Konstruktionen am Dreieck

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1 Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln entfernt. Höhe eines Dreiecks Die Höhe eines Dreiecks erhält man, wenn man das Lot auf der Grundfläche fällt, welches in der gegenüberliegenden Ecke endet. Mittelsenkrechte Die Mittelsenkrechten eines Dreiecks verlaufen durch den Mittelpunkt der jeweiligen Grundfläche. Der Mittelpunkt einer Strecke ist der Schnittpunkt, jener mit der Mittelsenkrechten der Strecke. Seite 1 von 13

2 Seitenhalbierende Die Seitenhalbierende verbindet den Mittelpunkt einer Seite mit dem gegenüberliegenden Punkt. Alle drei Mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt. Dieser ist von allen Ecken gleich weit entfernt und heißt Umkreismittelpunkt. Der Kreis um den Umkreismittelpunkt, der alle drei Ecken schneidet, nennt man Umkreis. Thaleskreis Wenn C auf einem Kreis mit dem Durchmesser [AB] liegt, ist der Winkel bei C ein rechter Winkel. Dieser Kreis, welcher [AB] als Durchmesser hat, wird als Thaleskreis bezeichnet. Seite 2 von 13

3 Tangenten Tangenten sind Geraden, welche durch einen Punkt P, der außerhalb des Kreises um M liegt, gehen und den Kreis nur in einem Punkt schneiden. Man konstruiert den Thaleskreis über der Strecke [MP]. Die Schnittpunkte mit dem Kreis um M sind die Berührpunkte. Seite 3 von 13

4 Beispielaufgaben: 1. Die Abbildung zeigt das Dreieck ABC. a) Konstruieren sie im abgebildeten Dreieck die Mittelsenkrechte der Seite [AB] und die Mittelsenkrechte der Seite [AC]. b) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seite [AB] und der Mittelsenkrechten der Seite [AC] wird mit S bezeichnet. Charlotte erklärt einer Mitschülerin, dass S der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. Ergänze sinnvoll, was sie ihrer Mitschülerin gesagt haben könnte: Weil S einerseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite [AB] ist, ist er von den Punkten A und B. Weil S andererseits. Also ist der Punkt S und damit der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. / 2 2. Marie möchte alle Punkte markieren, die von A und B den gleichen Abstand haben und gleichzeitig von C weniger als 1,5 cm entfernt sind. Ergänze sinnvoll, was sie sich dazu überlegen könnte. Um die gesuchten Punkte zu markieren, benötige ich zwei Linien. Die Punkte liegen nämlich auf, sowie. Seite 4 von 13

5 3. Der Punkt C liegt auf einem Kreis mit Durchmesser [AB]. Die Strecke [AC] ist halb so lang wie die Strecke [AB]. a) Wie groß ist der Winkel γ? Begründe deine Antwort b) Wie groß ist der Winkel α? Begründe deine Antwort Konstruiere das Dreieck: a) b = 6 cm, α = 50, w a = 5 cm b) c = 8,5 cm, h c = 3,5 cm, α = 75 c) c = 5 cm, β = 80, h b = 3 cm d) b = 7 cm, α = 30, w y = 4,4 cm e) a = 8 cm, c = 7 cm, h b = 6,4 cm (r ist der Radius des Umkreismittelpunkts) f) a = 5 cm, β = 70, r = 4,5 cm g) a = 6 cm, α = 90, r = 3 cm h) b = 7,5 cm, c = 5,8 cm, r = 5,2 cm 5. Zeichne in ein Koordinatensystem den Kreis k(m;r) und den Punkt P(4/7). Konstruiere vom Punkt P die Tangenten an den Kreis. Geg: M(2/0), r = 2 cm 6. Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck ABC a) a = 7 cm, h a = 3 cm und α = 90 b) Hypotenusenlänge 5 cm und Kathetenlänge 4 cm 7. Konstruiere ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck mit der Basislänge 8 cm. 8. Begründe, warum die Eckpunkte eines Quadrats und eines Rechtecks auf einer Kreislinie liegen, die man als Umkreis bezeichnet. Seite 5 von 13

6 9. Gegeben sind die Punkte P und M mit Abstand 7 cm. Konstruiere einen Kreis k um M derart, dass die beiden durch P verlaufenden Tangenten an k miteinander einen Winkel von 44 einschließen. 10. Zeichne einen Winkel α, der kleiner als 180 ist. Konstruiere in den Winkel einen Kreis, welcher beide Schenkel des Winkels berührt. Seite 6 von 13

7 Lösungen: 1.a) b) Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Seite [AB] und der Mittelsenkrechten der Seite [AC] wird mit S bezeichnet. Charlotte erklärt einer Mitschülerin, dass S der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC ist. Ergänze sinnvoll, was sie ihrer Mitschülerin gesagt haben könnte: Weil S einerseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite [AB] ist, ist er von den Punkten A und B gleich weit entfernt. Weil S andererseits ein Punkt auf der Mittelsenkrechten der Seite [AC] (bzw. [BC]) ist, ist er von den Punkten A (bzw. B) und C gleich weit entfernt. Also ist der Punkt S von allen drei Punkten gleich weit entfernt und damit der Umkreismittelpunkt des Dreiecks ABC. Seite 7 von 13

8 2. Marie möchte alle Punkte markieren, die von A und B den gleichen Abstand haben und gleichzeitig von C weniger als 1,5 cm entfernt sind. Ergänze sinnvoll, was sie sich dazu überlegen könnte. Um die gesuchten Punkte zu markieren, benötige ich zwei Linien. Die Punkte liegen nämlich auf der Mittelsenkrechten zu [AB], sowie innerhalb des Kreises um C mit Radius 1,5 cm." (Hier grün gekennzeichnet) 3. Der Punkt C liegt auf einem Kreis mit Durchmesser [AB]. Die Strecke [AC] ist halb so lang wie die Strecke [AB]. a) Wie groß ist der Winkel γ? Begründe deine Antwort. γ = 90 Begründung: C liegt auf dem Thaleskreis über [AB]. b) Wie groß ist der Winkel α? Begründe deine Antwort. α = 60 Begründung: Der Kreismittelpunkt M bildet mit den Punkten A und C ein gleichseitiges Dreieck. Seite 8 von 13

9 4.a) a = 4,76 b) a = 8,33 c = 5,11 b = 3,62 c) b = 5,52 d) a = 4,41 a = 3,36 c = 3,38 e) b = 7,64 f) b = 8,47 c = 8,74 Seite 9 von 13

10 g) Zeichne um B einen Kreis mit Radius 6 cm. Zeichne irgendwo in diesem Kreis den Punkt A ein. Verbinde beide und fälle das Lot auf A. Der Schnittpunkt mit dem Kreis ist Punkt C. z.b.: h) Möglichkeit 1: Möglichkeit 2: a = 10,24 a = 2,21 5. Seite 10 von 13

11 6.a) b) 7. Seite 11 von 13

12 8. Rechtecke kann man aus zwei rechtwinkligen Dreiecken zusammensetzen, welche durch den Thaleskreis auf dem Umkreis liegen. 9. Zeichne [PM] und konstruiere den Thaleskreis über der Strecke. Zeichne bei P einen Winkel von 22 auf beiden Seiten ein. Die Schnittpunkte der Tangenten mit dem Thaleskreis ergeben die Berührpunkte. Zeichne einen Kreis durch Mittelpunkt M und einen der beiden Berührpunkte. Seite 12 von 13

13 10. Konstruiere die Winkelhalbierende. Wähle einen beliebigen Punkt D auf der Winkelhalbierenden. Zeichne den Thaleskreis über [AD]. Die Schnittpunkte mit den Schenkeln sind die Berührpunkte des Kreises um D. z.b: Seite 13 von 13

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