Probleme mit mehreren Zielen. Probleme mit mehreren Zielen. Probleme mit mehreren Zielen

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1 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Dkelbach) E Reseder muss sch vor Ort vo ver Hotels für ees etschede. Dabe verfolgt er folgede Zele: - Bestmöglche Ruhe - Qualtät des Frühstücks - Sauberes Bad - Scherer Autostellplatz Kees der ver Hotels erfüllt alle Zelkrtere. Slde 4 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Fortsetzug) Der Resede verwedet für jedes der ver Krtere ee Bewertugsskala vo 0-0 Nutzeehete (NE). Etwa ergbt sch für Hotel : Ruhe: 6 NE Frühstück: 7 NE Bad: 3 NE Stellplatz: 9 NE Slde 4 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Fortsetzug) Wr bezeche de ver Zelvarable mt z,, z 4 ud de Hotels mt a,, a 4. De zugehörge Nutzeehete sd folgeder Tabelle dargestellt. z z z 3 z 4 a a a 3 3 a Für welches Hotel soll sch der Resede etschede? Slde 43

2 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Fortsetzug) Bemerkuge: - Kee Alteratve wrd vo eer adere domert. Aders: alle ver Alteratve sd effzet. - Ideallösug wäre ee Kombato der ver Hotels mt de max. Zelwerte (6,7,8,4) - Illustratv ka Polarkoordatedarstellug heragezoge werde: Slde 44 Polarkoordatedarstellug (Bespel ) Slde 45 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Fortsetzug) Ausweg: Ma stellt ee Kovexkombato der ver Zele auf (bzw. verseht de Zele jewels mt eem postve Gewchtugsfaktor, wobe sch de Summe der Faktore zu ergbt). Daach wrd de Alteratve mt höchstem Wert ausgewählt. Slde 46

3 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Fortsetzug) Ee möglche Faktorebelegug ethält folg. Tabelle Krterum Faktor λ 0,4 λ 0,3 λ3 0, λ4 0, Wr erhalte daach ee Ragordug der ver Hotels: a > a4 > a3 > a Slde 47 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Iserma) E Aleger hat mehrere Ivesttosalteratve. Dabe verfolgt er dre Zele be der Produktwahl: z : Retabltät, z : Marktatel des Produktes ud z 3 : Marktpotetal z ud z legt e metrsches, z 3 e ordales Merkmal zugrude. Slde 48 Probleme mt mehrere Zele Bespel (Fortsetzug) Zelart Alteratve Retabltät % Marktatel des Produktes % Marktpotetal des Produktes x (gut) x (gut) x (sehr gut) x (gut) x (ausreched) x (befredged) Welche Alteratve würde Se auswähle? Slde 49 3

4 Probleme mt mehrere Zele Bespel 3 (Dürr/Klebohm) E Betreb strebt glechberechtgt ee Umsatz- ud Gewmaxmerug a. Max G( x, x ) = 3x + 4x MaxU ( x, x ) = 6x + 3x uter :,5 x + 3x,5x + x x, x 0 00 x 60 0 Slde 50 Probleme mt mehrere Zele Bespel 3 (Fortsetzug) Slde 5 Probleme mt mehrere Zele Bespel 3 (Fortsetzug) Max G( x, x ) = 3x + 4x MaxU ( x, x ) = 6x + 3x uter :,5 x + 3x,5x + x x, x Da ergebe sch graphsch oder rechersch folgede Lösuge: ) Maxmaler Umsatz be (x,x )=(0,60) mt U max =900 ) Maxmaler Gew be (x,x )=(40,50) mt G max =30 x 60 Slde 5 4

5 Probleme mt mehrere Zele Bespel 3 (Fortsetzug) Beobachtuge: - Zelkoflkt, da bede Zele glechberechtgt sd - Effzete Lösuge lege auf der Verbdugsstrecke zwsche (x,x )=(0,60) ud (x,x )=(40,50) - Für alle adere Pukte des Smplex ex. Lösuge, de sowohl höhere Gew als auch höhere Umsatz lefer (Domazprzp) - Rechersche Lösug erfolgt va Parametrserug Slde 53 Eschub: Optmerug uter Nebebedguge I der Aalyss-Grudvorlesug (Mathematk ) werde Optmerugsprobleme ohe Nebebedguge behadelt. Tauche Nebebedguge auf, müsse elaborertere Methode agewedet werde. Wr dskutere zwe Alteratve: ) Reduktosmethode ) Lagrage-Methode Slde 54 ) Reduktosmethode Das Grudproblem se vo der Form max f ( x, y) uter h( x, y) = 0. Wr setze voraus, dass de Nebebedgug h(x,y)=0 edeutg ach eer Varable aufgelöst werde ka, etwa ach x. Slde 55 5

6 ) Reduktosmethode (Forts.) Aus h(x,y)=0 etsteht de mplzte Fukto y=g(x). Egesetzt de Zelfukto erhalte wr F ( x) : = f ( x, g( x)). De Extremstelle deser Fukto lasse sch u mt kovetoelle Methode der Aalyss fde. Slde 56 ) Lagrage-Methode Das Grudproblem se ereut vo der Form max f ( x, y) uter h( x, y) = 0. Deses Verfahre wrd ausführlch der Vorlesug Dskrete Mathematk besproche. Daher her ur de Gruddee: Slde 57 ) Lagrage-Methode De Nebebedgug h(x,y)=0 wrd folgedermaße de Zelfukto egebaut: F( x, y, λ) : = f ( x, y) + λ h( x, y). Bezechuge: h(x,y) = Hlfsfukto λ = Lagrage-Multplkator Nu wedet ma Methode der Vektoraalyss (Mathematk ) a, um de Extremstelle zu fde. Vortel gegeüber Redukto: h(x,y)=0 muss cht edeutg ach eer Varable auflösbar se! Slde 58 6

7 Optmerug uter Nebebedguge Bespele Bespel (Rommelfager): De Kosumet Frau Wag hat 4 zum Erwerb zweer Güter X ud Y zur Verfügug. Jede Ehet x kostet, jede Ehet y kostet 3. De Nutzefukto laute u(x,y) = xy. a) Formulere Se das Optmerugsproblem. b) Skzzere Se de zulässge Lösugsberech. c) Löse Se das Problem mt geegeter Methode. Slde 59 Optmerug uter Nebebedguge Bespele Bespel (Rommelfager): x( r, r ) = r r k( r, r ) = r + 6r + 0 Ertragsfukto Kostefukto E Uterehme stellt e Gut uter Esatz der Mege (r, r ) her. Bestmme Se de mmale Koste be eem agestrebte Output vo x=400 Megeehete! Slde 60 Kurzwederholug Graphetheore 736 Leohard Euler Slde 6 7

8 Das Kögsberger Brückeproblem Durch Kögsberg fleßt de Pregel, de sch telt ud zwe Isel umfleßt. Dese sd utereader ud mt de Ufer we abgebldet durch Brücke verbude. Dem Mathematker Leohard Euler wurde m Jahre 736 folgedes Problem gestellt: Frage: Gbt es ee Rudweg, der jede Brücke geau emal überquert ud be dem ma zum Ausgagspukt zurückkehrt? Slde 6 Das Kögsberger Brückeproblem Durch Kögsberg fleßt de Pregel, de sch telt ud zwe Isel umfleßt. Dese sd utereader ud mt de Ufer we abgebldet durch Brücke verbude. Dem Mathematker Leohard Euler wurde m Jahre 736 folgedes Problem gestellt: Frage: Gbt es ee Rudweg, der jede Brücke GENAU emal überquert ud be dem ma zum Ausgagspukt zurückkehrt? Slde 63 Das Kögsberger Brückeproblem Jedem Ladtel wrd e Pukt zugeordet: Jede Brücke wrd mt eer Le detfzert: Aus der Ladkarte erhält ma so de folgede Graphe: Atwort: Es gbt kee Rudweg, der jede Brücke geau emal überquert. Slde 64 8

9 Bespele für Graphe Euler Graph (736) Peterse Graph (898) Tutte Graph (946) Lez Graph (03) Slde 65 Übugsaufgabe Aufgabe : Bestmme de Azahl perfekter Matchgs de vollstädge Graphe K ud K,. Aufgabe : Zwe Speler wähle auf eem Graph G abwechseld Ecke v 0, v, v aus derart, dass stets v adjazet zu v - st. Der letzte Speler, der ee Ecke auswähle ka, gewt. Zege, dass der erste Speler geau da ee Segstratege hat, we G ke perfektes Matchg bestzt. Slde 66 Multkrterelle Zuordugsprobleme (Vektorwertge Matchgs) Slde 67 9

10 Multkrterelle Zuordugsprobleme (Vektorwertge Matchgs) (MOLP) Mmere = = j = j = d ( a, b ) x, j j d ( a, b ) x, j j uter x j { 0}, für, j =,...,, j = xj = für =,..., ud = = j= xj = für j = d ( a, b ) x, k j j,...,. Slde 68 Multkrterelle Zuordugsprobleme Klees Bespel Slde 69 Multkrterelle Zuordugsprobleme Klees Bespel Slde 70 0

11 Multkrterelle Zuordugsprobleme Klees Bespel Slde 7 Multkrterelle Zuordugsprobleme Dstazberechug See d : A B R, =,..., k kompoetewese Dstaze. Wr defere de Gesamtdstaz d : A B R durch = = k = d ( a, b ) = λ d ( a, b ) v M v M λ d ( a, b ) + λ d ( a, b ) v C λ d ( a, b ) + λ d ( a, b ) + λ d ( a, b ), v C om v C ord wobe λ, =,...,, dvduelle Gewchte sd. Slde 7 Multkrterelle Zuordugsprobleme Parametrsches leares Zuordugsproblem (LP) Mmere d( a, b j ) xj, = j= uter x j { 0}, für, j =,...,, j = xj = für =,..., ud = xj = für j =,...,. Slde 73

12 Bespel: Persoedate V V A W 7 a M 35 a W 39 a 3 M 4 a 4 W 5 a 5 W 6 a 6 V : Geschlecht V : Alter B V V b W 54 b M b 3 W 48 b 4 W 33 b 5 M 63 b 6 W 9 b 7 M 36 b 8 M 55 b 9 W 49 b 0 W 7 Slde 74 Bespel: Persoedate sortert ach Alter dj V V A B V V d,0 =0 W 7 a b M M 35 a b 0 W 7 d 7 = W 39 a 3 b 6 W 9 d 34 =6 M 4 a 4 b 4 W 33 4 W 5 a 5 b 7 M 36 W 6 a 6 b 3 W 48 = 35 b 9 W 49 b W 54 b 8 M 55 b 5 M 63 Slde 75 Parametrsches Zuordugsproblem Greedy-Heurstk EINGABE: Mege vo Dstaze { d ( a, b ) =,...,, j,..., m}. AUSGABE: Mege vo Zuorduge j = Z A B. Beg Z : = φ : = solage( ud B φ) b': = arg m Z : = Z {( a, b')} B : = B \{ b'} : = + Ede b B d( a, b) Slde 76

13 Bespel: Persoedate sortert ach Alter dj V V A B V V d,0 =0 W 7 a b M M 35 a b 0 W 7 d 7 = W 39 a 3 b 6 W 9 d 34 =6 M 4 a 4 b 4 W 33 4 W 5 a 5 b 7 M 36 W 6 a 6 b 3 W 48 = 35 b 9 W 49 b W 54 b 8 M 55 b 5 M 63 Slde 77 Bespel: Persoedate dj dj V V A B V V W 7 a b M M 35 a b 0 W 7 W 39 a 3 b 6 W 9 M 4 a 4 b 4 W 33 W 5 a 5 b 7 M 36 W 6 a 6 b 3 W 48 = 35 = b 9 W 49 b W 54 b 8 M 55 b 5 M 63 Slde 78 Übugsaufgabe Aufgabe : E Matchg M ees vektorgewchtete Graphe G heßt effzet, we G ke weteres Matchg M bestzt mt ( d( M ),..., d ( M )) < ( d( M ),..., d ( M )). Dabe st d (M) de Summe der -te Kompoete aller Kategewchte vo M. Ma bestmme alle effzete Matchgs! Slde 79 3

14 Übugsaufgabe Aufgabe : Wr möchte für Mäer ud Fraue stable Ehe schleße. E perfektes Matchg heßt stabl, we es kee Ma x ud kee Frau y derart gbt, dass x de Frau y seer aktuelle Parter vorzeht ud umgekehrt. a) Etwckle ee Algorthmus zur Erzeugug stabler Matchgs. b) Teste de Algorthmus a folgedem Bespel. c) Zege de Korrekthet des Algorthmus. Slde 80 Übugsaufgabe Aufgabe : (Fortsetzug) a) Etwckle ee Algorthmus zur Erzeugug stabler Matchgs. b) Teste de Algorthmus a utestehedem Bespel. c) Zege de Korrekthet des Algorthmus. Slde 8 4

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