7.7. Abstände und Winkel

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Heinz Kranz
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1 uu uu uu uu uu uu uu uu 77 Astäde ud Wikel 77 Wikel Geade - Geade Schittwikel zweie Geade: Am Schittpukt zweie Geade g ud g lasse sich die eide Wikel (g, g ) ud (g, g ) messe Als Schittwikel ezeichet ma dejeige de eide Wikel, de kleie ode gleich 90 ist, dh, desse Kosius göße ode gleich Null ist: Scheide sich die Geade g ud g mit de 80 Richtugsvektoe ud, so gilt fü de Schittwikel : cos g g Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N - 77 Wikel Geade - Eee Schittwikel zwische Geade ud Eee: Scheidet sich die Geade g mit dem Richtugsvekto ud die Eee E mit dem Nomalevekto, so ezeichet ma als Schittwikel de kleiste Wikel, de zwische g ud eie i E liegede Geade s geildet wede ka Die gesuchte Geade s ist die Schittgeade de vo ud aufgespate Schitteee F mit de Eee E ud wid auch Spu vo g auf E geat Fü de Schittwikel ehält ma da: cos (90 ) si Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel Aufgae ud 5 77 Wikel Eee - Eee Schittwikel zweie Eee: Scheide sich die Eee E ud E mit de Nomalevektoe ud, so etachtet ma wiede die vo ud aufgespate Schitteee F mit de Schittgeade s ud s Fü de Schittwikel ehält ma da: cos Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N ud 7

2 77 Astad ukt - Eee Astad ukt - Eee: De Astad d eies uktes mit dem Otsvekto p vo eie Eee E: ( x a )* 0 ist d ( p a )* 0 Daei heißt 0 auch Nomale- Eiheitsvekto de Eee E Die Gleichug E: ( x E p a A 0 a )* 0 0 heißt Hessesche Nomalfom de Eeegleichug Beweis: ( p a )* 0 A cos d (siehe Zeichug) Bestimme de Astad des uktes ( ) vo de Eee E: x x + x ösug: De Nomalevekto egit sich aus de Koeffiziete de Eeegleichug: De Nomaleeiheitsvekto ist also 0 Als Stützvekto ka eie elieige ösug de Eeegleichug gewählt wede, zb a De gesuchte Astad ist da d ( p a )* 0 Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N Astad ukt - Geade 0 0 Seie äge ist 0 0 E Astad ukt - Geade De Astad d des uktes vo de Geade g: x a uu ist d Daei ist de Fußpukt des otes vo auf g Ma ehält ih als Schittpukt de Geade g mit de Hilfseee E: ( x O )* 0, die sekecht zu g duch veläuft g t F Beweis: siehe Zeichug a E: ( x O )* Bestimme de Astad des uktes ( ) vo de Geade g: x O(0 0 0) 0

3 uu uu uu uu ösug: Die Gleichug de Hilfseee ist E: ( x O )* 0 E: x x 0 x De otfußpukt g E ehält ma duch Eisetze de Geadegleichug 0 E: x x x x x Eeegleichug E: x x g E: ( ) ( t) t De aamete t i die setzt ma i die Geadegleichug ei ud ehält O uu De gesuchte Astad ist da d O O 0,5 0, E Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N Astad Geade - Geade Astad Geade - Geade: De Astad d zwische de eide Geade g : x a + ud g : x a + s ist d ( a a )* 0 0 Daei ist ei Nomale-Eiheitsvekto sowohl fü g als auch g Geeigete Eiheitsvektoe ehält ma mit dem Skalapodukt aus de Bediguge * * 0 ode mit dem Vektopodukt als Beweis: siehe Zeichug g a a g d 0 a a O(0 0 0) Bestimme de Astad zwische de eide Geade g: x ösug: De gemeisame Nomaleeiheitsvekto ist 0 De gesuchte Astad ist also d ( a a )* ud h: x E Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N - 8

4 777 Spiegelug ukt a Eee Spiegelug eies uktes a eie Eee Um de ukt a de Eee E: ( x a )* 0 0 zu spiegel, geht ma folgedemaße vo: Astad d ( O a )* 0 des uktes vo de Eee E estimme Duch Eisetze püfe, o de otfußpukt mit O O + d 0 i E liegt Falls ja, so hat de Bildpukt de Otsvekto u O ' O + d 0 Falls ei, so hat de Bildpukt de Otsvekto u O ' O d 0 E: ( x a )* 0 0 d 0 d 0 Bestimme de ukt, de duch Spiegelug des uktes ( ) a de Eee E: x + x x etsteht ösug: De Nomaleeiheitsvekto ist 0 ( O a )* 0 5 De otfußpukt köte de Otsvekto O 0 Ei Stützvekto ist a O + d 0 hae Eisetze i E egit x x + x De Astad ist also d + liegt also icht i E, da 0 i die falsche Richtug vo de Eee weg zeigt Ma geht also esse i die Gegeichtug auf die Eee zu ud wählt O O d 0 u De Bildpukt hat also de Otsvekto O ' O d 0 Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N 9 ud Spiegelug ukt a Geade 8 8 Eisetze i E egit x + x x 5 7 ( 5 7 ) Spiegelug eies uktes a eie Geade Um de ukt a de Eee g: x a + mit R zu spiegel, geht ma folgedemaße vo: otfußpukt vo auf g als Schittpukt vo g mit de Hilfseee E: ( x O (siehe 7) u O ' O + )* 0 estimme E: ( x O )* 0 g

5 Bestimme de ukt, de duch Spiegelug des uktes ( ) a de Geade g: x etsteht ösug: Die Hilfseee ist E: E: ( x O )* 0 E: x + x + x 9 De otfußpukt g E ehält ma duch Eisetze vo g i E: ( ) + ( ) + ( ) 9 t Sei Otsvekto ist also O + 7 u De Bildpukt hat also de Otsvekto O ' O ( ) Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N ud 779 Spiegelug ukt a ukt Spiegelug eies uktes a eiem ukt u Wid de ukt am ukt Z gespiegelt, so hat de Bildpukt de Otsvekto O ' O uu + Z Bestimme die Geade g, die ma duch Spiegelug de Geade g: x ehält ösug: am ukt Z( ) Ma spiegelt zwei elieige ukte ud Q auf de Geade g a Z Wähle zb ( ) ud Q(5 0 ) Die Bildpukte sid ( 5 5 ) ud Q ( 7 5) g muss da duch die Bildpukte ud Q velaufe, also 5 g : x u O ' uu + 'Q ' 5 Üuge: Aufgae zu Astäde ud Wikel N ud 5

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