlage von: Köhler, Hartmut (Hrsg.). 2008. Kreative Ideenbörse Mathematik Sekundarstufe I, Ausgabe
Mehr1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3
Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende
MehrKonstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen
Konstruktion reeller Zahlen aus rationalen Zahlen Wir nehmen an, daß der Körper der rationalen Zahlen bekannt ist. Genauer wollen wir annehmen: Gegeben ist eine Menge Q zusammen mit zwei Verknüpfungen
Mehr5. Äquivalenzrelationen
5. Äquivalenzrelationen 35 5. Äquivalenzrelationen Wenn man eine große und komplizierte Menge (bzw. Gruppe) untersuchen will, so kann es sinnvoll sein, zunächst kleinere, einfachere Mengen (bzw. Gruppen)
MehrMathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen
Mathematik Quadratwurzel und reelle Zahlen Grundwissen und Übungen a : a a Stefan Gärtner 1999 004 Gr Mathematik elementare Algebra Seite Inhalt Inhaltsverzeichnis Seite Grundwissen Definition Quadratwurzel
MehrWiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen von Ungleichungen):
Prof. U. Stephan WiIng 1. Wiederholung von Äquivalenzumformungen (Lösen linearer Gleichungen): Bitte lösen Sie die folgenden Aufgaben und prüfen Sie, ob Sie Lücken dabei haben. Bestimmen Sie jeweils die
MehrÜber Polynome mit Arithmetik modulo m
Über Polynome mit Arithmetik modulo m Um den Fingerprinting-Satz über die Fingerabdrücke verschiedener Texte aus dem 37. Algorithmus der Woche ( http://www-i1.informatik.rwth-aachen.de/~algorithmus/algo37.php
Mehr2 Die Regeln der Algebra
15 2 Die Regeln der Algebra 2.1 Die reellen Zahlen Was versteht man unter reellen Zahlen? Die unendlichen Dezimalbrüche liefern eine ganz gute Vorstellung von ihnen, und das Rechnen mit solchen Dezimalbrüchen
MehrMathematische Strukturen
Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 18. April 2012 Logistik Dozent: Olga Holtz, MA 378, Sprechstunden Freitag 14-16 Webseite: www.math.tu-berlin.de/ holtz Email: holtz@math.tu-berlin.de
Mehr3 Vom Zählen zur Induktion
7 3 Vom Zählen zur Induktion 3.1 Natürliche Zahlen und Induktions-Prinzip Seit unserer Kindheit kennen wir die Zahlen 1,, 3, 4, usw. Diese Zahlen gebrauchen wir zum Zählen, und sie sind uns so vertraut,
Mehr3 Topologische Gruppen
$Id: topgr.tex,v 1.2 2010/05/26 19:47:48 hk Exp hk $ 3 Topologische Gruppen Als letztes Beispiel eines topologischen Raums hatten wir die Zariski-Topologie auf dem C n betrachtet, in der die abgeschlossenen
MehrDem Anschein nach werden diese Zahlen kleiner und kleiner und streben gegen Null. Was sollen sie sonst auch tun? Aber der Begriff
47 5 Irrationales 5.1 Folgen, Konvergenz und Vollständigkeit Eine Abbildung a : N R definiert eine Folge von reellen Werten a 1 = a(1), a 2 = a(2), a 3 = a(3),... Solche Zahlenfolgen werden uns dazu dienen,
MehrVorkurs: Mathematik für Informatiker
Vorkurs: Mathematik für Informatiker Teil 3 Wintersemester 2016/17 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler Wintersemester 2016/17 Inhaltsverzeichnis Teil 1 Teil
MehrDefinitions- und Formelübersicht Mathematik
Definitions- Formelübersicht Mathematik Definitions- Formelübersicht Mathematik Mengen Intervalle Eine Menge ist eine Zusammenfassung von wohlunterschiedenen Elementen zu einem Ganzen. Dabei muss entscheidbar
Mehr2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen
2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit
Mehr2 Rationale und reelle Zahlen
2 Rationale und reelle Zahlen 2.1 Körper Ein Körper ist eine Struktur der Form à = (K,0,1,+, mit einer Grundmenge K, zwei zweistelligen Operationen + und, für die die Körperaxiome gelten: (K1 (K, 0, +
Mehr01. Gruppen, Ringe, Körper
01. Gruppen, Ringe, Körper Gruppen, Ringe bzw. Körper sind wichtige abstrakte algebraische Strukturen. Sie entstehen dadurch, dass auf einer Menge M eine oder mehrere sogenannte Verknüpfungen definiert
MehrDezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule
Berufsfeldbezogenes Fachseminar - Zahlentheorie Lisa Laudan Prof. Dr. Jürg Kramer Wintersemester 2014/2015 Dezimaldarstellung ganzer Zahlen (Division mit Rest) 1 Division mit Rest in der Hochschule 1.1
MehrBrückenkurs Mathematik. Dienstag Freitag
Brückenkurs Mathematik Dienstag 29.09. - Freitag 9.10.2015 Vorlesung 2 Mengen, Zahlen, Logik Kai Rothe Technische Universität Hamburg-Harburg Mittwoch 30.09.2015 Mengen.................................
Mehr1 Algebraische Strukturen
Prof. Dr. Rolf Socher, FB Technik 1 1 Algebraische Strukturen In der Mathematik beschäftigt man sich oft mit Mengen, auf denen bestimmte Operationen definiert sind. Es kommt oft vor, dass diese Operationen
Mehr1.4 Homomorphismen und Isomorphismen
Algebra I 9. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 28 1.4 Homomorphismen und Isomorphismen Definition 1.4.1 Es seien (G, ) und (H, ) zwei Gruppen. Eine Abbildung ϕ : G H heißt (Gruppen-)Homomorphismus,
MehrBrückenkurs Mathematik 2015
Technische Universität Dresden Fachrichtung Mathematik, Institut für Analysis Dr.rer.nat.habil. Norbert Koksch Brückenkurs Mathematik 2015 1. Vorlesung Logik, Mengen und Funktionen Ich behaupte aber, dass
MehrKonstruktion der reellen Zahlen
Konstruktion der reellen Zahlen Zur Wiederholung: Eine Menge K (mit mindestens zwei Elementen) heißt Körper, wenn für beliebige Elemente x, y K eindeutig eine Summe x+y K und ein Produkt x y K definiert
MehrElementare Mengenlehre
Vorkurs Mathematik, PD Dr. K. Halupczok WWU Münster Fachbereich Mathematik und Informatik 5.9.2013 Ÿ2 Elementare Mengenlehre Der grundlegendste Begri, mit dem Objekte und Strukturen der Mathematik (Zahlen,
MehrTU8 Beweismethoden. Daniela Andrade
TU8 Beweismethoden Daniela Andrade daniela.andrade@tum.de 12.12.2016 1 / 21 Kleine Anmerkung Meine Folien basieren auf den DS Trainer von Carlos Camino, den ihr auf www.carlos-camino.de/ds findet ;) 2
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 25. April 2016 Die Dimensionsformel Definition 3.9 Sei f : V W eine lineare Abbildung zwischen zwei K-Vektorräumen. Der Kern
MehrVorkurs Mathematik. Vorlesung 8. Angeordnete Körper
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück WS 2009/2010 Vorkurs Mathematik Vorlesung 8 Angeordnete Körper Definition 8.1. Ein Körper K heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung auf K gibt, die die beiden Eigenschaften
MehrVektorräume und Lineare Abbildungen
Lineare Algebra Kapitel 9. Vektorräume Der Körper der reellen Zahlen Der Vektorraumbegriff, Beispiele Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit
MehrBrückenkurs Mathematik
Brückenkurs Mathematik 6.10. - 17.10. Vorlesung 1 Logik,, Doris Bohnet Universität Hamburg - Department Mathematik Mo 6.10.2008 Zeitplan Tagesablauf: 9:15-11:45 Vorlesung Audimax I 13:00-14:30 Übung Übungsräume
MehrAussagenlogik. Aussagen und Aussagenverknüpfungen
Aussagenlogik Aussagen und Aussagenverknüpfungen Aussagen sind Sätze, von denen sich sinnvollerweise sagen läßt, sie seien wahr oder falsch. Jede Aussage besitzt also einen von zwei möglichen Wahrheitswerten,
Mehr1 Axiomatische Charakterisierung der reellen. 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen. 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale
Kapitel I Reelle Zahlen 1 Axiomatische Charakterisierung der reellen Zahlen R 2 Angeordnete Körper 3 Die natürlichen, die ganzen und die rationalen Zahlen 4 Das Vollständigkeitsaxiom und irrationale Zahlen
MehrFrage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung?
8 Grundsätzliches zu Beweisen Frage 8.3. Wozu dienen Beweise im Rahmen einer mathematischen (Lehramts-)Ausbildung? ˆ Mathematik besteht nicht (nur) aus dem Anwenden auswendig gelernter Schemata. Stattdessen
Mehr5. Gruppen, Ringe, Körper
5. Gruppen, Ringe, Körper 5.1. Gruppen Die Gruppentheorie, als mathematische Disziplin im 19. Jahrhundert entstanden, ist ein Wegbereiter der modernen Mathematik. Beispielsweise folgt die Gruppe, die aus
MehrVorkurs Mathematik 1
Vorkurs Mathematik 1 Einführung in die mathematische Notation Konstanten i komplexe Einheit i 2 + 1 = 0 e Eulersche Zahl Kreiszahl 2 Einführung in die mathematische Notation Bezeichner Primzahlen, Zähler
MehrStefan Ruzika. 24. April 2016
Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz 24. April 2016 Stefan Ruzika 2: Körper 24. April 2016 1 / 21 Gliederung 1 1 Schulstoff 2 Körper Definition eines Körpers
Mehr8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen
Mathematik für Ingenieure II, SS 9 Dienstag 7.7 $Id: fourier.te,v 1.6 9/7/7 13:: hk Ep $ $Id: diff.te,v 1. 9/7/7 16:13:53 hk Ep $ 8 Euklidische Vektorräume und Fourierreihen 8.4 Anwendungen auf Differentialgleichungen
Mehr$Id: reell.tex,v /11/11 12:32:08 hk Exp $
Mathemati für Physier I, WS 203/204 Montag. $Id: reell.tex,v.23 203// 2:32:08 h Exp $ Die reellen Zahlen.5 Potenzen mit rationalen Exponenten Wir behandeln gerade die Bernoulli-Ungleichung +x) n +nx gültig
MehrPrimzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st
Primzahlen Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn 12.08.2010 1 Die Primfaktorzerlegung Wir kennen die natürlichen Zahlen N = 1, 2,..., die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen (Brüche
MehrTeilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik
Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und
Mehr(Man sagt dafür auch, dass die Teilmenge U bezüglich der Gruppenoperationen abgeschlossen sein muss.)
3. Untergruppen 19 3. Untergruppen Nachdem wir nun einige grundlegende Gruppen kennengelernt haben, wollen wir in diesem Kapitel eine einfache Möglichkeit untersuchen, mit der man aus bereits bekannten
MehrALGEBRA UND MENGENLEHRE
ALGEBRA UND MENGENLEHRE EINE EINFÜHRUNG GRUNDLAGEN DER ALGEBRA 1 VARIABLE UND TERME In der Algebra werden für Grössen, mit welchen gerechnet wird, verallgemeinernd Buchstaben eingesetzt. Diese Platzhalter
Mehr10 Komplexe Zahlen. 2. Februar Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren. z 1 =
2. Februar 2009 66 0 Komplexe Zahlen 0. Komplexe Multiplikation: Für zwei Vektoren [ [ a a2 z =, z 2 = in R 2 wird neben der üblichen Addition die komplexe Multiplikation [ a a z z 2 := 2 b b 2 a b 2 +
MehrAxiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen
Axiomatische Beschreibung der ganzen Zahlen Peter Feigl JKU Linz peter.feigl@students.jku.at 0055282 Claudia Hemmelmeir JKU Linz darja@gmx.at 0355147 Zusammenfassung Wir möchten in diesem Artikel die ganzen
Mehr2. Symmetrische Gruppen
14 Andreas Gathmann 2 Symmetrische Gruppen Im letzten Kapitel haben wir Gruppen eingeführt und ihre elementaren Eigenschaften untersucht Wir wollen nun eine neue wichtige Klasse von Beispielen von Gruppen
Mehr2 Polynome und rationale Funktionen
Gleichungen spielen auch in der Ingenieurmathematik eine große Rolle. Sie beschreiben zum Beispiel Bedingungen, unter denen Vorgänge ablaufen, Gleichgewichtszustände, Punktmengen. Gleichungen für eine
Mehr1 Rechnen. Addition rationaler Zahlen gleicher Vorzeichen Summand + Summand = Summe
Rationale Zahlen Die ganzen Zahlen zusammen mit allen positiven und negativen Bruchzahlen heißen rationale Zahlen. Die Menge der rationalen Zahlen wird mit Q bezeichnet. Je weiter links eine Zahl auf dem
MehrMengen und Abbildungen
1 Mengen und bbildungen sind Hilfsmittel ( Sprache ) zur Formulierung von Sachverhalten; naive Vorstellung gemäß Georg Cantor (1845-1918) (Begründer der Mengenlehre). Definition 1.1 Eine Menge M ist eine
MehrZahlen. Bernhard Ganter. Institut für Algebra TU Dresden D Dresden
Zahlen Bernhard Ganter Institut für Algebra TU Dresden D-01062 Dresden bernhard.ganter@tu-dresden.de Die natürlichen Zahlen Für eine beliebige Menge S definiert man den Nachfolger S + durch S + := S {S}.
MehrNeben der Addition tritt nun die Multiplikation als weitere Struktureigenschaft
Kapitel 3 Rationale Zahlen 31 Die rationalen Zahlen (Körper, Abzählbarkeit) Was ist mit der Gleichung z q = w in Z? Für gegebene z, w Z ist diese Gleichung in der Menge der ganzen Zahlen im Allgemeinen
Mehr8 Lineare Gleichungssysteme
$Id: lgs.tex,v 1.6 2010/12/20 12:57:04 hk Exp $ $Id: matrix.tex,v 1.3 2010/12/20 13:12:44 hk Exp hk $ 8 Lineare Gleichungssysteme In der letzten Sitzung hatten wir mit der Besprechung linearer Gleichungssysteme
MehrTerme ================================================================== Rechteck mit den Seiten a und b :
Terme ================================================================== Rechteck mit den Seiten a und b : Flächeninhalt : A(a; b) = a b b Umfang : U(a; b) = 2 a + 2 b = 2a + 2b a Quader mit einem Quadrat
Mehr1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole
1 Zahlenmengen und einige mathematische Symbole Inhalt 1.1 Vorbemerkung................................................... 3 1.2 Zahlenmengen................................................... 4 1.3 Summenzeichen..................................................
Mehr1 Mengen und Aussagen
Mathematik für Physiker I, WS 010/011 Montag 01.11 $Id: mengen.tex,v 1.4 010/11/01 14:19:48 hk Exp $ $Id: beweise.tex,v 1.3 010/11/05 06:40:11 hk Exp $ 1 Mengen und Aussagen Wir haben jetzt Allaussagen
MehrDie allereinfachste Rechenoperation ist das Zusammenzählen zweier Zahlen etwa = 7
I. 1 Rechenoperationen erster Stufe Die Addition Die allereinfachste Rechenoperation ist das Zusammenzählen zweier Zahlen etwa 3 + 4 = 7 Nun gibt es aber unendlich viele (natürliche) Zahlen, da es ja keine
MehrMit Funktionen rechnen - ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2
Mit Funktionen rechnen - ein wichtiges Thema der Sekundarstufe 2 Franz Pauer Institut für Fachdidaktik und Institut für Mathematik Universität Innsbruck Lehrer/innen/fortbildungstag Wien 2014 25. April
MehrReelle Zahlen. 2-a Die Körperaxiome
2 Reelle Zahlen Die reellen Zahlen bilden das Fundament der gesamten Analysis. Es ist daher sinnvoll, sich zunächst Klarheit über dieses Fundament zu verschaffen. Der konstruktive und historisch korrekte
MehrGrundlagen der Mengenlehre
mathe plus Grundlagen der Mengenlehre Seite 1 1 Grundbegriffe Grundlagen der Mengenlehre Def 1 Mengenbegriff nach Georg Cantor (1845-1918) Eine Menge ist die Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener
MehrGaloiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4)
Galoiskörper GF(2 n ) (Teschl/Teschl 4) auch Galois-Felder (englisch Galois elds), benannt nach Evariste Galois (18111832). Körper (in der Mathematik) allgemein: Zahlenbereich, in dem die vier Grundrechenarten
MehrEinführung in die mathematische Logik
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2016 Einführung in die mathematische Logik Vorlesung 12 Wir haben bisher nur von Axiomensystemen im Sinne einer beliebigen Ausdrucksmenge Γ L S gesprochen, die im Allgemeinen
MehrMathematik 1 für Chemische Technologie 2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N =
2. Zahlenmenge, Aufbau des Zahlensystems 2.1 Natürliche Zahlen N Die natürlichen Zahlen bilden eine Menge: N = {1, 2, 3, 4,... }. N ist abgeschlossen bezüglich der Addition und Multiplikation: a, b N mit
Mehr1 Der Ring der ganzen Zahlen
1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich
Mehr