Interferenz und Beugung - Optische Instrumente

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1 Interferenz und Beugung - Optische Instrumente Martina Stadlmeier

2 Inhaltsverzeichnis 1 Kohärenz 3 2 Interferenz Interferenz an einer planparallelen Platte Interferenz am Gitter Beugung Beugung am Einzelspalt Beugungsgitter Optische Instrumente Das Auge Allgemeines Räumliche Auflösung und Empfindlichkeit Vergrößernde optische Instrumente Schärfentiefe Die Lupe Das Mikroskop Das Fernrohr Rolle der Beugung bei optischen Instrumenten Auflösungsvermögen des Fernrohrs Auflösungsvermögen des Auges Auflösungsvermögend des Mikroskops Lichtstärke optischer Instrumente

3 1 Kohärenz Damit eine stationäre Interferenzstruktur (=Überlagerung von Wellen) beobachtet werden kann, darf sich die Phasendifferenz ϕ zweier interferierender Strahlen nur um weniger als 2π ändern. Solche Wellen nennt man zeitlich kohärent. Die maximale Zeitspanne t c in der ϕ < 2π heißt Kohärenzzeit. Die Strecke, die das Licht in der Kohärenzzeit zurücklegt, wird als Kohärenzlänge s c bezeichnet. Inkohärenz kann enstehen durch: eine Änderung/Schwankung der Frequenz ν endliche Länge der von der Lichtquelle ausgehenden Wellenzüge fluktuierenden Brechungsindex im Medium Bsp.: Besitzt eine Lichtquelle eine spektrale Breite ν, so variiert die Frequenz des emittierten Lichtes im Intervall ν 0 ± ν 2. Sei nun ν 1 = ν 0 ν 2 ν 2 = ν 0 + ν 2 ϕ(t 0 ) = 0 Zur Bestimmung der Kohärenzzeit t c setzt man die Phasendifferenz ϕ = 2π: ϕ = 2π = 2π ν t c t c = 1 ν 2 Interferenz 2.1 Interferenz an einer planparallelen Platte Abb. 1: Interferenz an planparalleler Platte Die optische Weglängendifferenz zwischen dem direkt reflektierten und dem einmal transmittierten Strahl beträgt: 3

4 s = s 1 + s 2 = 2 n d cos β 2 d sin α tan β s = 2 n d cos β 2 n d sin2 β cos β s = 2 n d cos β s = 2 d n 2 sin 2 α Achtung: Diese Rechnung beinhaltet nur die optische Weglängendifferenz! Eventuelle Phasensprünge müssen noch berücksichtigt werden!! Bsp.: Falls n 1 < n 2 tritt an der oberen Grenzfläche ein Phasensprung auf. Daraus ergibt sich dann: s = (m )λ konstrukive Interferenz s = mλ destruktive Interferenz Analoge Überlegungen sind anzustellen bei Aufgaben mit Interferenz an dünnen Schichten. Die optische Weglängendifferenz ist dabei immer die oben hergeleitete, allerdings ist auf die Brechzahlen zu achten, die für Phasensprünge verantwortlich sind! 2.2 Interferenz am Gitter Will man die Interferenz an einem Gitter betrachten, so geht man davon aus, dass an jedem Spalt eine Elementarwelle entsteht. Diese Elemtentarwellen interferieren dann. Hier soll nzunächst ein ideales Gitter betrachtet werden, das heißt man nimmt unendlich dünne Spalte an, sodass keine Beugungserscheinungen auftreten. Abb. 2: Interferenz am Gitter Im Interferenzbild eines Gitters sind Hauptmaxima und Nebenmaxima zu erkennen. (s.abb. 3) Abb. 3: Interferenzbild eines Gitters mit 5 bzw. 20 Spalten 4

5 Die Hauptmaxima entstehen, wenn die Wegdifferenz je zweier benachbarter Spalte gerade ein Vielfaches der Wellenlänge λ beträgt: s = d sin α = m λ sin α = m d λ Hauptmaxima Zwischen zwei Hauptmaxima befinden sich immer N 1 Minima und N 2 Nebenmaxima. Es gelten folgende Beziehungen: Die Minima ergeben sich für: sin α = 2 m+1 2 N Nebenmaxima (m = 0, 1,... N 2) λ d sin α = m N d λ Minima Die höchstmögliche Interfernzordnung m max ist begrenzt durch sin α 1 m max = d λ 3 Beugung Beim Vorbeigehen an Kanten wird das Licht in Richtungen abgelenkt, die man mit der geometrischen Optik nicht erklären kann. Dieses Phänomen wird Beugung genannt. Beugung tritt immer dann in den Vordergrund, wenn sich die Ausdehnung zu beobachtender Objekte (z.b. Spalte) in der Größenordnung der Wellenlänge λ befindet. 3.1 Beugung am Einzelspalt Geometrische Überlegungen liefern für die Intensitätsverteilung I(α): I(α) sin2 (π b λ sin α) (π b λ sin α)2 Hierbei ist b die Breite des Spalts und α der Winkel unter den man den Spalt betrachtet. Bei der Beugung an einem Spalt tritt das Hauptmaximum bei α = 0 auf. Es besitzt die Breite: α = 2 λ b Breite des Hauptmaximums Intensitätsminima ergeben sich am (Einzel-)Spalt für die Werte von α, für die der Zähler der Intensität verschwindet, also: 5

6 π b λ sin α = m π sin α = m b λ Intensitätsminima Die weiteren Maxima liegen jeweils in der Mitte zwischen zwei Minima, also: sin α = (m ) λ b Intensitätsmaxima Abb. 4: Beugungsbild eines Einfachspaltes Bemerkungen: Die Beugungsmaxima nehmen mit zunehmender Ordnung sehr schnell an Höhe ab! Die Beugung bewirkt eine Aufweitung von Lichtbündeln je größer die Spaltbreite b, desto geringer ist die Beugung (b λ geringe/keine Beugung)4 falls b < λ gibt es keine Intensitätsminima mehr. Stattdessen dehnt sich das zentrale Hauptmaximum über den ganzen Halbraum aus (wird nach außen hin schwächer) 3.2 Beugungsgitter Bei einem Beugungsgitter (=Anordnung von N Einzelspalten der Breite b mit Spaltabstand d) treten zwei Phänomene auf: Interferenz der Lichtbündel der N Spalte Beugung an jedem einzelnen Spalt Die Intensitätsverteilung I(α) hängt nun dementsprechend von zwei Faktoren ab: I(α) sin2 (π b λ sin α) sin 2 (N π d (π b λ sin α) λ sin α)2 sin 2 (π d λ sin α) Dabei beschreibt der erste Bruch die Beugung, die an jedem der Spalte auftritt und der zweite Term beschreibt die Interferenz der N Spalte. Abb. 5 zeigt die am Beugungsgitter zu beobachtende Intensitätsverteilung. Die Einhüllende ist dabei durch das Phänomen der Beugung gegeben, die tatsächlich sichtbaren Maxima und Minima sind durch Interferenz der N Spalte zu erklären. 6

7 Abb. 5: Intensitätsverteilung am Beugungsgitter Von Interesse ist dabei meist, bei welcher Ordnung m ein Interferenzhauptmaximum auf das erste Beugungsminimum (das ja bei sin α = λ b ist) trifft: Für die Interferenz der Spalte ist die Bedingung für ein Hauptmaximum sinα = m λ d m = d b Diese Ordnung ergibt sich also gerade aus dem Quotienten von Spaltabstand und Spaltbreite. 4 Optische Instrumente 4.1 Das Auge Allgemeines Für das Auge sind die Brennweiten f 1 und f 2 unterschiedlich, da die Medien auf beiden Seiten der Linse (Luft bzw. Glaskörper) nicht dieselben sind. Kurzsichtigkeit: Die bildseitige Brennweite ist zu klein, also ist die Linse zu stark gekrümmt. Da das Bild aufgrunddessen vor der Netzhaut ist, muss ene Zerstreuungslinse verwendet werden. Weitsichtigkeit: Augenlinse ist zu gering gekrümmt. Das Bild bzw. die Bildebene befindet sich hinter der Netzhaut. Deshalb muss in diesem Fall eine Sammellinse als Brille verwendet werden Räumliche Auflösung und Empfindlichkeit 7

8 Abb. 6: Abbildungen mit dem Auge Je näher ein Gegenstand am Auge ist, desto größer erscheint er uns. Auch hier gilt die Abbildungsgleichung für Linsen: tan ɛ 2 = G 2g ɛ G g f 1 g + f2 b = 1 b ist konstant, da der Abstand von der Linse zur Netzhaut sich nicht ändert. Somit muss sich die Linsenkrkümmung verändern, damit für unterschiedliche g ein scharfes Bild auf der Netzhaut entsteht. Dies ist nur möglich bis zu einem Mindestabstand g = s min 10cm Der Mindestabstand s 0 mit dem ohne Ermüdung des Auges gesehen werden kann heißt deutliche Sehweite: s 0 = 25cm. Der zu s 0 gehörige Sehwinkel wird mit ɛ 0 bezeichnet. Der minimale Sehwinkel ɛ min der noch aufgelöst werden kann ist limitiert durch: Rezeptorabstand auf der Netzhaut Beugung an der Pupille x min = s 0 ɛ min = 70µm Auflösbarer Abstand zweier Punkte für s = s Vergrößernde optische Instrumente Vergrößernde optische Instrumente dienen dazu, den Sehwinkel ɛ zu vergrößern, ohne dass dabei s 0 unterschritten wird. Hierzu wird die Winkelvergrößerung V eingeführt: V = ɛ ɛ 0 wobei ɛ den Sehwinkel mit Instrument darstellt und ɛ 0 den Sehwinkel ohne Instrument Schärfentiefe Abb. 7: Herleitung zur Schärfentiefe 8

9 u D = b b 0+ b u D = b b 0 für b b 0 b = u b0 d h(g, b) = 1 g + 1 b 1 f 0 dh = h h g dg + b db 0 g g 2 + b b 2 0 g = b b 2 g 2 g = u D b 0 g2 b 2 0 Unter der Annahme, dass g f folgt also dass b 0 = f und somit für die Schärfentiefe: g = g2 f 2 Dabei bezeichnet u den Durchmesser des Scheibchens in der Bildebene, das das Auflösungsvermögen beschränkt. f D u Die Lupe Eine Lupe ist eine Sammellinse mit einer kurzen Brennweite. Für die Vergrößerung (Winkelvergrößerung) der Lupe gilt: V Lu = ɛ ɛ 0 = G f V Lu = s0 f s 0G = s0 f Will man ein noch größeres V erreichen, so bringt man das Objekt näher an die Lupe g < f. Somit erhält man dann: V Lu = s0 g. Allerdings ist dann kein entspanntes Sehen mehr möglich Das Mikroskop Ein Mikroskop besteht aus zwei Linsen: die erste ist das Objektiv, die zweite wird als Okular bezeichnet. Das Objektiv erzeugt ein reelles Zwischenbild. Abb. 8: Mikroskop 9

10 B G = b g d = b + f 2 tan ɛ = B f 2 = G b g f 2 Der Sehwinkel ɛ 0 ohne Vergrößerung bei Abstand s 0 ist: tan ɛ = G s 0 Daraus folgt dann für die Winkelvergrößerung V Mik : V Mik = G b s0 g f 2 G = b s0 g f 2 Nimmt man nun an, dass g f 1 so erhält man schließlich: V Mik = (d f2) s0 f 1 f Das Fernrohr Abb. 9: Fernrohr ɛ 0 = B f 1 ɛ = B f 2 V F = f1 f 2 Die Vergrößerung eines Fernrohrs ist also durch das Verhältnis der Brennweiten gegeben! 4.3 Rolle der Beugung bei optischen Instrumenten Das maximale Auflösungsvermögen optischer Instrumente ist begrenzt durch Beugungserscheinungen! Auflösungsvermögen des Fernrohrs Abb. 10: Auflösungsvermögen Fernrohr 10

11 Es gilt: δ min = 1, 22 λ D Das Winkelauflösungsvermögen R W wird definiert als das Reziproke von δ min : R W = 1 δ min. Für das Fernrohr erhält man damit: R W = D 1,22 λ Auflösungsvermögen des Auges Die Linse des Auges erzeugt (aufgrund von Beugung) ein Beugungsscheibchen auf der Netzhaut mit einem Durchmesser: d beug = 2, 44 λ f D 10µm Die dazugehörige beugungsbedingte Winkelauflösung (für λ = 550nm): δ min = 1, 22 λ D 3, Damit ergibt sich der Mindestabstand x min den zwei Punkte mindestens haben müssen, damit sie noch unterscheidbar sind (für die deutliche Sehweite s 0 = 25cm): x min = δ min s 0 70µm Auflösungsvermögend des Mikroskops Auch bei dem vom Objektiv erzeugten reellen Zwischenbild entsteht ein Beugungsscheibchen mit d beug = 2, 44 λ b D Mit dem Strahlensatz und unter der Annahme, dass g f gilt dann: x min = 1 2 d beug g b = 1, 22 λ g D x min = 1, 22 λ f D 4.4 Lichtstärke optischer Instrumente Die von einem optischen Instrument durchgelassene Lichtleistung ist abhängig von den Blenden. Eintrittspupille := maximaler Durchmesser auf Objektseite Austrittspupille := maximaler Durchmesser auf Bildseite Der Gegenstand G strahlt in den gesamten Raumwinkel 4π Die vom Instrument durchgelassene Strahlungsleistung I ist proportional zum Raumwinkel Ω: Ω = π D π f = ( D f )2 I 1 16 ( D f )2 Dabei ist zu beachten, dass f nicht unbedingt die Brennweite sein muss, im Allgemeinen ist es die Gegenstandsweite g!! 11