Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Mathe-Abiturprüfung 2011 mit ausführlichen Lösungen (Baden-Württemberg)

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Hella Kalb
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2 Abitur-Prüfung 20 mit Lösungen (Baden-Württemberg): Vorwort: Sehr geehrte Schülerinnen und Schüler, auf den folgenden Seiten finden Sie die Abiturprüfung 20 in Baden-Württemberg mit ausführlichen und leicht verständlichen Lösungen. Das Inhaltsverzeichnis auf Seite 2 ermöglicht Ihnen eine schnelle Orientierung. Anhand der kompakten Lösungsübersicht auf Seite 6 und 7 können Sie sofort überprüfen, ob Sie richtig gerechnet haben. Die ausführlichen Lösungswege finden Sie ab Seite 8. Die Abiturprüfung in Mathematik ist in einen Pflichtteil und in einen Wahlteil unterteilt. Im Pflichtteil werden Grundkenntnisse in Form von kleineren Aufgaben abgefragt. Hierzu sind keinerlei Hilfsmittel zugelassen. Im Wahlteil darf ein grafikfähiger Taschenrechner benutzt werden. Die Aufgaben des Wahlteils sind anspruchsvoller, weil darin Lösungsstrategien entwickelt und praktische Probleme mit mathematischen Methoden gelöst werden sollen. Die Bezeichnung Wahlteil kommt daher, weil die Lehrkraft jeweils einen Aufgabensatz aus zwei bzw. drei Aufgabenvorschlägen zur Analysis und zur analytischen Geometrie auswählen darf. Die Themen der Abiturprüfung in Baden-Württemberg sind folgende: Analysis: Differenzial- und Integralrechnung, Gleichungen lösen, Tangenten- bzw. Normalengleichungen aufstellen, Asymptoten bestimmen, Funktionsgleichungen aufstellen, Funktionen und ihre Schaubilder, Flächenberechnungen mit Integralen, Änderungsraten und Integration über Änderungsraten, Mittelwertberechnungen, Etremwertaufgaben, Symmetrie von Schaubildern, beschränktes Wachstum, ganz-rationale und gebrochen-rationale Funktionen, trigonometrische Funktionen, Eponentialfunktionen. Analytische Geometrie: Gleichungssysteme, Geraden- und Ebenengleichungen aufstellen, Ebenen im Koordinatensystem, Punktprobe, Abstand zweier Punkte, Länge von Vektoren, Abstand Punkt- Ebene, Abstand Punkt-Gerade, Lage zwischen Geraden und Ebenen, Berechnung von Schnittpunkten, Winkelberechnungen, Spiegelungen an Geraden und Ebenen, Anwendungsaufgaben. Stochastik (erst ab 20): Mehrstufige Zufallseperimente, Baumdiagramme, Pfadregel und Summenregel, Berechnung des Erwartungswerts, Wahrscheinlichkeiten von Binomialverteilungen, einseitiges Testen von Hypothesen, Anwendungsaufgaben. Die Bewertungsskala: Erreichte Punkte Notenpunkte Erreichte Punkte Notenpunkte Mathematik-Verlag, - -

3 Abitur-Prüfung 20 mit Lösungen (Baden-Württemberg): Prüfungsaufgaben... Lösungsübersicht... 6 Ausführliche Lösungen: Pflichtteil... 8 Wahlteil Analysis... Wahlteil Analysis Wahlteil Analysis Wahlteil Analytische Geometrie Wahlteil Analytische Geometrie Hinweise zum Copyright: Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt und nur für die eigene Nutzung zugelassen. Kopieren und Vervielfältigen der vorliegenden Datei ist verboten! Jede Nutzung in anderen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlags. Hinweis zu 52a UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung vervielfältigt oder in ein Netzwerk eingestellt werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen und sonstigen Bildungseinrichtungen. Ausgenommen von diesen Regelungen ist die Verwendung für folgende Unterrichtszwecke: So dürfen Lehrkräfte die vorliegende Datei zu Unterrichtszwecken ausdrucken, mit elektronischen Projektionsverfahren (wie Laptop und Beamer) einsetzen und OHP- Folien erstellen. Verboten ist allerdings die Weitergabe der Dateien auf elektronischen Datenträgern. Verstöße werden strafrechtlich verfolgt! Mathematik-Verlag 207, Mosbach Mathematik-Verlag Steige Mosbach Internet: info@matheverlag.com Mathematik-Verlag,

4 Prüfung 20 Pflichtteil 20: (Lösungsübersicht auf S. 6). Aufgabe : (2 Punkte) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = sin(2). Aufgabe 2: (2 Punkte) Berechnen Sie das Integral (2 ) d. Aufgabe : ( Punkte) Lösen Sie die Gleichung e 2 + 6e =. Aufgabe : ( Punkte) Gegeben sind die Funktionen f und g mit f() = e und g() = e + 2. a) Beschreiben Sie, wie das Schaubild von g aus dem Schaubild von f entsteht. b) Zeigen Sie, dass sich die Schaubilder von f und g im Punkt P(0 ) berühren. Aufgabe 5: (5 Punkte) Die Abbildung zeigt das Schaubild einer Funktion f. F ist eine Stammfunktion von f y 0 Schaubild von f 2 Begründen Sie, dass folgende Aussagen wahr sind: () F ist im Bereich monoton wachsend. (2) f hat im Bereich,5,5 drei Nullstellen. () 0 f '() d = () O(0 0) ist Hochpunkt des Schaubilds von f. Aufgabe 6: ( Punkte) Lösen Sie das lineare Gleichungssystem: = = + = Interpretieren Sie das Gleichungssystem und seine Lösungsmenge geometrisch. Aufgabe 7: ( Punkte) Gegeben sind die Ebene E: und die Gerade g: = t. 7 8 = 0 a) Zeigen Sie, dass E und g parallel zueinander sind. b) Bestimmen Sie den Abstand von E und g. Aufgabe 8: ( Punkte) Gegeben sind eine Gerade g und ein Punkt A, der nicht auf g liegt. Beschreiben Sie ein Verfahren, mit dem man denjenigen Punkt B auf g bestimmt, der den kleinsten Abstand von A hat. Wahlteil 20 Analysis :. (Lösungsübersicht auf Seite 6) Für jedes a 0 ist eine Funktion f a mit f a () = gegeben. Ihr Schaubild ist K a. + a a) (7 Punkte) Bestimmen Sie die maimale Definitionsmenge von f 2. Geben Sie die Asymptoten von K 2 an. Das Schaubild K 2 besitzt genau zwei Wendepunkte. Bestimmen Sie deren Koordinaten. Welcher Punkt P(u v) von K 2 mit 0 u 2 hat vom Punkt A( 0) den kleinsten Abstand? b) (5 Punkte) Zeigen Sie, dass K 2 mit keinem anderen Schaubild K a einen gemeinsamen Punkt besitzt. Bestimmen Sie den Punkt Q a, in dem K a eine waagrechte Tangente besitzt. Wo liegen alle Punkte Q a? c) (6 Punkte) Die Schaubilder K und K 2 schließen mit der y-achse und der Geraden = 2 eine Fläche ein. Bei der Rotation dieser Fläche um die -Achse entsteht ein Drehkörper, der als Düse benutzt wird (Längeneinheit cm). Berechnen Sie die Masse einer solchen Düse, die aus Titan mit einer Dichte von,5 g cm besteht. Diese Düse wurde aus einem massiven Kegel der Höhe cm und der -Achse als Rotationsachse ausgefräst. Welchen Radius hatte der Grundkreis dieses Kegels mindestens? Mathematik-Verlag, - -

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