ElektronischeBandstruktur

Transkript

1 ElektronischeBandstruktur Literatur: C. Kittel Einführungin die Festkörperphysik Kapitel 7,8 Ashcroft & Mermin, Kapitel 7,8 Ziman Principles of the Theory of solids, Kapitel 3

2

3 Dispersionsrelation für freie und fast freie Elektronen

4 1dimensionales Gitter: Dispersion E(k) für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen Reduziertes Zonenschema Erweitertes Zonenschema

5 ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER Lineare Kette:

6 H N -Kette: E j =α+2βcos(jπ/(n+1)) offene Enden! N=4 N=8 N=12 E E E k k k Erlaubte k i - und E i -Werte rücken näher zusammen: k~1/n E~W/N

7 N : E(k)=α+2βcos(ka) offene Enden!

8 Tight Binding Elektronische Struktur von Festkörpern mit s-orbitalen Hückel Nähering zu LCAO, Tight Binding: Lineare Kette: E j =α+2βcos(jπ/(n+1)) N E(k)=α+2βcos(ka) α. Coulombintegral β. Transferintegral Verallgemeinert 3D: E(k)= α+βσ ΝΝ e ik(r-r ) Bandbreite : W= 2N c β, N c Koordinationszahl Lokalisierung von Elektronen: ω e >> ω h Hoppingfrequenz: ω h =2β/h~W Eigenfrequenz: ω e =α/h

9 ÜBERGANG ATOM-MOLEKÜL-CLUSTER-FESTKÖRPER Metall Isolator Übergang Beispiel: Hg [Xe]4f 14 5d 10 6s 2 van der Waals: N<10 Kovalent: 30<N<80 Metall: N>200

10 2 dimensionales Gitter: Fermiflächen für die ersten 3 Brillouinzonen für fast freie Elektronen Erweitertes Zonenschema

11 Beispielezuelektronischen Bandstrukturenvon Festkörpern: 1) Metalle: Akalimetalle, Cu, Au, Multivalente Metalle: Al 2) Halbleiter/Halbmetalle: Bsp. Si,Ge, GaAs 3) Molekulare Festkörper: Graphene, Fullerene, Nanoröhren

12 Alkalimetalle: NatriumAtomkonfiguration1s 2 2s 2 2p 6 3s, bcc Gitter Energiedispersion für fast freie Elektronen bcc Brillouinzone mit Hochsymmetriepunkten

13 E(k) Dispersion für bcc Kristalle in Näherung des Leeren Gitters (freie Elektronenparabeln)

14 E(k) Dispersion für Natrium: Im Vergleich zur Näherung des leeren Gitters, kleine Aufspaltung an den Hochsymmetriepunkten

15 Bandstruktur von fcc Metallen, Beispiel Kupfer Fcc Brillouinzone mit Hochsymmetriepunkten Dispersionsrelationin Kupfer: 3d 10 4s Am L Punkt(1/2,1/2,1/2) starke d-s Übergänge ca 2eV Fermioberfläche von Kupfer:

16 Multivalente Metalle Beispiel Aluminium: 3 Valenzelektronen, fcc Gitter 2 BZ 3BZ 1 BZ 3BZ 3p 3s Dispersionsrelation: s-p Interband-Übergänge am W-Punkt Valenzelektronen besetzen 3 Brillouinzonen

17 KlassischeTypIV und III-V Halbleiter: Diamantund Zinkblende Struktur: Ausgewählte wichtige Hochsymmetriepunkte:

18 Beispiel PbTe: Energielücke ~ 300 mev bei kleiner Dotierung schon metallisch Zustandsdichte

19 Vergleich verschiedener Halbleiter mit Diamant(Zinkblende)struktur:

20 Schematische Darstellung der Energielücken für Halbleiter: Direkte Lücke Indirekte Lücke Stark dotierter Halbleiter Schematische Darstellung der Phononenunterstützten Anregung im indirekten Halbleiter

21 Beispiel Germanium: Energielücke ~ 0.8 ev Bandstruktur ohne Spin-Bahn Kopplung Spin-Bahn Aufspaltung berücksichtigt

22 Silizium Bandstruktur und Zustandsdichte, Energielücke 1.2 ev

23 Grauer Zinn Zero gap semiconductor

24 Dimensionality of sp 2 bonded carbon allotropes Graphite, Mittelalter 3D Carbon nanotubes Iijima, D Fullerene 0D Graphene 2D A. Geim, K. Novoselov, 2004 Nobel prize physics, 2010 R. Curl, H. Kroto, R. Smalley, 1985 Nobel prize chemistry, 1996

25 Graphene Γ M K Zero gap semiconductor

26 ELECTRONIC STRUCTURE OF GRAPHENE A a 1 a 2 B Γ M K Γ Ψ C ( k) E Laser K 2D BZ K M K Ψ V ( k' ) E Fermi Graphene is a zero gap semiconductor. Bands at Fermi energy (K point) are linear in k. Wallace (1947), Painter and Ellis PRB 1, 4747 (1970)

27 Formation of single-wall carbon nanotubes SWCNTs Hamada vector graphene sheet r r r C = na1 + ma2 = ( n, m) C (n,0) Φ A (n,m) d (n,0) zigzag Φ=0 a1 o (n,n) C O(A) (n,n) armchair Φ=30 a 2 The diameter of SWCNT (n,m): d n,m = C /π=a(n 2 +m 2 +mn) 1/2 /π (n,m) chiral 0<Φ<30 a= a 1 = a 2 =2.49 Å e.g. (10,10) d=1.37nm

28 Electronic properties of SWCNTs periodic boundaries 2πd k n =2π n k K K 1/d K (k n -quantization) 1/d metal semiconductor 9 (10,10) 9 E F E F E(K) (ev) EF Density of states 0 (10,10) K Γ K M K -6-6 (17,0) ka/π ka/π E g ~1/d (17,0) E(k) (ev) Electronic properties are determined by the structure of SWCNT Theory: tight binding approximation (TBA)

29 SWCNT: semiconducting or metallic? DOS (ev -1 C -1 ) E F (10,10) Energy (ev) (11,9) Armchair Φ= 30 metallic Zigzag+Chiral: Φ<30 metallic or semiconducting semiconducting metallic DOS (ev -1 C -1 ) E g ~1/d Energy (ev) Metallic for m-n= 3j j = integer

30 Elektronische Zustände in SWCNT Parallel zur Achse der SWCNT: ähnlich Graphit unendliche Anzahl von k-zuständen Normal zur Achse der SWCNT: Quantisierung des Wellenvektors der Elektronen auf dem Umfang c λ = c/j j = integer k = 2π/λ = 2πj/c = j/r j=0 j=1 j=2

31 Eigenschaften von C 60 Fußballform hat I h Symmetrie: Elektronische Zustände: Hückelnäherung Γ π =a g +t 1g +t 2g +2g g +3h g +2t 1u +2t 2u +2g u +2h u Schwingungen: 174 Freiheitsgrade, entartet zu 46 Moden Γ π =2A g +3T 1g +4T 2g +6G g +8H g +4T 1u +5T 2u +6G u +7H u Bindungslängen:a s = nm, a d =0.14 nm, φ=108 Durchmesser:D=0.7 nm, van der Waals r =0.5 nm Elektronenaffinität = 2.65 ev, Ionisierungspotential = 7.6 ev C 60 ist leichter zu Reduzieren als Oxidieren

32 ElektronischeStruktur: C 60 Halbleiter, schmale Bänder W=0.3 ev W=0.4 ev