Theoretische Informatik I

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1 Theoretische Informatik I Rückblick Theoretische Informatik I 1. Mathematische Methoden 2. Reguläre Sprachen 3. Kontextfreie Sprachen

2 Themen der Theoretischen Informatik I & II Mathematische Methodik in der Informatik TI-1 Theoretische Informatik I 4: 1 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

3 Themen der Theoretischen Informatik I & II Mathematische Methodik in der Informatik Automatentheorie und Formale Sprachen Endliche Automaten und Reguläre Sprachen Lexikalische Analyse Kontextfreie Sprachen und Pushdown Automaten Syntaxanalyse und Semantik Die Chomsky Hierarchie TI-1 TI-1 Theoretische Informatik I 4: 1 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

4 Themen der Theoretischen Informatik I & II Mathematische Methodik in der Informatik Automatentheorie und Formale Sprachen Endliche Automaten und Reguläre Sprachen Lexikalische Analyse Kontextfreie Sprachen und Pushdown Automaten Syntaxanalyse und Semantik Die Chomsky Hierarchie Theorie der Berechenbarkeit Berechenbarkeitsmodelle Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit Unlösbare Probleme (Unentscheidbarkeit) TI-1 TI-1 TI-2 Theoretische Informatik I 4: 1 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

5 Themen der Theoretischen Informatik I & II Mathematische Methodik in der Informatik Automatentheorie und Formale Sprachen Endliche Automaten und Reguläre Sprachen Lexikalische Analyse Kontextfreie Sprachen und Pushdown Automaten Syntaxanalyse und Semantik Die Chomsky Hierarchie Theorie der Berechenbarkeit Berechenbarkeitsmodelle Aufzählbarkeit und Entscheidbarkeit Unlösbare Probleme (Unentscheidbarkeit) Komplexitätstheorie Komplexitätsmaße und -klassen für Algorithmen und Probleme Nicht handhabbare Probleme (N P-Vollständigkeit) TI-1 TI-1 TI-2 TI-2 Theoretische Informatik I 4: 1 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

6 Mathematische Methodik Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Lösungsweg konkretisieren: Einzelschritte und Begründungen Ergebnis kurz und prägnant zusammenfassen Theoretische Informatik I 4: 2 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

7 Mathematische Methodik Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Lösungsweg konkretisieren: Einzelschritte und Begründungen Ergebnis kurz und prägnant zusammenfassen Viele Arten von Beweisen Deduktive Beweise: Logische Beweisschritte von Annahme zur Konklusion ggf. Definitionen auflösen, Mengenäquivalenz punktweise zeigen Widerlegungsbeweise: Widerspruch, Gegenbeispiel, Diagonalisierung auch genutzt für indirekte Beweisführung Induktionsbeweise: Zahlen-, vollständige, strukturelle, gegenseitige Induktion Theoretische Informatik I 4: 2 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

8 Mathematische Methodik Methodik des Problemlösens Klärung der Voraussetzungen Lösungsweg konkretisieren: Einzelschritte und Begründungen Ergebnis kurz und prägnant zusammenfassen Viele Arten von Beweisen Deduktive Beweise: Logische Beweisschritte von Annahme zur Konklusion ggf. Definitionen auflösen, Mengenäquivalenz punktweise zeigen Widerlegungsbeweise: Widerspruch, Gegenbeispiel, Diagonalisierung auch genutzt für indirekte Beweisführung Induktionsbeweise: Zahlen-, vollständige, strukturelle, gegenseitige Induktion Präzise Argumente sind essentiell in der Informatik Theoretische Informatik I 4: 2 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

9 Reguläre Sprachen Endliche Automaten Endliche Menge von Zuständen und Eingabesymbolen Verarbeitung von Eingabesymbolen ändert internen Zustand Erkannte Sprache: Abarbeitung endet in akzeptierendem Zustand Varianten: Deterministisch, nichtdeterministisch mit/ohne ɛ-übergänge Umwandlung in deterministische Variante über Teilmengenkonstruktion Theoretische Informatik I 4: 3 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

10 Reguläre Sprachen Endliche Automaten Endliche Menge von Zuständen und Eingabesymbolen Verarbeitung von Eingabesymbolen ändert internen Zustand Erkannte Sprache: Abarbeitung endet in akzeptierendem Zustand Varianten: Deterministisch, nichtdeterministisch mit/ohne ɛ-übergänge Umwandlung in deterministische Variante über Teilmengenkonstruktion Reguläre Ausdrücke Algebraische Notation für Sprachen: ɛ,, Symbole von Σ, +,, Umwandelbar in ɛ-neas (iterative Konstruktion) DEAs umwandelbar in reguläre Ausdrücke für Verarbeitungspfade oder durch Zustandselemination im RA Automaten Theoretische Informatik I 4: 3 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

11 Reguläre Sprachen Endliche Automaten Endliche Menge von Zuständen und Eingabesymbolen Verarbeitung von Eingabesymbolen ändert internen Zustand Erkannte Sprache: Abarbeitung endet in akzeptierendem Zustand Varianten: Deterministisch, nichtdeterministisch mit/ohne ɛ-übergänge Umwandlung in deterministische Variante über Teilmengenkonstruktion Reguläre Ausdrücke Algebraische Notation für Sprachen: ɛ,, Symbole von Σ, +,, Umwandelbar in ɛ-neas (iterative Konstruktion) DEAs umwandelbar in reguläre Ausdrücke für Verarbeitungspfade oder durch Zustandselemination im RA Automaten Grammatiken Beschreibung des Aufbaus von Sprachen durch Produktionsregeln Erzeugte Sprache: schrittweise Ableitung endet in Terminalworten Typ-3 (rechtsslineare) Grammatiken sind äquivalent zu ɛ-neas Direkte Umwandlung zwischen Produktionen und Überführungsfunktion Theoretische Informatik I 4: 3 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

12 Eigenschaften regulärer Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen,,, -, R,,, h, h 1 erhalten Regularität von Sprachen Verwendbar zum Nachweis von Regularität oder zur Widerlegung Theoretische Informatik I 4: 4 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

13 Eigenschaften regulärer Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen,,, -, R,,, h, h 1 erhalten Regularität von Sprachen Verwendbar zum Nachweis von Regularität oder zur Widerlegung Automatische Prüfungen Man kann testen ob eine reguläre Sprache leer ist Man kann testen ob ein Wort zu einer regulären Sprache gehört Man kann testen ob zwei reguläre Sprachen gleich sind Theoretische Informatik I 4: 4 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

14 Eigenschaften regulärer Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen,,, -, R,,, h, h 1 erhalten Regularität von Sprachen Verwendbar zum Nachweis von Regularität oder zur Widerlegung Automatische Prüfungen Man kann testen ob eine reguläre Sprache leer ist Man kann testen ob ein Wort zu einer regulären Sprache gehört Man kann testen ob zwei reguläre Sprachen gleich sind Minimierung von Automaten Ein Automat kann minimiert werden indem man äquivalente Zustände zusammenlegt und unerreichbare Zustände entfernt Theoretische Informatik I 4: 4 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

15 Eigenschaften regulärer Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen,,, -, R,,, h, h 1 erhalten Regularität von Sprachen Verwendbar zum Nachweis von Regularität oder zur Widerlegung Automatische Prüfungen Man kann testen ob eine reguläre Sprache leer ist Man kann testen ob ein Wort zu einer regulären Sprache gehört Man kann testen ob zwei reguläre Sprachen gleich sind Minimierung von Automaten Ein Automat kann minimiert werden indem man äquivalente Zustände zusammenlegt und unerreichbare Zustände entfernt Pumping Lemma Wiederholt man einen bestimmten Teil ausreichend großer Worte einer regulären Sprache beliebig oft, so erhält man immer ein Wort der Sprache Verwendbar zur Widerlegung von Regularität Theoretische Informatik I 4: 4 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

16 Kontextfreie Sprachen Kompliziertere Struktur als reguläre Sprachen Kontextfreie Grammatiken Produktionsregeln ersetzen einzelne Variablen durch beliebige Worte Ableitungsbäume beschreiben Struktur von Terminalworten (Compiler!) Ableitungsbäume entsprechen Links- (oder Rechts-)ableitungen Programmiersprachen brauchen eindeutig bestimmbare Ableitungsbäume Theoretische Informatik I 4: 5 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

17 Kontextfreie Sprachen Kompliziertere Struktur als reguläre Sprachen Kontextfreie Grammatiken Produktionsregeln ersetzen einzelne Variablen durch beliebige Worte Ableitungsbäume beschreiben Struktur von Terminalworten (Compiler!) Ableitungsbäume entsprechen Links- (oder Rechts-)ableitungen Programmiersprachen brauchen eindeutig bestimmbare Ableitungsbäume Pushdown-Automaten Nichtdeterministischer endlicher Automat mit Stack und ɛ-übergängen Erkennung von Worten durch Endzustand oder leeren Stack Analyse durch Betrachtung von Konfigurationsübergängen Nichtdeterministische PDAs äquivalent zu kontextfreien Grammatiken Umwandlung von Konfigurationsübergängen in Regeln und umgekehrt Deterministische PDAs weniger mächtig (nur eindeutige Typ-2 Sprachen) Theoretische Informatik I 4: 5 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

18 Eigenschaften kontextfreier Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen, R,,, σ, h 1 erhalten Kontextfreiheit von Sprachen Keine Abgeschlossenheit unter,, - Theoretische Informatik I 4: 6 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

19 Eigenschaften kontextfreier Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen, R,,, σ, h 1 erhalten Kontextfreiheit von Sprachen Keine Abgeschlossenheit unter,, - Automatische Prüfungen Man kann testen ob eine kontextfreie Sprache leer ist Man kann testen ob ein Wort zu einer kontextfreien Sprache gehört Man kann nicht testen ob zwei kontextfreie Sprachen gleich sind Viele wichtige Fragen sind nicht automatisch prüfbar Theoretische Informatik I 4: 6 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

20 Eigenschaften kontextfreier Sprachen Abschlußeigenschaften Operationen, R,,, σ, h 1 erhalten Kontextfreiheit von Sprachen Keine Abgeschlossenheit unter,, - Automatische Prüfungen Man kann testen ob eine kontextfreie Sprache leer ist Man kann testen ob ein Wort zu einer kontextfreien Sprache gehört Man kann nicht testen ob zwei kontextfreie Sprachen gleich sind Viele wichtige Fragen sind nicht automatisch prüfbar Pumping Lemma Wiederholt man bestimmte Teile ausreichend großer Worte einer kontextfreien Sprache beliebig oft, so erhält man immer ein Wort der Sprache Viele einfache Sprachen sind nicht kontextfrei Theoretische Informatik I 4: 6 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

21 Theoretische Informatik I im Rückblick FRAGEN? Theoretische Informatik I 4: 7 Rückblick: Automaten & Formale Sprachen

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