Kernel, Perceptron, Regression. Erich Schubert, Arthur Zimek KDD Übung
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- Meike Adenauer
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1 Kernel, Perceptron, Regression Erich Schubert, Arthur Zimek Ludwig-Maximilians-Universität München KDD Übung
2 Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function (diese Aufgabe) Kernel density function (in der Statistik) Kernel matrix (oftmals: eine vorberechnete Distanz-Matrix z.b. mit Kernelfunktion) Positiv (semi-) definite Matrix A in d(x, x) := x T Ax 0
3 Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function (diese Aufgabe) Kernel density function (in der Statistik) Kernel matrix (oftmals: eine vorberechnete Distanz-Matrix z.b. mit Kernelfunktion) Positiv (semi-) definite Matrix A in d(x, x) := x T Ax 0 Positiv definite Matrix A x T Ay ist eine Kernel-Funktion.
4 Kernel-Fukctionen Kernel kann mehrdeutig sein! Unterscheidet zwischen: Kernel function (diese Aufgabe) Kernel density function (in der Statistik) Kernel matrix (oftmals: eine vorberechnete Distanz-Matrix z.b. mit Kernelfunktion) Positiv (semi-) definite Matrix A in d(x, x) := x T Ax 0 Positiv definite Matrix A x T Ay ist eine Kernel-Funktion. Aber nicht jede Kernelfunktion ist als positiv definite Matrix repräsentierbar!
5 Kernel-Funktionen Positiv semi-definit Generalisierte Skalarprodukte Standardskalarprodukt: x, y = i x iy i Generalisiertes Skalarprodukt: x, y A = x T A y
6 Kernel-Funktionen Positiv semi-definit Generalisierte Skalarprodukte Standardskalarprodukt: x, y = i x iy i Generalisiertes Skalarprodukt: x, y A = x T A y Matrix E so dass x T E y = x, y? x, y = i e ij x i y j j
7 Kernel-Funktionen Positiv semi-definit Generalisierte Skalarprodukte Standardskalarprodukt: x, y = i x iy i Generalisiertes Skalarprodukt: x, y A = x T A y Matrix E so dass x T E y = x, y? x, y = i e ij = e ij x i y j j { 1 i = j 0 i j
8 Kernel-Funktionen Positiv semi-definit Generalisierte Skalarprodukte Standardskalarprodukt: x, y = i x iy i Generalisiertes Skalarprodukt: x, y A = x T A y Matrix E so dass x T E y = x, y? x, y = i e ij = e ij x i y j j { 1 i = j 0 i j Das ist die Einheitsmatrix!
9 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y
10 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y k 0 (x, x) = x, x = i x ix i
11 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y k 0 (x, x) = x, x = i x ix i = i x2 i
12 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y k 0 (x, x) = x, x = i x ix i = i x2 i 0 offensichtlich
13 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y k 0 (x, x) = x, x = i x ix i = i x2 i 0 offensichtlich A) k 1 (x, y) = 1
14 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y k 0 (x, x) = x, x = i x ix i = i x2 i 0 offensichtlich A) k 1 (x, y) = 1 = c + für nicht-negative Konstante c + R 0+
15 Kernel-Funktionen Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: 0) k 0 (x, y) = x, y = x T y k 0 (x, x) = x, x = i x ix i = i x2 i 0 offensichtlich A) k 1 (x, y) = 1 = c + für nicht-negative Konstante c + R 0+ k 1 (x, x) = c + 0 trivial.
16 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y
17 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y)
18 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y) k 2 (x, x) = }{{} c + k 0(x, x) } {{ }
19 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y) k 2 (x, x) = }{{} c + k 0 (x, x) 0 } {{ } 0 0
20 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y) k 2 (x, x) = }{{} c + k(x, x) 0 } {{ } 0 0
21 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y) k 2 (x, x) = }{{} c + k(x, x) 0 } {{ } 0 0 C) k 3 (x, y) = 3 x T y + 5
22 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y) k 2 (x, x) = }{{} c + k(x, x) 0 } {{ } 0 0 C) k 3 (x, y) = 3 x T y + 5 = c + k 0 (x, y) + d +
23 Kernel functions Beweise für ein paar Kernel-Funktionen: B) k 2 (x, y) = 3 x T y = c + k 0 (x, y) k 2 (x, x) = }{{} c + k(x, x) 0 } {{ } 0 0 C) k 3 (x, y) = 3 x T y + 5 = c + k 0 (x, y) + d + Genauso! Im allgemeinen: ein beliebiges Polynom aus nicht-negativen Faktoren und positiv semi-definiten Kernel-Funktionen ist wiederum positiv semi-definit! Beispiel: 2k 0 (x, y) k 1 (x, y) + k 0 (x, y) 2 + k 1 (x, y) 2 + 7
24 Lineare Separierbarkeit A B C (A, B, C) 0: (A, B, C) 1: Veranschaulichung:
25 Lineare Separierbarkeit A B (A, B) 0: 0 0 (A, B) 1: Veranschaulichung:
26 Lineare Separierbarkeit (A B) (A C) (A, B, C) 0: (A, B, C) 1: Veranschaulichung:
27 Lineare Separierbarkeit A B (A, B) 0: (A, B) 1: 0 1 Veranschaulichung:
28 Perceptron x 1 x 2 x a Σ x y θ a 1, wenn a θ y = 0, sonst θ=0.4 Bemerkung: θ und Gewichte sind nicht eindeutig! X 1 OR X 2
29 Perceptron x 1 x 2 x a Σ x y θ a 1, wenn a θ y = 0, sonst θ=0.6 Bemerkung: θ und Gewichte sind nicht eindeutig! X 1 AND X 2
30 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Lineare Regression beste Ausgleichsgerade!
31 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Allgemeine Gerade: y = α x + β. Benötigt also: α (Steigung), β (Achsenabschnitt).
32 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Allgemeine Gerade: y = α x + β. Benötigt also: α (Steigung), β (Achsenabschnitt). Optimale Steigung: Cov(X, Y)/Var(X) (Kleinste-Quadrate-Schätzer, siehe math. Statistik)
33 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Allgemeine Gerade: y = α x + β. Benötigt also: α (Steigung), β (Achsenabschnitt). Optimale Steigung: Cov(X, Y)/Var(X) (Kleinste-Quadrate-Schätzer, siehe math. Statistik) Optimaler Achsenabschnitt: ȳ = α x + β
34 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Allgemeine Gerade: y = α x + β. Benötigt also: α (Steigung), β (Achsenabschnitt). Optimale Steigung: Cov(X, Y)/Var(X) (Kleinste-Quadrate-Schätzer, siehe math. Statistik) Optimaler Achsenabschnitt: β = ȳ α x Für Mittelwerte x, ȳ und α.
35 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Allgemeine Gerade: y = α x + β. Benötigt also: α (Steigung), β (Achsenabschnitt). Optimale Steigung: Cov(X, Y)/Var(X) (Kleinste-Quadrate-Schätzer, siehe math. Statistik) Optimaler Achsenabschnitt: β = ȳ α x Für Mittelwerte x, ȳ und α. Also als Erstes: Mittelwerte berechnen, Daten zentrieren.
36 Lineare Regressionsanalyse Eingabedaten: x y Allgemeine Gerade: y = α x + β. Benötigt also: α (Steigung), β (Achsenabschnitt). Optimale Steigung: Cov(X, Y)/Var(X) (Kleinste-Quadrate-Schätzer, siehe math. Statistik) Optimaler Achsenabschnitt: β = ȳ α x Für Mittelwerte x, ȳ und α. Also als Erstes: Mittelwerte berechnen, Daten zentrieren. Mittelwerte: x = 9.1, ȳ = 55.4
37 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ
38 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ)
39 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x)
40 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x) Cov(X, Y) Var(X) = 1 n 1 (x x)(y ȳ) 1 n 1 (x x)(x x)
41 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x) Cov(X, Y) Var(X) = (x x)(y ȳ) (x x)(x x) = = α
42 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x) Cov(X, Y) Var(X) = (x x)(y ȳ) (x x)(x x) = = α β = ȳ α x
43 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x) αx + β Cov(X, Y) Var(X) = (x x)(y ȳ) (x x)(x x) = = α β = ȳ α x
44 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x) αx + β reales y (αx + β y) Cov(X, Y) Var(X) = (x x)(y ȳ) (x x)(x x) = = α β = ȳ α x
45 Lineare Regressionsanalyse Zentrierte Daten: x = 9.1 x x ȳ = 55.4 y ȳ (x x) (y ȳ) (x x) αx + β reales y (αx + β y) Cov(X, Y) Var(X) = (x x)(y ȳ) (x x)(x x) = = α β = ȳ α x Summe quadratischer Fehler: Wurzel aus mittlerem quadratischen Fehler:
46 Lineare Regressionsanalyse Prognose: Formel: ŷ = x
47 Lineare Regressionsanalyse Prognose: Formel: ŷ = x A) x = 20
48 Lineare Regressionsanalyse Prognose: Formel: ŷ = x A) x = 20 ŷ B) x = 8
49 Lineare Regressionsanalyse Prognose: Formel: ŷ = x A) x = 20 ŷ B) x = 8 ŷ C) x = 11
50 Lineare Regressionsanalyse Prognose: Formel: ŷ = x A) x = 20 ŷ B) x = 8 ŷ C) x = 11 ŷ
51 Lineare Regressionsanalyse
52 Lineare Regressionsanalyse
53 Lineare Regressionsanalyse
54 Regression in NumPy import numpy as np x = np.array([ 3, 8, 9, 13, 3, 6, 11, 21, 1, 16]) y = np.array([30, 57, 64, 72, 36, 43, 59, 90, 20, 83]) x.mean(), y.mean() # ( , ) x-x.mean() # array([ -6.1, -1.1, -0.1, 3.9, -6.1,... (x-x.mean())*(y-y.mean()) # array([ , -1.76, -0.86, 64.74,... (x-x.mean())**2 # array([ e+01, e+00,... sum((x-x.mean())*(y-y.mean())), sum((x-x.mean())**2) # ( , )
55 Regression in NumPy alpha=sum((x-x.mean())*(y-y.mean()))/sum((x-x.mean())**2) beta =y.mean() - alpha * x.mean() alpha, beta # ( , ) alpha * x + beta # array([ , , ,... (alpha * x + beta - y) ** 2 # array([ , , ,... sum(((alpha * x + beta - y) ** 2)) # np.sqrt(sum(((alpha * x + beta - y) ** 2))/len(x)) # np.array([20, 8, 11]) * alpha + beta # array([ , , ]) (The first two lines are the actual regression, the last is prediction!)
56 Regression Es gibt zahlreiche Varianten von Regression! Hier: ein optimaler KQ-Schätzer bekannt. Oftmals: numerische Suche nach lokalem Maximum! quadratischer Fehler vs linearer Fehler Polynome statt linearen Funktionen Regularisierung, um Overfitting zu vermeiden RANSAC RANdom SAmple Consensus, robuster gegen Ausreißer Gradient descent für differenzierbare Funktionen u.v.m. Mehr in der Vorlesung Maschinelles Lernen, denn Regression braucht Trainingsdaten, und lernt!
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