Tag der Mathematik 2016

Transkript

1 Gruppenwettbewerb Einzelwettbewerb Mthemtische Hürden Aufgben mit en

2 Aufgbe G mit Der römische Brunnen Aufsteigt der Strhl und fllend gießt Er voll der Mrmorschle Rund, Die, sich verschleiernd, überfließt In einer zweiten Schle Grund; Die zweite gibt, sie wird zu reich, Der dritten wllend ihre Flut, Und jede nimmt und gibt zugleich Und strömt und ruht. Conrd Ferdinnd Meyer Aufgbe G Die oberste Schle eines römischen Brunnens wird pro Minute mit 000 Liter Wsser gespeist. Aus jeder Schle fließen links 4 und rechts des Wssers in eine drunter liegende Schle. Wie lnge duert es, bis in ds durch den Pfeil mrkierte Becken 000 Liter geflossen sind? l/min Die benötigte Zeit beträgt = 96 l/min min = (0 + ) min = 0 min 2 sec. 2

3 Aufgbe G2 mit Aufgbe G2 In einer Zimmerecke sind mehrere Lgen von Würfeln ufgestpelt. Die Abbildung zeigt diese Würfelpyrmide. Nicht lle Würfel sind sichtbr. ) Aus wie vielen Würfeln besteht die Pyrmide? b) Die sichtbren Flächen der Würfel werden rot lckiert. Wie viele Würfel hben 0,, 2 bzw. rote Flächen? c) Ein Würfel wird zufällig usgewählt und dnn gewürfelt. Wie groß ist die Whrscheinlichkeit p, eine rote Fläche zu erhlten? ) 70 b) Rote Flächen 0 2 Würfel c). : Im Bumdigrmm werden zuerst die Würfel mit 2 bzw. roten Flächen usgewählt und dnch gewürfelt: p = = rot 2. : Es gibt 70 6 Würfelflächen. Dvon sind = 6 rot. Also p = = 84.

4 Aufgbe G mit Aufgbe G f (x) 6 x ) Gegeben ist die Prbel f (x) = 2 x 2 x + 6, > 0. Für welches berührt die Prbel die. Winkelhlbierende? Berechnen Sie uch die Koordinten des Berührpunktes. b) Diese Prbel wird mehrfch n den Winkelhlbierenden und den Koordintenchsen gespiegelt (vgl. Abbildung). Wie groß ist die eingefärbte Fläche? ) Aus f (x) = x und f (x) = folgen x 2 x + 6 = x und x =. 2 Also x = 2 und = 2. Der Berührpunkt ht die Koordinten (2 2 ). b) Die Fläche zwischen Prbel,. Winkelhlbierenden und y-achse: 2 0 ( f (x) x ) dx = 2 0 ( 2 x 2 2 x+6 ) dx = Dmit ist die Gesmtfläche 8 4 = 2. [ 6 x ] 2 x 2 + 6x = 4. 0

5 Aufgbe G4 mit Aufgbe G4 y Welche Punkte P der Gerden y = x hben von A(4 0) die doppelte Entfernung wie von B(6 )? A(4 0) y = x Aus PA = 2 BP bzw. PA 2 = 4 PB 2 folgt (x 4) 2 +(x 0) 2 = 4 ((x 6) 2 +(x +) 2) und somit x 2 26x + 6 = 0. P B(6 ) x Wegen x 2 26x + 6 = (x 4)(x 4) folgt P(4 4) oder P( 4 4 ).

6 Aufgbe E mit Aufgbe E Gegeben ist ein Tetreder mit der Kntenlänge s. Berechnen Sie s h s ) die Höhe h und b) ds Volumen V des Tetreders. s s ) h 2 = s 2 ( 2 ) s 2 2 = 2 s2. Also ist h = s 6. s 2 h s b) V = s2 4 h = 2 2 s. s 2

7 Aufgbe E2 mit Aufgbe E2 Ein zuerst leeres Becken mit einem Fssungsvermögen von 00 hl wird über einen konstnten Zufluss in 8 Stunden gefüllt. 4 Ds Entleeren über einen Ausluf duert Stunden, dbei wird eine konstnte Ausflussgeschwindigkeit vorusgesetzt. Wie lnge duert es, bis ds Becken gefüllt ist, wenn der Ausluf geöffnet ist? Zufluss pro Stunde: Abfluss pro Stunde: Differenz: 00 8,7 = = (hl pro Stunde). Füllzeit: = 8 9 = Stunden.

8 Aufgbe E mit Aufgbe E f (x) Gegeben ist die Prbel f (x) = x 2 + b mit,b > 0. Zeigen Sie, dss die Fläche zwischen Prbel und x-achse 2 der Fläche des Rechtecks mit der Grundseite g und der Höhe h ist (vgl. Abbildung). h g x b Höhe h = f (0) = b und Grundseite g = 2. Rechtecksfläche: A R = 2 b b b Prbelfläche: A P = 2 ( x 2 + b)dx 0 [ = 2 ] b x + bx ( = 2 b = 4 b b = 2 A R 0 b + b b )

9 Aufgbe E4 mit Aufgbe E4 Von einem Würfel (Kntenlänge 2) werden die cht Ecken so bgeschnitten, dss die Schnittebene durch die Mitten benchbrter Knten geht. In der Abbildung ist eine Ecke bgeschnitten. ) Wie viele Flächen (f ), Knten (k) und Ecken (e) ht der Körper? b) Berechnen Sie seine Oberfläche O und sein Volumen V. ) Es ist f = = 4, k = 8 = 6 4 = 24 und e = 2. b) Der Körper besteht us 6 Qudrten und 8 gleichseitigen Dreiecken. Also gilt O = 6 ( 2) ( 2) 2 = V = = 20.

10 Aufgbe H mit Aufgbe H C Zwei Rechtecke werden wie bgebildet neinnder gelegt. Wie muss gewählt werden, dmit A, B und C kolliner sind, d.h. dmit A, B und C uf einer Gerden liegen? A B. : Aus = + folgt 2 = +, lso = 2 ( + ). 2. : In einem geeigneten Koordintensysstem mit dem Ursprung A ht die Gerde durch A und B die Gleichung y = x und die Punktprobe mit C( + ) führt zu der Gleichung = ( + ).. : Wenn A, B und C kolliner sind, dnn muss für die Vektoren ( ) AB = und ( ) BC = gelten: AB = k BC, lso ( ) ( ) = k. Hierus folgt k = und somit = ( ). Die Gleichung 2 = 0 ht die positive = 2 ( + ).

11 Aufgbe H2 mit Aufgbe H2 Schreibt mn die ntürlichen Zhlen hintereinnder, so entsteht die Folge der Ziffern,2,,4,,6,7,8,9,,0,,,,2,,,, 4,,,... An der 9. Stelle steht dnn die Ziffer 4. Welche Ziffer steht n der 206. Stelle? 9. Stelle Die Zhlen,...,9, 0,...,99 liefern = 89 Stellen. Es gilt = 827 = 609. Die 609 Zhlen 00,...,708 liefern 609 = 827 Stellen. Also ist die 206. Stelle eine 8.

12 Aufgbe H mit Aufgbe H C In einem gleichseitigen Dreieck ABC mit der Seitenlänge 4 begrenzen Kreisbögen (Rdius 2) um A, B und C ds eingefärbte Gebiet. Berechnen Sie dessen Fläche. (4) π(2)2 = 2 2 (2 π). A B

13 Aufgbe H4 mit Aufgbe H4 Im lten Ägypten wurden Brüche ls Summe von Stmmbrüchen geschrieben, d.h. Brüche mit dem Zähler. Zum Beispiel: 2 = 2 + 6, 2 = Schreiben Sie ls Summe von zwei Stmmbrüchen.. : Aus = + b folgt b = ( + b). Also ist b (oder ) durch teilbr: b = k. Aus k = + k folgt, dss durch k teilbr ist: = q k. Aus qk = q + folgt q = und k = 4, lso = : Der größte Stmmbruch kleiner ls = 0.27 ist 4 = : Allgemein gilt n = n+ + n(n+). Für n = folgt = und somit = = 0,2. Aus 4 = 44 folgt

14 Aufgbe H mit Aufgbe H Bei der Addition von vier gleichen zweistelligen Zhlen steht jeder Buchstbe für eine Ziffer. Verschiedene Buchstben stehen für verschiedene Ziffern. Bestimmen Sie H, E und A. HE HE HE + HE A H. : Aus 4 (0H + E) = 0A + H folgt 9H + 4E = 0A. Also muss H gerde sein. Wegen 4H 9 ist H = 2 und 9 + 2E = A. Also ist 9 + 2E durch teilbr. Wegen A 4 folgt A = 9 und E =. 2. : Aus 4H < 0 folgt H = oder H = 2. D 4E nicht uf enden knn, ist H = 2. Also ist E = oder E = 8. Wegen A 9 ist E = und A = 9.

15 Aufgbe H6 mit Aufgbe H6 Wie viele Qudrte knn mn uf dem Schchbrett entdecken? Ein und 2 2 Qudrt sind beispielhft eingezeichnet. Qudrt Anzhl Summe: = 204.

16 Aufgbe H7 mit Aufgbe H7 Wie viele Teiler ht 206? Wegen 206 = ht jeder Teiler die Form 2 b 7 c mit = 0,,2,,4,, b = 0,,2 und c = 0,. Also gibt es 6 2 = 6 Teiler.

17 Aufgbe H8 mit Aufgbe H8 Gegeben sind fünf Gerden und zwei Kreise in der Ebene. Wie groß ist die mximle Anzhl der Schnittpunkte? Mximle Anzhl der Schnittpunkte von fünf Gerden: ( 2) = 0, zwei Kreisen und einer Gerden: 4, lso insgesmt 4 = 20, zwei Kreisen: 2. Also gibt es mximl = 2 Schnittpunkte.