Lineare Algebra. Kapitel 5. Grundbegriffe. Das Skalarprodukt. Matrizen. Die Determinante. Lineare Gleichungssysteme. Die Inverse einer Matrix

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1 Kapitel 5 Lineare Algebra Grundbegriffe Das Skalarprodukt Matrizen Die Determinante Lineare Gleichungssysteme Die Inverse einer Matrix Eigenwerte und Eigenvektoren Anwendungen

2 Lineare Algebra Grundbegriffe Skalare und Vektoren Ein Skalar ist einfach eine reelle Zahl (in der entsprechenden Maßeinheit), wie etwa die Temperatur (z.b. 25 C). Bei Vektoren kommt noch eine Richtung hinzu: Beispielsweise hat eine durch Vektoren repräsentierte Geschwindigkeit nicht nur einen Wert (z.b. 3m/s), sondern auch eine Bewegungsrichtung. Die einzige Ausnahme: Der Nullvektor hat keine Richtung. Vektoren veranschaulicht man sich gewöhnlich als Verschiebungspfeile: Definition Unter einem Vektor versteht man eine gerichtete Strecke. Man bezeichnet Vektoren mit a, b,... Zwei Vektoren heißen gleich, wenn sie sich durch Parallelverschiebung ineinander überführen lassen. Mathematik kompakt 1

3 Lineare Algebra Grundbegriffe Veranschaulichung von Vektoren Bei Vektoren kommt es also nur auf Richtung und Länge an der Anfangspunkt ist egal. a a b In vielen Anwendungen hat man es mit ebenen oder mit räumlichen Vektoren zu tun: Dabei identifizieren wir den IR 2 mit den Punkten der Ebene und ordnen jedem Punkt (x 1,x 2 ) IR 2 einen (zweidimensionalen) Vektor x zu: Bei beliebigem Anfangspunkt gehe man x 1 Einheiten nach rechts (bei negativemx 1 entsprechend nach links) in x-richtung und x 2 Einheiten in y-richtung eines Kartesischen Koordinatensystems. Mathematik kompakt 2

4 Lineare Algebra Grundbegriffe Vektoren im IR n Man beachte, dass bei Vektoren das Zahlenpaar üblicherweise als Spalte (Spaltenvektor) geschrieben wird: x = ( x1 x 2 Will man Vektoren als Zeilen (Zeilenvektoren) schreiben, so benutzt man den transponierten Vektor: ) x = (x 1,x 2 ) T. Analoges gilt für räumliche Vektoren des IR 3. Man kann sogar ganz allgemein definieren:. Definition Einen Vektor a des IR n stellt man dar als a = a 1 a 2... a n = (a 1,a 2,...,a n ) T mit a i IR für alle i = 1,...,n. Der Vektor (0,0,...,0) T heißt Nullvektor. Mathematik kompakt 3

5 Lineare Algebra Grundbegriffe Vektoraddition und Skalarmultiplikation im IR n Vektoren kann man bekanntermaßen addieren und mit einem Skalar multiplizieren: Definition Jeweils zwei Vektoren a = (a 1,a 2,...,a n ) T und b = (b 1,b 2,...,b n ) T des IR n kann man (komponentenweise) addieren: a + b := (a 1 + b 1, a 2 + b 2,..., a n + b n ) T bzw. einen Vektor a mit einem Skalarλ IR multiplizieren: λ a := (λa 1, λa 2,..., λa n ) T. Mathematik kompakt 4

6 Lineare Algebra Grundbegriffe Kommutativgesetz der Vektoraddition Für die beiden Operationen Vektoraddition und Skalarmultiplikation gelten nun einige einfache Rechengesetze, etwa a+ b = b+ a für alle a, b IR n. Dies ist ganz einfach der Fall, weil jeweils komponentenweise für die reellen Zahlen das Kommutativgesetz gilt: a i +b i = b i +a i. Veranschaulichen kann man sich dieses Rechengesetz am so genannten Kräfteparallelogramm. Mathematik kompakt 5

7 Lineare Algebra Grundbegriffe Übung Welche der folgenden Rechengesetze gelten für Vektoren? (Dabei seien a und b Vektoren des IR n und λ und µ Skalare aus IR.) a) a+λ = λ+ a, b) λ( a+ b) = λ a+λ b, c) a b = b a, d) (λ+µ) a = λ a+µ a, e) a+ 0 = a, f) 0 a = 0. Mathematik kompakt 6

8 Lineare Algebra Grundbegriffe Lösung Es gelten die Rechengesetze b), d), e) und f). Im Ausdruck a) werden verbotenerweise Vektoren und Skalare addiert, was überhaupt nicht definiert ist. Im Ausdruck c) werden Vektoren multipliziert (und nicht ein Skalar mit einem Vektor), was erst später als Skalarprodukt definiert wird. Mathematik kompakt 7

9 Lineare Algebra Grundbegriffe IR n mit Vektoraddition ist kommutative Gruppe Für die Vektoraddition gelten Gesetze, die wir im Zusammenhang mit Gruppen bereits kennen gelernt haben: So ist die Summe zweier Vektoren wiederum ein Vektor; es gibt ein neutrales Element, den Nullvektor 0, mit a+ 0 = a; zu jedem Vektor a gibt es einen inversen Vektor a (mit den Komponenten a i anstelle vona i ). Außerdem gelten das Kommutativgesetz und das Distributivgesetz. Derartige Mengen (hier IR n ) mit einer entsprechenden Verknüpfung (hier die Vektoraddition) heißen kommutative (oder abelsche) Gruppen. Mathematik kompakt 8

10 Lineare Algebra Grundbegriffe Vektorraum Nimmt man nun noch die Skalarmultiplikation hinzu mit den unten aufgeführten Gesetzen, so spricht man von einem Vektorraum: Definition Eine MengeV bildet einen Vektorraum über IR, wenn folgende Axiome gelten: a) Die Menge V mit der Vektoraddition +, also (V, +), ist eine abelsche Gruppe. b) Zwischen einem Skalar λ IR und einem Vektor a V ist eindeutig ein Produkt λ a V erklärt. Dabei gelten für λ,µ IR und a, b V die folgenden Rechengesetze: λ( a + b) = λ a + λ b, (λµ) a = λ(µ a), (λ + µ) a = λ a + µ a, 1 a = a. Mathematik kompakt 9

11 Lineare Algebra Grundbegriffe Beispiel Wir betrachten die Menge aller reellwertigen Funktionen auf dem Intervall [0, 1]. Offenbar kann man zwei Funktionen f und g addieren und die Summenfunktion f + g ist definiert durch für alle x [0,1]. (f +g)(x) := f(x)+g(x) Ähnlich funktioniert die Multiplikation einer Funktion f mit einer reellen Zahl λ: für alle x [0,1]. (λf)(x) := λ f(x) Mit diesen beiden Operationen ist die Menge aller reellwertigen Funktionen auf dem Intervall[0, 1] ein Vektorraum. Mathematik kompakt 10

12 Lineare Algebra Grundbegriffe Übung Wie lauten in vorangegangenem Beispiel der Nullvektor und wie der zum Vektor inverse Vektor? f = sinx Mathematik kompakt 11

13 Lineare Algebra Grundbegriffe Lösung Der Nullvektor ist hier ganz einfach die Funktion f 0, die jedem x [0, 1] den Funktionswert 0 zuordnet. Der zu f(x) = sinx inverse Vektor ist denn f(x) = sinx, f(x)+( f)(x) = sinx+( sinx) = 0, also gleich der Funktion, die konstant den Wert 0 ergibt. (Von der Umkehrfunktion arcsin x sprechen wir in einem ganz anderen Zusammenhang!) Mathematik kompakt 12

14 Lineare Algebra Grundbegriffe Linearkombination Die Begriffe Linearkombination, lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit sowie Basis und Dimension lassen sich ganz allgemein für beliebige Vektorräume erklären. Im IR 2 beispielsweise können wir aus den beiden Vektoren a = (1,4) T und b = ( 2,5) T die Linearkombination erzeugen: 2 a 0.5 b = (3,5.5) T. Definition Einen Vektor b der Form b = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n mit λ i IR für i = 1,...,n nennt man eine Linearkombination der Vektoren a 1, a 2,..., a n. Mathematik kompakt 13

15 Lineare Algebra Grundbegriffe Übung Stellen Sie, falls möglich, den (Zeilen-)Vektor ( 1, 5) jeweils als Linearkombination der folgenden Vektoren dar: a) (1,0), (0,1); b) (1,2), ( 4, 1); c) (1,2), (2,4); d) ( 1,5), (2, 10); e) (1,2); f) (2, 10); g) (1,0), (0,1), (1,1). In welchen Fällen ist dies evtl. sogar auf mehrere Arten möglich? Mathematik kompakt 14

16 Lineare Algebra Grundbegriffe Lösung a) Es gilt: ( 1,5) = ( 1) (1,0)+5 (0,1). b) Hier ist: ( 1,5) = 3 (1,2)+1 ( 4, 1). c) Es ist unmöglich, ( 1, 5) als Linearkombination von (1,2) und (2,4) darzustellen. d) Es gilt z.b.( 1,5) = 1 ( 1,5)+0 (2, 10) oder auch( 1,5) = 7 ( 1,5)+3 (2, 10). e) Es ist unmöglich, ( 1, 5) als Linearkombination von (1, 2) darzustellen. f) Natürlich ist ( 1,5) = ( 0.5) (2, 10). g) Hier ist z.b. ( 1,5) = ( 1) (1,0) + 5 (0,1)+0 (1,1) oder ( 1,5) = 2 (1,0)+ 8 (0,1)+( 3) (1,1). In den Fällen d) und g) gibt es jeweils sogar unendlich viele Möglichkeiten,( 1, 5) als Linearkombination der angegebenen Vektoren zu schreiben. Mathematik kompakt 15

17 Lineare Algebra Grundbegriffe Lineare Unabhängigkeit, Lineare Abhängigkeit Definition Die Vektoren a 1, a 2,..., a n heißen linear unabhängig, wenn aus der Gleichung λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n = 0 ( ) folgt, dass alle Koeffizienten λ 1, λ 2,..., λ n gleich Null sind: λ 1 = λ 2 =... = λ n = 0. Gibt es hingegen Koeffizienten λ 1, λ 2,..., λ n, die nicht alle gleich 0 sind, für die aber ( ) erfüllt ist, so heißen die Vektoren a 1, a 2,..., a n linear abhängig. Mathematik kompakt 16

18 Lineare Algebra Grundbegriffe Übung Welche der angegebenen Vektoren sind linear unabhängig? a) (1,0), (0,1); b) (1,2), ( 4, 1); c) (1,2), (2,4); d) ( 1,5), (2, 10); e) (1,2); f) (2, 10); g) (1,0), (0,1), (1,1). Mathematik kompakt 17

19 Lineare Algebra Grundbegriffe Lösung Die Vektoren unter a), b), e) und f) sind linear unabhängig. Alle anderen sind jeweils linear abhängig. Bemerkung: Die Darstellung des (Zeilen-) Vektors( 1, 5) als Linearkombination der beiden Vektoren (1,0), (0,1) war am einfachsten, denn hier musste man überhaupt nicht rechnen. Mathematik kompakt 18

20 Lineare Algebra Grundbegriffe Basis und Basisvektoren Es lässt sich allgemein für Vektoren desir 2 zeigen: ( a1 a 2 ) = a 1 ( 1 0 ) +a 2 ( 0 1 ) = a 1 e 1 +a 2 e 2. Die Vektoren e 1 := (1,0) T und e 2 := (0,1) T nennt man Basisvektoren des IR 2. Aber die Vektoren(1,2) und( 4, 1) bilden ebenfalls eine so genannte Basis des Vektorraums IR 2, denn auch hier lässt sich jeder Vektor des IR 2 eindeutig als Linearkombination dieser beiden Vektoren schreiben. Definition Die Vektoren a 1, a 2,..., a n eines Vektorraums bilden eine Basis, wenn sie linear unabhängig sind und wenn sich jeder Vektor x des Vektorraums (eindeutig) als Linearkombination dieser Basisvektoren mit geeigneten λ i IR darstellen lässt: x = λ 1 a 1 + λ 2 a λ n a n. Mathematik kompakt 19

21 Lineare Algebra Grundbegriffe Übung Welche der angegebenen Vektoren bilden eine Basis des IR 2? a) (1,0), (0,1); b) (1,2), ( 4, 1); c) (1,2), (2,4); d) ( 1,5), (2, 10); e) (1,2); f) (2, 10); g) (1,0), (0,1), (1,1). Mathematik kompakt 20

22 Lineare Algebra Grundbegriffe Lösung Nur die Vektoren in a) und b) bilden jeweils eine Basis. Die Vektoren in c), d) und g) sind nicht linear unabhängig. Die Vektoren in e) und f) sind zwar linear unabhängig, aber nicht jeder Vektor desir 2 lässt sich als Linearkombination (hier: als Vielfaches) der angegebenen Vektoren darstellen. Mathematik kompakt 21

23 Lineare Algebra Grundbegriffe Dimension eines Vektorraumes Mit Hilfe der Anzahl der Basisvektoren (die bei allen Basen identisch ist) lässt sich mathematisch der Begriff der Dimension definieren. Natürlich gilt dann, dass die Dimension desir 2 gleich 2, die Dimension des IR 3 gleich 3 und die Dimension des IR n gleich n ist. Definition Die (endliche) Anzahl n der Vektoren in einer Basis eines Vektorraums ist immer gleich. Man sagt, dass der Vektorraum die Dimension n hat. Mathematik kompakt 22

24 } Lineare Algebra Das Skalarprodukt Länge eines Vektors Wie man die Länge eines Vektors berechnet, lässt sich anschaulich sehr gut erläutern an Vektoren x = (x 1,x 2,x 3 ) T IR 3 : z x 2 2 x 1 + x 2 x > x x 2 + x 3 x 2 } x 3 x 1 } y Nach dem Lehrsatz von Pythagoras hat zunächst die senkrechte Projektion von x in diexy-ebene die Länge x 2 1 +x2 2 (rechtwinkliges Dreieck!). Eine weitere Anwendung des Pythagoräischen Lehrsatzes auf das grau unterlegte (rechtwinklige) Dreieck liefert dann die Vektorlänge ( x 2 1 +x2 2) 2 +x 2 3 = x 2 1 +x2 2 +x2 3. Mathematik kompakt 23

25 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Betrag bzw. Norm eines Vektors Formal gelten diese Überlegungen auch im IR n, so dass man definiert: Definition Die Länge eines Vektors x = (x 1,x 2,...,x n ) T IR n nennt man Betrag oder Norm von x. Sie ist gegeben durch x := x x x2 n. Vektoren mit x = 1 heißen Einheitsvektoren. Mathematik kompakt 24

26 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Übung a) Bestimmen Sie alle Vektoren, die den Betrag 0 haben. b) Welche Norm hat der Vektor x = (2,4,4) T? Bestimmen Sie einen Einheitsvektor, der dieselbe Richtung wie x hat. Mathematik kompakt 25

27 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Lösung a) Es ist x =! 0 äquivalent zu x 2 1 +x x2 n =! 0, also zu x 1 = x 2 =... = x n = 0. Der einzige Vektor mit Länge 0 ist also der Nullvektor. b) Es ist x = = 36 = 6. Aus jedem Vektor x 0 lässt sich mittels y = x/ x ein Einheitsvektor konstruieren. Hier gilt y = 1 6 (2,4,4)T = ( 1 3,2 3,2 3 ) T. Mathematik kompakt 26

28 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Skalarprodukt, Inneres Produkt Man kann nun jeweils die entsprechenden Komponentena i,b i zweier Vektoren a, b IR n miteinander multiplizieren und anschließend aufsummieren und erhält einen Skalar: Definition Für zwei Vektoren a = (a 1,a 2,...,a n ) T und b = (b 1,b 2,...,b n ) T ist das Skalarprodukt bzw. innere Produkt von a und b, bezeichnet mit a b oder a T b, definiert als die reelle Zahl a b := a 1 b 1 + a 2 b a n b n. Mathematik kompakt 27

29 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Beispiel Wir berechnen das Skalarprodukt der Vektoren a = ( 12,1,6) T, b = (0,1,1) T : Es ergibt sich zu: a b = = 7. Mathematik kompakt 28

30 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Rechenregeln für Skalarprodukte Wichtige Rechenregeln für das Skalarprodukt ergeben sich unmittelbar aus dessen Definition: Definition Für Vektoren a, b, c IR n und Skalareλ IR gilt: a) a a 0, a a = 0 a = 0, b) a = a a, c) a b = b a, d) (λ a) b = a (λ b) = λ( a b), e) a ( b + c) = a b + a c. Mathematik kompakt 29

31 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Beispiel Für zwei Vektoren a, b IR n berechnen wir b a 2. Unter Anwendung obiger Rechenregeln b), c) und e) ergibt sich: b a 2 = ( b a) ( b a) = b ( b a) a ( b a) = b b b a a b+ a a = a 2 + b 2 2 a b. Mathematik kompakt 30

32 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren Mit Hilfe des Skalarproduktes kann man auch Winkel α zwischen zwei Vektoren a und b bestimmen: z > b > > b-a x > a y Das durch die beiden Vektoren a und b aufgespannte Dreieck hat die Seitenlängen a, b und b a. Den Winkel α kann man mit dem Kosinussatz für schiefwinklige Dreiecke berechnen: b a 2 = a 2 + b 2 2 a b cosα. Wegen b a 2 = a 2 + b 2 2 a b ist obige Gleichung aber äquivalent zu a 2 + b 2 2 a b = a 2 + b 2 2 a b cosα. Mathematik kompakt 31

33 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Winkel zwischen zwei Vektoren a 2 + b 2 2 a b = a 2 + b 2 2 a b cosα. Kürzen gemeinsamer Terme und Auflösen der Gleichung nach α liefert: Für den Winkel α mit 0 α π zwischen zwei Vektoren a 0, b 0 gilt a b = a b cosα bzw. α = arccos a b a b. Mathematik kompakt 32

34 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Übung Berechnen Sie den Winkel α zwischen den Vektoren a = ( 12,1,6) T und b = (0,1,1) T. Mathematik kompakt 33

35 Lineare Algebra Das Skalarprodukt Lösung Es ist a b = 7 und Damit gilt also a = = 7, b = = 2. cosα = 7 7 2, α = arccos( 1 2 ) = π 4. Die beiden Vektoren bilden daher einen45 o -Winkel. Bemerkung: Man bezeichnet Vektoren, die aufeinander senkrecht stehen (im Zeichen a b), also einen90 o -Winkel bilden, als orthogonale Vektoren. Da für α [0,π] gilt: cosα = 0 α = π 2, liefert das Skalarprodukt ein einfaches Kriterium für die Orthogonalität von Vektoren: a b a b = 0. Mathematik kompakt 34

36 Lineare Algebra Matrizen Grundlegende Definitionen Wir können uns zwei Vektorräume etwair n,ir m vorgeben und einem Vektor x des ersten Raumes einen Vektor z des zweiten zuordnen. Interessant sind in diesem Zusammenhang spezielle Funktionen, so genannte lineare Abbildungen, die zusätzlich bestimmte (lineare) Eigenschaften erfüllen und üblicherweise mit ϕ bezeichnet werden: Definition Eine Abbildung ϕ : IR n IR m heißt lineare Abbildung, wenn für alle x, y IR n und c IR gilt: ϕ( x+ y) = ϕ( x)+ϕ( y), ϕ(c x) = c ϕ( x). Mathematik kompakt 35

37 Lineare Algebra Matrizen Beispiel Setzt man x = durch x 1 x 2 x 3 und z = ( z1 z 2 ), dann ist z 1 = 3x 1 +x 2 +5x 3 z 2 = 2x 1 +8x 3 offensichtlich eine lineare Abbildung ϕ : IR 3 IR 2 gegeben. Jedem Vektor x IR 3 wird ein Vektor z IR 2 zugeordnet. Im Prinzip ist die Abbildung durch die Gleichungskoeffizienten definiert. Daher kann man diese auch beschreiben, indem man die Koeffizienten zu einem Schema zusammenfasst: ( z1 z 2 ) = ( Das Koeffizientenschema Matrix. ) x 1 x 2 ( x 3 ). nennt man Mathematik kompakt 36

38 Lineare Algebra Matrizen Lineare Abbildung Allgemein ist eine lineare Abbildung ϕ : IR n IR m gegeben durch z 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n z 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n z m = a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n. Jedem Vektor x IR n wird ein Vektor z IR m zugeordnet. In Matrix-Schreibweise lauten die Gleichungen dann: z 1 z 2. z m = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n.... a m1 a m2 a mn x 1 x 2.. x n. Mathematik kompakt 37

39 Lineare Algebra Matrizen Matrix Definition Ein rechteckiges Zahlenschema aus m Zeilen und n Spalten nennt man eine Matrix vom Typ (m,n): A = a 11 a 12 a 1k a 1n a 21 a 22 a 2k a 2n.... a i1 a i2 a ik a in.... a m1 a m2 a mk a mn Die Zahlen a ik heißen Elemente der Matrix. Das Element a ik steht in der i-ten Zeile und k-ten Spalte. Daher heißt i Zeilenindex und k Spaltenindex.. Mathematik kompakt 38

40 Lineare Algebra Matrizen Matrix Die Gleichungen z 1 = a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n z 2 = a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n z m = a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n können jetzt abkürzend geschrieben werden als z = A x. Die i-te Komponente z i des Vektors z ergibt sich immer als Skalarprodukt aus der i-ten Matrixzeile und dem Vektor x: z i = (a i1,a i2,...,a in ) x. Mathematik kompakt 39

41 Lineare Algebra Matrizen Übung Wie lauten die Gleichungen von z = A x mit ( ) A = ausgeschrieben? Welches Bild z ergibt sich für x T = (1,2,3,4)? Mathematik kompakt 40

42 Lineare Algebra Matrizen Lösung Der (2, 4)-Matrix A entnimmt man, dass a 11 = 2, a 12 = 0, a 13 = 4, a 14 = 7 (1. Zeile) und a 21 = 5, a 22 = 1, a 23 = 3, a 24 = 0 (2. Zeile) ist. Somit lauten die Gleichungen: z 1 = 2x 1 +0x 2 +4x 3 +7x 4 z 2 = 5x 1 +1x 2 +3x 3 +0x 4 Konkret ergibt sich z 1 = = 42 z 2 = = 6. Mathematik kompakt 41

43 Lineare Algebra Matrizen Matrizen Weitere Begriffe Matrizen notiert man üblicherweise mit großen Buchstaben: A,B,C,... Möchte man auch den Typ aufführen, so schreibt man kurza (m,n) für eine(m,n)- Matrix. Gebräuchlich ist auch die Schreibweise (a ik ),(b ik ),(c ik ),..., wenn man notieren möchte, wie das allgemeine Element der jeweiligen Matrix in Position(i, k) definiert ist. Wichtige Begriffe bzw. Sonderfälle: Eine Matrix A mit gleich vielen Zeilen und Spalten, d.h. eine (m, m)-matrix, nennt man quadratisch. Ihre Elemente a 11,a 22,...,a mm bilden die so genannte Hauptdiagonale. Ihren Typ, üblicherweise Ordnung genannt, notiert man abkürzend zu A m. Eine quadratische (m,m)-matrix D m, bei der alle Elemente außerhalb der Hauptdiagonalen verschwinden (d ik = 0 für i k), heißt Diagonalmatrix. Abkürzend schreibt man auchd m = diag(d 11,d 22,...,d mm ). Mathematik kompakt 42

44 Lineare Algebra Matrizen Matrizen Weitere Begriffe Eine quadratische Matrix, die nur auf und oberhalb bzw. unterhalb der Hauptdiagonalen von Null verschiedene Elemente haben darf, heißt obere Dreicksmatrix bzw. untere Dreiecksmatrix. Eine quadratische (m, m)-matrix, die auf der Hauptdiagonalen nur 1, sonst 0 stehen hat, nennt man Einheitsmatrix der Ordnung m. Üblicherweise bezeichnet man sie mit I m oder I (I für Identität). Eine (m,n)-matrix, deren Elemente alle 0 sind, heißt Nullmatrix, bezeichnet mit 0 bzw. 0 (m,n). Ein Spezialfall ist die (m, 1)-Matrix, sie besteht nur aus einer Spalte und ist unser üblicher Spaltenvektor. Eine (1, n)-matrix besteht dagegen nur aus einer Zeile und wird Zeilenvektor genannt. Mathematik kompakt 43

45 Lineare Algebra Matrizen Beispiel D 4 = O (3,2) =, I 3 = , D 4 = diag(7,2,0,5) ist eine Diagonalmatrix der Ordnung 4. I 3 ist die Einheitsmatrix der Ordnung 3. O (3,2) ist die (3,2)-Nullmatrix. Mathematik kompakt 44

46 Lineare Algebra Matrizen Operationen und Rechenregeln für Matrizen Zunächst halten wir fest, dass zwei Matrizen A, B genau dann gleich sind (im Zeichen A = B), wenn sie vom gleichen Typ sind und elementweise übereinstimmen (a ik = b ik für alle i,k). Im Folgenden werden wir nun die wichtigsten Rechenregeln für Matrizen aufführen. Mathematik kompakt 45

47 Lineare Algebra Matrizen Skalarmultiplikation Eine Matrix A wird mit einem Skalar λ multipliziert, indem man alle Elemente von A mit λ multipliziert: λa = λ (a ik ) = (λ a ik ). Beispiel A = ( ) = 3A = ( ) Mathematik kompakt 46

48 Lineare Algebra Matrizen Matrixaddition/-subtraktion Zwei Matrizen A = (a ik ) und B = (b ik ) des gleichen Typs werden addiert bzw. subtrahiert, indem man ihre entsprechenden Elemente addiert bzw. subtrahiert: Beispiel A±B = (a ik )±(b ik ) = (a ik ±b ik ). ( ) + ( ) = = ( ( ) ) Mathematik kompakt 47

49 Lineare Algebra Matrizen Transponierte einer Matrix Vertauscht man in einer Matrix A Zeilen mit Spalten, so entsteht die Transponierte von A: A T. Für die Elemente von A = (a ik ) und A T = (a T ik ) gilt Beispiel a T ik = a ki für alle i und k. A = = A T = ( ) Für transponierte Matrizen folgen unmittelbar aus der Definition die Rechengesetze: (A+B) T = A T +B T und (A T ) T = A. In vielen Anwendungen treten übrigens so genannte symmetrische Matrizen auf, bei denen die Elemente spiegelsymmetrisch zur Hauptdiagonalen angeordnet sind, d.h. es gilt a ik = a ki für alle i und k bzw. A T = A. Mathematik kompakt 48

50 Lineare Algebra Matrizen Übung Vereinfachen Sie den Ausdruck (A T +B) T A. Mathematik kompakt 49

51 Lineare Algebra Matrizen Lösung (A T +B) T A = (A T ) T +B T A = A+B T A = B T. Mathematik kompakt 50

52 Lineare Algebra Matrizen Die Matrizenmultiplikation Die Multiplikation zweier Matrizen A und B wird so definiert, dass sie der Hintereinanderschaltung der zugehörigen Abbildungen entspricht. Wir betrachten hierzu zunächst ein Beispiel: Gegeben seien die zwei Abbildungen y = B x, d.h ( y1 y 2 ) = ( b11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 ) x 1 x 2 x 3 und z = A y, d.h ( z1 z 2 ) = ( a11 a 12 a 21 a 22 )( y1 y 2 ). Gesucht ist nun die zusammengesetzte Abbildung z = C x, die z direkt in Abhängigkeit von x darstellt. Mathematik kompakt 51

53 Mathematik kompakt 52 Dazu berechnen wir Die Matrizenmultiplikation z 1 = a 11 y 1 +a 12 y 2 = a 11 (b 11 x 1 +b 12 x 2 +b 13 x 3 )+a 12 (b 21 x 1 +b 22 x 2 +b 23 x 3 ) = (a 11 b 11 +a 12 b 21 ) x }{{} 1 +(a 11 b 12 +a 12 b 22 ) x }{{} 2 =: c 11 =: c 12 +(a 11 b 13 +a 12 b 23 ) x }{{} 3 =: c 13 und z 2 = a 21 y 1 +a 22 y 2 = a 21 (b 11 x 1 +b 12 x 2 +b 13 x 3 )+a 22 (b 21 x 1 +b 22 x 2 +b 23 x 3 ) = (a 21 b 11 +a 22 b 21 ) x }{{} 1 +(a 21 b 12 +a 22 b 22 ) x }{{} 2 =: c 21 =: c 22 +(a 21 b 13 +a 22 b 23 ) x }{{} 3 =: c 23 Lineare Algebra Matrizen

54 Lineare Algebra Matrizen Die Matrizenmultiplikation Man erkennt, dass sich die c ik jeweils als Skalarprodukt der i-ten Zeile von A und k-ten Spalte von B ergeben! Es gilt einerseits z = C x mit C = ( c11 c 12 c 13 c 21 c 22 c 23 andererseits aber ), z = A y = AB x. Man definiert daher C als Produkt: C = A B. Mathematik kompakt 53

55 Lineare Algebra Matrizen Definition Für zwei Matrizen A und B ist das Produkt A B genau dann definiert, wenn die Spaltenzahl von A gleich der Zeilenzahl von B ist. Es gilt dann A (m,n) B (n,s) = C (m,s) Die Elemente c ik (i = 1,...,m; k = 1,...,s) vonc sind definiert als Skalarprodukte der i-ten Zeile von A und der k-ten Spalte von B: c ik = a i1 b 1k + a i2 b 2k a in b nk. Mathematik kompakt 54

56 Lineare Algebra Matrizen Die Matrizenmultiplikation Typcheck Ob ein Produkt A B definiert ist, lässt sich leicht überprüfen, wenn man den Typ notiert : A (m,n) B (r,s) = C (m,s). Die inneren Elemente n,r der beiden Typ-Paare müssen gleich sein:n = r. In diesem Fall kann man den Typ der Produktmatrix ablesen: Er entspricht den beiden äußeren Elementen, d.h. ergibt sich zu (m,s). Die Berechnung des Elementes c ik der Produktmatrix lässt sich einfach durchführen, wenn man die Matrizen nebeneinander schreibt und das Skalarprodukt aus deri-ten Zeile vonamit derk-ten Spalte von B bildet. Mathematik kompakt 55

57 Lineare Algebra Matrizen Übung Berechnen Sie das Produkt der Matrizen und A (2,3) = B (3,2) = C = A B ( Ist auch das Produkt B A definiert? Von welchem Typ ist es? ). Mathematik kompakt 56

58 Mathematik kompakt 57 Lösung Das Produkt C = A (2,3) B (3,2) ist wegen der Gleichheit der inneren Elemente (3 = 3) definiert. Es hat den (an den äußeren Elementen abzulesenden) Typ(2, 2) und ergibt sich durch folgende Skalarproduktbildungen ( Falk-Schemas): = = = = 46 ( ) 1 9 Die Produktmatrix C lautet also C = Das Produkt B (3,2) A (2,3) ist wegen 2 = 2 (innere Elemente) ebenfalls definiert und vom Typ (3, 3) (äußere Elemente). Lineare Algebra Matrizen

59 Lineare Algebra Matrizen Rechenregeln für Matrixmultiplikation Auch bei der Multiplikation von Matrizen gelten viele, von den reellen Zahlen her bekannte, Rechengesetze: Assoziativgesetz: (AB)C = A(BC), Distributivgesetze: A(B + C) = AB + AC, (A+B)C = AC +BC, Speziell gilt: AI = IA = A (I: Einheitsmatrix), (λa)b = A(λB) = λ(ab), (AB) T = B T A T. Mathematik kompakt 58

60 Lineare Algebra Matrizen Übung a) Gegeben seien die Matrizen ( A (2,3) = B (3,2) = und C = AB. Berechnen Sie möglichst einfach das Produkt ABC. ), b) Vereinfachen Sie den Ausdruck (C +I) T D T (DC) T. Mathematik kompakt 59

61 Mathematik kompakt 60 Lösung a) Es ist nach Assoziativgesetz b) Es ist ABC = (AB)C = CC = = ( 1 ( 1) ( 9) ( 1) ( 9) ( ) (C +I) T D T (DC) T = C T D T +I T D T C T D T = ID T = D T. ) Lineare Algebra Matrizen

62 Lineare Algebra Matrizen Fehlendes Kommutativgesetz Im Gegensatz zur kommutativen Multiplikation von reellen Zahlen ist bei der Multiplikation von Matrizen die Reihenfolge der Faktoren wichtig: Das Kommutativgesetz gilt also nicht! So existiert beispielsweise das Produkt A (m,n) B (n,s) = C (m,s). Jedoch existiert das vertauschte Produkt B (n,s) A (m,n) nur im Spezialfall s = m, da die Spaltenzahl von B und die Zeilenzahl von A übereinstimmen müssen. In diesem Fall ist aber A (m,n) B (n,m) = (AB) (m,m), B (n,m) A (m,n) = (BA) (n,n). Jetzt existieren zwar die beiden Produkte AB und BA, sie können aber nur dann identisch sein, wenn m = n gilt. Mathematik kompakt 61

63 Lineare Algebra Matrizen Fehlendes Kommutativgesetz Aber auch in letzterem Fall gilt im Allg. AB BA, wie das folgende Beispiel zeigt: Aus den Matrizen ( ) ( ) A =, B = erhält man die Produkte ( ) 1 1 AB =, BA = 0 1 Es gilt also tatsächlich AB BA. ( Dies ist auch der Grund, warum Matrizen eines bestimmten Typs keinen Körper bilden: Bezüglich der Matrizenaddition liegt zwar eine kommutative Gruppe vor, die Nullmatrix ist neutrales Element, invers zu A ist die Matrix A). Aber bezüglich der Multiplikation kann keine abelsche Gruppe vorliegen, da eben das Kommutativgesetz nicht für alle Matrizen erfüllt ist. Weil die Multiplikation assoziativ ist und die Distributivgesetze gelten, liegt jedoch ein Ring vor. Mathematik kompakt 62 ).

64 Lineare Algebra Matrizen Warnung vor Fehler Beim Rechnen mit Matrizen sei abschließend vor einem weiteren Fehler gewarnt: Aus der reellen Analysis kennt man die Aussage: Ein Produkt ist genau dann Null, wenn mindestens einer der beiden Faktoren Null ist. Diese Aussage gilt für Matrizenprodukte nicht, wie das nachfolgende Beispiel zeigt: Mit ( ) ( ) A =, B = folgt offensichtlich AB = ( ) = 0 (Nullmatrix). D.h. aus AB = 0 folgt im Allg. eben nicht A = 0 oder B = 0. Mathematik kompakt 63

65 Lineare Algebra Matrizen Rang einer Matrix In der Lösungstheorie linearer Gleichungssysteme ist ein weiterer Begriff im Zusammenhang mit Matrizen wichtig: Definition Die Maximalzahl linear unabhängiger Spalten einer Matrix A heißt Spaltenrang von A, die Maximalzahl linear unabhängiger Zeilen heißt Zeilenrang von A. Da immer Zeilenrang = Spaltenrang gilt, spricht man vom Rang der Matrix schlechthin: Rang vona := Rg(A). Die obige Feststellung Zeilenrang = Spaltenrang lässt sich natürlich mathematisch beweisen, was wir hier aber nicht nachvollziehen wollen. Mathematik kompakt 64

66 Lineare Algebra Matrizen Beispiel Die Matrix hat die Spalten A = a T 1 = (1,1,1), at 2 = (2,2,2), at 3 = (3,3,3). Offensichtlich besteht die Menge { a 1, a 2, a 3 } lediglich aus einem linear unabhängigen Vektor, also ist Rg(A) = 1. Dagegen gilt, dass alle Spalten der Matrix B= linear unabhängig sind, also ist Rg(B) = 3. Mathematik kompakt 65

67 Lineare Algebra Matrizen Nichtsinguläre bzw. reguläre Matrix Speziell für quadratische Matrizen ist eine weitere Definition wichtig: Definition Eine quadratische (n, n)-matrix A heißt nichtsingulär oder regulär, falls Rg(A) = n gilt. Ist Rg(A) < n, wird sie singulär genannt. Bei einer nichtsingulären Matrix sind also alle n Spalten (und damit auch Zeilen) linear unabhängig. Mathematik kompakt 66

68 Lineare Algebra Determinanten Die Determinante Eine quadratische (1, 1)-Matrix A besteht nur aus einem einzigen Element a 11. Dieses ist gleichzeitig auch der Wert der Determinante von A. Definition Ist A = dann heißt det(a) = a 11 a 12 a 21 a 22 a 11 a 12 a 21 a 22 zweireihige Determinante von A. eine (2, 2)-Matrix, = a 11 a 22 a 21 a 12 Statt die vielen Indices in obiger Formel auswendig zu lernen, empfiehlt sich das Merken der Berechnungsregel in folgender Symbolik: Mathematik kompakt 67

69 Lineare Algebra Determinanten Beispiel Für die Determinante der Matrix ( 1 2 A = 3 4 gilt: det(a) = ) = = 2. Mathematik kompakt 68

70 Mathematik kompakt 69 Regel von Sarrus Auch die Berechnung von dreireihigen Determinanten für (3, 3)-Matrizen lässt sich ähnlich einfach mit der so genannten Regel von Sarrus durchführen: a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 31 a 22 a 13 a 32 a 23 a 11 a 33 a 21 a 12. Diese Formel lässt sich schematisiert sehr leicht merken und anwenden: Lineare Algebra Determinanten

71 Lineare Algebra Determinanten Übung Berechnen Sie die 3-reihige Determinante det(a) = Mathematik kompakt 70

72 Mathematik kompakt 71 Lösung Nach obiger Vorschrift erhalten wir das folgende Rechenschema: Damit ergibt sich: det(a) = 2 ( 3) ( 3) = 7.. Lineare Algebra Determinanten

73 Lineare Algebra Determinanten Determinante und Rang Man beachte, dass für n-reihige Determinanten mit n > 3 eine entsprechende Regel nicht mehr gilt. Diese lassen sich aber mit dem so genannten Laplace schen Entwicklungssatz berechnen. Ohne Beweis weisen wir noch auf folgenden wichtigen Zusammenhang hin: Für eine (n, n)-matrix A gilt folgende Äquivalenz: det(a) 0 Rg(A) = n Mathematik kompakt 72

74 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Das Gauß sche Eliminationsverfahren Wir betrachten ein (m, n)-system von m linearen Gleichungen mit n Unbekannten (m < n stets!): a 11 x 1 + a 12 x a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x a 2n x n = b a m1 x 1 +a m2 x 2 + +a mn x n = b m. Mit der KoeffizientenmatrixA = (a ik ) (i = 1,...,m, k = 1,...,n) und den Vektoren x T = (x 1,...x n ), b T = (b 1,...,b m ) lautet das System in Matrixschreibweise A x = b. Definition Ein lineares Gleichungssystem A x = b heißt homogen, wenn b = 0. Andernfalls nennt man es inhomogen. Ist b 0, so heißt A x = 0 das zugehörige homogene System. Mathematik kompakt 73

75 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Lösungsmenge L(A, b), Erweiterte Koeffizientenmatrix Die Lösungsmenge L(A, b) := { x IR n A x = b} des Systems A x = b lässt sich nun mit dem Gauß - schen Eliminationsverfahren ermitteln, das die so genannte erweiterte Koeffizientenmatrix benutzt: (A b) = a 11 a a 1n a 21 a a 2n... a m1 a m2... a mn b 1 b 2. b m. Das Verfahren arbeitet mit elementaren Zeilenumformungen an der erweiterten Koeffizientenmatrix, welche die Lösungsmenge des Systems offenbar nicht ändern: - Vertauschung zweier Zeilen, - Addition des λ-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile, - Multiplikation einer Zeile mit einer Zahl λ 0. Mathematik kompakt 74

76 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Zeilenstufenform Die Zeilenumformungen werden nun benutzt, um die Koeffizientenmatrix in folgende so genannte Zeilenstufenform (Ā, b) (siehe Abb. ) zu bringen: (A, b) = * * 0 * * b 1 b 2 : : b r b r+1 :. r m-r b m In dieser Form müssen alle Einträge, die mit gekennzeichnet sind, ungleich Null sein. Man nennt diese Pivotelemente, die Zeile entsprechend Pivotzeile. Unterhalb der skizzierten Stufenlinie dürfen in Ā nur Nullen stehen. Der durch die Umformungen ebenfalls geänderte Vektor b kann beliebige Komponenten haben. Mathematik kompakt 75

77 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Eliminationsfaktor Um nun beispielsweise in der k-ten Spalte unterhalb des Pivots bezeichnen wir es mit p Nullen zu erzeugen, müssen wir die entsprechenden Elemente der darunter liegenden Zeilen mittels Addition des λ-fachen (so genannter Eliminationsfaktor) der Pivotzeile zur jeweiligen Zeile zu Null machen. Sind die Pivotzeile und (0,...,0,p,...) (0,...,0,a,...) eine Zeile, in der das Element a zu Null werden muss, dann ergibt sich der Eliminationsfaktor λ durch die Forderung a+λp=! 0, also zu λ = a p. Ist die Zeilenstufenform erreicht, so können nun im Falle der Lösbarkeit des Systems durch Rückwärtsauflösen die entsprechenden Variablenwerte ermittelt werden. Mathematik kompakt 76

78 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Beispiel Das Verfahren sei an folgendem linearen Gleichungssystem verdeutlicht: 3x 1 3x 2 +6x 3 = 9 2x 1 +3x 3 = 6 x 1 +x 2 +2x 3 = 4 Die erweiterte Koeffizientenmatrix dieses Systems schreiben wir als Tableau, d.h. ohne die runden Klammern, auf: (1) (2) (3) Im 1. Schritt ist das Pivotelement die eingekreiste 3 in der 1. Spalte. Darunter müssen nun zwei Nullen erzeugt werden Da die Pivotzeile die Form (3, 3, 6, 9) hat und die darunterliegende Zeile (2, 0, 3, 6) lautet, bestimmt sich der erste Eliminationsfaktor aus 2+λ 3=! 0 zu λ = 2 3, der zweite analog zu λ = 1 3. Mathematik kompakt 77

79 Mathematik kompakt 78 Beispiel Fortsetzung Bezeichnen wir mit z i die Zeile (i) des Tableaus, so sind die elementaren Umformungenz 2 = z z 1 undz 3 = z z 1 (jeweils elementweise!) durchzuführen. Dies ergibt ein neues Tableau, bei dem im 2. Schritt nun in der zweiten Spalte unterhalb des neuen Pivotelements 2 Nullen erzeugt werden müssen. Hierzu wird mit der Eliminationszeile(2 ) die Umformung z 3 = z 3 z 2 ausgeführt. (1 ) (2 ) (3 ) Schritt (1 ) (2 ) (3 ) Jetzt liegt ein gestaffeltes System vor. Die Lösung kann bei solchen Systemen immer durch Rückwärtsauflösen aus den Gleichungen ermittelt werden: x 3 = 1, x 2 = 1 2 (0+x 3) = 1 2, x 1 = 1 3 (9+3x 2 6x 3 ) = Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme

80 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Übung Wenden Sie das Gauß sche Verfahren auf folgendes System an: 3x 1 3x 2 +6x 3 = 9 2x 1 +3x 3 = 6 x 1 +x 2 + x 3 = 4 Mathematik kompakt 79

81 Mathematik kompakt 80 Lösung Das System entspricht bis auf eine Änderung in der dritten Gleichung (a 33 = 2 wird zu a 33 = 1) dem Gleichungssystem des vorherigen Beispiels. Mit denselben elementaren Umformungen wie oben erhält man daher die Tableaufolge: (1) (2) (3) (1 ) (2 ) (3 ) (1 ) (2 ) (3 ) Der letzten Zeile (3 ) des Endtableaus entspricht nun die Gleichung 0 x 1 +0 x 2 +0 x 3 = 1. Dies ist offensichtlich ein Widerspruch. Somit hat das System keine Lösung

82 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Unlösbares System/ Freie Parameter Die Unlösbarkeit eines inhomogenen Gleichungssystems erkennt man also daran, dass es in der Zeilenstufenform mindestens ein b i 0 mit (r +1) i m gibt, bei dem die restliche (linke) Zeile aus lauter Nullen besteht. Jetzt fehlt uns nur noch der Fall unendlich vieler Lösungen mit frei wählbaren Unbekannten, die man dann freie Parameter nennt. Mathematik kompakt 81

83 Mathematik kompakt 82 Beispiel Wir betrachten das System der letzten Übung, ändern aber die rechte Seite b T = (9,6,4) ab in b T = (9,7,4). Analoge Zeilenumformungen liefern dann die Tableaufolge (1) (2) (3) (1 ) (2 ) (3 ) (1 ) (2 ) (3 ) Letzte Zeile(3 ):0 x 1 +0 x 2 +0 x 3 = 0, offensichtlich stets erfüllt. Damit reduziert sich das System auf zwei Gleichungen für drei Unbekannte. Wir setzen x 3 = t mit t IR beliebig. Wieder ergeben sich die restlichen Unbekannten durch Rückwärtsauflösen zux 2 = 2 1 (1+x 3) = 1 2 (1+t),x 1 = 3 1 (9+3x 2 6x 3 ) = 2 1 (7 3t). Mit u = ( 7 2, 2 1,0)T und v T = ( 3 2, 2 1,1) lässt sich die Lösungsmenge auch in Parameterform zu x = u+t v angeben

84 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Freie Parameter Im Allgemeinen erkennt man an der Zeilenstufenform wie viele Parameter frei gewählt werden können: Ist r die Anzahl der nicht aus lauter Nullen bestehenden Zeilen, so sind n r Unbekannte frei wählbar. Diese fungieren dann als Parameter und die Lösungsmenge kann in Parameterform angegeben werden. Nicht immer sind die Parameter beliebig wählbar: Man kann aber stets die Variablen nehmen, bei denen in den zugehörigen Spalten ein horizontaler Verlauf der Stufen beginnt bzw. fortgesetzt wird. Mathematik kompakt 83

85 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Gauß sches Eliminationsverfahren Das Gauß sche Eliminationsverfahren zur Lösung von A (m,n) x = b besteht aus folgenden Schritten: a) Man erstelle die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) in Tableauform. b) Man bringe die Matrix A mittels elementarer Zeilenumformungen auf Zeilenstufenform, wobei auch die Spalte b mit umgeformt werden muss. Ergebnis: (Ā b). c) Aus (Ā, b) ermittle man die Anzahl r der von Null verschiedenen Zeilen von Ā und stelle durch Überprüfung von b fest, ob Lösungen existieren. d) Falls ja (r = m oder r < m und b i = 0 für alle r + 1 i m), ermittle man durch Rückwärtsauflösen die Lösung. Diese hat immer n r frei wählbare Parameter. Mathematik kompakt 84

86 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Rangbestimmung mittels Gauß-Verfahren Die Anwendung des Gauß schen Eliminationsverfahrens auf die MatrixAliefert eine MatrixĀin Zeilenstufenform. Offensichtlich sind die ersten r Zeilen von Ā linear unabhängig. Die dabei benutzten elementaren Zeilenumformungen ändern aber nicht die lineare Ab- bzw. Unabhängigkeit der Ausgangszeilen (aus A). Man kann den Rang der Matrix A also direkt am Endtableau des Gauß-Verfahrens ablesen: Ist r die Anzahl der von Null verschiedenen Zeilen von Ā im Endtableau des Gauß- Verfahrens, dann gilt: Rg(A) = r. Mathematik kompakt 85

87 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Lösungstheorie mittels Rangbegriff Betrachtet man nun die erweiterte Koeffizientenmatrix (Ā b), so unterscheidet sich deren Rang von Rg(Ā) genau dann, wenn r < m und mindestens ein b i 0 mit r +1 i m existiert, das System also unlösbar ist. Da aber Rg(A) = Rg(Ā) und Rg ( (A b) ) = Rg ( (Ā b) ) gilt, können wir festhalten: Ein lineares (m, n)-gleichungssystem A x = b ist genau dann lösbar, wenn der Rang r = Rg(A) der Koeffizientenmatrix A mit dem Rang der erweiterten Koeffizientenmatrix (A b) übereinstimmt, d.h. wenn gilt Rg(A) = Rg ( (A b) ). Die Lösung enthält dann n r freie Parameter. Mathematik kompakt 86

88 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Lösungsstruktur inhomogenes/zugehöriges homogenes System Ein homogenes Gleichungssystem A x = 0 besitzt wegen A 0 = 0 stets die so genannte triviale Lösung x = 0, ist also immer lösbar. Dieser Sachverhalt folgt übrigens auch aus der obigen Lösbarkeitsbedingung, es gilt nämlich Rg(A) = Rg ( (A 0) ) in jedem Fall. Das zu einem inhomogenen (m, n)-system A x = b mit Rg(A) = r gehörende homogene System A x = 0 ist also stets lösbar: die Lösungsmenge L(A, 0) enthält n r freie Parameter. Wir nehmen nun an, dass A x = b lösbar ist. Ist dann x IH eine beliebige spezielle Lösung des inhomogenen Systems und x H L(A, 0), so gilt: A( x IH + x H ) = A x IH +A x H = b+ 0 = b. Mathematik kompakt 87

89 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Lösungsstruktur inhomogenes/zugehöriges homogenes System Es ist also x IH + x H eine Lösung des inhomogen Systems. Die Menge { x IH + x H x H L(A, 0)} hat aber ebenfalls n r freie Parameter, stellt also die gesamte Lösungsmenge des inhomogenen Systems dar. Wir halten fest: Die allgemeine Lösung eines lösbaren inhomogenen Gleichungssystems A x = b erhält man durch Addition einer beliebigen speziellen Lösung x IH des inhomogen Systems und der allgemeinen Lösung des zugehörigen homogenen Systems A x = 0: L(A, b) = x IH + L(A, 0). Mathematik kompakt 88

90 Mathematik kompakt 89 Beispiel Zum inhomogenen Gleichungssystem des vorangegangenen Beispiels gehört die spezielle Lösung x = (2,1,1) T (für t = 1). Das zugehörige homogene System lässt sich mittels Gauß-Verfahren und analogen Zeilenumformungen lösen: (1) (2) (3) (1 ) (2 ) (3 ) (1 ) (2 ) (3 ) Rückwärtsauflösen liefertl(a, 0) = {t ( 2 3, 1 2,1)T t IR}, falls man x 3 = t setzt. Die triviale Lösung 0 ist für t = 0 dabei. Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems erhält man zu x = x 1 x 2 x 3 = t 3/2 1/2 1, t IR

91 Lineare Algebra Lineare Gleichungssysteme Beispiel Fortsetzung Die allgemeine Lösung des inhomogenen Systems erhält man zu x = x 1 x 2 x 3 = t 3/2 1/2 1, t IR. Wählt man hier t = 1, so erhält man die spezielle Lösung u = ( 7 2, 1 2,0)T. Die Lösungsmenge kann also auch in der Form geschrieben werden. x = u+t v Dies sind lediglich Darstellungen ein und derselben Geraden in Parameterform. Geometrisch entsprechen dem System drei Ebenen, die eine gemeinsame Schnittgerade besitzen. Mathematik kompakt 90

92 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Definition und Rechenregeln Ist A eine reguläre (n,n)-matrix, dann gilt per definitionem Rg(A) = n. Es stellt sich nun die Frage, ob es eine Matrix X gibt, für die gilt: AX = I. Bezeichnen wir mit e i die i-te Spalte der EinheitsmatrixI = ( e 1,..., e n ), dann sind wegen Rg(A) = n die folgenden Gleichungssysteme eindeutig lösbar: A x 1 = e 1, A x 2 = e 2,..., A x n = e n. Wir können daher eine Matrix X definieren, deren Spalten denneindeutigen Lösungen x 1, x 2,..., x n dieser Systeme entspechen: Offensichtlich gilt dann X := ( x 1, x 2,..., x n ). AX = (A x 1,A x 2,...,A x n ) = ( e 1, e 2..., e n ) = I. Diese Konstruktion ist für jede beliebige reguläre Matrix möglich. Mathematik kompakt 91

93 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Inverse A 1 einer regulären Matrix A Definition Zu jeder regulären Matrix A existiert genau eine Matrix X, für die AX = I gilt. Man nenntx zuainvers oder die zua inverse Matrix und schreibt X = A 1. Es gilt damit stets AA 1 = A 1 A = I. Die Regularität ist dabei für die Existenz einer solchen Matrix notwendige Voraussetzung. Mathematik kompakt 92

94 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Rechenregeln für inverse Matrizen Auch A 1 ist wieder regulär und es gelten folgende Rechenregeln, die wir nicht beweisen wollen: Für den Umgang mit Inversen sind folgende Rechenregeln wichtig: (A 1 ) 1 = A, (A 1 ) T = (A T ) 1, (AB) 1 = B 1 A 1, (λa) 1 = 1 λ A 1 (λ 0). Mathematik kompakt 93

95 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Beispiel Wir können jetzt die Lösung eines linearen (n, n)- Systems A x = b mit regulärer Matrix A mittels der Inversen berechnen. Das System ist nämlich äquivalent zu A 1 A x = A 1 b, woraus wegen A 1 A = I sofort folgt: x = A 1 b. Kennt man also die Inverse A 1, so lässt sich die Lösung des Systems sofort angeben. Dies ist von Vorteil, wenn für verschiedene rechte Seiten b Lösungen gesucht sind. Bei einer rechten Seite bedenke man, dass die praktische Berechnung von A 1 wesentlich aufwendiger ist als die einmalige Durchführung des Gauß- Verfahrens. Mathematik kompakt 94

96 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Übung Gegeben seien die regulären Matrizen A, B. Vereinfachen Sie den Ausdruck ( 2AB 1 ) 1 ( B 1 A T) T unter der Annahme, dass B symmetrisch ist, soweit wie möglich. Mathematik kompakt 95

97 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Lösung Für den ersten Faktor gilt ( 2AB 1 ) 1 1 ( = B 1 ) 1 A 1 = BA 1. Der zweite Faktor vereinfacht sich wegen der Symmetrie von B zu ( B 1 A T ) T = (A T ) T (B 1 ) T Insgesamt ergibt sich also = A(B T ) 1 = AB 1. ( 2AB 1 ) 1 ( B 1 A T) T = 1 2 B(A 1 A)B 1 = 1 2 BB 1 = 1 2 I. Mathematik kompakt 96

98 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Das Gauß-Jordan-Verfahren Zur Bestimmung der Inversen gibt es ein numerisches Verfahren, das Gauß-Jordan-Verfahren. Dieses lässt sich am besten anhand eines Beispiels erläutern. Beispiel Wir geben uns nun die reguläre Matrix A = vor. Wie bisherige Überlegungen zeigen, müssen zur Bestimmung der Inversen die 3 Gleichungssysteme gelöst werden. A x i = e i, i = 1,2,3 Am geringsten ist der Rechenaufwand, wenn man alle Systeme simultan mit dem Gauß-Verfahren löst. Mathematik kompakt 97

99 Mathematik kompakt 98 Beispiel Fortsetzung Man schreibt in das Starttableau auf die rechte Seite alle drei Vektoren e i, also die Matrix I. Auf diese wendet man gleichzeitg die benötigten elementaren Umformungen an, um A auf obere Dreiecksgestalt zu bringen: (1) (2) (3) (1 ) (2 ) (3 ) Drei Lösungen effizient bestimmen: Obere Dreiecksmatrix auf der linken Tableauseite mittels elementarer Umformungen in die Einheitsmatrix überführen. Hierzu erzeugen wir zunächst in der letzten Spalte der Dreiecksmatrix oberhalb der Hauptdiagonalen Nullen (z 1 = z 1 6z 3, z 2 = z 2 +z 3 ), danach in der mittleren Spalte (z 1 = z z 2 ). Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix

100 Mathematik kompakt 99 Beispiel Fortsetzung (1 ) (2 ) (3 ) Abschließend müssen wir lediglich alle Zeilen durch das entsprechende Diagonalelement (dies ist die dritte elementare Umformung!) dividieren und erhalten: Die Lösungen der drei Systeme können jetzt abgelesen werden: Die 1. Spalte auf der rechten Seite ist x 1, die 2. Spalte ist x 2 und die 3. Spalte entspricht x 3. Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix

101 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Beispiel Fortsetzung D.h. die zu A inverse Matrix A 1 ergibt sich zu A 1 = Um Rechenfehler auszuschließen, empfiehlt sich abschließend eine Probe: AA 1 = I. Mathematik kompakt 100

102 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Das Gauß-Jordan-Verfahren Das Gauß-Jordan-Verfahren zur Bestimmung der Inversen A 1 einer regulären (n, n)-matrix A lautet: a) Bilde ein Tableau, bestehend aus der Matrix A (linke Seite) und der Einheitsmatrix I = I n (rechte Seite). b) Führe A mittels Gauß-Verfahren in eine obere Dreiecksmatrix über. c) Wende auf beide Seiten elementare Umformungen (beginnend mit der letzten Spalte der linken Tableauseite) an, so dass aus der Dreiecksmatrix eine Diagonalmatrix wird. d) Dividiere alle Elemente jeder Zeile des Tableaus durch das entsprechende Diagonalelement, so dass aus der Diagonalmatrix die Einheitsmatrix wird. Die rechte Tableauseite entspricht nun der gesuchten Inversen A 1. Mathematik kompakt 101

103 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Übung Welche Lösungen hat das System A x = b mit der Matrix A = für die rechten Seiten a) b = 0, b) b = (1,1,1) T? Mathematik kompakt 102

104 Lineare Algebra Die Inverse einer Matrix Lösung Da wir die Inverse A 1 im vorangegangenen Beispiel bereits zu A 1 = berechnet haben, können wir die Lösung des Systems als x = A 1 b schreiben. Damit ist: a) x = A 1 0 = 0. Die triviale Lösung ist also die einzige Lösung des homogenen Systems. b) x = A = 0 1/3 1/3. Mathematik kompakt 103

105 Lineare Algebra Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Lineare Abbildungen werden im Allgemeinen durch Matrizen beschrieben. Wenn man eine Matrix mit einem Vektor multipliziert, so erhält man wiederum einen Vektor, der aber in den meisten Fällen auf den ersten Blick gar nichts mit dem Ausgangsvektor gemeinsam hat: ( ) ( 1 2 ) = ( 9 3 ). Mathematik kompakt 104

106 Lineare Algebra Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor In anderen sehr speziellen Fällen ist der Bildvektor ein Vielfaches des Ausgangsvektors: ( ) ( 4 1 ) = ( 8 2 ) = 2 ( 4 1 ). Trivialerweise wird der Nullvektor unter einer linearen Abbildung immer auf sich selbst abgebildet: ( ) ( 0 0 ) = ( 0 0 ). (Das Studium des Nullvektors ist also völlig uninteressant; wir werden ihn bei den folgenden Betrachtungen weglassen.) Mathematik kompakt 105

107 Lineare Algebra Eigenwerte und Eigenvektoren Lineare Abbildungen, Ausgangsvektor und Bildvektor Wir werden im Folgenden eine Methode vorstellen, wie man Vektoren identifiziert, die unter einer linearen Abbildung auf Vielfache von sich selbst überführt werden: A x = λ x A x λ x = 0 A x λi x = 0 (A λi) x = 0 x 0 det(a λi)! = 0 Gesucht sind also Vektoren x 0, die durch die lineare Abbildung/Matrix A auf das λ-fache ihrer selbst abgebildet werden. Mathematik kompakt 106

108 Lineare Algebra Eigenwerte und Eigenvektoren Definitionen Ein Vektor x 0, der bei Anwendung der Matrix A auf sein λ-faches übergeht, heißt Eigenvektor von A zum Eigenwert λ. Eigenwerte λ sind dabei die Lösungen des so genannten charakteristischen Polynoms det(a λi) = 0. Eigenvektoren x zum Eigenwert λ sind die nicht-trivialen Lösungen des linearen Gleichungssystems (A λi) x = 0. Mathematik kompakt 107

109 Lineare Algebra Eigenwerte und Eigenvektoren Bemerkungen Das charakteristische Polynom ist bei Vorliegen einer(n, n)-matrix A ein Polynom n-ten Grades. Nach dem Hauptsatz der Algebra hat ein Polynom n-ten Grades n (möglicherweise komplexe, evtl. auch zusammenfallende) Lösungen. Hat man einen Eigenwert λ gefunden, so erhält man wegen det(a λi) = 0 auch immer zumindest eine nicht-triviale Lösung des Gleichungssystems (A λi) x = 0. Dies bedeutet, dass man zu jedem Eigenwert mindestens einen Eigenvektor findet. Mathematik kompakt 108

110 Lineare Algebra Eigenwerte und Eigenvektoren Weitere Bemerkungen Wenn man einen Eigenvektor x zu einem Eigenwert λ der Matrix A gefunden hat (also A x = λ x), so sind selbstverständlich alle Vielfache dieses Eigenvektors a x ebenfalls Eigenvektoren zum Eigenwert λ der Matrix A wegen A (a x) = aa x = aλ x = λ (a x). Bei mehrfachen Eigenwerten kann es mehrere linear unabhängige Eigenvektoren zu einem Eigenwert geben oder auch nur einen einzigen. Mathematik kompakt 109