Produktionsplanung und Lineare Optimierung im Rahmen des Projekts Mathematik und Ökonomie 12./13. November 2003 in Düsseldorf.

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1 Übungsaufgaben Aufgabe 1a Medikamentenmischung Ein Pharmaziehersteller möchte ein neues Medikament auf den Markt bringen. Das Medikament kann aus vier verschiedenen Komponenten (K1 K4) zusammengestellt werden. K1 K4 unterscheiden sich im Wirkstoffgehalt, wobei drei Wirkstoffe (W1 W3) von Interesse sind. Der Wirkstoffgehalt des Endproduktes muss Richtlinien zufolge innerhalb gegebener Grenzwerte liegen. Der Pharmaziehersteller möchte unter Beachtung der Richtlinien den Preis pro Gramm der Mischung minimieren. Nährstoffgehalt [mg/g] K1 K2 K3 K4 unterer Grenzwert [mg/g] oberer Grenzwert [mg/g] W W W Preis [ /g] Aufgabe 1b Transport auf der Baustelle Ein Bauunternehmen betreibt vier Baustellen (B1 B4). Den zum Bau benötigten Kies bezieht das Unternehmen von drei verschiedenen Lagern (L1 L3). An den Baustellen fällt der folgende Bedarf an Kies an: B1: 20to, B2: 3to, B3: 8to, B4: 8to. Die Abgabestellen können die folgenden Mengen bereit stellen: L1: 12to, L2: 17to, L3: 10to. Der Transport von Abgabestelle zu Baustelle ist in der folgenden Matrix vermerkt: Transport- B1 B2 B3 B4 kosten [ /to] L L L Das Bauunternehmen möchte die Transportkosten so gering wie möglich halten. Aufgabe 1c Produktion Eine Firma stellt aus einem Kunststoff zwei Produkte (P1, P2) her. Der Kunststoff ist in zwei Qualitäten (Q1, Q2) in begrenzter Menge vorhanden. Aus einem Kilogramm Q1 können 20 Kilogramm von P1 gefertigt werden oder 20 Kilogramm von P2. Q2 ist von besserer Qualität, es ist daher möglich, 30 Kilogramm von P1 zu fertigen, aber ebenfalls nur 20 Kilogramm von P2. Von beiden Kunststoffsorten sind je 100 Kilogramm verfügbar. P1 und P2 sind Vorprodukte und zur Weiterverarbeitung bestimmt. P2 wird im Endprodukt doppelt so oft benötigt wie P1, d.h. die Produktionsmenge von P2 muss exakt doppelt so hoch sein wie die von P1.Welche Menge der Produkte kann die Firma maximal produzieren?

2 Aufgabe 1d Fertigsuppe Ein Hersteller möchte eine neue Tütensuppe auf den Markt bringen. Die Tütensuppe soll aus drei Zutaten (Z1 Z3) bestehen. Z1 enthält 5% Fett und 40% Kohlenhydrate, Z2 besteht aus 100% Kohlenhydraten, Z3 aus 40% Fett und 20% Kohlenhydrate. Die Lebensmitteltechniker stellen folgende Bedingungen an die Mischung: Der Fettgehalt soll zwischen 7% und 10% liegen. Der Kohlenhydratgehalt muss mindestens 50% betragen. Die Mischung muss mindestens zu 20% aus Z1 bestehen. Der Anteil von Z3 darf nicht höher sein als der von Z1. Die Zutaten kosten pro Kilo: Z1: 5, Z2: 2, Z3: 7. Wie viel wird ein Kilo der Mischung mindestens kosten?

3 Aufgabe 2 Lösen Sie die folgenden linearen Programme grafisch: 2a) 2b) 2c) 2d) Max 10x 40x Max 25x + 25x u.d.n. x x + 4x 300 8x + 2x 300 2x x 25 x 0, x 0 u.d.n. x x x 22 x 0, x 0 Max 30x 10x u.d.n. 4x 9x 45 5x 15 2x x 10 x 0, x 0 Max 0.5x x u.d.n. 6x x 12 2x x 8 4x 8 x 0, x 0 Geben Sie zu obigen LPs Zielfunktionen an, so dass die zugehörigen Lösungsmengen Strecken sind, wobei die Zielfunktionen nicht parallel zu einer der Koordinatenachsen sein dürfen. Lässt sich eine Zielfunktion finden, die zu einem nichtlösbaren Problem führt?

4 Aufgabe 3 Lösen Sie das nachfolgende ganzzahlige Optimierungsproblem grafisch. Max 2x u.d.n. 2x 7 2 2x 6x 6 8x + 4x 8 4x 21 x, x 0, x, x ganzzahlig

5 Aufgabe 4 Wandeln Sie folgende Maximierungs-Probleme in Minimierungs-Probleme um. a) max x 23x + 35x 3 b) max 18x + 23x 15x + x 3 4 c) max x + 54x + 22x 4 d) max 23x 32x + 12x 16x Aufgabe 5 Lösen Sie folgende Systeme linearer Gleichungen mit dem Gauß-Algorithmus. a) 9x+ 3y = 5 6x+ 7y = 7 b) 2x+ 5y = 3 4x+ 1y = 9 c) 7x+ 3y = 1 4x+ 9y= 4 5

6 Aufgabe 6 Wandeln Sie die folgenden Ungleichungssysteme in Gleichungssysteme um. Schreiben Sie dann das Ungleichungssystem als Matrix auf. 8x1+ 19x2 32x3 + 2x4 43 8x1+ 23x2 12x3 45 2x2 + 43x x1+ 32x2 4x3 x4 61 a) 21x1 x2 + 23x3 124 b) c) 8x1 23x x1+ 212x2 42x3 + 3x x1 33x2 + 4x x1 7 x2 803 x + x + x + x Aufgabe 7 Stellen Sie die Standardform der folgenden Linearen Optimierungsprobleme her und schreiben Sie das Starttableau für den Simplexalgorithmus auf. max x + 6x + 2x 3 udn x + x x 2x x1+ x2 + 2x3 5 a) b) 4x 5x + 4x 4 3 3x x x + x 4x 2 3 x, x, x 0 3 max 2x 3x + x + 3x x udn x + 2x x + 3x x + 4x x + 5x x + x 3x 2x x x + 2x + 8x 2x x, x, x, x, x c) max 2x + 4x + 2x x + 6x udn x 10x 5x x 2x + 10x x x 2x + 3x x 5x + 4x 10x + 20x x 3x x + 5x 4x x, x, x, x, x

7 Aufgabe 8 8a) Lösen Sie das folgende lineare Programm mit dem Simplex-Algorithmus: Min 2x u.d.n 2x + 6x x 6x 9 4x + 5x 6 x, x 0 Nebenstehende Zeichnung zeigt das lineare Optimierungsproblem. Kennzeichnen Sie die Basisübergänge, die das Simplexverfahren erzeugt hat. Verdeutlichen Sie sich anhand der Zeichnung, was passiert wäre, wenn Sie sich nicht an den Simplexalgorithmus gehalten hätten und eine andere Spalte als Pivotspalte gewählt hätten. Verdeutlichen Sie sich anhand der Zeichnung, was passiert wäre, wenn Sie die Pivotspalte laut Algorithmus gewählt hätten, aber bei der Wahl des Pivotelements vom Simplexalgorithmus abgewichen wären. 8b) Lösen Sie das folgende lineare Programm mit dem Simplex-Algorithmus: Max 2x + 2x + 3x u.d.n 3x + x + x 4x x + 3x x + 2x x, x, x, x, x

8 Aufgabe 9 Berechnen Sie zu den folgenden Matrizen die zugehörigen Inversen. 4 8 a) A 4 9 = b) B= Aufgabe 10 Ein Lineares Programm sei gegeben durch die Matrix M, die rechte Spalte b und einen Kostenvektor c. M =, b= c = ( ) a) Berechnen Sie die Lösungen zu den Basen B1 = (1,2), B2 = (1,3) und B3 = (1,4). Zur Vereinfachung seien folgende Matrizen und ihre Inversen vorgegeben: A= A' = B= B' = C = C' = b) Berechnen Sie die reduzierten Kosten zu den Basen B1 B3 um die Zulässigkeit der Lösungen zu überprüfen c) Zeichnen Sie den zulässigen Bereich zu obigem Problem. Kennzeichnen Sie die drei Basislösungen.

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