Kapitel 11. Wiederholte Spiele. Einleitung. Übersicht 2. Einleitung 6

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1 Übersicht : Wiederholte Spiele Einleitung Dilemmas der realen Welt Endlich wiederholte Spiele Unendlich wiederholte Spiele Auswege aus dem Gefangenendilemma Evidenz durch Experimente 1 Übersicht 2 Einleitung Viele strategische Interaktionen sind in fortlaufende Beziehungen eingebettet. Leben in einer Dorfgemeinschaft Arbeitnehmer und Arbeitgeber Zulieferer und Abnehmer Eltern und Kinder... Einleitung 3 Einleitung 4 In einer solchen Beziehung besteht die Möglichkeit, das eigene Verhalten von dem Verhalten der Mitspieler in der Vergangenheit abhängig zu machen. Belohnung. Z.B. Hilfst Du mir heute, helfe ich Dir morgen Bestrafung. Z.B.: Lieferst Du heute keine gute Qualität, suche ich mir einen anderen Zulieferer. Können wir solche Verhaltensweisen spieltheoretisch erfassen? Unter welchen Voraussetzungen sind solche Drohungen und Versprechungen glaubwürdig? Bilden solche Verhaltensweisen ein Nash- Gleichgewicht?... oder (sogar) ein teilspielperfektes Gleichgewicht? Einleitung 5 Einleitung 6

2 Was kann durch Drohungen und Versprechungen erreicht werden? Ist es für die Spieler von Vorteil, dass sie in einer fortlaufenden Beziehung stehen?... spielt es keine Rolle?... oder könnte es gar von Nachteil sein? Das einfachste spieltheoretische Modell einer fortlaufenden Beziehung ist ein wiederholtes Spiel. In einem wiederholten Spiel treffen die gleichen Spieler in einer Anzahl von Perioden aufeinander in jeder Periode wird das gleiche Spiel mit simultanen Zügen gespielt. Bevor sie ihre Aktionen in einer Periode wählen, sind die Spieler über alle Aktionen, die in vorhergehenden Perioden gewählt wurden, informiert. Einleitung 7 Einleitung 8 Gefangenendilemma Wir betrachten das wiederholte Gefangenendilemma als Beispiel für ein wiederholtes Spiel. Die wesentliche Struktur des Gefangenendilemmas ist, dass (ohne Wiederholung) jeder Spieler eine dominante Strategie besitzt die er daher in dem einzigen Nash-Gleichgewicht des Spieles verwendet... es aber eine andere Strategienkombination gibt, die von beiden Spielern strikt vorgezogen wird. Bevor wir mit der Analyse von wiederholen Spielen anfangen, betrachten wir einige reale Dilemmas. Dilemmas der realen Welt Einleitung 9 Dilemmas der realen Welt 10 Standortwettbewerb Individuelle Regionen nutzen finanzielle Anreize, um Firmen zu einem Standortwechsel in ihre Region zu bewegen. Zwei Regionen: Basel, Züri BASEL Anreize Keine Anreize 2, 2 1, 4 Züri Keine 4, 1 3, 3 Zwei reine Strategien: Anreize, keine Dilemmas der realen Welt 11 Dilemmas der realen Welt 12

3 Doping Zwei Spieler: 1, 2 Zwei reine Strategien: dopen, clean Gewinnwahrscheinlichkeit Beide dopen oder beide clean (½, ½) Nur 1 dopt (1,0) Nur 2 dopt (0,1) Preis W=1 L=0 1 d d 1/2 1/2 c c 1 0 1/2 1/2 Dilemmas der realen Welt 13 Dilemmas der realen Welt 14 Anwaltskosten Schiedsgerichtverfahren in Tarifverhandlung GEWERKSCHAFT Es ist eine dominante Strategie einen Anwalt zu engagieren. ARBEITGEBER Anwalt Kein Anwalt Anwalt 46% 23% Kein Anwalt 73% 44% Aber weil beide Seiten einen Anwalt haben, sind die Ergebnisse identisch, wie wenn kein Anwalt eingesetzt würde (bis auf Gebühren). Prozentuelle Gewinnwahrscheinlichkeiten der Arbeitgeber Dilemmas der realen Welt 15 Dilemmas der realen Welt 16 Regeln Endlich wiederholte Spiele Die Regeln eines endlich wiederholten Spieles sind beschrieben durch die Angabe eines Stufenspieles mit simultanen Zügen. der Anzahl der Wiederholungen des Stufenspieles: T. Das Stufenspiel wird in den Perioden t = 1,.., T je einmal gespielt. Dann endet das Spiel. Endlich wiederholte Spiele 17 Endlich wiederholte Spiele 18

4 Präferenzen Wie bewerten die Spieler eine Partie des wiederholten Spieles?. Sei u i (a) die Auszahlungsfunktion von Spieler i in dem Stufenspiel. Die Auszahlungen der Spieler in dem wiederholten Spiel werden als gewichtete Summe der Auszahlungen in den einzelnen Perioden modelliert. Gewichte: (1, δ, δ 2, δ 3, ) wobei δ (0,1). Wir brauchen also für jeden Spieler eine Auszahlungsfunktion u i und einδ. Die Folge von Auszahlungen (a 1,a 2,,a t, ) wird bewertet durch die Summe: u i (a 1 ) + δu i (a 2 ) + δ 2 u i (a 3 ) + = Σδ t-1 u i (a t ) Endlich wiederholte Spiele 19 Endlich wiederholte Spiele 20 Der Parameter δ wird Diskontierungsfaktor genannt. Der Diskontierungsfaktor stellt dar, wie ungeduldig die Spieler sind. Je kleiner δ ist, desto geringer ist die Bedeutung zukünftiger Perioden. Definition Ein endlich wiederholtes Spiel wird also durch die folgenden Angaben definiert das Stufenspiel die Anzahl der Wiederholungen: T (Perioden) der Diskontierungsfaktors: δ Endlich wiederholte Spiele 21 Endlich wiederholte Spiele 22 SPIELER 2 Beispiel: zweimalige Wiederholung des GD Das Gefangenendilemma wird zweimal wiederholt. SPIELER 1 Kooperation Abweichen Kooperation 2, 2 0, 3 Abweichen 3, 0 1, 1 Informationsmenge 1 K b K K A 0+ δ2, 3+ δ2 0+ δ0, 3+ δ3 Gibt es Spielraum für Kooperation? Wenn ein Spieler in der ersten Periode des Spiels nicht kooperiert, kann er in der zweiten Periode des Spiels bestraft werden? A K 1 2 a A K A Periode 1 beginnt da Periode 2 beginnt da 1 c 1 d 1 e A 2 K A 0+ δ3, 3+ δ0 0+ δ1, 3+ δ1 Endlich wiederholte Spiele 23 Endlich wiederholte Spiele 24

5 Strategiemenge Strategiemenge Spieler 1 {(K, K, K, K, K), (K, K, K, K, A),...} (a, b, c, d, e ) (a, b, c, d, e ) Spieler 1 hat insgesamt 2 5 = 32 Strategien! Das gleiche gilt auch für Spieler 2. Strategiekombinationen Reine Strategiekombinationen {((K, K, K, K, K), (K, K, K, K, K)),... } Die reinen Strategien jedes Spielers müssen kombiniert werden um die Menge der Strategiekombinationen zu finden. Es gibt insgesamt 32*32 Strategiekombinationen! Endlich wiederholte Spiele 25 Endlich wiederholte Spiele 26 Geschichte des Spiels Jeder Spieler hat in der ersten Periode die Wahl zwischen zwei Aktionen. Es gibt vier mögliche Geschichten nach der ersten Periode: {(K, K), (K, A), (A, K), (A, A)}. In der zweiten Periode, ist die Aktion eine Funktion der Geschichte des Spiels. Menge der finalen Geschichten {(K, K, K, K,), (K, K, K, A),... }. Endlich wiederholte Spiele 27 Endlich wiederholte Spiele 28 Rückwärts lösen Letzte Periode Frage: Kann es im wiederholten Gefangenendilemma zu Kooperation kommen? Wir lösen das Spiel rückwärts, indem wir zuerst untersuchen, wie die Spieler sich in der zweiten Periode verhalten. Es gibt vier Teilspiele in der zweiten Periode. Jedes Teilspiel ist aber identisch. Im jedem Teilspiel der letzten Periode gibt es ein eindeutiges Nash Gleichgewicht: Beide Spieler weichen ab. SPIELER 1 Kooperation Kooperation 2, 2 SPIELER 2 Abweichen 0, 3 Abweichen 3, 0 1, 1 Endlich wiederholte Spiele 29 Endlich wiederholte Spiele 30

6 Erste Periode In der ersten Periode, führt die Drohung der Bestrafung nicht zur Kooperation. Warum? Die Spieler weichen in der zweiten Periode sowieso ab. Grund: Sie können danach nicht mehr bestraft werden, da das Spiel endet. Deshalb weichen die Spieler schon in der ersten Periode ab. Theorem Besitzt ein Stufenspiel ein eindeutiges Nash- Gleichgewicht (wie das GD), so besitzt das endlich wiederholte Spiel ein eindeutiges teilspielperfektes Gleichgewicht. In diesem wählt jeder Spieler stets seine Gleichgewichtsaktion aus dem Stufenspiel (im GD wählen beide Spieler stets A). Endlich wiederholte Spiele 31 Endlich wiederholte Spiele 32 Bemerkung Ergebnis gilt nicht, wenn das Stufenspiel mehrere Nashgleichgewichte hat. Unendlich wiederholte Spiele Endlich wiederholte Spiele 33 Unendlich wiederholte Spiele 34 In endlichen Spielen führt, wenn die Spieler die Länge des Spiels kennen, Wiederholung nicht zu Kooperation. Als Beschreibung menschlichen Verhaltens in fortlaufenden Beziehungen ist das Modell eines endlich wiederholten Spieles nicht besonders nützlich da Menschen zumindest in den Anfangsperioden einer solchen Beziehung die Tatsache, dass es irgendwann ein Ende geben muss, kaum in Betracht ziehen. Unendlich wiederholte Spiele 35 Unendlich wiederholte Spiele 36

7 Anmerkung: Ist klar, dass eine Beziehung bald enden wird, gibt es durchaus erkennbare Endspieleffekte - hier ist dann das Modell des endlich wiederholten Spieles nützlich. Um zu modellieren, dass die Spieler das Ende einer Beziehung nicht in Betracht ziehen gibt es nur eine Möglichkeit, nämlich ein wiederholtes Spiel ohne letzte Periode zu betrachten. Genau dieses leistet das Modell eines unendlich wiederholten Spieles. Unendlich wiederholte Spiele 37 Unendlich wiederholte Spiele 38 In unendlichen Spielen kann Kooperation entstehen. Grund: Es gibt in jeder Periode eine Zukunft, d.h. die Möglichkeit eine Abweichung zu bestrafen. Der Strategieraum von unendlich wiederholten Spielen ist derart komplex, dass es sich eingebürgert hat, die Analyse auf einfache Strategien zu konzentrieren. Ein Klasse von einfachen Strategien sind die sogenannten Triggerstrategien. Unendlich wiederholte Spiele 39 Unendlich wiederholte Spiele 40 Triggerstrategien Zwei bekannte Triggerstrategien Triggerstrategie: Spieler weicht ab Periode (t + g) für n Perioden ab, wenn sein Gegenüber in Periode t abweicht. In der Regel ist g = 1. Wählt eine Spieler eine Triggerstrategie, wählt er seine Handlung in Abhängigkeit von der Geschichte des Spiel. Unendlich wiederholte Spiele 41 Grimstrategie: Spieler kooperiert solange Gegenüber auch kooperiert. Weicht dieser aber ab, verweigert der Spieler jegliche Kooperation für den Rest des Spiels. Tit-for-tat: Spieler kooperiert in Periode t + 1 wenn Gegenüber in Periode t kooperiert hat, weicht ab, wenn Gegenüber abgewichen ist. Unendlich wiederholte Spiele 42

8 Beispiel: Döner-Preise Ob Grimstrategie oder Tit-for-tat die Spieler kooperieren lässt, ist abhängig von der relativen Gewichtung der zukünftigen Auszahlungen. Hoch SAM S Mittel Wenn Spieler zukünftige Auszahlungen genügend hoch bewerten, können sie es vorziehen, zu kooperieren. City-Liner Hoch Mittel 60, 60 70, 36 36, 70 50, 50 Kebabbuden im Gefangenendilemma (CHF 1000) Unendlich wiederholte Spiele 43 Unendlich wiederholte Spiele 44 Tit-for-tat Zwei Spieler: City-Liner, Sam s Zwei Strategien: Hohe Preise, mittlere Preise Ausgangslage: Die Spieler kooperieren und verlangen beide hohe Preise. Spieler 2 spielt tit-for-tat. Lohnt es sich für Spieler 1 nur einmal abzuweichen? Unendlich wiederholte Spiele 45 Unendlich wiederholte Spiele 46 Wenn ein Spieler abweicht, kann er seine Auszahlung in einer gegebenen Runde von 60 auf 70 also um 10 erhöhen. Aber der andere Spieler wird in der nächsten Periode nicht mehr kooperieren und wenn man wieder zur Kooperation zurückkehrt, erhält er die Auszahlung 36. Spieler 2 spielt tit-for-tat. Lohnt es sich für Spieler 1 für immer abzuweichen? Abweichen: =166 Nicht abweichen: =180 Unendlich wiederholte Spiele 47 Unendlich wiederholte Spiele 48

9 Erfordert Vergleich des kurzfristigen Gewinns mit zukünftigen Verlusten Zeitwert muss in der Kalkulation berücksichtigt werden. Sei r der reale Zinssatz. Der Barwert einer Geldzahlung a, welche in jeder Periode eingeht, ist BW = a + δa + δ 2 a + δ 3 a +. = a + δbw = a/(1 -δ) = a + a/r wobei δ = 1/(1 + r ) < 1 Unendlich wiederholte Spiele 49 Unendlich wiederholte Spiele 50 Wenn ein Spieler abweicht, kann er seine Auszahlung in einer gegebenen Runde von 60 auf 70 also um 10 erhöhen. Aber der andere Spieler wird ab der nächsten Periode nicht mehr kooperieren. Für immer abweichen: 70 + δ50 + δ δ Nicht abweichen: 60 + δ60 + δ δ Für immer abweichen: 70 + δ50 + δ δ = 70+50/r Nicht abweichen: 60 + δ60 + δ δ = 60+60/r Was ist besser? 70+50/r > 60+60/r falls r > 1 Unendlich wiederholte Spiele 51 Unendlich wiederholte Spiele 52 Spiele unbekannter Länge Kooperation ist möglich, wenn die Spieler nicht zu ungeduldig sind, d.h. wenn der reale Zinssatz nicht zu gross ist. Wenn die Zukunft für einen Spieler wenig Bedeutung hat, so ist er eher abgeneigt zu kooperieren. Spieler wissen nicht, wie lange Interaktion andauern wird. Können eine Vorstellung haben, ob das Spiel eine Periode länger andauern wird. Sei p die Wahrscheinlichkeit, dass das Spiel fortgesetzt wird. Unendlich wiederholte Spiele 53 Unendlich wiederholte Spiele 54

10 Dann ist δp die effektive Diskontrate. Effektiver Zinssatz: R = (1 -δp)/ δp Auswege aus dem Gefangenendilemma Unendlich wiederholte Spiele 55 Auswege aus dem GD 56 Bestrafung und Belohnung Bonny und Clyde Das Verhalten im Gefangenendilemma kann durch die Bestrafung von Abweichungen beeinflusst werden. Ursprüngliches Spiel: Gestehen BONNY Leugnen CLYDE Gestehen Leugnen 10 yr, 10 yr 1 yr, 25 yr 25 yr, 1 yr 3 yr, 3 yr Gestehen ist für beide eine dominante Strategie. Nash Gleichgewicht: (Gestehen, Gestehen) Auswege aus dem GD Bestrafung und Belohnung 57 Auswege aus dem GD Bestrafung und Belohnung 58 Abgeändertes Spiel: Gestehen CLYDE Leugnen Es existiert keine dominante Strategie mehr. BONNY Gestehen Leugnen 10 yr, 10 yr 25 yr, 21 yr 21 yr, 25 yr 3 yr, 3 yr Wir finden zwei Nash Gleichgewichte in reinen Strategien (G,G), (L,L). Derjenige der den anderen verpfeift wird nach seiner Entlassung spitalreif verprügelt. Es wird nur bestraft, wenn der andere leugnet (kooperiert). Koordinationsspiel Auswege aus dem GD Bestrafung und Belohnung 59 Auswege aus dem GD Bestrafung und Belohnung 60

11 Abgeändertes Spiel: Gestehen BONNY Leugnen CLYDE Gestehen Leugnen 30 yr, 30 yr 21 yr, 25 yr 25 yr, 21 yr 3 yr, 3 yr Führerschaft Der eine Spieler kann in aktuellen Situationen relativ gross sein (Führer) und der andere relativ klein (Nachfolger). Dominante Strategie Dominante Strategie Es wird auch bestraft, wenn der andere leugnet. Wird normalerweise von Drittpartei eingeführt (z.b. Mafia). Wenn die Höhe der Auszahlungen unterschiedlich ist, fällt ein so grosser Teil des Verlusts auf den grösseren Spieler, so dass dieser kooperiert. Auswege aus dem GD Bestrafung und Belohnung 61 Auswege aus dem GD Führerschaft 62 Döner-Preise Beispiel: Saudi Arabien in der OPEC Ursprüngliches Spiel: Hoch SAM S Mittel Um Kartell aufrecht zu erhalten, reduzieren sie angesichts des Ausscherens der anderen (z.b. Libyen) ihre Fördermenge. City-Liner Hoch Mittel 60, 60 70, 36 36, 70 50, 50 Kebabbuden im Gefangenendilemma (CHF 000) Auswege aus dem GD Führerschaft 63 Auswege aus dem GD Führerschaft 64 Abgeändertes Spiel: Hoch CITY-LINER Mittel Dominante Strategie SAM S Hoch Mittel 156, , , , 50 Dominante Strategie City-Liner hat neu die dominante Strategie, einen hohen Preis zu verlangen. Spieler können höhere Auszahlungen erzielen, wenn sie Ausgleichszahlungen leisten können. Auswege aus dem GD Führerschaft 65 Auswege aus dem GD Führerschaft 66

12 U(H,H) = (156,60); U total = = 216 U(H,M) = (132,70); U total = = 202 Wenn City-Liner verspricht an Sam s eine Ausgleichszahlung von 11 oder mehr zu leisten, liegen die Auszahlungen zwischen (145,71) und (133, 83). Beispiel: Trittbrettfahren in Allianzen (Olson) Evidenz durch Experimente Auswege aus dem GD Führerschaft 67 Evidenz durch Experimente 68 Kooperation lässt sich in Experimenten feststellen. Sogar in wiederholten Spielen endlicher Länge Viele Spieler beginnen kooperierend. Kooperieren die meiste Zeit des Spiels, solange die anderen kooperieren. Beginnen in den letzten Runden abzuweichen. Spieler welche wiederholt diese Experimente machen, kooperieren mit der Zeit weniger oft. Es kommt vor, dass Spieler betrügerische Abmachungen treffen. Experimente enthalten Unsicherheit, wann das Spiel enden wird. Sonst würde Rückwärtsinduktion zu nicht Kooperieren führen. Axelrod s Simulationen und Tit-for-tat Evidenz durch Experimente 69 Evidenz durch Experimente 70