Information für Lehrer/innen. Themenheft Mathematik Modellieren Volksschule Grundstufe I + II

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1 Themenheft Mathematik Modellieren Volksschule Grundstufe I + II Bildungsstandards für höchste Qualität an Österreichs Schulen Information für Lehrer/innen

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3 Themenheft Mathematik Modellieren Volksschule Grundstufe I + II

4 Impressum Herausgeber: Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens Stella-Klein-Löw-Weg 15 / Rund Vier B, 2. OG 1020 Wien in Kooperation mit dem Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur Abt. I/1 Minoritenplatz Wien Themenheft Mathematik Modellieren. Volksschule Grundstufe I + II BIFIE (Hrsg.), Graz: Leykam, 2012 ISBN Einbandgestaltung: Die Fliegenden Fische, Salzburg & Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services Layout & Satz: Andreas Kamenik, BIFIE I Zentrales Management & Services, Ulrike L. Gamsjäger, Nadine Landsrath, BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung Redaktion & Lektorat: Alexander Ruprecht, Stefan Terler & Brigitte Zöchlinger, BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung Druck: Druckerei Theiss GmbH, 9431 St. Stefan i. L. Vertrieb an den Buchhandel: Leykam Buchverlagsgesellschaft m.b.h. Nfg. & Co.KG Die angebotenen Texte und Beispiele zur Umsetzung im Unterricht können an österreichischen Schulen und an Pädagogischen Hochschulen in den Bereichen der Aus-, Fort- und Weiterbildung von Lehrerinnen und Lehrern in dem für die jeweilige Lehrveranstaltung erforderlichen Umfang von der Website des BIFIE ( heruntergeladen, kopiert und verbreitet werden. Autorinnen und Autoren: Maria Fast Andrea Gerber Maria Koth Rudolf Langer Christina Meließnig Franz Nösterer Franz Platzgummer Corinna Straka Koordination: Brigitta Scheiber Brigitte Zöchlinger

5 Inhalt 3 Vorwort 5 1 Modellieren im Mathematikunterricht der Grundschule 7 2 Modellieren als Kompetenzbereich der Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe Einige Begriffsdefinitionen zum Kompetenzbereich Modellieren Rahmen- und Lernbedingungen Der Modellierungsprozess Der Modellierungsprozess, an einem Beispiel veranschaulicht Erfinden von Rechengeschichten (zu Termen Sachaufgaben erstellen) Querverbindungen zwischen allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen 21 3 Unterrichtskultur, die das Modellieren fördert Aufgabentypen gezielt einsetzen Informationen entnehmen Problemorientiertes Vorgehen Reflektieren über Lösungswege Fächerübergreifende Lernfelder einbeziehen Schülerleistungen bei Modellierungsaufgaben erfassen und analysieren Modellieren mithilfe des Schulbuchs 38 4 Möglichkeiten zur Umsetzung im Unterricht Bearbeitungshilfen Weiterführende Beispiele 65 5 Literaturverzeichnis 67 6 Kommentierte Literaturempfehlungen 72 Anhang 72 Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe 75 Rechtliche Grundlagen

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7 3 Vorwort Das vorliegende Themenheft Mathematik zum allgemeinen Kompetenzbereich Modellieren ist das zweite einer Reihe von Themenheften, die ergänzend zum Praxishandbuch Mathematik 4. Schulstufe vom Bundesinstitut für Bildungsforschung, Innovation & Entwicklung des österreichischen Schulwesens in Kooperation mit dem Bundesministerium für Unterricht, Kunst und Kultur herausgegeben werden. Der allgemeine Kompetenzbereich Modellieren eröffnet den Schülerinnen und Schülern die Möglichkeit, mithilfe der Mathematik die Umwelt zu erschließen. Durch den schrittweisen Aufbau dieser Kompetenz erwerben Kinder die Fähigkeit, die Realität mit der Mathematik zu verbinden und in Situationen des Alltags den Bezug zur Mathematik herzustellen. Dieses Themenheft befasst sich gezielt mit dieser Handlungskompetenz und bietet Lehrerinnen und Lehrern somit eine fokussierte Unterstützung auf dem Weg zum kompetenzorientierten Mathematikunterricht in der Volksschule. Das Heft beinhaltet fachdidaktische Texte, in der Praxis erprobte Unterrichtsbeispiele und zahlreiche Übungsangebote, um Modellierungskompetenzen der Kinder zu stärken. Diese Kombination von methodischen Anregungen und konkreten Hilfestellungen soll Lehrerinnen und Lehrern die Vorbereitung und Gestaltung des Unterrichts auf der Grundstufe I und der Grundstufe II erleichtern. Wir hoffen, Sie mit dieser Publikation bei Ihrer anspruchsvollen Aufgabe unterstützen zu können, Ihren Schülerinnen und Schülern jene Kompetenzen zu vermitteln, die für deren weiteren Bildungsweg entscheidend sind. LSI Mag. Gabriele Friedl-Lucyshyn Leiterin des BIFIE Wien I Zentrum für Innovation & Qualitätsentwicklung

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9 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 5 1 Modellieren im Mathematikunterricht der Grundschule Wer zur Quelle gehen kann, der gehe nicht zum Wassertopf. (Leonardo da Vinci) Volksschulkinder lernen Mathematik unter anderem als ein Mittel kennen, mit dem die Umwelt erfasst und beschrieben werden kann. Vergleichen, Zählen, Rechnen, Messen und Zeichnen helfen, die Welt zu strukturieren und sich mit den Phänomenen unserer Umwelt vertiefend auseinanderzusetzen (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 6). Die Fähigkeit, mithilfe von Mathematik die Umwelt zu erschließen, wird in den Bildungsstandards im Kompetenzbereich Modellieren gefordert. Kompetenz im Modellieren bedeutet, mathematische Modelle von realen Situationen zu bilden, diese mathematisch weiterzuführen und bezogen auf die Wirklichkeit zu interpretieren. Lernen mit Bezug zur Wirklichkeit findet im Mathematikunterricht der Volksschule schon seit jeher vor allem in Form des Sachrechnens, d. h. in anwendungsorientierten Aufgaben, statt, und bietet die Möglichkeit, Erfahrungen aus der Lebenswelt des Kindes aufzugreifen. Sehr oft erschöpft sich der Bezug zur Wirklichkeit nur im Lösen von lehrgangsorientierten, inhaltlich wenig interessanten Aufgaben (Dröge, 1991). Sie sind im traditionellen Sachrechnen, meist als Textaufgaben, präsent. Im vorliegenden Heft wird nicht in Frage gestellt, dass auch traditionelle Sachrechnungen im Mathematikunterricht ihren Platz haben sollen. Eine fast ausschließlich von solchen Aufgaben dominierte Sachrechenpraxis entspricht jedoch nicht den Anforderungen der Bildungsstandards. Welche Aufgaben sind geeignet, damit Kinder Kompetenzen im Modellieren erwerben? Kinder treffen in ihrem Alltag auf unzählige Situationen mit einem Bezug zur Mathematik. Wo überall versteckt sich Mathematik? Die folgenden Bilder zeigen Situationen, die im Unterricht aufgegriffen werden können. Beitrag der Mathematik zur Bildung Sachrechnen und Modellieren Mathematik im Alltag Abb. 1: Mathematik im Alltag

10 6 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Das Ziel im Unterricht ist, den Fokus mittels mathematischer Brille so zu schärfen, dass entsprechende Situationen als mathematikhaltig erkannt werden. Solche realitätsbezogenen Aufgaben erweitern den Blick der Kinder. Diese werden neugierig, lassen sich auf die Sache ein und können Mathematik über die Wirklichkeit erleben bzw. verstehen. Damit wird die Mathematik auch mit anderen Lernbereichen der Grundschule stärker verzahnt. Modellieren in den Bildungsstandards Unter Modellieren werden alle Prozesse verstanden, die zu Lösungen führen und in einem realitätsnahen Unterricht stattfinden. Modellieren verlangt daher immer einen direkten Realitätsbezug. Die Verknüpfung von Realität und Mathematik im Modellierungsprozess veranschaulicht die folgende Grafik: REALITÄT Situationsmodell Mathematisieren Abstrahieren Idealisieren Mathematisches Modell Individuelles Konstruieren Abstrahieren Verarbeiten Rechnen Konstruieren Sachproblem Interpretieren Validieren Lösung Abb. 2: Modellierungsprozess MATHEMATIK Gestaltung des Unterrichts Wie Kinder Mathematik erleben, hängt nicht vordergründig von den ausgewählten Inhalten ab, sondern von der Art und Weise, wie diese den Kindern nähergebracht werden. Entscheidend für das Entwickeln von Einstellungen zum Modellieren auf Seiten des Kindes wird auch sein, wie Lehrer/innen ihren Unterricht gestalten: Ermöglichen sie eine motivierende Auseinandersetzung mit dem Thema? Wird auf die Erfahrung der Kinder Rücksicht genommen? Werden verschiedene Lösungsroutinen angeregt und zugelassen? Wird der Prozess des Lösens in den Mittelpunkt gerückt? Muss das Ergebnis immer richtig sein? Dürfen Fehler gemacht werden? Wie wird mit Fehlern umgegangen? Dem Zitat von Leonardo da Vinci folgend, soll die Umwelt nicht in reduzierter Form, als Wasser topf, sondern als Quelle genützt werden.

11 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 7 2 Modellieren als Kompetenzbereich der Bildungsstandards für Mathematik, 4. Schulstufe Modellieren wird in den Bildungsstandards als eigener Kompetenzbereich innerhalb der allgemeinen mathematischen Kompetenzen genannt. Diese Kompetenzen betonen wichtige Aspekte des Mathematikunterrichts, die bisher wenig berücksichtigt worden sind. Allgemeine mathematische Kompetenzen zeigen sich in der lebendigen Auseinandersetzung mit der Mathematik. Es handelt sich um prozessbezogene Kompetenzen, die Schüler/innen in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten erwerben. Die angeführten Kompetenzen beschreiben Handlungen, die für die Bearbeitung und Nutzung der inhaltlichen Teilbereiche notwendig sind. (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 8) allgemeine mathematische Kompetenzen Kompetenzbereiche Operieren Kommunizieren Modellieren Problemlösen Allgemeine mathematische Kompetenzen Inhaltliche mathematische Kompetenzen Arbeiten mit Zahlen Arbeiten mit Ebene und Raum Arbeiten mit Operationen Arbeiten mit Größen Abb. 3: Kompetenzbereiche (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 7) In der Verordnung über Bildungsstandards im Schulwesen lautet der Text zum Kompetenzbereich Modellieren: Eine Sachsituation in ein mathematisches Modell (Terme und Gleichungen) übertragen, dieses lösen und auf die Ausgangssituation beziehen Kompetenzen: Die Schülerinnen und Schüler können aus Sachsituationen relevante Informationen entnehmen, passende Lösungswege finden, die Ergebnisse interpretieren und sie überprüfen. Auszug aus BGBl. II Nr. 1/2009 Ein mathematisches Modell in eine Sachsituation übertragen Kompetenz: Die Schülerinnen und Schüler können zu Termen und Gleichungen Sachaufgaben erstellen.

12 8 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 2.1 Einige Begriffsdefinitionen zum Kompetenzbereich Modellieren Sachproblem Ein Sachproblem bezieht sich stets auf die reale Welt. Es kann sich dabei um eine reale Situation handeln, Sachprobleme können aber auch durch ein Bild oder einen Text aus der Welt des Kindes repräsentiert werden. Situationsmodell Das Situationsmodell stellt die Sichtweise des Kindes dar und beschreibt, wie das Sachproblem aufgefasst wurde. Dabei kann auf bekannte Strukturen, z. B. die Struktur Preis gegebenes Geld Rückgeld, zurückgegriffen oder es müssen neue Strukturen gebildet werden. Mathematisches Modell Modelle bilden einen bestimmten Teil der Realität abstrakt ab. Sie reduzieren die Komplexität und abstrahieren vom Konkreten. Das mathematische Modell ist ein Bestandteil der allgemeinen mathematischen Kompetenz Modellieren. Es kann unterschiedliche Formen annehmen: Zahlen, Rechenausdrücke, Zahlenfolgen, Graphen, geometrische Figuren, Algorithmen Modellieren Unter Modellieren versteht man, eine Sachsituation in ein mathematisches Modell zu übertragen. Dazu ist es erforderlich, den mathematischen Stellenwert eines Problems zu erkennen, die benötigten Daten zu sichten und einen geeigneten Lösungsweg zu finden. Das Ergebnis ist im Hinblick auf die Sachsituation zu interpretieren und auf seine Gültigkeit zu überprüfen. Abstrahieren Abstrahieren meint einen Vorgang des Weglassens von nicht bedeutsamen Einzelheiten, um etwas Allgemeineres zu fokussieren. Mathematisieren Mathematisieren bezeichnet die Fähigkeit, Zusammenhänge und Gesetzmäßigkeiten zu erfassen und das mathematisch Relevante herauszulösen, z. B.: eine Situation algebraisch beschreiben; bei Sachaufgaben erkennen, wie man rechnen muss usw. Interpretieren Unter Interpretieren versteht man, aus mathematischen Darstellungen Zusammenhänge und Sachverhalte zu erkennen und zu deuten. Dies tritt in der Grundschulmathematik besonders beim Lösen von Sachproblemen auf. Das Ergebnis, welches das Kind errechnet oder geometrisch dargestellt hat, wird mit der ursprünglichen Fragestellung in Zusammenhang gebracht und gedeutet.

13 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 9 Validieren Validieren heißt auf Gültigkeit überprüfen. Beim Lösen von Sachproblemen gilt es, die erhaltenen Ergebnisse (Lösungen) an der Ausgangssituation zu messen und auf ihre Plausibilität zu überprüfen. Rechengeschichte Eine Rechengeschichte ist eine sprachlich gestaltete Sachaufgabe, die in eine erzählte Geschichte eingekleidet ist. Situationsskizze Eine Situationsskizze ist eine grafische Darstellung, bei der eine Sachsituation, z. B. ein Text, bildlich-abstrakt dargestellt wird. 2.2 Rahmen- und Lernbedingungen Den Kindern altersadäquate Sachsituationen anbieten wenn möglich von echten statt von konstruierten Sachsituationen ausgehen, Zeit geben, sachbezogene Fragen zu stellen, die Möglichkeit geben, eigene Sichtweisen und Lösungswege zu entwickeln, in verschiedenen Darstellungsebenen Operationsstrukturen anbieten, um die Grundvorstellungen von Rechenoperationen zu sichern, den Vergleich der Ergebnisse mit den zuvor durchgeführten Überschlagsrechnungen als Vorteil aufzeigen, nachhaltig bewusst machen, dass sie die Ergebnisse in Bezug auf ihre Gültigkeit zur Sachsituation hin überprüfen sollen, Gelegenheiten eröffnen, ihren individuellen Lösungsweg schriftlich festzuhalten, bei Problemen passende Bearbeitungshilfen anbieten, die den Prozess des Sachrechnens unterstützen. Während des gesamten Prozessablaufes sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lösungsstrategien zu verbalisieren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit. Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferenzen bewusst gemacht. (BIFIE & BMUKK, 2011, S. 10) 2.3 Der Modellierungsprozess Beim Modellieren stehen Schüler/innen vor der Situation, Mathematik auf eine konkrete Aufgabenstellung der Erfahrungsumwelt anzuwenden. Die Fähigkeit des Modellierens ist ein individueller, zyklischer Konstruktionsprozess, der von den Schülerinnen und Schülern weitgehend autonom in der Auseinandersetzung mit Sachproblemen zu leisten ist. Die folgende Grafik veranschaulicht den Ablauf des zyklischen Konstruktionsprozesses, der unter Umständen mehrmals durchlaufen werden muss:

14 10 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II REALITÄT Situationsmodell Mathematisieren Abstrahieren Idealisieren Mathematisches Modell Individuelles Konstruieren Abstrahieren Verarbeiten Rechnen Konstruieren Sachproblem Interpretieren Validieren Lösung Abb. 4: Modellierungsprozess MATHEMATIK Individuelles Konstruieren, Abstrahieren Ausgehend von einem fiktiven oder realen Sachproblem wird mithilfe eigener Erfahrungen bzw. entsprechender Denkstrategien das Problem erfasst. Dieses konstruiert jede Schülerin bzw. jeder Schüler für sich selbst neu, es entsteht ein Situationsmodell (individuelles Konstruieren). Dabei kann auf unwichtige Details verzichtet werden (Abstrahieren). Mathematisieren, Abstrahieren, Idealisieren Darunter versteht man eine mathematische Interpretation des konstruierten Situationsmodells. Das Situationsmodell wird durch Weglassen von nicht strukturbildenden Merkmalen (Abstrahieren) bzw. durch Hinzufügen oder Annehmen von Merkmalen (Idealisieren) in ein mathematisches Modell übergeführt. Dabei wird mathematisch Relevantes herausgelöst (Mathematisieren), z. B. durch Messen, Zählen, Schätzen, Finden der passenden Rechenoperation, Finden von möglichen Lösungswegen... Bei eingekleideten Aufgaben ist das Modell bereits in der Aufgabenstellung vorgegeben. Bei Textaufgaben gibt es die Möglichkeit, die Aufgabe entweder durch ein den Schülerinnen und Schülern bekanntes Modell zu lösen oder eine neue Lösungsstrategie zu finden. Verarbeiten, Rechnen, Konstruieren Im mathematischen Modell wird das Sachproblem mithilfe mathematischer Zeichen festgehalten. Die Darstellung kann in Form einer Gleichung ( Rechensätzchen ), eines Rechenplans oder einer Grafik bzw. durch individuelles Dokumentieren der Rechenschritte erfolgen. Mittels mathematischer Verfahren (schriftliches Rechnen, Kopfrechnen, Konstruktion ) wird eine Lösung des mathematischen Modells erarbeitet. Die Lösung ist das Ergebnis dieser mathematischen Transformation.

15 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 11 Interpretieren, Validieren Die aus dem Verarbeiten gewonnenen Ergebnisse werden mit der realen Situation in Zusammenhang gebracht (z. B. passende Antwort, genaue Zeichnung ) und auf ihre Plausibilität überprüft. Weiters soll ein Rückblick auf den gewählten Lösungsweg dahingehend erfolgen, ob dieser zielführend war (z. B. Verbalisieren, Argumentieren des Lösungswegs ). Während des gesamten Prozessablaufs sollen die Kinder aufgefordert werden, ihre Lösungsstrategien zu verbalisieren. Diese sprachliche Auseinandersetzung schafft Klarheit. Divergente Denkweisen werden z. B. in Strategiekonferenzen bewusst gemacht. 2.4 Der Modellierungsprozess, an einem Beispiel veranschaulicht Monika bastelt für den Muttertag ein Schlüsselbrett. Ihr Brett ist 60 cm lang. Aufgabenstellung Sie will zum Aufhängen der Schlüssel 5 Nägel darauf befestigen. Die Abstände vom Rand zum Nagel und zwischen den Nägeln sollen gleich groß sein. Abb. 5: Schlüsselbrett Nur wenige Kinder der 3. Schulstufe konnten das Beispiel ohne Situationsmodell richtig lösen. Kinder, die ohne viel nachzudenken schnell rechneten, kamen zu folgendem Ergebnis: Erstzugang Abb. 6: Schlüsselbrett Ergebnis 1 Daraufhin wurde mit der Gruppe von Kindern, die diese Lösung gefunden hatte, das folgende Gespräch geführt: Lehrerin: Erklärt mir, wie ihr zu diesem Ergebnis gekommen seid. Alexander: Naja, es steht ja 60 cm und da müssen fünf Nägel drauf. Lehrerin: Zeichnet das einmal auf. Lukas: Können wir das auch im Werkraum basteln? Lehrerin: Wer will, zeichnet es, und wer will, kann es im Werkraum basteln. gelenktes Unterrichtsgespräch

16 12 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Teil des Modellierungsprozesses Nun zeichneten einige Kinder das Schlüsselbrett und einige sägten und hämmerten im Werkraum. Situationsmodell Individuelles Konstruieren Abstrahieren Sachproblem Abb. 7: Vom Sachproblem zum Situationsmodell Abb. 8: Schlüsselbrett Werkraum 1

17 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 13 Abb. 9: Schlüsselbrett Zeichnung Abb. 10: Schlüsselbrett Werkraum 2 Situationsmodell Mathematisieren Abstrahieren Idealisieren Mathematisches Modell Teil des Modellierungsprozesses Abb. 11: Vom Situationsmodell zum mathematischen Modell

18 14 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Abb. 12: Schlüsselbrett Werkraum 3 Abb. 13: Schlüsselbrett Ergebnis 2 Teil des Modellierungsprozesses Mathematisches Modell Verarbeiten Rechnen Konstruieren Lösung Abb. 14: Vom mathematischen Modell zur Lösung

19 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 15 Ein Kind hatte trotzdem noch eine falsche Lösung: Abb. 15: Schlüsselbrett Ergebnis 3 Mit diesem Kind wurde folgendes Validierungsgespräch durchgeführt: Lehrerin: Lies bitte deine Antwort noch einmal. Lena: Die Abstände sind 10 m lang. Lehrerin: Kann das sein? Lena: Oh, ein 10 m langes Schlüsselbrett ist vielleicht doch etwas zu groß. Lehrerin: Aber du hast ja geschrieben, dass die Abstände 10 m lang sind, dann wäre ja das Schlüsselbrett noch viel länger. Weißt du, wie lange es dann wäre? Lena: Ja, 6 mal 10 m ist gleich 60 m äh, es sind ja cm angegeben. Ich verbessere die Antwort. Validierungsgespräch Sachproblem Interpretieren Validieren Lösung Teil des Modellierungsprozesses Abb. 16: Von der Lösung zum Sachproblem Abb. 17: Schlüsselbrett Ergebnis 4

20 16 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 2.5 Erfinden von Rechengeschichten (zu Termen Sachaufgaben erstellen) Beim Modellieren ist auch die Umkehrung des Prozesses, nämlich das Übertragen des mathematischen Modells in eine Sachsituation, von Bedeutung. Die Schüler/innen sollen zu vorgegebenen Rechnungen Sachaufgaben selbst schreiben, eventuell grafisch darstellen. Abb. 18: Erfinden von Rechengeschichten 1 (Sophie, 1. Schulstufe) Abb. 19: Erfinden von Rechengeschichten 2 (Usaid, Constantino, Leposava, Daria, 2. Schulstufe)

21 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Querverbindungen zwischen allgemeinen und inhaltlichen Kompetenzen Mathematische Kompetenzen im Rahmen der Bildungsstandards beinhalten zwei Komponenten: allgemeine mathematische Kompetenzen (AK) inhaltliche mathematische Kompetenzen (IK) Allgemeine mathematische Kompetenzen beziehen sich auf Mathematik als Tätigkeit und sind prozessorientiert. Inhaltliche mathematische Kompetenzen spiegeln die spezifischen Gegenstandsbereiche und Sachverhalte der Mathematik wider. Beide Komponenten sind untrennbar miteinander verbunden, weil für die Lösung einer mathematischen Aufgabenstellung beide Komponenten benötigt werden (vgl. BIFIE & BMUKK, 2011, S. 7). IK 1 IK 2 IK 3 AK 1 AK 2 AK 3 AK 4 AK 1: Modellieren AK 2: Operieren AK 3: Kommunizieren Modellieren in Kombination mit allen inhaltlichen mathematischen Kompetenzen IK 4 AK 4: Problemlösen IK 1: Arbeiten mit Zahlen IK 2: Arbeiten mit Operationen IK 3: Arbeiten mit Größen IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum Abb. 20: Knoten AK 1 / IK 1, IK 2, IK 3, IK 4 Der allgemeine mathematische Kompetenzbereich Modellieren kann mit allen inhaltlichen mathematischen Kompetenzen verknüpft werden. Modellieren Arbeiten mit Zahlen Modellierungsaufgaben in dieser Verknüpfung fördern den Erwerb der Kompetenz, die Darstellung von Zahlen und Beziehungen zwischen den Zahlen zu erkennen, anzuwenden und zu verbalisieren. IK 1: Arbeiten mit Zahlen AK 1: Modellieren Abb. 21: Knoten AK 1 / IK 1

22 18 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Beispiel: Die Eintrittskarten für eine Ausstellung sind fortlaufend nummeriert. Jede ste Besu cherin/jeder ste Besucher erhält ein Geschenk. Heute erhielt der ste Besucher ein Geschenk. Welche Nummer muss die Eintrittskarte der Besucherin/des Besuchers haben, die/der das nächste Geschenk erhält? Modellieren Arbeiten mit Operationen Der Erwerb der Kompetenz, Operationen und ihre Zusammenhänge zu verstehen und mündliches und schriftliches Rechnen sicher zu beherrschen, wird in Kombination mit Modellierungsaufgaben gefördert. AK 1: Modellieren IK 2: Arbeiten mit Operationen Abb. 22: Knoten AK 1 / IK 2 Beispiel: In einer Schachtel befinden sich 55 Zündhölzer. Wie viele Zündhölzer befinden sich in 5 Schachteln? Modellieren Arbeiten mit Größen Diese Kombination behandelt die Kompetenz, brauchbare Vorstellungen von Größen zu besitzen, geeignete Maßeinheiten zum Messen zu verwenden bzw. mit Größen zu rechnen. AK 1: Modellieren IK 3: Arbeiten mit Größen Abb. 23: Knoten AK 1 / IK 3

23 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 19 Beispiel: Die Verkäuferin schneidet von einem 12 m langen Stoffballen zuerst 3 m 90 cm, dann 2 m 80 cm und zuletzt 1 m 5 cm ab. Auf das Etikett des Ballens schreibt sie: Rest 4 m 25 cm. Modellieren Arbeiten mit Ebene und Raum In diesen Modellierungsaufgaben geht es um die Kompetenz, räumliches Vorstellungsvermögen zu nutzen, geometrische Figuren zu erkennen, mit geometrischen Figuren zu operieren und Beziehungen zwischen den Figuren herzustellen bzw. diese zu vermessen. AK 1: Modellieren IK 4: Arbeiten mit Ebene und Raum Abb. 24: Knoten AK 1 / IK 4 Beispiel: Um einen rechteckigen Sportplatz (l = 60 m, b = 40 m) ist eine Laufbahn angelegt. Max läuft 3-mal um den Sportplatz. Ist er mehr als 500 m gelaufen? In vielen Aufgabenstellungen sind allerdings mehrere sowohl allgemeine als auch inhaltliche mathematische Kompetenzen enthalten. AK 1: Modellieren IK 2: Arbeiten mit Operationen IK 3: Arbeiten mit Größen AK 3: Kommunizieren AK 4: Problemlösen Abb. 25: Verknüpfung mehrerer Kompetenzbereiche

24 20 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Beispiel: Julia bastelt ein Mobile. Sie verwendet Sterne und 3 Ringe. Ein Ring wiegt 20 g, ein Stern 15 g. Wie viele Sterne kann sie verwenden, damit das Mobile im Gleichgewicht ist? Beschreibe, wie Julia vorgeht.

25 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 21 3 Unterrichtskultur, die das Modellieren fördert 3.1 Aufgabentypen gezielt einsetzen In der didaktischen Literatur und in Schulbüchern findet sich eine Vielzahl an Sachauf gaben. Um eine bessere Übersicht zu erhalten, werden sie verschiedenen Kategorien zugeteilt. Je nach Themenschwerpunkt verwenden die Autorinnen und Autoren eigene Begriffe für diese Aufgabentypen, z. B. Sachaufgaben, Textaufgaben, Problemaufgaben, Bildaufgaben, Sachprobleme, Knobelaufgaben, Kapitänsaufgaben, Projekte, Fermi-Aufgaben (vgl. Franke & Ruwisch, 2010). Eine mögliche Einteilung von Aufgaben ist hier dargestellt. Diese Übersicht kann als Ideenbörse für die Planung des Unterrichts dienen. Aufgabentypen Einteilung von Aufgabentypen Präsentationsformen Inhaltlicher Kontext Bildaufgaben Bild-Text-Aufgaben Textaufgaben Sachtexte Rechengeschichten Lebenswelt der Kinder Alltagsbezug Erfahrungs- und Lernbereiche des Sachunterrichts Technisches und Textiles Werken Bewegung und Sport... Grafiken Tabellen Diagramme Abb. 26: Aufgabentypen Der Einsatz verschiedener Präsentationsformen kann helfen, das Sachproblem in den Vordergrund zu rücken, Schwierigkeiten beim Textverstehen zu verringern, den Unterricht abwechslungsreicher zu gestalten. Hilfen durch Präsentationsformen In welcher Form die oben genannten Aufgaben den Kindern präsentiert werden, hängt vorrangig von den Lernzielen ab, die erreicht werden sollen. Wenn dem angepeilten Ziel adäquate Aufgaben beigestellt werden, wird das Erreichen des Ziels leichter möglich sein.

26 22 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Präsentationsform, Inhalt und Situationskontext der Aufgabe beeinflussen das Lösungsverhalten der Schülerinnen und Schüler. Dies äußert sich in der Zeit, die zur Aufgabenbearbeitung benötigt wird, in der Handlungsebene, auf der das Lösen erfolgt, in den mathematischen Mitteln, die zum Lösen benutzt werden, in der Motivation für das Bearbeiten der Aufgabe, im Interesse der Kinder an der Sache bzw. an der Mathematik, in der Offenheit hinsichtlich der Problemstellung, der Lösungswege und der Lösungsmöglichkeiten. (Franke & Ruwisch, 2010, S. 62) Im Anschluss folgen einige Beispiele zu den oben genannten Präsentationsformen. Bildaufgabe Besonders im Anfangsunterricht werden häufig Bildaufgaben eingesetzt, deren Interpretation anfänglich mit den Kindern gemeinsam erarbeitet werden muss. Abb. 27: Bildaufgabe Grundstufe I Abb. 28: Bildaufgabe Grundstufe II

27 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 23 Bild-Text-Aufgabe Im Bild können Informationen gefunden werden, die für die Lösung des im Text gestellten Problems notwendig sind. Als Bild können auch Fotos, Preistafeln, Preistabellen, Dia gramme, Pläne usw. angeboten werden. Küche 6 m2 Bad 5 m2 Kinderzimmer 17 m2 Balkon 4 m2 Wohnzimmer 20 m2 Vorraum 12 m2 Schlafzimmer 17 m2 WC 2 m2 Abb. 29: Wohnungsplan Das ist der Plan der Wohnung von Familie Beier. Wie groß ist die gesamte Wohnung samt Balkon? Die Fußböden sollen erneuert werden. Im Wohnzimmer wird ein Parkettboden verlegt. 1 m 2 Parkettboden kostet 63. Die Böden von Vorraum, Küche, Bad und WC sollen neu verfliest werden. 1 m 2 Fliesen kostet 47. Im Kinderzimmer und im Schlafzimmer soll ein neuer Teppichboden verlegt werden. 1 m 2 Teppichboden kostet 38.

28 24 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Textaufgabe In Texte eingekleidete Sachsituationen, die eindeutig bearbeitbar sind und meist mit passenden Zahlen genau eine Lösung beinhalten, werden als Textaufgaben bezeichnet. Ein Zusammenhang mit dem Alltag ist oftmals nicht gegeben. Die Kinder der 4a gehen in den Tierpark. Ein Schülerticket kostet 2 50 c. Für 24 Kinder nimmt die Lehrerin eine Gruppenkarte um c. Wie viel und c muss nun jedes Kind bezahlen? Abb. 30: Zoobesuch (Marwan, 4. Schulstufe) Sachtext Hier ist die Information zu einer bestimmten Sache gefragt. Zusätzlich wird auch das Sachwissen erweitert. Der Kakaobaum wird in der Natur bis zu 15 m hoch. Auf der Plantage wird er auf 4 m gestutzt. Eine Kakaofrucht ist 15 bis 25 cm lang und 7 bis 10 cm dick. Pro Jahr trägt ein Baum ungefähr 20 bis 30 Früchte, in ganz guten Jahren bis zu 50 Früchte. In dem weißen Fruchtmus sind ungefähr 30 bis 60 mandelförmige Kakaobohnen. Sie sind in Fünferreihen angeordnet. Zwei Bohnen wiegen ungefähr 3 g. Ein Kakaobaum bringt in einem Jahr ungefähr g Kakao. Für eine Tafel Vollmilch-Schokolade (100 g) benötigt man ungefähr 45 g Kakao. Aufgabenstellung: Schreib Fragen auf, die dich interessieren. Schreib Fragen auf, zu deren Beantwortung du rechnen musst.

29 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 25 Abb. 31: Von der Kakaofrucht zur Schokolade Rechengeschichten In Rechengeschichten werden interessante Ereignisse mit mathematischem Gehalt aus der Lebenswelt der Kinder anschaulich geschildert. Sie können von Kindern verfasst oder von der Lehrperson vorgegeben werden. Zeichne ein Aquarium mit Fischen. Schreib eine Rechengeschichte dazu. Abb. 32: Fische (Birgül, 1. Schulstufe)

30 26 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 3.2 Informationen entnehmen Um Modellierungsaufgaben bearbeiten zu können, ist es notwendig, dass die Schüler/innen wichtige Arbeitstechniken des Entnehmens von Informationen aus Bildern, Grafiken, Texten, Tabellen und Diagrammen bewusst anwenden können. Das Ziel ist, relevante Informationen aus vorgegebenen Quellen entnehmen zu können. Folgende Arbeitstechniken und Lesestrategien sind besonders zu vermitteln: das Vorwissen aktivieren Vermutungen anstellen bildhafte Darstellungen verbalisieren Fragen stellen über den Sachverhalt kommunizieren notwendige Informationen kennzeichnen Informationen strukturieren Notizen zu einem Text anfertigen bestimmte Textabschnitte bewusst mehrmals lesen wichtige, nicht verstandene Textstellen kennzeichnen und/oder mit Randbemerkungen versehen überprüfen, ob die gestellten Fragen geklärt sind 3.3 Problemorientiertes Vorgehen Modellieren bzw. Sachrechnen ist ein komplexer Prozess, der erst durch sukzessives Hintereinander, aber auch gleichzeitiges Ineinander von Denk- und Lösungsprozessen gelingt. Somit stellt sich die Frage, wie diese komplexen Modellierungs- bzw. Sachrechenkompetenzen unterstützt bzw. aufgebaut und gefördert werden können. Sachrechnen kann nicht durch Nachvollziehen von Musterlösungen oder Einüben von Schrittfolgen gelernt werden. Es geht hier nicht um algorithmisch festgelegte Schritte, die nacheinander abzuarbeiten sind. Erst durch beständiges und gezieltes Üben zum Finden von Rechenoperationen zu problemorientierten Sachsituationen kann Kompetenz im Sachrechnen erworben werden. selbstständiges Finden des Lösungswegs Den Schülerinnen und Schülern muss die Möglichkeit geboten werden, heuristische Vorgehensweisen gezielt einzusetzen und zu üben. Das Nachspielen bzw. Zeichnen von Sachsituationen, das Anlegen von Tabellen oder z. B. auch das gedankliche Erschließen einer ähnlichen, schon einmal bearbeiteten Aufgabe, die auf die neue Aufgabenstellung übertragen wird, unterstützen das Finden des passenden mathematischen Modells, meist in Form einer Rechenoperation. Darüber hinaus ist es für den Kompetenzerwerb wichtig, selbstständig den Weg vom Situationsmodell zum mathematischen Modell durchzuführen. Aus diesem Grund sollte dem selbstständigen Finden des Lösungswegs im Unterricht eine zentrale Stellung eingeräumt werden. Wird die Art der Rechenoperation im Unterrichtsgespräch vorweg durch die Lehrkraft oder durch ein einzelnes Kind geklärt, so erwerben die Schüler/innen, wenn sie anschließend allein die Rechnung rechnen, keine Modellierungskompetenzen, sondern bestenfalls Rechenkompetenzen. Individuell gestaltete Notizen, Zeichnungen, Skizzen, Lösungsversuche usw. sollen den eigen ständigen Prozess des Modellbildens unterstützen. Diese Aufzeichnungen dokumentieren den durchgeführten Lösungsweg auf nachvollziehbare Weise.

31 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Reflektieren über Lösungswege Mit der Lösung des Problems sollte der Modellierungsprozess nicht als abgeschlossen betrachtet werden. Das Erörtern der Lösungswege und Strategien, um neue Sachaufgaben zukünftig besser bewältigen zu können, ist wichtiger als das bloße Abgleichen numerischer Ergebnisse. Eine Rückschau auf verschiedene Phasen des Modellierungsprozesses, z. B. in einer Strategiekonferenz (vgl. BIFIE & BMUKK, 2010, S. 12), kann den Kindern helfen, sich der eigenen Vorgehensweise und jener der anderen bewusst zu werden. Dabei können sie ihre eigene Modellierungskompetenz verbessern. Weiters ist dies ein Anlass, die Lösungsprozesse der Schüler/innen zu würdigen. Rückschau auf den Modellierungsprozess In Strategiekonferenzen können Denkwege diskutiert und bewertet werden. Um Strategiekonferenzen mit Grundschulkindern durchführen zu können, erscheint es sinnvoll, konkrete Impulse oder Fragen vorzugeben (vgl. Schipper, Dröge & Ebeling, 2000, S. 240). Bestandsaufnahme: Welche Zahlen und Wörter in der Aufgabe sind wichtig? Warum? Versprachlichung des Lösungswegs: Beschreibt euren Lösungsweg. Beurteilung von Lösungsgedanken: Welche Idee hat euch besonders weitergebracht? Veranschaulichung/Skizze: Habt ihr eine Skizze oder eine Tabelle angefertigt? Transfer: Habt ihr schon einmal eine ähnliche Aufgabe gelöst? Reflexion der Lösung: Wie habt ihr eure Lösung kontrolliert? Schwierigkeitsanalyse: Was ist euch leicht gefallen? Was war besonders schwierig? 3.5 Fächerübergreifende Lernfelder einbeziehen Im Bereich der Grundschule werden die meisten Unterrichtsgegenstände von derselben Lehrperson unterrichtet. Dadurch ist es leichter möglich, fächerübergreifend zu arbeiten. Besonders gut ist dies im projektorientierten Unterricht bzw. im Projektunterricht umsetzbar. Das folgende Beispiel soll die Verbindung mehrerer Unterrichtsgegenstände verdeutlichen: In der 4. Schulstufe wurde in der Volksschule Hollersbach im Pinzgau ein Projekt mit freier Themenfindung durchgeführt. Die Kinder wählten das Thema Fußball. Es bildeten sich Gruppen, die zu verschiedenen Themen eigenständig arbeiteten. Für den Unterrichtsgegenstand Mathematik gab es vom Klassenlehrer den Auftrag, Sachaufgaben zum Thema Fußball zu erstellen bzw. vom Lehrer gestellte Sachaufgaben zu lösen. Die Ergebnisse wurden den Eltern und den anderen Klassen präsentiert. Abb. 33: Fußballplatz 1 Am spannendsten war zu Beginn, Daten zu erheben.

32 28 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II reale Situationen Dazu gingen die Kinder auf den Fußballplatz, um diesen und ein Tor abzumessen. Zuvor mussten die Längen geschätzt werden. Den Kindern machte es Spaß, zu schätzen, wie weit sie einen Fußball mit dem Fuß schießen können, und danach nachzumessen, wie weit es wirklich war. Abb. 34: Fußballplatz 2 Abb. 35: Fußballplatz 3 In der Klasse wurden dann ein Fußballplatz und ein Tor gezeichnet und die Maße eingetragen. Bilden von Modellen Abb. 36: Zeichnung Fußballplatz Abb. 37: Zeichnung Fußballtor

33 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 29 Schätzungen Messungen Abb. 38: Sachaufgabe Fußballplatz 1 Flächeninhalt Abb. 39: Sachaufgabe Fußballplatz 2 Ebenso sind diese Varianten möglich: m² (Anwendung des Kommutativgesetzes) oder 64 m² 100 (die kürzere Seite wird als Reihe gedacht). Umfang Abb. 40: Sachaufgabe Fußballplatz 3 In Kleingruppen wurden Sachaufgaben erstellt. Diese wurden anderen Gruppen zur Bearbeitung gegeben. Beispiele: Sieben Minuten vor Schluss schießt die Gastmannschaft den Ausgleich. In welcher Spielminute ist das? Abb. 41: Sachaufgabe Fußballplatz 4

34 30 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Bei einem Fußballspiel sind zwei Mannschaften mit je elf Spielern und ein Schiedsrichter auf dem Platz. Wie viele Personen sind auf dem Platz? Abb. 42: Sachaufgabe Fußballplatz 5 Der Eintritt ins Salzburger Fußballstadion kostet 26 für Erwachsene. Kinder bezahlen die Hälfte. Wie viel bezahlt Papa für sich und seine zwei Kinder? Abb. 43: Sachaufgabe Fußballplatz 6 Im Salzburger Stadion haben Zuschauer Platz. Es wurden schon Karten verkauft. Wie viele Karten können noch verkauft werden? Abb. 44: Sachaufgabe Fußballplatz 7

35 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 31 Ein Fußballspiel dauert 2 mal 45 Minuten. Wie lange dauert ein Fußballspiel? Es gibt drei Minuten Nachspielzeit. Wie lange dauert das Fußballspiel insgesamt? Abb. 45: Sachaufgabe Fußballplatz 8 Bei einem Turnier spielen fünf Mannschaften. Jede Mannschaft spielt gegen jede andere. Wie viele Spiele sind das? Abb. 46: Sachaufgabe Fußballplatz 9

36 32 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II In der 59. Minute schießt Hollersbach das erste Tor. Wie lange dauert das Spiel danach noch? Abb. 47: Sachaufgabe Fußballplatz 10 Seit 1930 wird die Fußballweltmeisterschaft alle vier Jahre ausgetragen. Zweimal fiel sie allerdings aus. Wie viele Fußballweltmeisterschaften gab es bis jetzt? Abb. 48: Sachaufgabe Fußballplatz Schülerleistungen bei Modellierungsaufgaben erfassen und analysieren Um die Leistung eines Kindes beim Modellieren möglichst transparent und objektiv erfassen zu können, werden im Folgenden Fragen zu Teilkompetenzen (Maaß, 2004, Maaß, 2009, Maaß, 2010) angeführt und anhand von zwei Beispielen erläutert.

37 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 33 Problembewusstsein entwickeln Kann das Kind die Informationen ordnen und den zentralen Punkt, das auftretende Problem, erfassen? Bilden des Modells Kann das Kind die relevanten Angaben aus dem Sachzusammenhang (Text) herausfiltern, um ein mathematisches Modell (eine Rechnung) zu bilden? Kann das Kind analytisch sinnvolle Annahmen, ausgehend von der Sachsituation, treffen, um das mathematische Modell (Rechenoperation und die benötigten Größen) zu präzisieren? Nutzen von Mathematik Kann das Kind die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisieren? Werden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des Problems richtig angewendet (z. B. Skizzen, Anlegen von Tabellen )? Verwendet das Kind geeignete Rechenoperationen? Werden die Rechnungen mathematisch korrekt notiert (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten)? Ist das Ergebnis mathematisch korrekt (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten, richtige Zahl bei der Lösung)? Erklären des Ergebnisses Kann das Kind die mathematische Lösung auf die Realität beziehen (also interpretieren)? Ist diese Interpretation korrekt? Überlegt das Kind, ob das Ergebnis sinnvoll ist, indem es z. B. Vergleichswerte mit einbezieht? Dokumentation des Vorgehens Wie kann das Kind die einzelnen Schritte des Vorgehens beschreiben und erläutern? Fragen zu Teilkompetenzen Beispiel 1: Goldmünzen Tom und Huck entdecken einen vergrabenen Schatz, zwei Beutel Goldmünzen. Sie zählen die Münzen. In einem Beutel sind 34 Münzen, in dem anderen sind 52 Münzen. Sie wollen die Beute unter sich gerecht teilen. Wie viele Münzen müssen sie aus dem volleren Beutel herausnehmen und in den anderen füllen, damit in beiden Beuteln gleich viele Münzen sind? (Rasch, 2003, S. 34) Abb. 49: Goldmünzen (Jakob, 2. Schulstufe)

38 34 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Analyse Beispiel 1 Jakob (2. Schulstufe) Problembewusstsein entwickeln Kann das Kind die Informationen ordnen und den zentralen Punkt, das auftretende Problem, erfassen? Jakob erkennt, dass Tom und Huck gleich viele Taler haben sollen. Er entnimmt die zielführenden Informationen und setzt sich z. B. nicht damit auseinander, wie der Schatz ausgegraben wird. Bilden des Modells Kann das Kind die relevanten Angaben aus dem Sachzusammenhang (Text) herausfiltern, um ein mathematisches Modell (eine Rechnung) zu bilden? Jakob setzt die relevanten Informationen 34 Münzen, 52 Münzen, gerecht teilen ein. Kann das Kind analytisch sinnvolle Annahmen, ausgehend von der Sachsituation, treffen, um das mathematische Modell (Rechenoperation und die benötigten Größen) zu präzisieren? Jakob nimmt an, dass die Münzen (gleiche Kategorie) zusammengegeben werden (erkennbar durch die Addition), jeder gleich viel erhält (erkennbar durch die Division) und umgefüllt werden muss (erkennbar durch das Anschreiben von +/ 10; /+1). Nutzen von Mathematik Kann das Kind die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisieren? Jakob verwendet die passenden Zahlen und die adäquaten Rechenoperationen. Werden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des Problems richtig angewendet (z. B. Skizzen, Anlegen von Tabellen )? Jakob skizziert zwei Beutel, welche er mit 52 bzw. 34 beschriftet, und notiert zusätzlich +/ 10; /+ 1, schreibt aber z. B. nirgends 9 auf. Inwieweit das Aufzeichnen der Taler in 16 Fünferreihen und einer Sechserreihe zur Lösung beigetragen hat, ist nicht nachvollziehbar. Möglichkeit: Nachfragen! Verwendet das Kind geeignete Rechenoperationen? Jakob bildet die Gesamtsumme (Addition). Er hat die geeignete Operation erkannt und auch grafisch und verbal kommuniziert. Jakob halbiert die Gesamtsumme (Division). Er hat die geeignete Operation erkannt und auch grafisch und verbal kommuniziert. Werden die Rechnungen mathematisch korrekt notiert (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten)? Jakob schreibt Addition und Division richtig an. Zusätzlich notiert Jakob in der Situationsskizze bzw , um von den Ausgangszahlen 52 bzw. 34 genau 43 zu erreichen. Ist das Ergebnis mathematisch korrekt (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten, richtige Zahl bei der Lösung)? Jakob notiert 43 als Ergebnis der Rechnung.

39 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 35 Erklären des Ergebnisses Kann das Kind die mathematische Lösung auf die Realität beziehen (also interpretieren)? Jakob zeichnet gleich große Beutel, die er jeweils mit 43 beschriftet. 9, die gefragte Anzahl der Münzen, die vom Beutel mit den 52 Goldmünzen in den Beutel mit 34 Goldmünzen umgefüllt werden sollen, fehlt. Ist diese Interpretation korrekt? Das Ergebnis 9 ist implizit aus bzw herauszulesen. Überlegt das Kind, ob das Ergebnis sinnvoll ist, indem es z. B. Vergleichswerte mit einbezieht? Den schriftlichen Aufzeichnungen kann dies nicht entnommen werden. Dokumentation des Vorgehens Wie kann das Kind die einzelnen Schritte des Vorgehens beschreiben und erläutern? Jakob verschriftlicht sein Vorgehen und verwendet auch Situationsskizzen, die ebenfalls das Vorgehen erläutern. Fazit: Jakob schreibt die beiden erwarteten Rechnungen Addition und Division auf, die Frage nach der Anzahl, die umgefüllt werden soll, beantwortet er mit einer Situationsskizze, in die er bzw den jeweiligen Zahlen zuordnet. Beispiel 2: Muttertagsüberraschung Die drei Kinder der Familie Koch, Jasmin, Timo und Elias, wollen als Überraschung am Muttertag das Mittagessen kochen. Sie entscheiden sich dafür, Spaghetti bolognese selbst zu machen. Folgende Zutaten fehlen ihnen noch: 2 Packungen Spaghetti 1 kg frische Tomaten 1 kg Zwiebeln Parmesankäse Faschiertes Beim Fleischer Fink kaufen sie Faschiertes um 5,00 ein. Danach gehen sie in den Großmarkt und kaufen die noch fehlenden Zutaten. Die gesamten Kosten teilen sie sich. Wie viel muss jedes Kind bezahlen? Abb. 50: Großmarkt

40 36 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Abb. 51: Großmarkt Lösung (Anna, 4. Schulstufe) Analyse Beispiel 2 Anna (4. Schulstufe) Problembewusstsein entwickeln Kann das Kind die Informationen ordnen und den zentralen Punkt, das auftretende Problem, erfassen? Anna kennzeichnet durch Einkreisen die benötigten Lebensmittel. Der Preis für das Faschierte wird dem Text entnommen. Bilden des Modells Kann das Kind die relevanten Angaben aus dem Sachzusammenhang (Text) herausfiltern, um ein mathematisches Modell (eine Rechnung) zu bilden? Kann das Kind analytisch sinnvolle Annahmen, ausgehend von der Sachsituation, treffen, um das mathematische Modell (Rechenoperation und die benötigten Größen) zu präzisieren? Ziel 1 der Aufgabe wird erkannt (Gesamtkosten). Ziel 2 der Aufgabe wird erkannt (Preis pro Person). Statt zwei Packungen wird nur eine Packung Spaghetti gekauft. Nutzen von Mathematik Kann das Kind die relevanten Größen und Beziehungen richtig mathematisieren? Werden mathematisches Wissen und heuristische Strategien zur Lösung des Problems richtig angewendet (z. B. Skizzen, Anlegen von Tabellen )? Verwendet das Kind geeignete Rechenoperationen? Werden die Rechnungen mathematisch korrekt notiert (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten)? Ist das Ergebnis mathematisch korrekt (z. B. Gebrauch der Maßeinheiten, richtige Zahl bei der Lösung)? Anna wählt die notwendigen Rechenoperationen (Addition/Division) richtig aus. Anna führt beide Rechenoperationen korrekt durch. Allerdings ist bei der Addition das Ergebnis falsch, weil der Betrag in Cent angegeben wird, der jedoch der Maßeinheit Euro entspricht. Für das Weiterrechnen (Division) verwendet Anna die korrekte Größe, nämlich den Cent-Betrag ohne Komma. Erklären des Ergebnisses Kann das Kind die mathematische Lösung auf die Realität beziehen (also interpretieren)? Ist diese Interpretation korrekt? Überlegt das Kind, ob das Ergebnis sinnvoll ist, indem es z. B. Vergleichswerte mit einbezieht? Anna interpretiert den Quotienten als geforderten Betrag in der Antwort, deutet jedoch nicht den im Rest verbliebenen 1 Cent. Wer bezahlt ihn? Wie wird damit umgegangen? Anna interpretiert auf einer formalen Ebene, nämlich Antwort schreiben, und bezieht das erhaltene mathematische Ergebnis vermutlich wenig auf die eigentliche Sachsituation, nämlich den Geldbetrag zusammenzulegen, um Nahrungsmittel einkaufen zu können.

41 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 37 Dokumentation des Vorgehens Wie kann das Kind die einzelnen Schritte des Vorgehens beschreiben und erläutern? Das Vorgehen ist aus der Notation ersichtlich bzw. nachvollziehbar. Fazit: Aus der Analyse ergeben sich Ansätze für mögliche Hilfestellungen: Entnehmen relevanter Informationen aus der Sachsituation, um das mathematische Modell zu bilden (Anlass: 2 Packungen Spaghetti ) Umgang mit dezimalen Geldbeträgen (Anlass: 16,60 c 1660 c ) Interpretieren der mathematischen Lösung (Anlass: 553 c, 1 R ) 3.7 Modellieren mithilfe des Schulbuchs Schulbücher unterstützen die Unterrichtstätigkeit und gestalten damit indirekt den Unterricht mit. Sie sind jedoch nicht als Pflichtprogramm, welches von jeder Schülerin/jedem Schüler Seite für Seite ausgefüllt bzw. abgearbeitet werden muss, zu sehen. Manche Aspekte des Modellierens, wie z. B. den Bezug zur Realität, kann ein Schulbuch nur bedingt erfüllen. Wesentlich ist die Lehrkraft als planende und gestaltende Expertin, welche bewusst und überlegt mit dem Schulbuch umgeht und dieses gezielt im Unterricht einsetzt. Dabei werden auch andere Medien miteinbezogen, um Authentizität im Sachrechnen zu erlangen. Einsatz des Schulbuchs Ein gelingender Unterricht hängt nicht allein vom Schulbuch ab, dieses dient als Hilfsmittel bzw. als Unterstützung. Es geht vielmehr darum, unter welchen Leitlinien Unterricht stattfindet und was die Lehrkraft an persönlichen Kompetenzen und didaktisch-methodischen Fähigkeiten in den Unterricht einbringt (vgl. dazu auch Glatfeld, 1981, S. 7).

42 38 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II 4 Möglichkeiten zur Umsetzung im Unterricht 4.1 Bearbeitungshilfen Damit Schüler/innen Sachaufgaben selbstständig lösen können, sind mehrere Teilkompetenzen des Bereichs Modellieren erforderlich. So erscheint es sinnvoll, den Modellierungsprozess im Unterricht nicht immer vollständig vom Sachproblem bis zum Validieren durchzuführen, sondern Teilaspekte auch isoliert zu bearbeiten. Das Zerlegen in Teilaufgaben erleichtert dem Kind den Einblick in den Sachzusammenhang und in die Verlaufsstruktur. Damit wird die Sachaufgabe besser überschaubar. Bearbeitungshilfen helfen dem Kind, Modellvorstellungen zu gewinnen, die es beim Lösen ähnlicher Aufgaben unterstützen können. Im Folgenden werden Anregungen/Impulse für Unterrichtsaktivitäten angeführt. Diese sollen über das Bearbeiten von Übungen die Modellierungskompetenz der Kinder stärken. Bearbeitungshilfen können entweder als einzelne Übungen oder auch als gezielte, auf eine bestimmte Sachaufgabe adaptierte Übungen in einem vollständigen Modellierungsprozess eingesetzt werden Gemeinsamkeiten/Unterschiede verschiedener Sachaufgaben herausfinden Erfinden von strukturgleichen Aufgaben Daten erheben (z. B. Zählen, Messen) Skizzen/Diagramme anfertigen (Verständnis des mathematischen Modells) Tabellen erstellen Passende Rechenoperationen finden Sachaufgaben und Rechnungen einander zuordnen... Situationsmodell Mathematisches Modell Texte erschließen und wiedergeben Bilder deuten, Grafiken interpretieren Textstellen markieren/wegstreichen Fragen zur Sachaufgabe stellen Sachverhalte szenisch darstellen Sachverhalte zeichnerisch darstellen Fehlende Angaben im Text sinnvoll ergänzen... BEARBEITUNGSHILFEN z. B. Ergebnis schätzen z. B. Überschlagsrechnung durchführen/vergleichen z. B. Rechenoperationen durchführen, allenfalls mit Probe... Sachproblem Lösung Abb. 52: Bearbeitungshilfen Lösung auf Situation zurückführen bzw. hinterfragen Antworten auf Fragen beziehen (z. B. Plausibilität, sprachlicher Kontext) Lösungswege vergleichen/hinterfragen...

43 Themenheft Mathematik Modellieren, Volksschule Grundstufe I + II Vom Sachproblem zum Situationsmodell Siehe Abb. 7. Wenn Kindern Aufgaben unklar sind, führt das zu fehlerhaften oder sinnlosen Lösungen oder zum Abbruch der Anstrengungen. Daher sind falsche oder fehlende Lösungen manchmal auch ein Zeichen dafür, dass Texte oder Sachzusammenhänge nicht verstanden worden sind. Sprachbezogene Vorabklärungen zur Aufgabenstellung sind besonders für Schüler/innen wichtig, deren Sprachkenntnisse noch wenig ausgebaut sind. Darüber hinaus unterstützen diese Klärungen das Verständnis, was mit den verwendeten Begriffen genau gemeint ist und welche Sachzusammenhänge vorhanden sind. Texte erschließen und wiedergeben In der Grundstufe I sollte die Lehrerin/der Lehrer den Text vorlesen, die Kinder lesen mit und lesen dann nochmals den Text allein. Danach wird der Text verdeckt und die Kinder geben den Sachverhalt mit eigenen Worten wieder. Unbekannte Wörter werden geklärt. Mit zunehmender Lesekompetenz sollen z. B. unbekannte Wörter mithilfe von Wörterbüchern, Wörterlisten und Lexika möglichst selbstständig erschlossen werden. Falls erforderlich, können Mitschüler/innen oder die Lehrperson um Klärung gebeten werden. Für den Unterricht ist es wesentlich, den Kindern Zeit für sachbezogene Fragen zu geben. Beispiel: Die Kinder der 3. Schulstufe sollten die folgende Aufgabe lösen: Pia hat einen Laptop und dazu einen Drucker bekommen. Der Drucker kostete 120, der Laptop war viermal teurer als der Drucker. Wie viel kosteten der Laptop und der Drucker zusammen? René arbeitete nach dem Lesen der Aufgabenstellung nicht weiter. Daraufhin führte der Lehrer das folgende Gespräch: René: Ich weiß nicht, was ein Laptop ist. Lehrer: Das ist ein kleiner, tragbarer Computer. René: Und warum heißt der Laptop? Lehrer: Das ist ein englisches Wort und bedeutet auf dem Schoß. Du kannst einen Laptop also auch auf den Schoß legen. René: Das hab ich schon einmal im Zug gesehen, da hat ein Mann so einen auf seinem Schoß gehabt und hat getippt. Lehrer: Verstehst du die Aufgabe jetzt? René: Ja. Lehrer: Kannst du mir die Aufgabe jetzt noch einmal mit eigenen Worten erzählen? René: Darf ich sie mir noch einmal durchlesen? Lehrer: Ja. Nach dem nochmaligen Lesen: René: Die Pia hat so einen Laptop und einen Drucker bekommen. Ich weiß, dass der Drucker 120 gekostet hat, und es steht auch, dass der Laptop viermal so viel gekostet hat. Und dann soll ich mir ausrechnen, wie viel alles zusammen gekostet hat. Lehrer: Sehr gut. Kannst du das jetzt selbst ausrechnen?