T T T T. Wärmeleitung. Zwei Reservoirs mit unterschiedlicher Temperatur werden in Kontakt gebracht. Die Gesamtentropien ändert sich wie: T 1 T 2

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1 Wämeleitung Zwei Resevois mit unteschieliche empeatu ween in Kontakt gebacht. Die Gesamtentopien änet sich wie: S S + 1 S 1 Die Äneung e Entopie S 1 ist Q S 1 integieen liefet: C m 1 ΔS1 C C ln 1 m 1 m ebenso: ΔS C ln m Es folgt: ΔS ΔS + Δ 1 S C ln m 1 84

2 De Pozess es empeatuausgleichs läuft von selbst ab. Die Entopie veät abe nicht wie schnell e abläuft. Das Epeiment zeigt: ie Wämemenge, ie po Zeit uch eine Fläche A fließt, ist popotional zu empeatuäneung senkecht zu Fläche. Man efiniet en Wämestom P P P Q t Q t un ie Wämestomichte so, ass A P A P wenn zeitlich konstant wenn äumlich konstant A ga Q t 85

3 Die Wämestomichte ist popotional zum empeatugefälle un zeigt in essen Richtung: λ ga λ,, y z Hat man einen Stab e Länge L un Queschnittsfläche A mit empeatuen 1 un an en Enen egibt sich Q A Aλ t L 1 P Stoff Wämeleitfähigkeit in W / m K Silbe 40 Kupfe 390 Aluminium 30 Quazglas 1,4 Wasse 0.54 (keine Konvektion) Luft 0.04 (keine Konvektion) 1 L 86

4 Zeitliche Entwicklung e empeatuveteilung: Die Wämestom-Bilanz aus Zu-/Abfluss in einem Volumenelement ist: Insgesamt ist po Zeiteinheit ie Wämemenge Q meh zugeflossen als abgeflossen Diese Wämemenge ezeugt eine empeatuehöhung im Volumenelement. z y z y + z y z y t Q z y + + V P iv 87

5 V c mc C Q ρ Die empeatuehöhung ist Damit folgt: un mit folgt Anwenung von Divegenz nach Gaienten auf eine Funktion entspicht e Anwenung es Laplace-Opeatos. Also c t iv 1 ρ ga λ c t iv ga ρ λ + + z y c t ρ λ 88 ρ : Dichte

6 c t Δ ρ λ Achtung: Delta beeutet hie en Laplaceopeato Das ist ie Wämeleitungsgleichung Die zweiten Ableitungen im Laplace-Opeato glätten eine vogegebene empeatuveteilung aus: Das System konvegiet in Richtung themoynamisches Gleichgewicht 0 > 0 > 0 > 0 < 0 < 0 > t 89

7 Ranbeingungen: n 1. hemisch isolietes Gebiet An e Obefläche kann keine Wäme austeten, also ist ot A 0 Die Äneung e empeatu in Richtung e Obeflächennomalen n ga 0 Einimensionales Beispiel: Wämeleitungsgleichung: n n ist Null λ ( ) ρc 0 a + b Aus e Ranbeingung folgt a 0. Also egibt sich wie ewatet const. 90

8 . Vogegebene empeatuen am Ran Die Rantempeatuen ween z.b. uch goße Wämeesevoie konstant gehalten. Am Ran ween übeall ie empeatuen fest vogegeben. Im Gleichgewicht gilt: t 0 λ Δ ρc Δ 0 Achtung: patielle Diffeentialgleichung mit Laplaceopeato Die s.g. Laplace-Gleichung liefet ie empeatuveteilung. Die Laplace-Gleichung titt auch beim elektischen Potential un z.b. bei Minimalflächen von Seifenblasen auf. Zwischen Ränen mit unteschielichen empeatuen stellt sich ein stationäe Wämestom ein. Demonstation am Compute. 91

9 3. Offene Ran Das System kann an e Obefläche Wäme abstahlen. Die abgestahlte Leistung P ist popotional zu 4 (Stefan-Boltzmann-Gesetz) P σ A 4 σ hängt von e Obeflächenbeschaffenheit ab. Fü einen schwazen Stahle ist σ maimal un hat en Wet σ W / (m K 4 ) De an ie Obefläche tanspotiete Wämestom ist gleich e Abstahlung A σ A 4 Es egibt sich n ga σ 4 9

10 4. zusätzliche Wämequellen Die Wämequelle gebe eine Leistung P po Volumen V ab. η P V Diese füht zu eine lokalen empeatuehöhung P V Q V t C V t mc V t ρ c t Damit lautet ie Wämeleitungsgleichung mit Wämequellen: λ 1 Δ + η t ρc ρc Im Gleichgewicht /t 0 hat ie DGL ie gleiche Fom wie ie Poisson- Gleichung in e Elektostatik: empeatu Potential, Wämequelle Laung 93

11 Konvektion In Flüssigkeiten un Gasen wi Wämemenge auch uch Bewegung e Substanz tanspotiet. Duch Dichteunteschiee un Gavitation wi eine Stömung (Konvektion) hevogeufen. Die Stömung tanspotiet ie Wäme effektive als ie Wämeleitung. Beispiel: Rayleigh-Béna Konvektion In eine ünnen von unten beheizten Schicht Flüssigkeit oe Gas bilen sich Zellen mit otieene Stömung: Béna-Zellen. Beobachtba in Batpfanne mit Öl oe z.b in e Atmosphäe Fotos vom Space Shuttle 94

12 Wämeisolation Dämmstoffe sin aus Mateialien, ie eine geinge Wämeleitfähigkeit haben un Konvektion vehinen. De Wämestom e uch eine Platte mit e Fläche A geht ist popotional zu empeatuiffeenz. P k A ( 1 ) k bezeichnet man als Wämeleitwet. Besteht eine Wan aus meheen Schichten beechnet sich e Wämeleitwet e ganzen Wan zu k ges k k 1 1 k 3 Analog zum Ohmschen Gesetz beim elekt. Stom k1 k k3 95

13 Diffusion: Bingt man zwei Volumina mit unteschielichen Flüssigkeiten oe Gasen in Kontakt ann finet Diffusion statt. (Voaussetzung: keine Stömung) N A N B De Vogang finet ohne Enegiegewinn totzem statt, weil sich ie Entopie ehöht. De uchmischte Makozustan ist seh viel wahscheinliche als e Anfangszustan. Befinen sich N eilchen e Sote A im Volumen V A un N eilchen e Sote B im Volumen V B gleiche Göße, ann ist ie Entopiezunahme bei Duchmischung: ΔS N kb ln (vgl. Rechnung zum Beispiel alles Gas in linke Hälfte eines Volumens 96

14 Diffusion hat en gleichen Antieb wie Wämeleitung, ahe sieht ie Diffeentialgleichung ebenso aus: Sei n ie eilchenzahlichte (Konzentation) eines Stoffes, un n ie eilchenstomichte, ann iffunieen ie eilchen in Richtung abnehmene Konzentation: n D ga n 1. Ficksches Gesetz D ist e Diffusionskoeffizient. Die eilchenstom-bilanz aus Zu-/Abfluss in einem Volumenelement ist: n iv t fließt meh in as Volumen hinein als hinaus, nimmt ie eilchenzahlichte mit e Zeit zu: 97

15 Man ehält analog zu Wämeleitungsgleichung ie Diffusionsgleichung n t D iv ga n oe mit em Laplace-Opeato geschieben n t D Δn. Ficksches Gesetz Sin keine Quellen oe Senken fü ie eilchen vohanen (z.b. chemische Reaktionen), ann stellt sich eine homogene Veteilung ein. Fü Moleküle ist ie themische Enegie ½ k B nomaleweise goß gegen ie potentielle Enegie im Gavitationsfel. Das ist anes bei eine Suspension von kleinen Schwebeteilchen. 98

16 Diffusionsstom un Boltzmannveteilung Nach Stokes sinken ie Schwebeteilchen in e Flüssigkeit aufgun e Gavitation mit e Geschwinigkeit: mg v 6πη h as entspicht eine eilchenstomichte von sink mg n 6πη Aufgun e zunehmenen Konzentation am Boen entsteht ein Diffusionsstom nach oben iff D n h 99

17 Im Gleichgewicht sin beie Stöme gleich goß. sink iff Man ehält eine Diffeentialgleichung fü ie eilchenzahlichte (Konzentation) als Funktion von e Höhe n h mg 6πηD n Die Lösung ist: n( h) n 0 e mgh 6πη D vgl. Baometische Höhenfomel Das entspicht e Boltzmann-Veteilung un man ehält uch Vegleich en Zusammenhang (fü Kügelchen in Flüssigkeit) kb D 6πη Stokes-Einstein-Beziehung 100

18 Osmose Behinet man ie Diffusion eine eilchensote uch eine halbuchlässige Memban stellt sich ein Duckunteschie ein. Die Heleitung agumentiet genauso, wie ie Heleitung es Duckes auf eine Wan bei iealen Gasen. Man ehält as van t Hoffsche Gesetz fü en osmotischen Duck p osm : ρ gh Δp osm V p osm v R n 1 n ν: Stoffmenge es gelösten Stoffes V: Volumen e Lösung R: Gaskonstante : empeatu 101

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