Systeme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.

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1 Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x = f n (x, y (x,, y n (x und f : (x, y y (x = f (x, y(x f (x, y,, y n, mit y = y n f n (x, y,, y n y : I R n, f : I R n R n, I R Intervall (zb I = R Chemische Reaktion: A + B C Variablen: Konzentrationen c A, c B, c C der Substanzen A, B, C Massenwirkungsgesetz (einfachster Fall: Reaktionsrate r = kc A c B => Differentialgleichungssystem t c A = k c A c B t c B = k c A c B t c C = k c A c B 85 / / 232 Beispiel 2 Zwei durch Federn verbundene Massenpunkte k m m k2 2 k3 x (t x 2(t x, x 2 Auslenkungen aus Ruhelage Kraft auf Massenpunkt : F (t = k x (t + k 2 (x 2 (t x (t 2: F 2 (t = k 2 (x (t x 2 (t k 3 x 2 (t Newtonsches Gesetz: m x (t = F (t m 2 x 2 (t = F 2(t => System 2 Ordnung x (t = k + k 2 m x (t + k 2 m x 2 (t x 2 (t = k 2 x (t k 2 + k 3 x 2 (t m 2 m 2 87 / 232 Transformation auf System Ordnung: x (t = k + k 2 m x (t + k 2 m x 2 (t x 2 (t = k 2 x (t k 2 + k 3 x 2 (t m 2 Setze x 3 (t = x (t, x 4(t = x 2 (t Dann: x x x 2 x 3 (t = k +k 2 k 2 m m x 2 x 3 (t x k 2 4 m 2 k 2+k 3 m 2 x 4 m 2 88 / 232

2 Gleichung höherer Ordnung y (n (x = f ( x, y(x, y (x,, y (n (x Transformation auf ein System Ordnung: Setze y j (x = y (j (x, j =,, n Dann gilt: y j (x = y j+(x, j =,, n 2, y n (x = y (n (x = f ( x, y(x, y (x,, y (n (x => System = f (x, y (x, y (x,, y n (x y (x = y (x y n 2 (x = y n (x y n (x = f (x, y (x, y (x,, y n (x Lineare Systeme Ein System heißt linear y (x = f (x, y(x f (x, y = A(x y + b(x mit einer Matrix A(x C n,n, dh A : I C n,n, I R Intervall und einem Vektor b(x C n, dh b : I C n In Komponenten ausgeschrieben: y (x = a (x y (x + + a n (x y n (x + b (x y 2 (x = a 2(x y (x + + a 2n (x y n (x + b 2 (x y n(x = a n (x y (x + + a nn (x y n (x + b n (x 89 / / 232 Satz (Struktur der Lösungsmenge Sei y (x = A(x y(x + b(x ein lineares System von Dglen und y (x = A(x y(x das zugehörige homogene System Dann gilt: ( ( Sind y, y 2 Lösungen von (, dann ist y y 2 Lösung von ( Sind y, y 2 Lösungen von (, dann ist auch jede Linearkombination α y + α 2 y 2, α, α C, eine Lösung von ( Ist y p Lösung von ( und y h Lösung von (, so ist y p + y h eine Lösung von ( Die Ziffern und 2 in y und y 2 sind keine Potenzen, sondern Indizes Sie sind hochgestellt, um sie von Vektorkomponenten zu unterscheiden 9 / 232 Beweis: Abschreiben des Beweises von S 98/99 und Ersetzen von a(x, y (x, y 2 (x durch A(x, y (x, y 2 (x Der Satz sagt (unter anderem aus, dass die Lösungsmenge L := {y : R C n y (x = A(x y(x} der homogenen Gleichung ein Vektorraum ist Man kann zeigen: L hat die Dimension n Definition Eine Basis von L, also ein System {y (x,, y n (x} aus n linear unabhängigen Lösungen der homogenen Gleichung (, heißt ein Fundamentalsystem 92 / 232

3 Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten Lösung linearer Systeme mit konstanten Koeffizienten Ein lineares System mit konstanten Koeffizienten hat die Form y (x = Ay(x + b(x mit A C n,n unabhängig von x und b : I C n In Komponenten: y (x = a y (x + + a n y n (x + b (x y 2 (x = a 2 y (x + + a 2n y n (x + b 2 (x y n(x = a n y (x + + a nn y n (x + b n (x System Strategie: y (x = Ay(x + b(x Bestimme eine allgemeine Lösungsdarstellung y h für das homogene System y (x = Ay(x Berechne eine Partikulärlösung y p für das inhomogene System Addiere beide Lösungen y (x = Ay(x + b(x 93 / / 232 Lösung des homogenen Systems Beispiel Homogenes System: y (x = Ay(x Ansatz: Exponentialfunktion y(x = e λx v mit λ C, v C n Einsetzen in Dgl: y (x = λ e λx v =! e λx Av => Av = λv, dh v ist ein Eigenvektor von A zum Eigenwert λ Differentialgleichungssystem y (x = y (x + y 2 (x Matrix Vektor Schreibweise: y (x = Ay(x mit y(x = y 2 (x = y (x y 2 (x Charakteristisches Polynom von A: p A (λ = det(a λe = det = ( λ 2 = λ 2 + 2λ => Eigenwerte λ = 2, λ 2 = ( ( y (x, A = y 2 (x ( λ λ 95 / / 232

4 ( Eigenvektoren von A = : ( Zu λ = 2: => v = Zu λ 2 = : ( ( ( => v 2 = Fundamentalsystem: { ( ( } e 2x, Allgemeine Lösung: ( ( y(x = c e 2x + c 2 Lösung mit Anfangsdaten y ( =, y 2 ( = 2: ( ( ( y ( y( = = c y 2 ( + c 2 => Gleichungssystem ( ( c = => c = /2, c 2 = 3/2 => Lösung c 2 y(x = 2 e 2x ( ( (! = ( 2 97 / / 232 Systeme mit diagonalisierbarer Matrix Komplexe Eigenwerte Wiederholung: Eine Matrix A C n,n heißt diagonalisierbar es gibt eine Basis {b,, b n } des C n aus Eigenvektoren von A Satz Sei A C n,n diagonalisierbar, sei {b,, b n } eine Basis aus Eigenvektoren von A mit (nicht notwendigerweise verschiedenen Eigenwerten λ,, λ n Dann ist durch y j (x = e λ j x b j, j =,, n ein Fundamentalsystem {y,, y n } des Systems gegeben y (x = Ay(x Satz Sei A R n,n eine Matrix mit Eigenvektor v C n zum Eigenwert λ C Dann ist v Eigenvektor zum Eigenwert λ Beweis: Av = Av = Av = λv = λv Anwendung: System y (x = A y(x Sei λ = λ + iλ 2 ein Eigenwert mit Eigenvektor v = v + i v 2 Dann hat das System die komplexen Lösungen z (x = ( v + i v 2 e λ x e iλ 2x und z 2 (x = ( v i v 2 e λ x e iλ 2x Durch Linearkombination folgen die reellen Lösungen y (x = ( 2 z (x + z 2 (x = Re ( z (x y 2 (x = 2i (z (x z 2 (x = Im ( z (x 2 / / 232

5 Beispiel System ( y 2 (x = y(x, y(x = 2 Charakteristisches Polynom ( y (x y 2 (x det(a λi = ( 2 λ 2 + = λ 2 + 4λ + 5 Nullstellen λ /2 = 2 ± 4 5 = 2 ± i Eigenvektoren: ( i Zu λ = 2 + i: i ( Zu λ 2 = 2 i: v 2 = i ( i => v = Komplexes Fundamentalsystem: { ( ( } e ( 2+ix, e ( 2 ix i i ( i Reelles Fundamentalsystem: { ( ( } e 2x cos x, e 2x sin x sin x cos x Allgemeine reelle Lösung: ( ( ( y(x = e 2x cos x sin x c + c sin x 2 cos x mit c, c 2 R Lösung mit Anfangsdaten y ( =, y 2 ( = 2: ( ( c! y( = = 2 => Lösung c 2 ( y(x = e 2x cos x + 2 sin x 2 cos x sin x 2 / / 232 Systeme mit nicht diagonalisierbarer Matrix Beispiel: y (x = Eigenwerte von A: p A (λ = (λ 2 ( y(x => es gibt nur einen Eigenwert λ = Eigenvektor: ( => x 2 = => es gibt nur einen (linear unabhängigen Eigenvektor ( v = Zugehörige Lösung der Dgl: y(x = e x ( Ansatz für weitere Lösung: Polynom vom Grad Einsetzen in Dgl: y(x = e λx (x u + w mit u, w C n y (x = e λx u + λ e λx (x u + w! = Ae λx (x u + w => (A λew = u, Au = λu => u ist Eigenvektor zum Eigenwert λ, zb u = v, w ist Lösung von Hier: (A λew = u ( => w = Fundamentalsystem: { ( ( } e x, e x x ( 23 / / 232

6 Definition Sei A C n,n, sei v C n ein Eigenvektor zum Eigenwert λ C Ein Vektor v mit (A λev = v heißt Hauptvektor der Stufe zum Eigenwert λ Für l = 2, 3,, k definieren wir rekursiv: Ein Vektor v l mit (A λev l = v l heißt Hauptvektor der Stufe l zum Eigenwert λ Die so definierten Vektoren { v, v,, v k} bilden eine Kette von Hauptvektoren der Länge k + Satz Zu jeder Matrix A C n,n existiert eine Basis des C n aus Eigenund Hauptvektoren von A Satz Sei { v, v,, v k} eine Kette von Hauptvektoren zum Eigenwert λ Dann hat das System die Lösungen y (x = Ay(x y l (x = e λx [ v l + x v l + x 2 für l =,,, k 2 v l x l ] l! v 25 / / 232 Beispiel System y (x = Ay(x mit A = Charakteristisches Polynom: λ det λ λ = ( λ 3 ( λ + ( λ = ( λ 3 => es gibt einen dreifachen Eigenwert λ = Eigenvektoren: A λe = => v = Hauptvektor Stufe: => v = Hauptvektor 2 Stufe: => v 2 = Fundamentalsystem: x e x, e x, e x x x 2 2 x x / / 232

7 Beispiel 2 System 2 y (x = 3 y(x Charakteristisches Polynom: 2 λ det 3 λ = (2 λ ( (3 λ( λ + λ => dreifache Nullstelle λ = 2 Eigenvektoren: = (2 λ(λ 2 4λ + 4 = (2 λ 3 A λe = => es gibt zwei unabhängige Eigenvektoren v =, v 2 = => Es muss noch einen Hauptvektor geben Dieser erfüllt: wobei v ein Eigenvektor ist w = v Frage: Welcher Eigenvektor? v? v 2? α v + α 2 v 2? Antwort: Das weiß man a priori nicht Man muss deshalb den Ansatz v = α v + α 2 v 2 mit unbekannten α, α 2 verwenden 29 / / 232 Berechnung des Hauptvektors w: Gleichungssystem (A λew = α v + α 2 v 2 Unbekannt sind w, w 2, w 3, α, α 2 => wir lösen das modifizierte Gleichungsystem ( A λe v v 2 w α = α 2 Gauß Elimination: Gesucht ist eine Lösung (w, w 2, w 3, α, α 2 mit (α, α 2 (, (sonst bekommt man einen Eigenvektor => eine Lösung ist w w 2 w 3 α = α 2 Dies liefert den Hauptvektor w = mit zugehörigem Eigenvektor v = α v + α 2 v 2 = Fundamentalsystem des Systems von Dglen: x e2x, e 2x, e 2x x x 2 / / 232

8 Darstellung der Lösungen homogener Systeme Homogenes System von Dglen y (x = A(x y(x Anfangswertproblem y (x = A(x y(x, y(x = a mit A : I C n,n gegeben, y : I C n gesucht Sei ein Fundamentalsystem { y,, y n} Dann hat jede Lösung eine Darstellung der Form mit y(x = c y (x + + c n y n (x = W (x c mit W (x = ( y (x y n (x und c = c c n mit a C n Allgemeine Lösung des Systems von Dglen: y(x = W (x c mit c = (c,, c n C n, W (x = ( y (x y n (x, {y,, y n } Fundamentalsystem Einsetzen der Anfangsbedingung => y(x = W (x c! = a Wenn W (x invertierbar ist, ist c durch a eindeutig bestimmt 23 / / 232 Satz Sei I R ein Intervall, A : I C n,n und seien y,, y n Lösungen des Systems y (x = A(x y(x Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i {y,, y n } sind linear unabhängig (ii {y (x,, y n (x } sind linear unabhängig für irgendein x I (iii Mit W (x = ( y (x y n (x gilt det W (x für irgendein x I Bemerkung: det W (x heißt Wronski Determinante Der Satz impliziert: det W (x für ein x I => det W (x für alle x I Achtung: Diese Aussagen gelten nur, wenn y,, y n Lösungen eines linearen Systems von Dglen sind 25 / 232 Beweis: (ii => (i: Klar, aus n c j y j (x = => c = = c n = folgt j= n c j y j (x = x I => c = = c n = j= (i => (ii: Später (ii (iii: Klar 26 / 232

9 Lösung inhomogener Systeme Inhomogenes System linearer Dglen: y (x = A(x y(x + b(x mit y : I C n gesucht, A : I C n,n, b : I C n gegeben, I R ein Intervall Fundamentalsystem für homogene Gleichung: { y,, y n} Ansatz für Partikulärlösung: Variation der Konstanten n y p (x = c j (x y j (x j= Einsetzen in System: n y p(x ( = cj (x ( y j (x + c j (x y j (x = j= n ( cj (x A(x y j (x + c j (x y j (x j= = A(x y p (x + W (x c (x =! A(x y p (x + b(x mit W (x = ( y (x y n (x c (x und c(x = c n (x Folgerung: W (x c (x = b(x 27 / / 232 Beispiel Inhomogenes System y (x = y (x + y 2 (x + x y 2 (x = y (x y 2 (x + e x Matrix Vektor Formulierung: y (x = Ay(x + b(x mit A = Fundamentalsystem (siehe S 97 : { y (x, y 2 (x } { ( = e 2x, Ansatz für Partikulärlösung: y p (x = c (x y (x + c 2 (x y 2 (x ( = c (x e 2x + c 2 (x ( ( x, b(x = e x ( } ( Matrix Vektor Schreibweise: ( ( e 2x c (x y p (x = e 2x = W (x c(x c 2 (x } ( {{} }{{} =c(x =W (x= Einsetzen in System: => y (x y 2 (x y p(x = (W (x c(x = W (x c(x + W (x c (x }{{} =A(x W (x = A(x y p (x + W (x c (x! = A(x y p (x + b(x W (x c (x = b(x 29 / / 232

10 Lösung des LGS: ( e 2x x e 2x e x => Integration: c 2 (x = ( 2 x + e x c (x = e2x( x 2 (x + e x = 2 ( e 2x x 2 x + e x ( x e 2x e x (x c (x = 2 e 2x e x dx = 8 (2x e2x 2 ex (+c c 2 (x = 2 (x + e x dx = 4( x 2 2 e x (+c Partikulärlösung: y p (x = W (x c(x = c (x y (x + c 2 (x y 2 (x ( 2x = e 2x ( 8 2 ex e 2x + x 2 2 e x ( 4 = 2x ( ( 8 2 e x + x 2 ( ( e x 4 2 = ( 2x 2 + 2x 8 e x 8 2x 2 2x + Allgemeine Lösung: ( ( y(x = c e 2x + c 2 + ( 2x 2 + 2x 8 e x 8 2x 2 2x + 22 / / 232 Lösbarkeit von Differentialgleichungssystemen Folgerung Anfangswertproblem y (x = f (x, y(x, y(x = y ( mit y : R R n gesucht, f : R R n R n, x R, y R n Satz (Picard Lindelöf Sei f : R R n R n stetig und Lipschitz stetig bezüglich y, dh f (x, y f (x, z L y z für alle x R, y, z R n mit L unabhängig von x, y, z Dann gibt es zu jeden Anfangsdaten x R, y R n ein δ > so dass ( genau eine Lösung y : (x δ, x + δ R n hat Lineares System von Differentialgleichungen y (x = A(x y(x + b(x mit A : R R n,n, b : R R n stetig und beschränkt Dann gilt: Jedes Anfangswertproblem y (x = A(x y(x + b(x, y(x = y mit x R, y R n hat eine eindeutige Lösung y : R R n 2 Die Lösungsmenge L der homogenen Gleichung y (x = A(x y(x hat die Dimension n 223 / / 232

11 Folgerung 2 Begründung von 2: Sei y j die Lösung des Anfangswertproblems ( y j (x = A(x y j (x, y j ( = e j mit dem j ten Einheitsvektor e j Dann gilt: { y,, y n} ist linear unabhängig, denn { y (,, y n ( } ist linear unabhängig Sei y Lösung von y (x = A(x y(x Dann gilt mit c j = y j ( = j te Komponente von y(: n y(x = c j y j (x j= => { y,, y n} ist eine Basis von L Homogenes lineares System von Dglen y (x = A(x y(x Seien y,, y n : I R n Lösungen dieses Systems, I R ein Intervall Dann gilt: {y (x,, y n (x } linear unabhängig für irgendein x I => {y (x,, y n (x} linear unabhängig für alle x I Dies impliziert die noch nicht gezeigte Aussage (i => (ii des Satzes von S / / 232 Folgerung 3 Beweis: Sei { y (x,, y n (x } linear unabhängig, c y (x + + c n y n (x = für ein x I => y(x = c y (x + + c n y n (x ist (eindeutige Lösung von Diese Lösung ist y(x = y (x = Ay(x, y(x = => y(x = c y (x + + c n y n (x = { y (x,, y n (x } ist linear unabhängig => c = = c n = => {y (x,, y n (x } ist linear unabhängig Anfangswertproblem für Dgl höherer Ordnung y (n (x = f ( x, y(x,, y (n (x y(x = a, y (x = a,, y (n (x = a n mit y : I R, I R, f : R R n R, x I, a,, a n R Satz Ist f stetig und gilt f (x, y,, y n f (x, z,, z n L ( y z + y z + + y n z n für alle x, y,, y n, z,, z n R, dann gibt es ein δ > so dass ( eine eindeutige Lösung y : (x δ, x + δ R n hat ( 227 / / 232

12 Folgerung 4 Beweis: Anwendung des Satzes von Picard Lindelöf auf das äquivalente System Ordnung für y j (x := y (j (x, j =,, n : y (x = y (x y n 2 (x = y n (x y n (x = f (x, y (x, y (x,, y n (x mit Anfangsbedingungen y j (x = a j, j =,, n Anfangswertproblem für lineare Dgl höherer Ordnung: y (n (x + a n (x y (n (x + + a (x y(x = b(x y(x = y,, y (n (x = y n Falls a j : I C, j =,, n, und b : I C stetig sind, dann gilt: Das Anfangswertproblem hat für alle x I und alle y,, y n C eine eindeutige Lösung Die Lösungsmenge der homogenen Gleichung y (n (x + a n (x y (n (x + + a (x y(x = hat die Dimension n 229 / / 232 Fourierreihen Teil III Fourieranalysis Ziel: Zerlegung einer gegebenen Funktion in Schwingungen Konkret: f : (, L R gegebene Funktion Gesucht: Darstellung der Form ( f (x = a + a n cos ( 2πn n= L x + b n sin ( 2πn L x } {{ } Schwingung der Wellenlänge L/n mit Koeffizienten a n, n =,, und b n, n =, 2, 23 / / 232