Auflösungsvermögen bei dunkelen Objekten

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1 Version: 27. Juli 2004 Auflösungsvermögen bei dunkelen Objekten Stichworte Geometrische Optik, Wellennatur des Lichts, Interferenz, Kohärenz, Huygenssches Prinzip, Beugung, Auflösungsvermögen, Abbé-Theorie zur Auflösung optischer Instrumente, Apertur, Vergrößerung, Okular, Objektiv,Hauptebenen, Bildentstehung nach Abbé, Linsenfehler, Laser. zusätzliche Literatur: Bergmann-Schaefer III (Bildentstehung im Mikroskop nach Abbé). Grundlagen Projektionsapparat (für Physiker) Um eine gute Vergrößerung von einem Diapositiv in einem bestimmten Abstand zu erhalten, muß das Dia gut ausgeleuchtet sein und die Abbildungslinse eine bestimmte Brennweite haben. Im vorliegenden Versuch soll zunächst ein Projektionsapparat mit einem Linsensystem aufgebaut werden. Der Abbildungsmaßstab β folgt aus der Linsengleichung zu 1 f = 1 b + 1 g β = b g = B G (- 1) (- 2) (f: Brennweite, b: Bildweite, g: Gegenstandsweite, B: Bildgröße, G: Gegenstandsgröße) 2. Mikroskop Durch eine Abbildungslinse (Objektiv) wird ein vergrößertes reelles Zwischenbild des Gegenstands entworfen, wobei sich der Gegenstand zwischen einfacher und doppelter Brennweite des Objektivs befindet. Dieses Zwischenbild wird zunächst auf einem Schirm aufgefangen und mit einer Lupe als Okular betrachtet, d. h. noch einmal vergrößert. Das von der Lupe entworfene Bild des Gegenstands ist ein virtuelles Bild, wenn sich der Gegenstand (hier das Zwischenbild) innerhalb der Brennweite der Lupe befindet. Um eine möglichst starke Vergrößerung zu erhalten, sollte das Zwischenbild möglichst nahe am Brennpunkt der Lupe liegen. Das Bild des Gegenstandes wird dann als im Unendlichen liegend empfunden. Wenn sich das Auge möglichst nahe an der Lupe befindet, wird das Gesichtsfeld am größten. Die Vergrößerung einer Lupe ist in Versuch O50 behandelt: Aus den Verhältnissen der Sehwinkel ergibt sich die Vergrößerung V L der Lupe zu: V L = S 0 f L (- 3) 413

2 Optik Version: 27. Juli 2004 (S 0 : Deutliche Sehweite, f L :BrennweitederLupe) 414

3 Version: 27. Juli 2004 Die Gesamtvergrößerung V ges des Mikroskops ist das Produkt der Vergrößerung der Abbildungslinse und der Lupe. V ges = β V L (- 4) Damit gilt für die Vergrößerung eines Mikroskops auch: V M = S 0 t (- 5) f 1 f 2 wobei f 1 und f 2 die Brennweiten von Objektiv und Okular sind und t die optische Tubuslänge, d.h. der Abstand der hinteren Brennebene des Objektivs zur vorderen Brennebene des Okulars. Abb. - 1: Zur Vergrößerung des Mikroskops. F 1 : Brennpunkt des Objektivs, F 2 : Brennpunkt des Okulars, t: optische Tubuslänge Den Strahlengang in einem Mikroskop mit richtig angebrachtem Kondensor zeigt Abb. (- 1). 3. Autokollimation F: Brennpunkte für G: Gegenstand Kondensor K ZB: Zwischenbild Objektiv O (f 0 ) t M : mechanische Federlänge Lupe L (f L ) t: optische Tubuslänge Augenlinse A (f A ) mit dem Verfahren der Autokollimation kann man die Brennweite einer dünnen Linse bestimmen, indem man hinter der Linse (siehe Abb. (- 3)) einen Spiegel anbringt und den Gegenstand mit Hilfe dieser Linse im Verhältnis 1:1 in der Gegenstandsebene abbildet. Das Verfahren ergibt eine Abbildung aus dem Unendlichen; der Abstand zwischen Gegenstand und Linse ist genau die Brennweite. 415

4 Optik Version: 27. Juli 2004 Kondensor Objektiv Okular (Lupe) Augenlinse Schirm t M f O t f L G F O F L ε F K F O ZB F A F L B f A Augenphantom Abb. - 2: Strahlengang im Mikroskop mit Augenphantom Abb. - 3: G: halb abgedecktes Rasterdia, 2: Linse der Brennweite f Bei einem Linsensystem muß beachtet werden, daß die Bild- und Gegenstandsweite von der jeweiligen Hauptebene aus gemessen wird. Sei c der Abstand der Gegenstands-seitigen Hauptebene zu einem bestimmten Aufpunkt P, so gilt für die von P aus gemessene Gegenstandweite g P : g P = f + c (- 6) Es ist eine weitere Messung nach einem anderen Verfahren nötig, um die Brennweite f des Linsensystems experimentell zu bestimmen. 416

5 Version: 27. Juli 2004 primres Bild (Ort des Spalts) sekundres Bild S 2 S 1 L L +S 1 +S 2 Gitter Objektiv Brennebene Zwischenbild Abb. - 4: Schema zur Bildentstehung nach Abbé 4. Auflösungsvermögen optischer Systeme bei nicht selbstleuchtenden Objekten (Abbé-Theorie) Die Abbé-Theorie behandelt das Auflösungsvermögen eines optischen Systems im Extremfall eines kohärent beleuchteten Objektes. Zur Erläuterung der Abbé-Theorie des Auflösungsvermögens eines Mikroskops wird als Objekt ein Strichgitter betrachtet, das mit parallelem, monochromatischem Licht von hinten beleuchtet wird (Abb. (- 4)). Wäre kein Objekt im Strahlengang, so würde die im Unendlichen liegende Lampe L im Punkt L in der Brennebene abgebildet. Bringt man ein Gitter in den Strahlengang, so wird das Licht gebeugt, und es treten Lichtstrahlen schräg zur optischen Achse ins Objektiv ein, die in der Brennebene die gebeugten Bilder der Lichtquelle S 1, S 2,... erzeugen. Dieses Beugungsbild der Lichtquelle nennt Abbé das primäre Bild. Wie man aus Abb. (- 4) sieht, vereinigen sich nun jeweils ein Strahl nullter Ordnung mit seinen zugehörigen Beugungsstrahlen 1., 2.,... Ordnung in der Ebene des Zwischenbildes zu einem reellen Bild des Objektivs, das von Abbé als sekundäres Bild bezeichnet wird. Eine Abbildung der Objektstruktur im sekundären Bild ist direkt an das Vorhandensein von Beugungsbildern der Lichtquelle geknüpft. Durch Einfügen von Spalten und Blenden in die hintere Brennebene des Objektivs kann das Bild des Gegenstands verändert werden. So führt z. B. die Ausblendung aller Beugungsordnungen außer der nullten zu einem gleichmäßig beleuchteten Bildöhne Struktur. Ist die Objektivöffnung zu klein, um die gebeugten Strahlen noch aufzunehmen, dann entsteht kein primäres Bild und das Zwischenbild hat keine Struktur. Um eine Abbildung des strukturierten Objektes zu erhalten, müssen also mindestens noch die Beugungsmaxima 1. Ordnung ins Objektiv fallen. 417

6 Optik Version: 27. Juli L K G O O B +2 Abb. - 5: Schema zur Bildentstehung nach Abbé Abb. (- 5): (Aus Michel, Theorie des Mikroskops). Der Einfluß der Objektivöffnung nach der Abbé-Theorie. Die Objektivöffnung (OÖ) wirkt als Blende. Sie läßt aus der das Beugungsbild der Lichtquelle darstellenden Reihe von Maxima in der Zwischenebene nur eine ihrem Durchmesser entsprechende Zahl wirksam werden. L: Lichtquelle, K: Kondensor, G: Gegenstand, O: Objektiv, B: Bildebene Die Beugungsmaxima 1. Ordnung treten auf unter dem Winkel sin ϕ 1 = λ D (- 7) (λ: Wellenlänge des Lichtes, D: Gitterkonstante) Dieser Beugungswinkel darf im höchsten Fall gleich dem Öffnungswinkel α (Apertur) des Objektivs sein. sin α sin ϕ 1 = λ D (- 8) Daraus folgt der kleinste noch auflösbare Abstand D zweier Gegenstandspunkte: D = λ (- 9) sin α Hat man ein Flüssigkeits-Immersionssystem, so ist die numerische Apertur n sin α einzusetzen (n: Brechzahl der Flüssigkeit). Als Auflösungsvermögen des Mikroskops definiert man den reziproken Wert von D : 1 D = n sin α λ (- 10) 418

7 Version: 27. Juli 2004 Meßprogramm für Nicht-Physiker Auflösungsvermögen optischer Systeme bei nicht selbstleuchtenden Objekten (Abbé- Theorie) 1. Stellen Sie das Augenphantom (Linse f A = 10 cm mit Schirm) auf unendlich ein. 2. Bestimmen Sie die Vergrößerung einer Lupe (späteres Okular, Linse f L =5cm)nach Gl. (- 3), indem Sie die Bildgröße B auf der Netzhaut (hier: Schirm) messen. Gegenstand G: Geodreieck, Lichtquelle: Tischlampe. 3. Bauen Sie ein Mikroskop auf (Okular f L = 50 mm, Objektiv f O = 50 mm). Bilden Sie den Mikroskopmaßstab (5 mm in 200 Teile) mit Hilfe des Mikroskops und des Augenphantoms auf die Netzhaut (Schirm) ab. Messen Sie die Mikroskopvergrößerung und vergleichen Sie sie mit dem theoretischen Wert nach Gl. (- 5). Lichtquelle: Laser. 4. Bilden Sie mit einer Hilfslinse (f = 150 mm) zwischen Objektiv und Okular die hintere Brennebene der Objektivlinse (also das primäre Bild) auf den Schirm ab. Bringen Sie einen verstellbaren Spalt auf einem Verschiebereiter in die hintere Brennebene. Skizzieren Sie das Beugungsbild des Mikroskopmaßstabs und ordnen Sie die Punkte der Teilung des Maßstabs zu. 5. Blenden Sie die hellen Punkte des Beugungsbildes mit Hilfe des Spaltes aus, so daß nur die lichtschwächeren Punkte zwischen den hellen Punkten zur Abbildung beitragen. Entfernen Sie die Hilfslinse. Erklären Sie, woher die zur Abbildung verwendeten Beugungspunkte rühren. Skizze. 6. Verwenden Sie nur einen der hellen Punkte des Beugungsbildes zur Abbildung. Weiter wie unter 5). 419

8 Optik Version: 27. Juli 2004 Meßprogramm für Physiker 1. Stellen Sie die Kondensorlinse (f = 4 cm) am Lampengehäuse so ein, daß paralleles Licht entsteht. Dies kann durch Abbildung der Glühwendel an einer weit entfernten Wand geschehen. 2. Bauen Sie nun einen Projektionsapparat auf mit einem Linsensystem als Objektiv, bestehend aus zwei Linsen mit f = 15 cm und f = 20 cm im Abstand d = 6 cm (Abstandshalter und schmale Reiter benutzen). Bestimmen Sie die Brennweite des Linsensystems durch Autokollimation und mit einer 1:1-Abbildung. Bei beiden Verfahren wird ein Rasterdia auf ein identisches halbabgedecktes Rasterdia abgebildet. Hinweise: Zur Bestimmung von f bilden Sie die Differenz der von P (Ablesemarke auf dem Abstandshalter) gemessenen Gegenstandsweiten g aus der 1:1-Abbildung und g aus der Autokollimation (Abb. (- 6) u. (- 7)). Beleuchten Sie zur Bestimmung der rechts- und linksseitigen Brennebene das Linsensystem einmal von rechts und einmal von links. Notieren Sie sich die gegenstandsseitige und bildseitige Lage der Hauptebenen H und H und der Brennweiten f und f des Linsensystems bezüglich P (Skizze!). Messen Sie g und g jeweils 3 mal und bilden Sie den Mittelwert. H H G P g h g = 2f B 2f = g + h Abb. - 6: 1:1 - Abbildung H H G B g g = f P h Spiegel f = g + h Abb. - 7: Autokollimation Vergleichen Sie die so erhaltenen Werte für die Brennweiten mit der Formel für die Brennweite von zwei dünnen Linsen: f = f 1 f 2 f 1 + f 2 d (- 11) 420

9 Version: 27. Juli 2004 Beurteilen Sie die Anwendbarkeit von Gl. (- 11) auf das vorliegende Linsensystem! Erzeugen Sie mit dem Projektionsapperat ein scharfes vergrößertes Bild eines Dias. 3. Bauen Sie ein Mikroskop auf mit dem Linsensystem aus Aufgabe 2.) als Objektiv. Als Okular verwenden Sie eine Linse mit f = 5 cm und als Gegenstand einen Glasmaßstab mit mm-teilung. Das Bild wird mit einem Augenphantom - bestehend aus einer Linse mit f = 8 cm und einem Bildschirm - betrachtet. Das Augenphantom muß auf eingestellt werden, durch Scharfstellen eines weit entfernten Gegenstands (z. B. Leuchtstoffröhre) auf dem Gang. Die Gesamtvergrößerung V M des Mikroskops soll bestimmt werden (Formeln siehe auch O 50, O52). V M ist das Produkt aus der Lateralvergrößerung des Objektivs und der Winkelvergrößerung des Okulars. V M = B G S0 (- 12) f a (f a = Brennweite der Augenlinse) V M = t opts 0 (- 13) f L f 0 (f L = Okularbrennweite, f 0 = Objektivbrennweite, S 0 = deutliche Sehweite) Messen Sie die Gegenstandsgröße G, die Bildgröße B und die optische Tubuslänge t opt. Die optische Tubuslänge ist der Abstand zwischen der bildseitigen Brennebene des Linsensystems und der objektivseitigen Brennebene des Okulars. Vergleichen Sie die aus den Gleichungen (- 12) und (- 13) berechneten Mikroskopvergrößerungen. 4. Verdeutlichung der Abbé-Theorie zum Auflösungsvermögen des Mikroskops: Ersetzen Sie die Lampe mit Kondensor aus Aufgabe 3.) durch einen He-Ne-Laser (Laserschutzbrille!) und das Objektiv aus Aufgabe 3.) durch eine Linse mit f = 5 cm. Als Gegenstand dient der Mikroskopmaßstab ( 5 mm / 200 Skt ). Direkt vor dem Maßstab soll eine Lochblende aufgestellt werden, um Reflexe nach hinten in den Versuchsraum zu vermeiden. a) Bilden Sie zunächst den Mikroskopmaßstab mit Hilfe des Mikroskops und des Augenphantoms auf dem Schirm ab. Bestimmen Sie die Gesamtvergrößerung V M des Mikroskops nach Gl. (- 12) und (- 13). b) Durch Einbauen einer Hilfslinse (f = 15 cm) zwischen Objektiv und Okular kann das primäre Interferenzbild auf dem Schirm des Augenphantoms oberhalb des Augenphantoms vergrößert abgebildet werden. Skizzieren Sie das Beugungsbild des Mikroskopmaßstabs und ordnen Sie die Punkte des Beugungsbilds der Teilung des Maßstabs zu. 421

10 Optik Version: 27. Juli 2004 c) Stellen Sie einen verstellbaren Spalt in die hintere Brennebene des Objektivs (= Ort des primären Interferenzbildes). Stellen Sie den Spalt so ein, daß sowohl die hellen Beugungsmaxima 0. als auch 1. Ordnung zur Abbildung beitragen. Entfernen Sie dann die Hilfslinse. Hat sich das sekundäre Bild des Mikroskopmaßstabs verändert? d) Verschieben Sie nun den Spalt so, daß zwei helle und mehrere dunkle Beugungsmaxima zur Abbildung beitragen, jedoch nicht die 0. Ordnung. Wie sieht dann das sekundäre Bild im Vergleich zu c) aus? e) Blenden Sie nun die hellen Punkte des Beugungsbildes mit Hilfe des Spaltes aus, so daß nur die lichtschwachen Punkte zwischen den hellen Punkten zur Abbildung beitragen. Entfernen Sie die Hilfslinse und machen Sie eine Skizze des sekundären Bildes des Mikroskopmaßstabs. Erklären Sie den Unterschied im Vergleich zu c), d) und e). f) Verwenden Sie nur einen der hellen Punkte zur Abbildung. Skizzieren Sie das sekundäre Bild des Mikroskopmaßstabs. g) Ersetzen Sie den Mikroskopmaßstab durch ein Kreuzgitter (n = 100). Erzeugen Sie ein scharfes Bild des Kreuzgitters auf dem Bildschirm des Augenphantoms. Blenden Sie alle horizontalen Beugungsordnungen bis auf die nullte des primären Bildes aus. Wie verändert sich das sekundäre Bild des Kreuzgitters (Skizze, Erklärung). Drehen Sie den Spalt um 90 o und wiederholen Sie diesen Versuchsteil. Lochblende Objektiv f = 5 cm Hilfslinse f = 15 cm Okular f = 5 cm Linse des Augenphantoms f = 8 cm Laser f Mikroskopmastab Spalt Abb. - 8: Skizze der Versuchsanordnung zu Aufgabe 4 422

11 Version: 27. Juli 2004 Fragen 1. Was bewirkt eine Immersionsflüssigkeit zwischen Objekt und Objektiv? 2. Stellen Sie ɛ und ɛ 0 bzw. V = ɛ ɛ 0 Abb. 2. durch B, G, S 0 und f A dar. Verwenden Sie hierzu 3. Warum hat das Elektronenmikroskop ein größeres Auflösungsvermögen als ein Lichtmikroskop? 4. Wann sind Lichtwellen kohärent? Zusatzfragen für Physiker 1. Zeichnen Sie den Strahlengang eines Projektionsapparates. 2. Zeichnen Sie den Strahlengang eines Mikroskops mit einem auf Unendlich eingestellten Augenphantom 3. Skizzieren Sie die optische und die mechanische Tubuslänge des Mikroskops. 4. Wie definiert man das Auflösungsvermögen eines Mikroskops, wovon hängt es ab und wie kann man es vergrößern? 423

12 Optik Version: 27. Juli

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