SCHRIFTLICHE ABITURPRÜFUNG Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 210 Minuten

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1 Mathematik (Grundkursniveau) Arbeitszeit: 10 Minuten Es sind die drei Pflichtaufgaben und eine Wahlpflichtaufgabe zu lösen. Der Prüfling entscheidet sich für eine Wahlpflichtaufgabe. Die zur Bewertung vorgesehene Wahlpflichtaufgabe ist vom Prüfling anzukreuzen. Wahlpflichtaufgabe 4.1 Wahlpflichtaufgabe 4. Unterschrift Seite 1 von 5

2 Pflichtaufgaben Aufgabe 1 Analysis Gegeben sind die Funktionen f a durch y f (x) x a 3 a x 3 a x a mit x R, a R und a > 0. Ihre Graphen seien G a. a) Ermitteln Sie die Art und Lage der lokalen Extrempunkte der Graphen G a und eine Gleichung der Ortskurve ihrer lokalen Hochpunkte. Untersuchen Sie das Verhalten der Funktionen f a für x. b) Zeigen Sie, dass x = 1 Nullstelle der Funktion f 1 ist und untersuchen Sie die Funktion f 1 auf weitere Nullstellen. Zeichnen Sie den Graphen G 1 im Intervall x 1,5 in ein kartesisches Koordinatensystem. Der Graph G 1 schließt mit der x Achse eine Fläche vollständig ein. Berechnen Sie die Maßzahl des Inhaltes dieser Fläche. c) Einer Kugel, deren Radius die Maßzahl 1 hat, soll ein gerader Kreiskegel mit größtmöglichem Volumen so einbeschrieben werden, dass der Mittelpunkt der Kugel im Inneren des Kegels liegt. Die Abbildung zeigt von einem einbeschriebenen Kegel und der Kugel einen ebenen Schnitt durch die Kegelspitze und den Kugelmittelpunkt. Zeigen Sie, dass V(x) f1(x) ( x x x 1) 3 3 Gleichung einer Zielfunktion V zum Lösen dieser Extremwertaufgabe ist und geben Sie den größtmöglichen Definitionsbereich der Zielfunktion an. Die Funktion V hat die gleichen lokalen Extremstellen wie die Funktion f 1. Geben Sie die Höhe des Kreiskegels, dessen Volumen maximal ist, an. Seite von 5

3 Pflichtaufgaben Aufgabe Analytische Geometrie Das Walmdach eines Hauses hat die Form eines geraden dreiseitigen Prismas, von dem zwei zueinander kongruente dreiseitige Pyramiden abgeschnitten sind (siehe nicht maßstäbliche Abbildung). Die Grundfläche des Prismas ist das gleichschenklige Dreieck ABL mit der Basis AB. Durch die folgenden Punkte wird das Walmdach in einem kartesischen Koordinatensystem beschrieben: A(10 0 0); B(10 8 0); C(0 8 0); E(8 4 4). Eine Einheit entspricht einem Meter. a) Stellen Sie eine Gleichung der Geraden g auf, die die Punkte A und E enthält und berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, den diese Gerade mit der xy-ebene einschließt. Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes auf der Geraden g, der die z-koordinate hat. Die Gerade g liegt in der Ebene mit der Gleichung x + z 0 = 0. Zeigen Sie, dass auch der Punkt B in der Ebene liegt. Begründen Sie, dass der Punkt L die Koordinaten x L = 10, y L = 4 und z L = 4 hat und berechnen Sie den Abstand des Punktes L von der Ebene b) Das Dachgeschoss des Hauses soll vermietet werden. Als vollwertige Wohnfläche gilt nur die Fläche des Dachgeschosses, über der die Raumhöhe mindestens m beträgt. Berechnen Sie den Inhalt der vollwertigen Wohnfläche. Seite 3 von 5

4 Pflichtaufgaben Aufgabe 3 Stochastik Für den Verkauf in Heimwerkermärkten werden Schrauben abgepackt. Die Anzahl der Schrauben in einer Packung schwankt bei der maschinellen Abpackung zufällig von 39 bis 43 Schrauben. a) Die Zufallsgröße Y beschreibe die Anzahl der Schrauben in einer Packung. Aus langjähriger Erfahrung ergibt sich für die Zufallsgröße Y folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung, die in der Tabelle unvollständig dargestellt ist. Y = i P(Y = i) 0,51 0,364 0,7 0,058 Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P(Y = 39). b) In einer Stichprobe von 100 Packungen wird jeweils die Anzahl der Schrauben ermittelt. Eine Packung gilt als normgerecht, wenn sie mindestens 40 Schrauben enthält. Die Zufallsgröße X sei die Anzahl normgerechter Packungen in der Stichprobe. Begründen Sie, dass die Zufallsgröße X als binomialverteilt mit n = 100 und 0,9 als Wahrscheinlichkeit angesehen werden kann. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: Genau 90 Packungen sind normgerecht. B: Mehr als 86, aber höchstens 93 Packungen sind normgerecht. c) Durch eine veränderte Abpacktechnologie vermutet ein Großhändler einen erhöhten Anteil normgerechter Packungen und hält eine Preiserhöhung für gerechtfertigt. In einer Stichprobe von 500 Packungen, die nach der veränderten Technologie abgepackt wurden, soll geprüft werden, wie viele Packungen normgerecht sind. Die Zufallsgröße Z beschreibe die Anzahl normgerechter Packungen in der Stichprobe. Die Entscheidung über die Preiserhöhung soll anhand eines rechtsseitigen Signifikanztests mit der Hypothese H 0 : p 0,9 als Nullhypothese und dem Ablehnungsbereich A = {460; 461;...; 499; 500} getroffen werden. Beurteilen Sie die Eignung der Hypothese H 0 als Nullhypothese. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit für den Fehler 1. Art. Seite 4 von 5

5 Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4.1 Analysis Gegeben sei eine Funktion f mit y f(x) und x R. x 1 e Der Punkt W(0 f(0)) ist der einzige Wendepunkt des Graphen der Funktion f. a) Berechnen Sie den Funktionswert f( ln3) und untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen. Ermitteln Sie das Verhalten der Funktion f für x und weisen Sie nach, dass die Funktion f für alle x R streng monoton wachsend ist. b) Schlussfolgern Sie aus Eigenschaften der Funktion f (oder aus Eigenschaften des Graphen von f) auf zwei Eigenschaften der Ableitungsfunktion f bzw. des Graphen von f. Wahlpflichtaufgaben Aufgabe 4. Analytische Geometrie Gegeben sind die Vektoren a, b, c und d des dreidimensionalen Raumes mit 0 1 a, 3 b, 4 1 c und d a c. 1 a) Berechnen Sie das Gradmaß des Winkels, den die Vektoren a und b einschließen. Weisen Sie nach, dass die Vektoren a, b und c linear unabhängig sind. Berechnen Sie die Koordinaten des Vektors a, c und d komplanar sind. d und begründen Sie, dass die Vektoren b) Die Vektoren a und b, a und c sowie b und c sind jeweils linear unabhängig. Begründen Sie, dass die paarweise lineare Unabhängigkeit dreier beliebiger Vektoren des dreidimensionalen Raumes keine hinreichende Bedingung dafür ist, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind. Seite 5 von 5

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