Abschlussprüfung Fachoberschule 2015 Herbst Mathematik

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Ilse Hermann
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1 bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst ufgabenvorschlag B Funktionsuntersuchung / Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung Der Graph der Funktion ist G f. f 5 5 ; IR.. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten der Funktion f und begründen Sie Ihre ussage. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion f im Unendlichen.. Bestimmen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes von G f mit der y-chse. / /. Die Funktion hat bei und eine einfache und bei eine doppelte Nullstelle. Geben Sie einen Funktionsterm als Produkt aus Linearfaktoren an und prüfen Sie durch usmultiplizieren, dass dieser ein Funktionsterm für die Funktion f ist.. Bestimmen Sie die Hoch- und Tiefpunkte von G f. [Hinweis: Geben Sie die Ergebnisse mit Nachkommastellen an.].5 Berechnen Sie die Wendepunkte von G f und geben Sie die rt des Krümmungswechsels an.. Zeichnen Sie den Graphen der Funktion f im Intervall, ;, unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. Berechnen Sie auch die Funktionswerte der Intervallgrenzen. Verwenden Sie das Koordinatensystem auf der folgenden Seite..7 Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Tangente t der Funktion f an der Stelle. [zur Kontrolle: t 5 ] / / / /5 /. Weisen Sie nach, dass G f und der Graph von t zwei Schnittpunkte haben für. / Fortsetzung auf der nächsten Seite ufgabenvorschlag B bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 5

2 B Koordinatensystem zu ufgabe.: ufgabenvorschlag B bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 5

3 B Rekonstruktion /5 Zwischen zwei senkrecht aufeinander stehenden Geraden mit g und h wird zwischen und der Graph G f einer symmetrischen Funktion. Grades eingesetzt. G f schneidet die y-chse bei n, den Graphen von g bei und den Graphen von h bei. Für die zugehörige Funktion f gilt: 7 f f.. Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f. / Hinweis: Wenn Sie das Gleichungssystem nicht aufstellen können, dann lösen Sie das folgende Gleichungssystem und bestimmen Sie damit die gesuchte Funktionsgleichung der Funktion f. f a c e [zur Kontrolle: f ] -/ = e -5/ = a + c -/ = a + c. Ermitteln Sie die Gleichung der Tangente im Punkt T f. / ufgabenvorschlag B bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 5

B Etremwertaufgabe /5 Gegeben sind die Graphen der Funktionen e und f mit: e und f. Die Eckpunkte und B des Dreiecks OB sind die Schnittpunkte einer Parallelen zur y-chse mit den Graphen von e bzw. f. Der linke Eckpunkt O des Dreiecks liegt im Koordinatenursprung.

4 B Etremwertaufgabe /5 Gegeben sind die Graphen der Funktionen e und f mit: e und f. Die Eckpunkte und B des Dreiecks OB sind die Schnittpunkte einer Parallelen zur y-chse mit den Graphen von e bzw. f. Der linke Eckpunkt O des Dreiecks liegt im Koordinatenursprung.. Bestimmen Sie die Zielfunktion, mit der der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet werden kann. [zur Kontrolle: ]. Bestimmen Sie, für welchen Wert MX das Dreieck OB den maimalen Flächeninhalt hat. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt. / /9 ufgabenvorschlag B bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 5

5 B Integralrechnung / Die nördliche Begrenzung eines zu bebauenden Grundstücks kann durch die Funktion f mit f,5 5 beschrieben werden. Nördlich dieses Grundstücks befindet sich Wald. W N S O Die südliche Begrenzung ist eine Straße, die durch die Funktion h mit h beschrieben wird. Im Westen wird das Grundstück durch die Gerade begrenzt, im Osten durch die Gerade 5. Maßstab -chse: LE ˆ m y-chse: LE ˆ m bbildung: schematische Darstellung des Grundstücks. Berechnen Sie die Schnittstellen des Graphen von f mit der -chse. / [zur Kontrolle:,,5 ; 7,5 ; 5 ]. Berechnen Sie die Grundstücksfläche in m. / [zur Kontrolle: 5 m ]. Eine geplante nördliche Grundstücksbegradigung wird durch eine lineare Funktion g dargestellt. Diese schneidet den Graphen von f in den Punkten P,5 und P 95,55. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung von g. / [zur Kontrolle: g,575 5, 5 ]. Die nördlich der Linie dargestellt durch den Graphen der Funktion g liegende Grundstücksfläche wird mit Fichten bepflanzt und an das Forstamt gegeben. Im ustausch dafür erhält der Bauträger die südlich der Linie liegenden Flächen zur bholzung und Bebauung. Berechnen Sie die neue Gesamtfläche, die dem Bauträger nun zur Verfügung steht. Berechnen Sie um wieviel Prozent sich dadurch die Grundstücksfläche vergrößert. / ufgabenvorschlag B bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite 5 von 5

6 bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Erwartungshorizont für ufgabenvorschlag B Teilaufgabe. Die Funktion f ist weder punkt- noch achsensymmetrisch, da gerade und ungerade Potenzen von vorhanden sind f f oder f f Der Graph verläuft von plus Unendlich nach plus Unendlich oder f für.. f ; S y. f 5 5. f 5 5 f E E,95 ; E, 5 f f,95 9,7 ; Minimum bei E, 95 f ; Maimum bei E f,5, ; Minimum bei E, 5 f,95 5, 7 ; Tiefpunkt T,95 5,7 H f ; Hochpunkt f,5, ; Tiefpunkt T,5, 5.5 f 5 W, ; W, f f,,7 ; L-R-Wende f,,7 ; R-L-Wende f,, 9 ; Wendepunkt W,,9 f, 9, ; Wendepunkt, 9, W bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 7

7 Erwartungshorizont B Teilaufgabe. Randpunkte, 5, f ; linker Randpunkt R, 5, f,, 9 ; rechter Randpunkt R,,9 5 bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 7

8 Erwartungshorizont B Teilaufgabe.7 Tangentenberechnung bei t mt n f t t 5 n t 5 5 f m f n n t. f t S ; S, 7 ; S, Schnittpunkte bei S, 7 und S,. Summen der BE in den nforderungsbereichen 9 Summe der BE bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 7

9 Erwartungshorizont B Teilaufgabe. nsatz: f a b c d e; b d aufgrund der Symmetrie f a c e Bedingungsgefüge:. f Graph schneidet die y-chse bei. f Schnittpunkt mit G g f 7. Gleichungssystem: n I. -/ = e II. -5/ = a + c III. -/ = a + c Lösen des Gleichungssystems auch Ersatz-LGS ergibt: ; a ; c e Für die Funktionsgleichung gilt: f 5. t m n f m f n 7,75 t,75,,75, Summen der BE in den nforderungsbereichen Summe der BE 5 bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 7

10 Erwartungshorizont B bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite 5 von 7 Teil- aufgabe. Flächeninhalt eines Dreiecks allgemein: gh hier: : Grundseite Höhe f e g h: ; 9 / 9 im Intervall 7,5 nicht,55 ; 7,7 Summen der BE in den nforderungsbereichen 7 Summe der BE 5

11 Erwartungshorizont B Teilaufgabe. Schnittstellen mit der -chse: nsatz f,5 5,5 5 5 ergibt und 5,5,5 und 7, 5. 9,5 9, f F 5 nsatz für Flächenbilanz ges,5 f d 5, 55 m 7,5 f,5 d 5, 55 m 5 f 7,5 d,5 m 5 9 m ges 5 m Die Grundstücksfläche beträgt 5 m.. g m n y m g y 95,55,5, 575 n,575 n, 5 g 5,75 n,5 n 5,5 g,575 5, 5,575 bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite von 7

12 Erwartungshorizont B Teilaufgabe. neu d,775 5,5,75 5 g 5 m 9 m 95 m neu 95 m % 5 m % Die Grundstücksfläche vergrößert sich dadurch um Prozent. Summen der BE in den nforderungsbereichen Summe der BE bschlussprüfung Fachoberschule 5 Herbst Seite 7 von 7

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