Logik für Informatiker

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1 Logik für Informatiker 2. Aussagenlogik Teil Viorica Sofronie-Stokkermans Universität Koblenz-Landau 1

2 Bis jetzt Syntax der Aussagenlogik: Definition der Menge aller Formeln Strukturelle Induktion (Induktion über Formelaufbau) Semantik der Aussagenlogik: Wahrheit einer Formel in einem Modell Erfüllbarkeitstests: Wahrheitstafelmethode Logische Umformung (Äquivalenzumformung) 2

3 Bis jetzt Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Dazu brauchen wir Normalformen 3

4 Bis jetzt Unser Ziel Kalkül(e) zur systematischen Überprüfung von Erfüllbarkeit (für Formeln und/oder Formelmengen) Dazu brauchen wir Normalformen Atom/Literal/Klausel Konjunktive Normalform (KNF): Konjunktion von Disjunktionen von Literalen, d.h., eine Konjunktion von Klauseln Disjunktive Normalform (DNF): Eine Disjunktion von Konjunktionen von Literalen. 4

5 Bis jetzt Eigenschaften: Zu jeder aussagenlogischen Formel gibt es: - eine äquivalente Formel in KNF - eine äquivalente Formel in DNF Diese äquivalenten Formeln in DNF bzw. KNF sind nicht eindeutig DNF (KNF) können aus einer Wahrheitstafel abgelesen werden KNF/DNF können durch Umformungen hergestellt werden 5

6 Umformung in KNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A 4. Nach innen schieben von Verwende Distributivität von über A (B C) (A B) (A C) 6

7 Umformung in DNF Vier Schritte: 1. Elimination von Verwende A B (A B) (B A) 2. Elimination von Verwende A B ( A B) 3. Nach innen schieben von Verwende de Morgans Regeln und A A 4. Nach innen schieben von Verwende Distributivität von über A (B C) (A B) (A C) 7

8 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Zu A n äquivalente KNF ^ (P 1,f (1) P n,f (n) ) f :{1,...,n} {1,2} Größe der KNF: Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis: Induktion 8

9 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 9

10 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 =

11 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 = 2 2 n = 3 : A 3 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) (P 31 P 32) {z } A ((P 2 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) (P 31 P 32 ) {z } KNF(A 2 ) 11

12 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 = 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 = 2 2 n = 3 : A 3 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) (P 31 P 32) {z } A ((P 2 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) (P 31 P 32 ) {z } KNF(A 2 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 31 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 32 ) 12

13 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) n = 1 : A 1 = P 11 P 12 Länge: 2 1 n = 2 : A 2 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) ((P 11 P 12 ) P 21 ) ((P 11 P 12 ) P 22 ) (P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 ) Länge: 2 2 n = 3 : A 3 = (P 11 P 12 ) (P 21 P 22 ) (P 31 P 32) {z } A ((P 2 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) (P 31 P 32 ) {z } KNF(A 2 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 31 ) (((P 11 P 21 ) (P 12 P 21 ) (P 11 P 22 ) (P 12 P 22 )) P 32 ) (((P 11 P 21 P 31 ) (P 12 P 21 P 31 ) (P 11 P 22 P 31 ) (P 12 P 22 P 31 ) (((P 11 P 21 P 32 ) (P 12 P 21 P 32 ) (P 11 P 22 P 32 ) (P 12 P 22 P 32 ) Länge:

14 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis durch Induktion Induktionsbasis: n = 1 : A 1 in KNF, 2 1 Klausel. 14

15 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis durch Induktion Induktionsvoraussetzung: KNF von A n hat 2 n Klausel KNF(A n ) = C 1 C 2 n, C i = (L i 1 Li n i ) Klausel Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von A n+1 hat 2 n+1 Klausel A n+1 = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((P 11 P 12 ) (P n1 P n2 )) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) {z } An (C 1 C 2 n) {z } KNF(An) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),1 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),2 ) (C 1 P (n+1),1 ) (C 2 n P (n+1),1 ) (C 1 P (n+1),2 ) (C 2 n P (n+1),2 ) 15

16 Beispiel zur exponentiellen Länge der KNF Gegeben: A n = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) Klausel in KNF von A n : 2 n Beweis durch Induktion Induktionsvoraussetzung: KNF von A n hat 2 n Klausel KNF(A n ) = C 1 C 2 n, C i = (L i 1 Li n i ) Klausel Induktionsschritt: Zu zeigen: KNF von A n+1 hat 2 n+1 Klausel A n+1 = (P 11 P 12 ) (P n1 P n2 ) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((P 11 P 12 ) (P n1 P n2 )) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) {z } An (C 1 C 2 n) {z } KNF(An) (P (n+1),1 P (n+1),2 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),1 ) ((C 1 C 2 n) P (n+1),2 ) (C 1 P (n+1),1 ) (C 2 n P (n+1),1 ) (C 1 P (n+1),2 ) (C 2 n P (n+1),2 ) {z } {z } 2 n 2 n 16

17 KNF: Mengenschreibweise Notation: Klausel als Menge von Literalen Formel in KNF als Menge von Klauseln 17

18 KNF: Mengenschreibweise Notation: Klausel als Menge von Literalen Formel in KNF als Menge von Klauseln Beispiel: (P Q R) (P Q R) ( P Q R) ( P Q R) { {P,Q,R}, {P, Q, R}, { P, Q,R}, { P, Q,R} } 18

19 KNF: Mengenschreibweise Bedeutung der leeren Menge Leere Klausel = leere Menge von Literalen = leere Disjunktion = 19

20 KNF: Mengenschreibweise Bedeutung der leeren Menge Leere Klausel = leere Menge von Literalen = leere Disjunktion = Leere Menge von Klauseln = leere Konjunktion = 20

21 Vereinfachung der KNF: Subsumption Theorem (Subsumption Regel) Enthält eine KNF-Formel (= Klauselmenge) Klauseln K,K mit K K dann entsteht eine äquivalente Formel, wenn K weggelassen wird. Beweis: K = {L 1,...,L p } {L 1,...,L p,l p+1,...,l m } = K F enthält K K K K = (L 1 L p ) ((L 1 L p ) L p+1... L m ) (L 1 L p ) = K (Absorption) 21

22 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Frage: Eine aussagenlogische Formel F Ist F erfüllbar? 22

23 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Frage: Eine aussagenlogische Formel F Ist F erfüllbar? NB: F allgemeingültig gdw. F nicht erfüllbar 23

24 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Frage: Eine aussagenlogische Formel F Ist F erfüllbar? NB: F allgemeingültig gdw. F nicht erfüllbar Erfüllbarkeitsproblem für DNF Formeln Sei F = W n i=1 (V m j=1 L ij) in DNF F unerfüllbar gdw. ( V m j=1 L ij) unerfüllbar für alle i = 1,...,n gdw. ( V m j=1 L ij) enthält zwei komplementäre Literale für alle i 24

25 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Frage: Eine aussagenlogische Formel F Ist F erfüllbar? NB: F allgemeingültig gdw. F nicht erfüllbar Erfüllbarkeitsproblem für DNF Formeln Sei F = W n i=1 (V m j=1 L ij) in DNF F unerfüllbar gdw. ( V m j=1 L ij) unerfüllbar für alle i = 1,...,n gdw. ( V m j=1 L ij) enthält zwei komplementäre Literale für alle i Allgemeingültigkeit für DNF Formeln F in KNF allgemeingültig gdw. jede Disjunktion zwei komplementäre Literale enthält. 25

26 Das SAT-Problem (Erfüllbarkeitsproblem) Definition: SAT-Problem Gegeben: Frage: Eine aussagenlogische Formel F Ist F erfüllbar? Theorem (ohne Beweis) SAT ist ein NP-vollständiges Problem 26

27 NP Zur Erinnerung: P ist die Klasse aller Probleme, die in polynomieller Zeit entscheidbar sind. 27

28 NP Zur Erinnerung: P ist die Klasse aller Probleme, die in polynomieller Zeit entscheidbar sind. NP ist die Klasse aller Probleme, die nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar sind. 28

29 NP Zur Erinnerung: P ist die Klasse aller Probleme, die in polynomieller Zeit entscheidbar sind. NP ist die Klasse aller Probleme, die nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar sind. Ein Entscheidungsproblem ist genau dann in NP, wenn eine gegebene Lösung für das entsprechende Suchproblem in Polynomialzeit überprüft werden kann. 29

30 NP Zur Erinnerung: P ist die Klasse aller Probleme, die in polynomieller Zeit entscheidbar sind. NP ist die Klasse aller Probleme, die nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar sind. Ein Entscheidungsproblem ist genau dann in NP, wenn eine gegebene Lösung für das entsprechende Suchproblem in Polynomialzeit überprüft werden kann. SAT ist in NP: Rate eine Lösung (Interpretation A mit A(F) = 1) Überprüfe, ob A wirklich eine Lösung ist (i.e. ob A(F) = 1) kann in Polynomialzeit überprüft werden 30

31 NP-Vollständigkeit Zur Erinnerung: SAT ist NP-vollständig heißt: SAT ist nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar 31

32 NP-Vollständigkeit Zur Erinnerung: SAT ist NP-vollständig heißt: SAT ist nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar Jedes nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbare Problem kann in polynomieller Zeit auf SAT reduziert werden 32

33 NP-Vollständigkeit Zur Erinnerung: SAT ist NP-vollständig heißt: SAT ist nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbar Jedes nichtdeterministisch in polynomieller Zeit entscheidbare Problem kann in polynomieller Zeit auf SAT reduziert werden Wenn es stimmt, dass NP P, dann ist SAT nicht in polynomieller Zeit entscheidbar 33

34 Teilklassen des Erfüllbarkeitsproblems Definition: k-knf Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln höchstens k Literale haben 34

35 Teilklassen des Erfüllbarkeitsproblems Definition: k-knf Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln höchstens k Literale haben Theorem Erfüllbarkeit für Formeln in KNF: NP-vollständig (ohne Beweis) 35

36 Teilklassen des Erfüllbarkeitsproblems Definition: k-knf Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln höchstens k Literale haben Theorem Erfüllbarkeit für Formeln in KNF: NP-vollständig Erfüllbarkeit für Formeln in 3-KNF: NP-vollständig (ohne Beweis) (Beweisidee) 36

37 Teilklassen des Erfüllbarkeitsproblems Definition: k-knf Formel: KNF-Formeln, deren Klauseln höchstens k Literale haben Theorem Erfüllbarkeit für Formeln in KNF: NP-vollständig Erfüllbarkeit für Formeln in 3-KNF: NP-vollständig (ohne Beweis) (Beweisidee) Erfüllbarkeit für Formeln in 2-KNF: polynomiell entscheidbar Erfüllbarkeit für Formeln in DNF: polynomiell entscheidbar 37

38 Horn-Formeln Defintion: Horn-Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel höchstens ein positives Literal enthält 38

39 Horn-Formeln Defintion: Horn-Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel höchstens ein positives Literal enthält Notation: als Implikation P 1 P n P P 1 P n P P 1 P n P A P n P P 39

40 Horn-Formeln Defintion: Horn-Formel: Formel in KNF, in der jede Klausel höchstens ein positives Literal enthält Notation: als Implikation P 1 P n P P 1 P n P P 1 P n P A P n P P P 1 P n : Rumpf P: Kopf 40

41 Horn Formel: Beispiele Klausel Literalmengen Implikationen 41

42 Horn Formel: Beispiele Klausel Literalmengen Implikationen P { P} P 42

43 Horn Formel: Beispiele Klausel Literalmengen Implikationen P { P} P Q R S {Q, R, S} R S Q 43

44 Horn Formel: Beispiele Klausel Literalmengen Implikationen P { P} P Q R S {Q, R, S} R S Q Q S { Q, S} Q S 44

45 Horn Formel: Beispiele Klausel Literalmengen Implikationen P { P} P Q R S {Q, R, S} R S Q Q S { Q, S} Q S R {R} R Q P { Q,P} Q P 45

46 Horn Formel: Beispiele Klausel Literalmengen Implikationen P { P} P Q R S {Q, R, S} R,S Q Q S { Q, S} Q,S R {R} R Q P { Q,P} Q P 46

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