Kapitel 13. Das Wasserstoff-Atom Energiewerte des Wasserstoff-Atoms durch Kastenpotential-Näherung

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1 Kapitel 13 Das Wassestoff-Atom 13.1 negiewete des Wassestoff-Atoms duch Kastenpotential-Näheung Das gobe Atommodell des im Potentialtopf eingespeten Atoms vemag in qualitative Weise das Aufteten von Linienspekten zu ekläen. Mit diesem einfachen Modell kann die exakte Fom des Spektums (die genaue Lage de Linien) noch nicht eklät weden. Wi wollen dahe im folgenden Abschnitt ein wenige gobes Modell diskutieen, das ein quantitatives Veständnis des Wassestoff-Spektums emöglicht. Das Wassestoff-Atom ist das einfachste alle Atome. s enthält nu ein lekton und ein Poton, die sich wegen ihe unteschiedlichen Ladung anziehen (Coulomb-Wechselwikung). Das Poton ist fast zweitausendmal schwee als das lekton, und es zeigt sich im xpeiment, dass es auf einen seh kleinen Raumbeeich konzentiet ist. Fü unse Modell des Wassestoff- Atoms können wi also annehmen, dass sich das lekton im Coulomb-Potential V () = 4πɛ 0 (13.1) des Kens aufhält (Abbildung 13.1). V() Abbildung 13.1: Coulomb-Potential

2 Das Wassestoff-Atom Man kann die negieniveaus des lektons duch Lösung de Schödinge-Gleichung in diesem Potential emitteln. s stellt sich heaus, dass die Lösung dieses Poblems unsee mathematischen Mittel bei weitem übescheitet. in Ausweg besteht dain, das Coulomb-Potential duch ein Potential anzunähen, das sich einfache behandeln lässt. Auf diese Weise sind wi schon im letzten Abschnitt bei unsee esten Näheung des im Potentialtopf eingespeten lektons vogegangen. Nu hatte sich da gezeigt, dass die Näheung offensichtlich zu gob wa, um die beobachteten Spekten zu ekläen. In diesem Abschnitt weden wi ein bessees Modell des Wassestoff-Atoms kennenlenen. Die Vogehensweise dabei ist die folgende: Wi betachten ein Modell-Potential, das dem Coulomb- Potential möglichst ähnlich ist, fü das wi abe die Schödinge-Gleichung exakt lösen können. s wid sich zeigen, dass mit dem gewählten Modell-Potential das Linienspektum des Wassestoff-Atoms qualitativ ichtig wiedegegeben wid. Alle Näheungen, die wähend de Rechnung gemacht weden müssen, beteffen nu die Fom des Potentials und können deshalb noch auf de bene de klassischen Physik diskutiet weden. Die anschließende quantenmechanische Rechnung kommt dann ohne Näheungen aus. Wie bei unseem goben Modell des eingespeten lektons wählen wi einen deidimensionalen kastenfömigen Potentialtopf mit unendlich hohen Potentialwänden. Andes als vohe passen wi den Potentialtopf dem Coulomb-Potential abe nun besse an: Wi vaiieen die Beite 2R und die negiediffeenz V 0 zwischen dem Boden des Potentialtopfs und dem negienullpunkt (Abbildung 13.2). R V() V 0 Abbildung 13.2: Coulomb-Potential und Modellpotential Diese Paamete weden so gewählt, dass de Potentialtopf möglichst gut auf das Coulomb- Potential passt. Unsee Aufgabe besteht nun dain, möglichst gute Wete fü die Paamete R und V 0 zu finden. Wie beeits ewähnt, ist dazu keine Quantenphysik nötig. Wi können die Näheung am Beispiel eine klassischen Ladung emitteln.

3 13.1. negiewete des Wassestoff-Atoms duch Kastenpotential-Näheung 117 (a) mitteln de Potentialtopf-Beite R In de klassischen Physik kann sich eine in einem Coulomb-Potential gebundene Ladung (negie ges < 0) nicht beliebig weit nach außen bewegen. Wie im Gavitationsfeld (z. B. beim senkechten Wuf) gibt es in einem gewissen Abstand R einen Umkehpunkt. ist daduch gekennzeichnet, dass die kinetische negie Null ist; die Gesamtenegie ges ist dann gleich de potentiellen negie (Abbildung 13.3): ode, nach R aufgelöst: Die Lage des Umkehpunkts hängt also von de negie ges ab. ges = 4πɛ 0 R, (13.2) R =. (13.3) 4πɛ 0 ges -R +R = ges Abbildung 13.3: Lage de Umkehpunkte Damit hat man eine klassische Abschätzung fü den Beeich gewonnen, innehalb dessen sich das lekton aufhält. In unseem Modell wid das Coulomb-Potential duch einen Potentialtopf de Beite 2R esetzt. Das bedeutet: Innehalb dieses Beeichs wid das Potential in allen dei Dimensionen als konstant angenommen, de Aussenbeeich ist fü das lekton unzugänglich (unendlich hohe Potentialwände). (b) mitteln de Potentialtopf-Tiefe V 0 Innehalb des Potentialtopfs hat das Potential einen konstanten Wet V 0. Wi müssen nun eine geeignete Abschätzung fü V 0 finden. s liegt nahe, V 0 so zu wählen, dass es die mittlee Tiefe des Coulomb-Potentials dastellt. Hie egibt sich zunächst eine Schwieigkeit, weil das Coulomb-Potential am Nullpunkt divegiet. Wie soll man in diesem Fall eine mittlee Tiefe bestimmen? s handelt sich jedoch nicht um eine echte Divegenz, denn duch die endliche Ausdehnung des Kens wid das Potential am Rand des Kens abgeschnitten und nimmt einen endlichen Wet an. 1 1 Hie täuscht auch die zweidimensionale Dastellung. In Wiklichkeit handelt es sich um ein deidimensionales Poblem. Man beechnet den Mittelwet des Potentials innehalb eine Kugel mit Radius R: V = 1 R V K 0 V () 4π 2 d (V K = Kugelvolumen). Das egibt den endlichen Wet V 0 = 3/2 ges.

4 Das Wassestoff-Atom Aus de Abbildung (13.3) kann man esehen, dass de Wet von V 0 negativ und betagsmäßig göße als ges sein muss. Wi ehalten eine Abschätzung, indem wi festlegen, dass V 0 den Wet des Coulomb-Potentials an de Stelle 1 R hat (Abbildung 13.4). 2 -R -½R ½R R = ges V 0 Festlegung de Tiefe des Potentialtops V 0 Abbildung 13.4: Festlegen von V 0 s gilt demnach (insetzen de Fomel fü R): = V ( = 12 ) R = V V 0 ( = 1 e 2 2 4πɛ 0 ges ). (13.4) Benutzen wi den Ausduck (13.1) fü das Coulomb-Potential, egibt sich und das ndegebnis fü V 0 lautet: V 0 = 4πɛ 0 2 4πɛ 0 ges e 2 (13.5) V 0 = 2 ges = 2 ges. (13.6) Damit ist die Tiefe des Potentialtopfs gegenübe dem Nullpunkt de negie festgelegt und alle Paamete unsees Modell-Potentials bestimmt. Wi können nun zu quantenmechanischen Beechnung de negiewete übegehen. (c) Bestimmen de negiewete Wi fassen unse Modell noch einmal zusammen: Zu Modellieung des Coulomb-Potentials fü eine Ladung de negie ges vewenden wi einen deidimensionalen kastenfömigen Potentialtopf mit unendlich hohen Potentialwänden, dessen Boden sich bei V 0 = 2 ges befindet und dessen Kantenlänge

5 13.1. negiewete des Wassestoff-Atoms duch Kastenpotential-Näheung 119 R = e 2 4πɛ 0 ges (13.7) ist. Die negieniveaus eines lektons im deidimensionalen Potentialtopf haben wi beeits vohe beechnet (Gleichung (12.14) mit a = 2R): ges = 2 π 2 ( ) n 2 2m(2R) 2 x + n 2 y + n 2 z + V0. (13.8) Zu Veeinfachung beschänken wi uns auf Zustände, fü die n x = n y = n z n, d. h. die keine Richtung bevozugen. Die negieniveaus weden dann: Nun setzen wi die Paamete R und V 0 ein: ges = 2 π 2 2m(2R) 2 3n2 + V 0. ges = 2 π 2 2m 3n2 (4πɛ 0) 2 2 ges 4 e ges. Bingt man den letzten Tem auf de echten Seite nach links, egibt sich ges = 3 8 π2 2 (4πɛ 0 ) 2 me 4 n 2 2 ges, und nach Küzen von ges ehalten wi das gebnis fü die negieniveaus im Wassestoffatom: ges = 16 me 4 3 π (4πɛ 0 ) 1 2 n. (13.9) 2 Wie unse estes gobes Modell sagt dieses vefeinete Modell die Quantisieung de negie im Wassestoffatom voaus. Die Quantenzahl n duchläuft alle positiven ganzen Zahlen (n = 1, 2, 3,... ). Zu jedem Wet von n gehöt ein Wet de negie und damit ein Zustand, den das lekton einnehmen kann. Die Abhängigkeit de negiewete von de Quantenzahl n ist: ges 1 n 2. (13.10) Fü alle Zustände gilt ges < 0, d. h. sie sind gebunden. Je göße n wid, um so höhe ist die negie. Fü goße n ücken die negiewete imme dichte zusammen und nähen sich dem Wet ges = 0 (Abbildung 13.5).

6 Das Wassestoff-Atom n=4 n= ev -1,5 ev n=2-3,4 ev n=1-13,6 ev Abbildung 13.5: Temschema des Wassestoffatoms Diese igenschaften unsees Modells weden von de exakten quantenmechanischen Rechnung bestätigt. Die negiewete, die sich mit de exakten Fom des Potentials egeben, untescheiden sich 16 vom gebnis unsee Modellechnung um einen konstanten Fakto 0, 54. Das koekte 3 π 2 gebnis fü die negieniveaus des Wassestoffatoms ist: Im Wassestoff-Atom kann das lekton die folgenden Wete de Gesamtenegie annehmen: ges = me4 2 2 (4πɛ 0 ) 2 1, (n = 1, 2, 3,...). (13.11) n2 De Zustand mit n = 1, also de niedigsten negie, ist de Gundzustand des Wassestoff- Atoms. liegt bei ges = 13, 6 ev. Schließlich können wi die beechneten negiewete noch mit dem beobachteten Spektum des Wassestoffatoms veknüpfen (Balme-Spektum, Abbildung 12.2). Licht wid emittiet, wenn das Atom einen Übegang zwischen zwei Zuständen (z. B. von n = n 1 nach n = n 2 ) macht. Nach Gleichung (12.2) ist die Photonenenegie h f dabei gleich de Diffeenz de beiden negiewete. Daaus ehalten wi: ( h f = me (4πɛ 0 ) 1 ). (13.12) 2 n 2 1 n 2 2

7 13.1. negiewete des Wassestoff-Atoms duch Kastenpotential-Näheung 121 Das entspicht genau de Balme-Fomel (12.1). Den Wet de Rydbeg-Fequenz können wi duch Vegleich de beiden Fomeln bestimmen: f Ry = me4 (4π ) 3 ɛ 2 0 = 3, Hz, (13.13) in Übeeinstimmung mit dem xpeiment. Dieses Zuückfühen des empiisch emittelten Wetes f Ry auf eine Kombination von Natukonstanten ist eine de goßen Leistungen des quantenmechanischen Atommodells.

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