Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko

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1 Vergleich von KreditRisk+ und KreditMetrics II Seminar Portfoliokreditrisiko Jan Jescow Stoehr

2 Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 3. Simulation 3.1 Methoden 3.2 Simulationsergebnisse 4. Robustheit der Ergebnisse 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 6. Fazit 2

3 1.1 Ziel Bestimmung der Verlustverteilung für beide Modelle Empirischer Test des Modellverhalten Ähnlichkeit der Modelle Sensitivität bzgl. der zugrunde liegenden Parameter Intuition für Verhalten der Modelle in der Praxis entwickeln Notwendig: Synthetische Portfolios, um die Modelle unter vergleichbaren Bedingungen zu testen 3

4 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics CreditRisk+: Default Probability Model Individuelle Ausfallwahrscheinlichkeiten abhängig vom systematischen Risikofaktor Verlustverteilung über wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion bestimmt Bernoulli Verteilung Poisson Approximation CreditMetrics: Ordered Probit Model Kreditereignisse verursacht durch Veränderungen in latenten Variablen Ausfallkorrelationen zwischen den Kreditereignissen Bestimmt durch Monte Carlo Simulation CM2S Reduziertes CreditMetrics Modell Nur zwei Zustände: Kreditausfall Kein Kreditausfall Grund: Vergleichbarkeit der Modelle 4

5 Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 3. Simulation 3.1 Methoden 3.2 Simulationsergebnisse 4. Robustheit der Ergebnisse 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 6. Fazit 5

6 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios Ziel ist es ein reales Bankportfolio zu konstruieren Datenherkunft: Federal Reserve Board surveys of large banking organizations Low, average und high Very low: sehr schwaches Bankportfolio in der Rezession. Mindestens 50% speculative grade. Society of Actuaries (SoA) Portfoliokonzentration Portfolio aus mittelgroßen und großen privat platzierten Krediten 6

7 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios Portfoliokonstruktion Kreditqualität Berücksichtigung durch unterschiedliche Verteilungen der einzelnen Kreditqualitäten (very low, low, average und high) 25% 83% 7

8 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios Anzahl der Schuldner Standardmäßig auf n = 5000 gesetzt. Variation zur Überprüfung der Robustheit Konzentration des Portfolios Kalibrierung gemäß des SoA Datensatzes Zwei Schritte zur Bestimmung der Konzentration 1. Aufteilung aller Schuldner über die Ratinggrade 2. Bestimmung der Verteilung der Exposures innerhalb der Ratingklassen 8

9 2.1 Konstruktion des Portfolios q " = n " v " q " : n " : v " : n " # n g v g g Prozentualer Anteil des Exposures im Ratinggrad Durchschnittliche Anzahl der Schuldner im Ratinggrad Durchschnittlicher Buchwert in den SoA Daten in Ratinggrad soll entsprechend der Exposureanteile in den SoA Daten verteilt werden Lösbares LGS Die q " werden über die n " innerhalb eines Ratinggrades verteilt Bildung einer kummulativen Verteilung der Kreditgrößen Normierung der n " Kreditgrößen mit dem Gesamtexposure Verteilung der Kreditgrößen unabhängig von Veränderungen von n " Zum Test der Robustheit wird ein Portfolio mit gleich großen Krediten konstruiert " " " 9

10 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios Weitere Anpassungen des Portfolios LGD ist konstant und beträgt λ = 0,3 CM2S: Der Verlust ist eine fixe Größe des Exposures Im CreditRisk+ Modell muss die Verteilung der Exposures diskretioniert werden. Durch Wahl der Basiseinheit des Exposures: λ * 5tes Perzentil der Kreditgrößenverteilung 10

11 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios Ziel der Kalibrierung: Ausfallwahrscheinlichkeit und Korrelation sind sehr wichtig für die Form der Verlustverteilung Die Modelle sollen die gleichen Ausfallwahrscheinlichkeiten und Korrelationen der Ausfallraten haben. Da die Modelle in ihrem Aufbau unterschiedlich sind, ist der Kalibrierungsprozess aufwendig Die Kalibrierung erfolgt auf einen ein jährigen Risikohorizont Zur Vereinfachung wird nur ein Risikofaktor x verwendet 11

12 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios Innerhalb der Ratingklassen sind die Schuldner statistisch identisch p : unbedingte Ausfallwahrscheinlichkeit " p : langfristige durchschnittliche jährliche Ausfallwahrscheinlichkeit w : Risikogewicht (Faktorladungen der Modelle) " sind in einer Ratingklasse gleich. Die Risikofaktoren (Faktorladungen) werden modellabhängig bestimmt Bestimmen sich aus den historischen Ausfallvolatilitäten Zur Bestimmung sind zwei Schritte notwendig 12

13 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 1. Schritt: Bestimmung der Volatilitäten der historischen Ausfallraten Historische Ausfallrate: ˆ p "t = ˆ d "t ˆ n "t Anzahl der Ausfälle innerhalb einer Ratingklasse zur Anzahl der Schuldner Varianz der bedingten Ausfallraten: V [ p " (x)] = [ ] # E 1 & ˆ V ˆ p " $ ' % n " () p ˆ " (1# p ˆ " ) $ 1# E 1 ' %& n ˆ " () 13

14 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios Herleitung der bedingten Varianz: [ ] = E V ˆ V ˆ p " E V p ˆ " x, ˆ [ [ p " x, n ˆ ]] + V E p ˆ " " x, ˆ [ [ n ]] = E% V ˆ " 2 % n ˆ " # $ d " x, n ˆ & [ " ]( ( ' [ [ n ]] " $ = E p " (x)(1# p " (x))' & 2 ) % n ˆ " ( # = E 1 & $ % n ˆ " '( (E [ p (x) " ] ) (V p " (x) # = E 1 & $ % n ˆ " '( ( p " (1) p " ) )V [ p " (x)]) [ ] + E[ p " (x)] 2 )) 14

15 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios Ergebnis ist problematisch: In den Ratingklassen AAA und AA keine Ausfälle Berechnung der Volatilität nicht möglich. Lösung: Anpassung der Werte, so dass sie plausibel sind Bedingte normierte Standardabweichung der Ausfallwahrscheinlichkeit 15

16 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 2. Schritt: Dieser Schritt ist modellabhängig CreditMetrics: Die Varianz ist durch eine bivariate Normalverteilung gegeben V " # Var p " (x) [ ] = $(C ", C ", w " 2 ) % p " 2 C " ist der Schwellenwert des Kreditausfalls Die Risikogewichte werden durch die obige Formel eindeutig bestimmt und lassen sich aus der Formel herleiten. CreditRisk+: Zwei Risikofaktoren: systematischer und idiosynkratischer Risikofaktor Idiosynkratischer Risikofaktor, da diversifizierbar, hat eine Varianz = 1 und einen Erwartungswert = 1 Der systematische Risikofaktor wird gleich dem gegebenen x gesetzt w " ist das Gewicht des systematischen Faktors σ ist die Standardabweichung des Risikofaktors 16

17 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios Varianz der Ausfallwahrscheinlichkeit: V " = Var [(1# w " + w " x) ] = p " w " $ Gegeben " folgt: ( ) 2 w " = V " p " # σ hat einen starken Einfluss auf die Verteilung der x. Dies liegt an der Gamma-Verteilung des Risikofaktors Portfolioverluste reagieren sehr sensibel auf Veränderungen von σ Kein Nachteil für CreditRisk+. CreditMetrics unterstellt einfach Normalverteilung Empfehlung für CreditRisk+: Setze σ gleich Eins Entspricht Einsektorenkalibrierung 17

18 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 18

19 Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 3. Simulation 3.1 Methoden 3.2 Simulationsergebnisse 4. Robustheit der Ergebnisse 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 6. Fazit 19

20 3. Simulation 20

21 3.1 Methoden Unterschiedliche Kalkulation der Ergebnisse CreditRisk+: Analytische Ermittlung der Daten CreditMetrics: Berechnung der Daten mittels einer Monte Carlo Verlustverteilung In jedem Quadranten: Zusammengefasste Statistiken und Perzentilwerte zu einer Portfoliokreditqualitätsklasse Skewness und Kurtosis sind für eine Zufallsvariable y definiert. Eine hohe Kurtosis impliziert hohe Portfolioverluste 21

22 3.2 Simulationsergebnisse BBB- AAA 22

23 Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 3. Simulation 3.1 Methoden 3.2 Simulationsergebnisse 4. Robustheit der Ergebnisse 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 6. Fazit 23

24 4. Robustheit der Ergebnisse Anzahl der Schuldner: Keinen signifikanten Einfluss auf das Verlustrisiko Verteilung der Kreditgrößen: SoA Daten: unterschiedliche Größen Vergleichsportfolio: alle gleich groß Kein signifikanter Einfluss Standardisierte Volatilität: Verdopplung der Volatilität Risikogewichte erhöhen sich Extreme Perzentilwerte nehmen stark zu Diskretionierung: Basiseinheit der Exposures: fache des 5ten Perzentils der Verteilung der Kreditgrößen Variation von " " verändert die Perzentilwerte nur minimal 24

25 4. Robustheit der Ergebnisse 25

26 4. Robustheit der Ergebnisse 26

27 Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 3. Simulation 3.1 Methoden 3.2 Simulationsergebnisse 4. Robustheit der Ergebnisse 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 6. Fazit 27

28 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell CreditRisk+ reagiert sensibel auf Änderungen von σ Grund: Gamma-Verteilung der Risikofaktoren x Gamma-Verteilung hat 2 Effekte: Direkter Effekt: Wenn man σ variiert und w " # konstant hält Veränderung der Randwahrscheinlichkeiten, Erwartungswert und Standardabweichung konstant Grund: Kurtosis der Gamma-Verteilung 3(1+ 2" 2 ) Kurtosis von x gleich der Kurtosis von p i (x) Veränderung von der Verlustverteilung p i (x) führt direkt zu einer Vergrößerung der Ränder 28

29 5. Modifiziertes CreditRIsk+ Modell Indirekter Effekt: CreditRisk+ verwendet die Poisson Approximation um die PGF zu vereinfachen Poisson Approximation induziert Fehler Wird durch steigende Kurtosis von p i (x) vergrößert Um Effekt deutlich zu machen, wird der Fehler eleminiert CreditMetrics: Monte Carlo Simulation nur ein Ausfall möglich CreditRisk+: Poisson Approximation positive Wahrscheinlichkeit für mehrfachen Ausfall Ab einem bestimmten Punkt überschreiten die CreditRisk+ Perzentile die korrespondierende Werte von CreditMetrics 29

30 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell Die Verteilung des systematischen Risikofaktors ist von entscheidender Bedeutung 30

31 Gliederung 1. Einführung / Grundlagen 1.1 Ziel 1.2 CreditRisk+ und CreditMetrics 2. Kreditportfolio 2.1 Konstruktion des Kreditportfolios 2.2 Kalibrierung des Kreditportfolios 3. Simulation 3.1 Methoden 3.2 Simulationsergebnisse 4. Robustheit der Ergebnisse 5. Modifiziertes CreditRisk+ Modell 6. Fazit 31

32 6. Fazit Solange σ klein ist, liefern die Modelle sehr ähnliche Ergebnisse CR+ sensitiver bzgl. der Kreditqualität, aber CM ist restringiert Sehr sensitiv reagieren beide Modelle auf: Volatilität der Ausfallwahrscheinlichkeit bzw. der Ausfallkorrelation Form der impliziten Verteilung der Risikofaktoren (Gamma-Verteilung) Problem: Modelle induzieren Eigenkapitalentscheidungen Diese sind stark abhängig von höheren Momenten der Verteilung der Risikofaktoren Können nur ungenau geschätzt werden Modelle können nur Anhaltspunkte für das relative Risiko von Portfolien untereinander liefern und keine Kapitalanforderungen 32

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