Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Reversionspendel und dem Fadenpendel

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1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Reversionspendel und dem Fadenpendel Denis Nordmann 9. Mai 2013 dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

2 Grundlagen Schwingungen Mathematisches Pendel Physikalisches Pendel Satz von Steiner Reversionspendel Versuchsaufbau Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Fadenpendel Beispielmessung Reversionspendel Zusammenfassung der Ergebnisse Fehlerdiskussion Literatur und Quellenangaben dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

3 Grundlagen Schwingungen Schwingung Schwingungen sind zeitlich periodische Zustandsänderungen eines Systems. Sie treten immer dann auf, wenn ein System durch eine äuÿere Störung aus seinem mechanischen Gleichgewicht gebracht wird und Kräfte wirksam werden, die das System wieder in Richtung des Gleichgewichts bewegen Beispiel: Horizontal eingespannte Feder (Reibung vernachlässigt) x k m Ruhelage k : Federkonstante, m : Masse des Gegenstandes, x : Auslenkung dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

4 Grundlagen Schwingungen Harmonische Schwingung Bedingung für eine harmonische Schwingung ist Beschleunigung ẍ ist proportional zur Auslenkung x Beschleunigung und Auslenkung haben entgegengesetztes Vorzeichen, also ẍ x (lies ẍ ist proportional zu x) Gegenstand führt eine harmonische Schwingung aus Beispiel zur Rückstellkraft einer Feder unter Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes F = m ẍ F = k x (1) m ẍ = k x (2) ( ) k ẍ = x (3) m Harmonische Schwingungen können durch sinus-/cosinus-förmige Funktionen beschrieben werden dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

5 Grundlagen Schwingungen Auslenkung, Geschwindigkeit, Beschleunigung Gleichung der harmonischen Schwingung für... Auslenkung x A : Amplitude (in m), δ : Phasenkonstante (in rad) x = A cos (ωt + δ) (4) Geschwindigkeit ẋ ẋ = A ω sin (ωt + δ) (5) Beschleunigung ẍ ẍ = A ω 2 cos (ωt + δ) = ω 2 x (6) Tipp: Hier muss man jedes mal die Kettenregel aus der Dierentialrechnung anwenden (äuÿere Ableitung mal innere Ableitung) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

6 Grundlagen Schwingungen x = A cos(ωt + δ) ist eine mögliche Lösung der Dierentialgleichung (3) ( ) k ẍ = x ẍ = ω 2 x m mit der sog. Kreisfrequenz k ω = m (7) Wichtige Begrie: Frequenz f, Periodendauer T und Kreisfrequenz ω f = 1 T ω = 2π f ω = 2π 1 T (8) (9) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

7 Grundlagen Mathematisches Pendel Mathematisches Pendel Das mathematische Pendel ist ein physikalisches Modell eines Pendels, bei dem man folgende Annahmen macht: eine punktförmige Masse m pendelt im Abstand l um einen Aufhängepunkt Die Masse des Fadens vernachlässigbar klein Widerstände durch Luftreibung und Dämpfung werden vernachlässigt ϕ l m dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

8 Grundlagen Mathematisches Pendel Zerlegung der Kraftkomponenten l ϕ l F Z F tan = F g sin ϕ m F g = mg m : Masse g : Erdbeschleunigung (g = 9, 81m/s 2 ) ϕ : Winkel der Auslenkung l : Länge des Fadens F rad = F g cos ϕ Es wirkt die Gewichtskraft F g = mg Die Zugkraft F Z = F g cos ϕ Eine radiale Komponente F rad = F g cos ϕ Eine tangentiale Komponente F tan = F g sin ϕ dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

9 Grundlagen Mathematisches Pendel Bewegungsgleichung des mathematischen Pendels F rad und F Z kommen für die Pendelbewegung nicht in Frage Die tangentiale Komponente sorgt dafür, dass die Masse beschleunigt wird. Die Anwendung des 2. Newtonschen Gesetzes bringt also F tan = m a tan = mg sin ϕ a tan = g sin ϕ Die Tangentialbeschleunigung a tan kann durch die Winkelbeschleunigung ϕ ausgedrückt werden, so ist a tan = l ϕ (10) Dies führt zur Bewegungsgleichung in expliziter bzw. impliziter Form l ϕ = g sin ϕ ϕ = g l sin ϕ ϕ + g l sin ϕ = 0 Mit der Kleinwinkelnäherung sin ϕ ϕ erhalten wir schlieÿlich die Dgl. ϕ + g l ϕ = 0 (11) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

10 Grundlagen Mathematisches Pendel Lösung der Dgl. Die Gleichung (11) hat die Form ẍ = ω 2 x (explizite Darstellung) bzw. ẍ + ω 2 x = 0 (implizite Darstellung). Die Lösung dieser Gleichung kennen wir schon! Es handelt sich um eine harmonische Schwingung der Form ϕ(t) = ϕ 0 cos(ωt + δ) Für unser Experiment ist die Kreisfrequenz von Interesse, als aus ϕ + (g/l) ϕ = 0 bekommt man }{{} ω 2 ω 2 = g l ω = g l Hieraus lässt sich bei bekannter Periodendauer T und der Länge des mathematischen Pendels l die Erdbeschleunigung g bestimmen (12) ω = 2π g T = l l T = 2π g g = 4π 2 l T 2 (13) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

11 Grundlagen Physikalisches Pendel Physikalisches bzw. physisches Pendel Bei einem realen Pendel ist die Masse nicht punktförmig und die Aufhängung ist nicht masselos Ein physikalisches Pendel ist ein starrer Körper, welcher um einen Drehpunkt schwingen kann Drehpunkt Schwerpunkt Pendelkörper Ein reales Pendel ;) Physikalisches Pendel, beliebig geformter Körper dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

12 Grundlagen Physikalisches Pendel Kraftkomponenten beim physikalischen Pendel D ϕ M l sin ϕ l S F g = mg D : Drehachse, S :Symmetrieachse l : Abstand Drehachse Schwerpunkt, m : Masse des Körpers g : Erdbeschleunigung, ϕ : Winkel der Auslenkung M : Rücktreibendes Drehmoment Es wirkt die Gewichtskraft F g = mg Bei Auslenkung: Gewichtskraft verursacht ein rücktreibendes Moment M = F g l sin ϕ dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

13 Grundlagen Physikalisches Pendel Bewegungsgleichung des physikalischen Pendels Zusammenhang zwischen Winkelbeschleunigung ϕ und Drehmoment M: M = J ϕ (14) J : Trägheitsmoment des Körpers bezüglich der Drehachse D Dies führt zur Bewegungsgleichung des physikalischen Pendels J ϕ = mgl sin ϕ J ϕ + mgl sin ϕ = 0 (15) Mit der Kleinwinkelnäherung sin ϕ ϕ bekommen wir die Bewegungsgleichung ϕ + mgl J ϕ = 0 (16) mit der Kreisfrequenz und der Periodendauer ω 2 = mgl J J T = 2π mgl (17) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

14 Grundlagen Physikalisches Pendel Trägheitsmoment J Bei einfachen geometrischen Körpern (Kugel, Zylinder, Stab) ist das Trägheitsmoment J um eine beliebige Symmetrieachse berechenbar z.b. Trägheitsmoment eines Kreiszylinders: J S = m 2 r 2 Bei komplizierten Geometrien muss man das Trägheitsmoment abschätzen (J ges = J i ) oder messen (mittels Drehtisch) Wie ändert sich das Trägheitsmoment, wenn die Drehachse nicht mit der Symmetrieachse zusammenfällt? Satz von Steiner Einfache Geometrie: ein Zylinder r Kompliziert: z.b ein Mensch J Mensch =??? dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

15 Grundlagen Physikalisches Pendel Satz von Steiner Hängt man einen Körper in seinem Schwerpunkt auf kein Rückstellmoment keine Pendelbewegung Bendet sich die Drehachse parallel und auÿerhalb des Schwerpunkts Pendelbewegung nach Auslenkung Der Körper hat nun ein anderes Trägheitsmoment: es setzt sich zusammen aus dem Eigenträgheitsmoment J s und dem Produkt aus Körpermasse und dem quadratischen Abstand s zwischen der Symmetrieachse und der Drehachse Satz von Steiner J = J s + m s 2 (18) J s : Trägheitsmoment um Symmetrieachse, m : Masse des Körpers, s : Abstand Symmetrieachse Drehachse dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

16 Grundlagen Physikalisches Pendel Reversionspendel l fest beweglich A B m 1 m 2 SP s A s B Beim Verschieben der Masse m 2 wandert der Schwerpunkt SP zwischen den Drehpunkten A und B Dabei ändert sich das Trägheitsmoment relativ zu A und B Die Periodendauer ändert sich mit dem Trägheitsmoment gemäÿ J A T A = 2π, T B =... m g s A dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

17 Grundlagen Physikalisches Pendel Reversionspendel: Schritt für Schritt Es wird gefordert, dass die Periodendauern T A = T B sind, d.h. ω A = ω B mit ω 2 A = m g s A und J A ω 2 B = m g s B J B Aus ω 2 A = ω 2 B erhalte ich aus der obigen Zeile J A s B = J B s A (19) Jetzt kommt die Anwendung des Steinerschen Satzes, d.h. ich setze ein J A = J S + m s 2 A Gl.(19) = (J S + m s 2 A) s B = (J S + m s 2 B) s A (20) Weiter umgeformt erhalte ich J S (s B s A ) = m s A s B (s B s A ) (21) J S = m s A s B (22) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

18 Grundlagen Physikalisches Pendel Bei dem Ausdruck l = s A + s B handelt es sich um die sogenannte reduzierte Pendellänge dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34 Gleich ist es geschat! Jetzt kombiniere ich Gleichung (17) (Periodendauer des physikalischen Pendels) mit (18) (Satz von Steiner) und Gl. (22) (Ausdruck für J S ) Für die Periodendauer T des physikalischen Pendels erhalte ich nach einigen Umformungen J A T = 2π Satz von Steiner eingesetzt (23) m g s A J S + m s 2 A = 2π Gleichung (22) für J S eingesetzt (24) m g s A m s A s B + m s 2 A = 2π m und s A kürzen sich weg (25) m g s A sa + s B = 2π g l = 2π g (26) (27)

19 Versuchsaufbau Versuchsaufbau Reversionspendel Fadenpendel dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

20 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Fadenpendel Beispielmessung: Mathematisches Pendel Fadenlänge: l Faden = (62.0 ± 0.1)cm Kugeldurchmesser: d = (1.8 ± 0.1)cm Länge des mathematischen Pendels: l = (0.629 ± 0.001)m Messung mit n = 100 Perioden MessNr. AdP PD MU DeP MUeP i n n T (sec) T (sec) T (sec) T /n (sec) Aus Platzgründen habe ich folgende Abkürzungen in der obigen Tabelle verwendet: AdP: Anzahl der Perioden PD: Periodendauer von n-perioden bzw. gemessene Zeit MU: Messunsicherheit von n-perioden (persönl. Reaktionszeit 0.3s DeP: Dauer einer Periode, MUeP: Messunsicherheit einer Periode dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

21 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Fadenpendel Berechnung der Erdbeschleunigung Es wurde nur eine Messung durchgeführt. Idealerweise sollte man immer Mehrfachmessungen durchführen, um eine bessere Statistik zu erhalten. Aus l und T wird die Erdbeschleunigung g direkt berechnet g = 4 π m (1.587s) 2 = m s 2 (28) Die Messunsicherheit wird nach dem linearen Fehlerfortpanzungsgesetz berechnet. Dazu benötigt man folgende partielle Ableitungen der Gleichung g = 4π 2 l/t 2 g = 4π2 l T 2 (29) g T = 2 4π2 l T 3 (30) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

22 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Fadenpendel Berechnung von g Die Gesamtunsicherheit lautet dann g = g l l + g T T (31) Werte einsetzen und man erhält g = 4π 2 (1.587s) 0.001m + 8π m (1.587s) s = m s 2 Messergebnis (gerundet) g = (9.86 ± 0.06) m s 2 dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

23 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Reversionspendel Abstand der Schneiden: l = (99.4 ± 0.1)cm m 1 wird im Abstand von ca. 25cm von der Drehachse A positioniert Das Laufgewicht (m 2 ) wird möglichst nahe an Drehachse A gebracht, sodass s A 10cm ist, anschlieÿend wird die Dauer von 10 Perioden (besser 20 oder 40 - je nach Versuchsanleitung) gemessen Das Pendel wird aus der Aufhängung genommen und um 180 gedreht erneut 10 Perioden messen Das Pendel wird wieder um die Drehachse A aufgehängt und s A um +5cm erhöht, 10 Perioden gemessen usw. Der Verlauf der Periodendauer T A/B wird in einem T -s A/B Diagramm grasch aufgetragen, wobei der Abstand s A (oder s B ) dem Abstand von einer der beiden Drehachsen entspricht Der Schnittpunkt der beiden Kurven liefert uns die Periodendauer T - notwendig für die Berechnung der Erdbeschleunigung g dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

24 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Beispielmessung Persönliche Reaktionszeit: T = 0.3s Anzahl der gemessenen Perioden: n = 10 Messwertetabelle MessNr. Abstand zu A Periodendauer A Periodendauer B Messunsicherheit i s A (m) T A (sec) T B (sec) T (sec) Schauen wir uns mal die grasche Darstellung der Messwerte an dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

25 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Grasche Auftragung von TA und TB gegen sa 2.7 T A 2.6 T B Modell von T A Modell von T B T A, T B in sec s A in m dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

26 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Ermittlung der Schnittpunkte Es gibt mehrere Varianten der Auswertung Freihand oder mit einem Kurvenlineal bestmögliche Kurven auf Millimeterpapier einzeichnen, T A und T B an den Schnittpunkten ablesen Nichtlineare Regression (mit einem Computerprogramm, z.b. Excel, Origin, MATLAB,...), anschlieÿend die Schnittpunkte mit einem Suchalgorithmus nden bzw. aus dem Diagramm ablesen Die erste Methode ist sehr einfach durchzuführen, die zweite Methode ist etwas aufwendiger aber führt unter Umständen zu einem genaueren Ergebnis dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

27 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Methode 1: Mit Kurvenlineal und Bleistift T A, T B Mit dem Kurvenlineal eingezeichnete Kurven T 2 T 1 T A T B s 1 s 2 s A, s B dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

28 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Methode 2: Antten von Kurven mittels PC y 1 = x x x Verlauf von T A Verlauf von T B Fit von T A Fit von T B 2.4 T A, T B in sec P 3 wird nicht berücksichtigt 2.1 P 1 = ( ) P 2 = ( ) 2 y 2 = x x s A in m dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

29 Versuchsauswertung und Fehleranalyse Beispielmessung Reversionspendel Auswertung der Messdaten Fassen wir zusammen Schneidenabstand: l = (0.994 ± 0.001)m Periodendauern: T 1 = (2.01 ± 0.03)s und T 2 = (2.03 ± 0.03)s Mittlere Periodendauer: T = (2.02 ± 0.03)s Erdbeschleunigung g = 4π m (2.02s) 2 = 9.62 m s 2 Berechnung der Messunsicherheit g g = 4π 2 (2.02s) m + 8π m (2.02s) s = m s 2 Messergebnis (gerundet) g = (9.6 ± 0.3) m s 2 dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

30 Zusammenfassung der Ergebnisse Zusammenfassung der Ergebnisse Messergebnis zum mathematischen Pendel (Fadenpendel) g math = (9.86 ± 0.12) m s 2 Messergebnis zum physikalischen Pendel (Reversionspendel) g phys = (9.6 ± 0.6) m s 2 Beide Messunsicherheiten sind mit dem Erweiterungsfaktor k = 2 multipliziert worden. Damit ist der Vertrauensbereich mit einer statistischen Sicherheit von etwa 95% gegeben. dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

31 Zusammenfassung der Ergebnisse Fehlerdiskussion Diskussion der Ergebnisse Der Literaturwert 1 für den Standort Physiklabor an der TH Mittelhessen, Friedberg (Hessen) ist g Fb = (41) m s m s 2 Relative Abweichungen vom Literaturwert ( ) gmath 1 100% = 0.5% g ( Fb ) gphys 1 100% 2% g Fb Beide Messergebnisse stimmen mit dem Literaturwert im Rahmen der Fehlergrenzen überein. 1 Quelle: Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Braunschweig, dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

32 Zusammenfassung der Ergebnisse Fehlerdiskussion Fazit Mathematisches Pendel Der Bestwert von g math stimmt mit dem Literaturwert gut überein, auch die Fehlerintervalle überlappen mit dem Literaturwert. Durchführung des Experiments war sehr einfach Physikalisches Pendel Beim physikalischen Pendel habe ich eine relativ hohe Messunsicherheit von g phys im Vergleich mit g math. Es liegt wohl an den gemessenen 10 Schwingungsdauern pro Messung, besser wären 20 T A/B oder 40 T A/B. Der Bestwert von g phys liegt 2% unter dem Literaturwert. Es handelt sich vermutlich einen (unbekannten) systematischen Fehler im Aufbau. Vergleicht man die Messung mit der Theorie (siehe grasche Auftragung der Werte), so liegen die Messwerte von T B über der Modellkurve zu T B eventuelle Ursache: Verschleiÿerscheinungen beim Reversionspendel? Es wurden Faktoren wie Luftreibung, Dämpfung der Schwingung, Mitschwingung der Stative etc. vernachlässigt Die Messgenauigkeit des Reversionspendels lässt sich bei sorgfältig durchgeführter Messung um Faktor 10 oder höher steigern! dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

33 Literatur und Quellenangaben Literatur Bücher Physik für Wissenschaftler und Ingenieure Tipler, Paul Allen dt. Au., korrigierter Nachdr. - Berlin [u.a.] : Springer, 2012 Praktikum der Physik Walcher, Wilhelm. - 9., überarb. Au. - Wiesbaden : Teubner, 2006 Internet Fehlerrechnungsskript von Prof. Niehuus, FH Gieÿen-Friedberg kreuz_patricia/fehlerrechnung_niehuus05.pdf Anleitungen aus dem Physiklabor der TH Mittelhessen, Friedberg labore/616.html-versuche/616-versuche Wikipedia, Pendel (Artikel abgerufen im März 2013) dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34

34 Literatur und Quellenangaben Copyright cba Dieses Werk bzw. Inhalt steht unter einer Creative Commons Namensnennung - Weitergabe unter gleichen Bedingungen 3.0 Deutschland Lizenz. Danksagungen Ich bedanke mich für die freundliche Unterstützung bei der TH Mittelhessen (Campus Friedberg). Mein Dank gilt ebenfalls den Dozenten im Physik-Grundlagenlabor. Version 0.3 vom 9. Mai 2013, Download der Folien unter dn (physik.co-i60.com) Bestimmung der Erdbeschleunigung 9. Mai / 34