i=1 S i. Produktregel: Ist S das Kartesische Produkt der endlichen Mengen S 1, S 2,..., S t, dann gilt S = t

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1 3 Kombiatorik 3.1 Elemetare Zählprizipie Die Abzählug vo edliche Mege ist das klassische Thema der Kombiatorik. Dabei wird eie uedliche Familie {A I} vo edliche Mege A betrachtet, wobei eie Idexmege I durchläuft (i der Regel die atürliche Zahle. Zu bestimme ist die Zählfuktio f : I N mit f( = A für alle I. Hier ud im Folgede bezeichet M die Azahl der Elemete (Mächtigkeit eier Mege M falls diese edlich ist ud aderefalls. Oft werde die Mege A aus eier gegebee elemetige Mege M (auch kurz Mege geat durch eifache strukturelle oder kombiatorische Bediguge abgeleitet, z.b. die Mege S(M aller Permutatioe vo M (das sid bijektive Abbilduge ( vo M ach M, die Mege P(M aller Utermege oder die Mege M k aller k Utermege vo M. Im letzte Fall ist die Zählfuktio vo de zwei Größe ud k abhägig. Ziel ist es, eie möglichst kurze, geschlossee Formel für f( bzw. f(, k zu fide. Die meiste Aufgabestelluge dieser Art lasse sich (auch we die Lösug teilweise eorme techische Aufwad erfordert auf vier Grudregel zurückführe. Summeregel: Ist S die Vereiigug vo paarweise disjukte, edliche Mege S 1, S 2,..., S t, da gilt S = t i=1 S i. Produktregel: Ist S das Kartesische Produkt der edliche Mege S 1, S 2,..., S t, da gilt S = t i=1 S i. Gleichheitsregel: Existiert eie bijektive Abbildug zwische zwei Mege S ud T, so gilt S = T Die Regel vom doppelte Abzähle wird etwas später erklärt. Eie typische Awedug der Summeregel besteht dari, die Elemete der Mege S ach gewisse, sich gegeseitig ausschließede Eigeschafte E i (i = 1,..., t zu klassifiziere ud die Mege S i wie folgt zu setze {x S x hat Eigeschaft E i }. Beispiel: Wir habe bereits eie Plausibilitätserklärug gefude, warum die Potezmege eier Mege M geau 2 Elemete hat. Hier ist ei kompletter Beweis mit vollstädiger Iduktio ach. Iduktiosafag: Für = 0 ist M =, P(M = { } ud folglich P(M = 1 = 2 0 Iduktiosschritt vo ach +1: Sei M eie (+1 Mege ud a ei fest gewähltes Elemet aus M. Wir zerlege P(M i zwei disjukte Teilmege S 1 = {A M a A} ud S 2 = {A M a A}. Offesichtlich ist S 2 = P(M \ {a} die Potezmege eier Mege ud ach Iduktiosvorausetzug gilt S 2 = 2. Wir kostruiere eie Bijektio zwische S 1 ud S 2 idem wir jeder Mege A S 1 die Mege B = A \ {a} S 2 zuorde. Ma erket die Bijektivität dieser Abbildug dara, dass eie Umkehrabbildug existiert, die jedem B S 2 die Mege 25

2 A = B {a} S 1 zuordet. Aus der Gleichheitsregel folgt S 1 = S 2 ud aus der Summeregel P(M = S 1 + S 2 = 2 S 2 = 2 2 = Ma ka die gleiche Argumete verwede, um eie Rekursio für die Azahl der k-teilmege eier -Mege zu etwickel. Sei S = ( M k die Mege aller k Utermege eier Mege M ud bezeiche ( k die Kardialzahl vo S (zuächst ur als ei formaler Ausdruck. Wir fixiere ei a M ud klassifiziere die k Utermege vo M ach der Eigeschaft, ob sie a ethalte (E 1 oder icht (E 2. Also ist S 1 = {A S a A} ud S 2 = {A S a A}. Wie ma leicht sieht, ist S 2 = ( M\{a} k ud auf der adere Seite gibt es eie Bijektio zwische S1 ud der Mege aller (k 1 Utermege vo M \ {a}. Durch Awedug vo Gleichheits ud Summeregel erhalte wir die folgede rekursive Formel ( ( ( 1 1 = + k k 1 k Defiititio: Eie Izidezsystem (S, T, I besteht aus zwei (edliche Mege S ud T ud eier Izidezrelatio I S T. Regel vom zweifache Abzähle: Sei (S,T,I ei Izidezsystem ud sei r(a = {b T (a, b I}, r(b = {a S (a, b I} für alle a S, b T, da gilt: r(a = r(b. a S b T I der Tat sid beide Summe gleich I, de die Paare der Relatio I wurde ur auf zwei verschiedee Weise aufgezählt. Oft wird diese Regel auch i etwas modifizierter Form uter Verwedug vo Izidezmatrize oder bipartite Graphe verwedet: Sei M = (m ij eie m Matrix, d.h. ei Rechteck Schema mit m Zeile ud Spalte i dem Zahle m ij (i-te Zeile, j-te Spalte eigetrage sid. Sid z i = j=1 m ij (1 i m die Zeilesumme, ud s j = m i=1 m ij (1 j m die Spaltesumme da gilt m i=1 z i = j=1 s i, de beide Summe sid gleich der Summe aller Matrixelemete. Die Regel vom zweifache Abzähle ergibt sich u als Spezialfall für die sogeate Izidezmatrix. Dazu werde die { Elemete aus S ud T umeriert, 1 falls (ai, b S = {a 1,..., a m }, T = {b 1,..., b } ud m ij = j I gesetzt. 0 sost 3.2 Die fudametale Zählkoeffiziete Sei eie Mege N gegebe (ohe Eischräkug ka ma N = {1, 2,..., } aehme ud 0 k eie atürliche Zahl. I diesem Abschitt werde wir die Werte eiiger Zählfuktioe bestimme, die sehr häufig auftrete ud deshalb mit eigee Symbole zeichet werde. Eie k elemetige Utermege vo N wird auch k Kombiatio geat. Die Azahl der k Kombiatioe eier Mege mit ( k bezeichet, ud diese Azahle werde Biomialkoeffiziete geat. Dabei werde k Kombiatioe (wie für Mege üblich als icht geordet betrachtet, d.h. {1, 3, 5} 26

3 ud {3, 5, 1} sid ei ud dieselbe 3 Kombiatio. Geordete k Utermege werde auch k Variatioe (ohe Wiederholug geat, alterativ ka dafür auch der Begriff k Permutatio eier Mege verwedet werde. Achtug: Geordet heißt hier gerade icht ach Größe geordet, soder i eier bestimmte Reihefolge ageordet! Ma ka sie als Wörter der Läge k aus voeiader verschiedee Elemete aus N kodiere (also Der Begriff der Partitio wurde bereits eigeführt ud im Zusammehag mit Äquivalezrelatioe verwedet. Wir verstehe daruter die Zerlegug eier Mege i disjukte, ichtleere Utermege (Blöcke. Bezeichet k die Azahl der Blöcke, so spreche wir vo k Partitioe. A dieser Stelle ist es wichtig, auf eie bisher eher ebesächliche Aspekt eizugehe: Betrachtet ma die Partio als Mege vo k Blöcke, da spielt die Reihefolge der Böcke keie Rolle ud wir spreche eifach vo eier k Partitio, oder (we wir diese Aspekt besoders betoe wolle vo eier ugeordete k Partitio. Die Azahl der k Partitioe eier Mege wird mit S,k bezeichet. Die Zahle S,k werde Stirlig Zahle zweiter Art geat. Will ma dagege auch die Reihefolge des Auftrete der Blöcke berücksichtige, so spricht ma vo geordete k Partitioe. Zur Uterscheidug umfasst ma die Blöcke eier ugeordete Partitio i Megeklammer, währed geordete Partitioe als Tupel gechriebe werde (rude Klammer. Beispiel: Die Mege {{2}, {1, 3, 5}, {4, 6}} ud {{3, 5, 1}, {2}, {4, 6}} sid gleich, d.h. sie stelle ei ud dieselbe (ugeordete 3 Partitio dar. Dagege sid ({2}, {1, 3, 5}, {4, 6} ud ({1, 3, 5}, {4, 6}, {2} zwei verschiedee geordete 3 Partitioe. Die Azahl der k Variatioe vo N ka mit der Produktregel bestimmt werde ( Möglichkeite für die erste Stelle ud ist diese festgelegt, da 1 Möglichkeite für die zweite Stelle,... : ( 1... ( k + 1 =! ( k! Diese Azahle werde auch kurz mit k bezeichet ud fallede Faktorielle geat. Streg geomme muss ei solcher Beweis auch wieder mit vollstädiger Iduktio geführt werde, aber izwische sollte jeder geug Übug dari habe, dieses Detail auszufülle. Aalog defiiert ma die steigede Faktorielle mit wobei wir 0 = 0 = 1 setze. k = ( ( + k 1 = ( + k!.! Da jede k Utermege sich auf k! Arte als k Permutatio darstelle lässt, gilt ach Produktregel k = k! ( k. Daraus ka eie explizite Formel für die Biomialkoeffiziete abgeleitet werde: ( = k k k! =! ( k!k! 27

4 Aalog ka auch die Azahl der geordete k Partitioe durch das Produkt k! S,k beschriebe werde. Beispiel: Der Ziehugsvorgag beim Lotto 6 aus 49 liefert zuächst eie 6 Variatio der Mege {1, 2,..., 49} (wir verachlässige hier die Zusatzzahl. Die Azahl dieser 6 Variatioe ist Für das Ergebis der Ziehug ist ur die Mege der gezogee Zahle etscheided ud icht die Reihefolge i der sie gezoge wurde. Da jedes Ziehugsergebis i 6! verschiedee Reihefolge gezoge werde ka, ist die Azahl der mögliche Ziehugsergebisse (ud damit auch die Azahl der mögliche Tips gleich 496 = ( 49 6! 6. Eie Abwadlug des Begriffs der Megepartitio führt zu de sogeate Zahlpartitioe. Ist N da wird eie Summe = k mit i N, i > 0 eie k Zahlpartitio vo geat. Die Azahl solcher Partitioe wird mit P,k bezeichet. Auch hier spielt die Reihefolge der i keie Rolle, so daß ma ohe Eischräkug k aehme ka. Soll die Reihefolge Berücksichtigug fide, so spreche wir vo geordete Zahlpartitioe. Achtug: Geordete Zahlpartitioe sid also gerade solche, i dee die Summade icht ach ihrer Größe sortiert auftrete. Lemma: ( Die Azahl der geordete k Zahlpartitioe vo ist 1 k 1. Beweis: Wir kostruiere eie Bijektio vo der Mege S der geordete k Zahlpartitioe auf die Mege T der (k 1 Utermege vo {1, 2,..., 1} durch: = k S { 1, 1 + 2,..., k 1 } T. Die Bijektivität dieser Abbildug ka durch die Kostruktio der Umkehrabbildug achgewiese werde, ud die Behauptug folgt u aus der Gleichheitsregel. Die hier besprochee Zählkoeffiziete sid auch sehr gut zum Abzähle vo Fuktioemege geeiget. Sei N eie Mege ud R eie r Mege. Aus der Megelehre wisse wir, daß die Azahl der Abbilduge vo N ach R gleich r ist. Ist r, da sid ijektive Abbilduge vo N i R durch Variatioe vo R charakterisiert, d.h. Ij(N, R = r. Ist r, da sid surjektive Abbilduge vo N auf R durch geordete r Partitioe vo N charakterisiert, d.h. Surj(N, R = r! S,r. Die Azahl der bijektive Abbilduge ist! (falls = r oder 0. Klassifiziere wir die Mege aller Abbilduge f : N R ach ihre Bilder A = {f(x x N} R, so ergibt die Summeregel: r = Abb(N, R = A R Surj(N, A = r k=0 A =k Surj(N, A = r k=0 ( r k k! S,k = r k=0 rk S,k 28

5 3.3 Zwölf Arte des Abzähles Eie zusammefassede Iterpretatio der Zählkoeffiziete erhalte wir durch die folgede Fragestellug: Sei eie Mege vo Bälle gegebe, die i r Fächer verteilt werde solle. Gesucht ist die Azahl solcher Verteiluge allgemei ud uter der zusätzliche Bedigug, daß ur ijektive (jedes Fach höchstes ei Ball, surjektive (jedes Fach midestes ei Ball bzw. bijektive (jedes Fach geau ei Ball Verteiluge zu betrachte sid. Natürlich hägt die Problemstellug auch davo ab, ob die Bälle bzw. die Fächer uterscheidbar sid oder icht. Offesichtlich korrespodiere die obige Abzähluge vo Abbilduge zu dem Fall, daß sowohl die Bälle als auch die Fächer uterscheidbar sid. Da die Frage der bijektive Verteiluge relativ leicht zu beatworte sid, reduziert sich die Problemstellug auf zwölf Variate. Sid ur die Bälle uterscheidbar, aber icht die Fächer, da korrespodiere surjektive Verteiluge zu r Partitioe eier Mege ud die Mege aller Verteiluge ka mit der Summeregel über die Klassifizierug ach Azahl der belegte Fächer abgezählt werde. Sid Bälle ud Fächer icht uterscheidbar, da korrespodiere surjektive Verteiluge zu r Zahlpartitioe vo ud auch hier ka die Mege aller Verteiluge mit der Summeregel über die Klassifizierug ach Azahl der belegte Fächer abgezählt werde. Sid ur die Fächer uterscheidbar, aber icht die Bälle, da korrespodiere die surjektive Verteiluge zu geordete r Zahlpartitioe vo. Die ijektive Verteiluge sid durch die Auswahl der belegte Fächer aus der r Mege aller Fächer vollstädig charakterisiert. Eie beliebige Abbildug ist durch eie geordete Summezerlegug der Form = r mit i N charakterisiert. Um daraus eie r Zahlpartitio im Sie der Defiitio zu mache (Zusatzbedigug i 1 addiert ma zu jedem Summade eie 1. Damit erhalte wir eie Bijektio auf die Mege der geordete r Zahlpartitioe vo ( + r. Diese Mege hat ( +r 1 r 1 Elemete. Die folgede Tabelle gibt eie vollstädige Überblick. beliebig ijektiv surjektiv bijektiv N uterscheidbar r r r!s,r 0 oder! R uterscheidbar N icht utersch. R uterscheidbar N uterscheidbar R icht utersch. N icht utersch. R icht utersch. ( +r 1 r 1 ( r ( 1 r 1 0 oder 1 r k=1 S,k 0 oder 1 S,r 0 oder 1 r k=1 P,k 0 oder 1 P,r 0 oder 1 29

6 3.4 Rekursioe Pascalsches Dreieck Oft ist es schwierig, für die zu utersuchede kombiatorische Größe f( eie geschlossee Formel azugebe, z.b. für die Stirlig Zahle zweiter Art S,k. I solche Fälle ka eie Rekursio, das ist eie Formel, die f( auf f( 1 ud/oder f( 2,... zurückführt, ei wirkugsvolles Hilfsmittel sei. Sid da och die beötigte Afagswerte f(0 ud/oder f(1 bekat, ka ma jedes f( effektiv bereche. Wir ( habe bereits eie Rekursio für die Biomialkoeffiziete keegelert: ( k = 1 ( k + 1 k 1 für alle, k > 0. Mit de triviale Zusatziformatioe ( ( = ( 0 = 1 ud k = 0 falls k >, köe alle Biomalkoeffiziete berechet werde. Das dafür verwedete Schema wird Pascalsches Dreieck geat: k : Es ist klar, daß die Summe aller Eiträge i der te Zeile die Azahl aller Utermege eier Mege ergibt: ( = 2. k k=0 Die folgede zwei Idetitäte mache Aussage über Spalte- ud Diagoalsumme, die a eier beliebige Stelle abzubreche sid: ( m m=0 = ( +1 für alle, k 0 k k+1 ( m+k ( k=0 k = m++1 für alle m, 0 Beide Formel ka ma mit vollstädiger Iduktio ud auch durch kombiatorische Argumetatioe beweise. Eiige Idetitäte dieser Art liefer auch wichtige Aussage für Polyome. Dazu muß ma eie oder mehrere Parameter der Zählkoeffiziete durch Polyomvariable (über de komplexe Zahle ersetze.setzt ma x k = x(x 1... (x k + 1, da ka ma auch ( x k = x k als Polyom vom k! Grad k asehe. Wie us bekat ist, sid zwei Polyome vom Grad k geau da gleich, we ihre Werte a midestes k + 1 Stelle übereistimme. Da die Rekursio der Biomialkoeffiziete auch für alle atürliche Zahle k bewiese ist, 30

7 müsse auch die etsprechede Polyome gleich sei,also: ( x ( k = x 1 ( k + x 1 k 1. Auch die sogeate Vadermode Idetität ka mit dieser Polyommethode bewiese werde: ( x+y = ( x y k=0 k( k Wieder folgt die Gleichheit dieser Polyome aus dem Fakt, daß ihre Werte a uedlich viele Stelle (ämlich für alle x, y N übereistimme. Der Fakt selbst ka mit der Summeregel begrüdet werde: Seie x, y N ud X, Y zwei disjukte Mege mit X = x, Y = y. Auf der like Seite der Vadermode Idetität steht da die Azahl aller Kombiatioe vo X Y. Wir klassifiziere solche Kombiatioe ach der Azahl k der Elemete aus X. Da besteht die Klasse S k aus alle Kombiatioe mit k Elemete aus X ud k Elemete aus Y. Nach der Produktregel ist S k = ( ( x y k k ud die Behauptug folgt aus der Summeregel. Biomialsatz: (x + y = ( k=0 k x k y k Der iduktive Beweis utzt die Rekursio der Biomialkoeffiziete. Als umittelbare Folgerug aus dem Biomialsatz erhalte wir die folgede zwei Formel: (x + 1 = ( k=0 k x k 2 = ( k=0 k Rekursio für die Stirlig Zahle zweiter Art Satz: Für alle, k N mit k > 0 gilt S,k = S 1,k 1 + k S 1,k. Ma beachte, daß diese Formel eie große Ählichkeit mit der Rekursiosformel für Biomialkoeffiziete aufweist. Auch der Beweis ist sehr ählich: Sei a ei fest gewähltes Elemet der Mege N. Die k Partitioe vo N köe u daach klassifiziert werde, ob {a} eie Block der Partitio bildet oder icht. Bei positiver Atwort ka der Partitio auf eieideutige Weise (Streichug vo {a} eie (k 1 Partitio vo N \ {a} zugeordet werde. Zur Begrüdug des zweite Summade überlegt ma sich, das ma alle k Partitioe vo N, i dee {a} keie Block bildet, auf folgede Art erhält: Ma betrachte alle k Partitioe vo N \ {a} ud ergäze eie ihrer Klasse um a (dafür gibt es jeweils k Möglichkeite. Aus der Defiitio ergebe sich die Afagsbediguge S,0 = 0 für > 0 ud S 0,k = 0 für k > 0. Wie ma leicht sieht, muß S 0,0 = 1 gesetzt werde, damit die Formel auch für S 1,1 ihre Gültigkeit behält. 31

8 Lösug vo Rekursioe I diesem Abschitt werde zwei Methode beschriebe, mit dere Hilfe ma (i eiige Fälle aus Rekursioe geschlossee Formel ableite ka. Wir begie mit Rekursioe der Form a = ca 1 + d, a 0 = C, c, d, C R Offesichtlich köe wir c = 1 als Trivialfall (da ist a = d + C ausschließe. Für c 1 erhalte wir durch elemetare Umformuge: a = d + ca 1 = d + c(d + ca 2 = d + cd + c 2 a 2 = d + cd + c 2 (d + ca 3 =... = d + cd + c 2 d c 1 d + c a 0 = c 1 c 1 c C Wir betrachte jetzt sogeate homogee lieare Rekursioe vo Grad k, das sid Rekursioe der Form a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k wobei c 1,..., c k R ud c k 0 vorausgesetzt sid. Darüber hiaus solle die reelle Zahle als Afagsbediguge a 0 = C 0,..., a k 1 = C k 1 bekat sei. Der Basisasatz besteht dari, eie Lösug der Form a = r für eie Kostate r zu suche. Gäbe es eie solche Lösug, da wäre r = c 1 r 1 + c 2 r c k r k, also wäre r eie Nullstelle des sogeate charakteristische Polyoms x k c 1 x k 1 c 2 x k 2... c k der Rekursio. Eie solche Lösug köte aber i Widerspruch zu de Afagsbediguge stehe. Satz: Ageomme, das charakteristische Polyom der Rekursio a = c 1 a 1 + c 2 a c k a k hat k verschiedee Nullstelle r 1,..., r k. Da gibt es Kostate α 1,..., α k, so daß a = α 1 r α k r k für alle N. Diese Kostate sid durch die k Afagsbediguge a 0 = C 0,..., a k 1 = C k 1 eideutig bestimmt. Wir verzichte auf de Beweis. Es sei aber agemerkt, daß zur Bestimmug der Kostate ei lieares Gleichugssystem vo k Gleichuge (jeder Afagswert liefert eie Gleichug mit de gesuchte Kostate α 1,..., α k als Variable gelöst werde muß. Die Verschiedeheit der Nullstelle sichert, daß dieses LGS eie eideutige Lösug besitzt. Beispiel: Die Rekursio f = f 1 +f 2 mit de Afagsbediguge f 0 = 0, f 1 = 1 beschreibt die sogeate Fiboacci Zahle. Das charakteristische Polyom dieser Rekursio hat die Form x 2 x 1. Die Nullstelle dieses Polyoms sid 1+ 5 ud Zur Bestimmug der Kostate α 1 ud α 2 muß das folgede LGS gelöst werde: α 1 + α 2 = α α 2 2 = 1 32

9 Aus der erste Gleichug folgt α 2 = α 1. Verwedet ma diese Substitutio i der zweite Gleichug, da ergibt sich 5α 1 = 1, also α 1 = 1/ 5. So erhält ma folgede geschlossee Formel für die Fiboacci Zahle: ( f = ( Aus dieser Formel ka ma sehr gut das expoetielle Wachstum der Fiboacci Zahle ud ihr Kovergezverhalte ablese. Eie geometrische Demostratio fidet ma i der folgede Abbildug: Aus vier Puzzleteile wird jeweils ei 5 13 Dreieck zusammegesetzt, aber im rechte Dreieck bleibt ei Feld frei. Wie ka ma das erkläre? Beim geauere Hisehe oder besser beim Nachreche etdeckt ma, dass die Hypoteuse der beide kleie Dreiecke verschiedee Astiege habe ud somit 2 keie Gerade bilde: = 0, 4 ud 3 = 0, 375. Uter Berücksichtigug vo 2 = 5 8 f 3, 3 = f 4, 5 = f 5 ud 8 = f 6 erhält ma eie geometrische Idee davo, dass sich die Quotiete f 3 /f 5 ud f 4 /f 6 ur weig uterscheide. 3.5 Das Schubfachprizip I de bisherige Theme zur Kombiatorik gig es immer um die geaue Bestimmug vo bestimmte Werte. Es kommt aber auch vor, dass die Iformatioe über bestimmte Mege icht ausreiche, um geaue Agabe über ihre Größe mache zu köe. Oft muss ma sich solche Fälle damit zufriede gebe, möglichst gute obere ud utere Schrake für die Größe zu kee. Eie grudlegede ud wichtige Methode zur Herleitug solcher Ugleichuge mit kombiatorische Mittel besteht i der Awedug des sogeate Schubfachprizips. Das Schubfachprizip, i der eglischsprachige Literatur auch als Taubeschlagprizip bezeichet, geht auf de Mathematiker G. L. Dirichlet zurück: Verteilt ma Gegestäde i k Schubfächer ud ist > k, da gibt es midestes ei Schubfach, i dem midestes 2 Gegestäde liege. Auf de erste Blick scheit dieses Prizip ur triviale Schlußfolgeruge zuzulasse, wie: i jeder Gruppe vo 366 Mesche gibt es midestes zwei, die de gleiche Geburtstag habe, aber wie die folgede elegate Aweduge zeige, trügt der Schei. Satz: I jeder +1 elemetige Utermege M vo {1, 2,..., 2} gibt es zwei Zahle a ud b, so daß a Teiler vo b ist. 33

10 Beweis: Sei M = {a 1, a 2,..., a +1 }. Jedes Elemet dieser Mege hat eie eideutige Produktzerlegug der Form a i = 2 k i q i wobei q i eie ugerade Zahl ist. Da die Azahl der ugerade Zahle zwische 1 ud 2 gleich ist, müsse mideste zwei Elemete aus M bei der Zerlegug die gleiche ugerade Zahl liefer, ud es ist klar, daß da die kleiere vo beide ei Teiler der größere ist. Satz vo Erdös/Szekeres: Jede Folge vo verschiedee Zahle ethält eie mooto wachsede oder mooto fallede Uterfolge der Läge + 1. Beweis: Ist die Folge a 1, a 2,..., a 2 +1 gegbe, da hat eie Uterfolge der Läge m die Form a i1, a i2,..., a im wobei 1 i 1 < i 2 <... < i m gelte muß. Die Uterfolge ist mooto wachsed (falled we auch a i1 < a i2 <... < a im (> gilt. Ageomme die gegebee Folge hat keie mooto wachsede oder mooto fallede Uterfolge der Läge + 1, da orde wir jedem k = 1, 2,..., ei Paar (w k, f k zu, wobei w k (f k die maximale Läge eier mooto wachsede (fallede Uterfolge ist, die mit a k begit. Da ur 2 Paare möglich sid, muß midestes ei Paar mehrfach auftrete, d.h. es gibt Zahle 1 s < t 2 + 1, so daß w s = w t ud f s = f t. Das ist aber bereits ei Widerspruch, de ist a s < a t, da köte jede mit a t begiede mooto wachsede Uterfolge vo vor durch a s verlägert werde, also wäre w s > w t. Aalog folgt aus a s > a t auch f s > f t ud a s = a t ist ach Voraussetzug icht möglich. Verallgemeierug des Schubfachprizips: Verteilt ma Gegestäde i k Schubfächer, da gibt es midestes ei Schubfach, i dem midestes k Gegestäde liege. Beispiel: I jeder Gruppe vo 100 Mesche gibt es midestes 9, die das gleiche Sterzeiche habe. 34