Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 1 / 7

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Kevin Frei
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1 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 1 / 7 1. Im Casino (20 Punkte) (a) Bei einem Glücksrad beträgt die Gewinnwahrscheinlichkeit 0,3. (3 P) i. Geben Sie eine Formel an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, bei 30 Versuchen genau 10 Gewinne zu erhalten. ii. Berechnen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 30 Versuchen mehr als 2 Gewinne zu erhalten. iii. Erklären Sie, welche Wahrscheinlichkeitsverteilung benutzt wird und warum. Beim französischen Roulette gibt es 37 Zahlen. Davon sind 18 rot, 18 schwarz und die Null ist grün. Auf dem Spieltisch sind die Zahlen in Reihen mit je 3 Zahlen angeordnet. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man i. gewinnt, wenn man auf Null gesetzt hat. (1 P) ii. verliert, wenn man auf zwei benachbarte Querreihen gesetzt hat. (1 P) iii. zwei Mal hintereinander gewinnt, wenn man jedes Mal auf Rot gesetzt hat. (2 P) (c) Jemand spielt 10 Mal und setzt immer auf die Null. Geben Sie eine Formel an, mit der man die Wahrscheinlichkeit berechnen kann, dass er mindestens einmal gewinnt. (2 P) (d) An einem Roulettetisch wird an einem Abend etwas über 1000 mal gespielt. Die Anzahl der Treffer für Rot sei normalverteilt mit μ = 500 und σ = 50. Man gewinnt, wenn man auf Rot setzt und Rot kommt. i. Skizzieren Sie die Verteilung und zeichnen Sie die Wahrscheinlichkeit ein, öfter als 500 mal zu gewinnen. (1 P) ii. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, zwischen 400 und 600 mal zu gewinnen. (1 P) iii. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, weniger als 450 mal zu gewinnen. (1 P) iv. Geben Sie das symmetrische Intervall an, in dem mit 90% Wahrscheinlichkeit die Anzahl der Gewinne liegen. (2 P) (e) Beim Poker kennt man die Einsätze von 15 verschiedenen Spielern (in ): 100, 200, 100, 700, 300, 400, 500, 700, 600, 200, 300, 800, 500, 500, 1100 i. Ordnen Sie den Merkmalen x = 100, 200,., 1100 die relativen Häufigkeiten r(x) zu. A. Erstellen Sie eine Tabelle für dieses Zuordnung. (1 P) B. Erstellen Sie ein Histogramm für diese Zuordnung. (1 P) ii. Ermitteln Sie den Median und das arithmetische Mittel. (2 P) iii. Zeichnen Sie dazu ein Boxplot-Diagramm. (2 P)

2 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 2 / 7 2. Smartphones (10 Punkte) Ein neues Spiel für Smartphones verbreitet sich rasant. Am Tag des Erscheinens kauften 350 Personen das Spiel, eine Woche später waren bereits 2100 Stück verkauft. (a) Ermitteln Sie den prozentuellen Zuwachs in der ersten Woche. (1 P) i. Geben Sie die Funktionsgleichung für ein lineare Wachstumsmodell an, wobei t die Zeit in Tagen ist. (2 P) ii. Berechnen Sie, mit wie vielen Spielern nach diesem Modell 6 Wochen nach Erscheinen des Spiels zu rechnen ist. (1 P) (c) Wenn man exponentielle Zunahme annimmt, erhält man folgende Funktion: N(t)=350 e 0,256 t N(t): Anzahl der verkauften Spiele, t: Zeit in Tagen i. Zeigen Sie, dass diese Funktion den Daten aus der Angabe entspricht. (1 P) ii. Ermitteln Sie die prozentuelle Zunahme der verkauften Spiele pro Tag nach diesem Modell. (1 P) iii. Dokumentieren Sie, wie Sie nach diesem Modell den Zeitraum berechnen, zu dem eine Million Menschen das Spiel besitzen. (2 P) (d) Ein weiteres Wachstumsmodell ist in der folgenden Grafik dargestellt: Lesen Sie aus dem Grafen ab i. wie viele Spiele nach 30 Tagen verkauft worden sind. (1 P) ii. wie viel Stück maximal verkauft werden können. (1 P)

3 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 3 / 7 3. Skateboard (11 Punkte) Auf einem ebenen Gelände wird eine Skateboardrampe angelegt (siehe Grafik): An das in einer senkrechten Ebene befindliche Profil f der Rampe wird ein Koordinatensystem wie folgt angepasst: Der Koordinatenursprung U wird am Ende der Rampe angenommen, x beschreibt die horizontale Abmessung und y die Höhe (Einheiten in m). Das Profil wird durch die Funktion f (x)= x3 (x+8) beschrieben. Die Rampe ist b = 2 m breit. Der Skateboarder fährt von oben in Richtung UD. (a) Profil: i. Welche Bedeutung hat in diesem Kontext die von U verschiedene Nullstelle von f(x)? (1 P) ii. Ermitteln Sie die horizontale Länge der Rampe. (1 P) iii. Welche Bedeutung hat in diesem Kontext der Hochpunkt von f(x)? (1 P) iv. Ermitteln Sie die Höhe der Rampe. (2 P) v. Welche Bedeutung hat in diesem Kontext der von U verschiedene Wendepunkt von f(x)? (1 P) vi. Ermitteln Sie in welcher Höhe dieser Skateboardfahrer das größte Gefälle hat. (2 P) Rampe: i. Berechnen Sie den Inhalt der Profilfläche. (1 P) ii. Erzeugen Sie eine Formel für das Volumen der Rampe. (1 P) iii. Berechnen Sie, wie viele m³ Erde man für das Aufschütten der Rampe benötigt. (1 P)

4 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 4 / 7 4. Turm (12 Punkte) Eine Frau schaut mit einem Höhenwinkel von 37 auf die Spitze eines Turmes. Ihre Augenhöhe beträgt 1,65 m (damit ist der Abstand der Augen vom Boden gemeint). Auf dem Turm befindet sich ein 12 m hoher Mast. Die Spitze dieses Mastes sieht die Frau unter einem Höhenwinkel von 45. (a) Beschriften Sie die Skizze und berechnen Sie die Höhe des Turmes. (6 P) Berechnen Sie die waagrechte Entfernung der Frau vom Turm. (2 P) (c) Zeichnen Sie in den dargestellten linken Einheitskreis α = 160 ein. Zeichnen Sie anschließend tanα ein und lesen Sie den Wert ab. (2 P) Zeichnen Sie in den dargestellten rechten Einheitskreis den Winkel β 1 = 320 ein, lesen Sie sin β 1 ab und zeichnen Sie weiters einen Winkel β 2 ein für den gilt: sin β 1 = sin β 2. (2P)

5 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 5 / 7 5. Schallgeschwindigkeit (2 Punkte) Die exakte Formel zur Berechnung der Ausdehnung von Schall in Luft lautet c=331,5 1+ t, wobei t für die Temperatur in C und c für die 273,15 Schallgeschwindigkeit in m/s stehen. (a) Berechnen Sie die Schallgeschwindigkeit bei 30 C. (1 P) Wie warm muss die Luft sein, damit die Schallgeschwindigkeit etwa 338 m/s beträgt? (1 P) 6. Impfstoff (5 Punkte) Verschieden Pharmaunternehmen produzieren Impfstoffe, die in Packungen verkauft werden. (a) Unternehmen A hat einen neuen Impfstoff entwickelt. Unternehmen B möchte diesen Impfstoff auch vertreiben. Es stehen 2 Möglichkeiten für diesen Vertrieb zur Auswahl: A. Unternehmen B kauft die Rechte von Unternehmen A um 10 Millionen. Außerdem fallen laufende Produktionskosten in Höhe von 25 pro Packung an. B. Unternehmen B kauft das Produkt direkt von Unternehmen A um 50 pro Packung. ii. Stellen Sie die beiden Funktionsgleichungen auf, die den Zusammenhang zwischen der Anzahl der erzeugten Packungen x und den entstehenden Gesamtkosten K (in Euro) für Unternehmen B beschreiben. (2 P) Ein weiteres Pharmaunternehmen untersucht ebenfalls 2 Möglichkeiten des Vertriebs eines Impfstoffes. Dabei liegen die folgenden Gewinnfunktionen vor: G 1 (x)=120x G 2 (x)=250x x. Anzahl der verkauften Packungen G 1 (x), G 2 (x) Gewinn bei x verkauften Packungen in Euro i. Zeichnen Sie die beiden Funktionen in ein Koordinatensystem. (2 P) ii. Stellen Sie diejenige Gleichung auf, mit der berechnet werden kann, bei welcher Anzahl an verkauften Packungen des Impfstoffes die Gewinne gleich sind. (1 P) Notenschlüssel: Sehr gut: 55 60, Gut: 48 54, Befriedigend: 39 47, Genügend: 30 38

6 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 6 / 7 Ergebnisse: 1. (a) i. ( 30 10) 0,310 0,7 20 ii. 99,79 % iii. Binomialverteilung, da es zwei Ausgänge gibt, die Versuche unabhängig voneinander sind und daher die Wahrscheinlichkeiten gleich bleiben i. 2,7 % ii. 83,78 % iii. 23,67 % (c) 1 ( ) (d) i. ii. 95,45 % (e) iii. 15,87 % iv. [418; 582] i. x r(x) ,33% ,33% ,33% 400 6,67% ,00% 600 6,67% ,33% 800 6,67%

7 Probematura Jänner/Februar 2016 Seite 7 / ,00% ,00% ,67% ii. 500 ; 466,67 iii. 100, 200, 500, 700, 1100 (a) +500 % i. S(t) = 250t ii Personen (c) i. N 0 = 350; N(7) = 2100,51 ii. +29,18% (d) (a) iii. Man setzt für N(t) 10 6 ein. Dann formt man die Gleichung nach t um. Das berechnete t gibt die Anzahl der Tage an. i. ca ii i. Anfang des Rampenprofils ii. 8m iii. höchster Punkt der Rampe iv. 2,7 m hoch v. steilste Stelle der Rampe vi. in 1,6 m Höhe i. 10,24 m² ii. V = A * b iii m³ (a) 37 m hoch 49 m (c) tan 160 = -0,36; sin 320 = -0,64 (a) 349,23 m/s 10,82 C (a) K A = 25x ; K B = 50x 120x = 250x

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