Anfängerpraktikum Physik Teil I RWTH Aachen I. Physikalisches Institut B

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1 1 Anfängerpraktikum Physik Teil I RWTH Aachen I. Physikalisches Institut B Prof. Dr. W. Braunschweig, Prof. Dr. K. Eggert, Prof. Dr. L. Feld, Dr. S. Fopp, Dr. Th. Kirn, Dr. K. Klein, Dr. S. König, Priv. Doz. Dr. W. Krenz, Dr. A. Ostaptschouk, Dr. D. Pandoulas, Prof. Dr. F. Raupach, Prof. Dr. St. Schael, Dr. G. Schwering, Dr. Th. Siedenburg, Prof. Dr. W. Wallraff kirn/praktikum Version vom

2 Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung Arbeitsablauf Benutzung der Notebooks Versuchsvorbereitung Bewertung Zeitlicher Ablauf Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel Das mathematische Pendel Das physikalische Pendel Versuchsaufbau und Durchführung Schwingungen von gekoppelten Pendeln Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel Messgrössen Versuchsaufbau und Durchführung Trägheitsmomente Einführung Versuchsbeschreibung Versuchsaufbau Hinweise zum Experimentieren Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener Massenverteilung Trägheitsmoment der Kugel Bestätigung des Steinerschen Satzes Akustik Schallgeschwindigkeit in Gasen Versuchsziel Grundlagen Vorbereitung Messung und Auswertung Schallgeschwindigkeit in Festkörpern Versuchsziel

3 INHALTSVERZEICHNIS Grundlagen Messung und Auswertung Schwebungen von Schallwellen Versuchsziel Grundlagen Messung und Auswertung Doppler-Effekt Versuchsziele Physikalische Grundlagen Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Wärmelehre Dampfdruckkurve Theoretische Grundlagen Versuchsaufbau und Durchführung Auswertung Adiabatic Coefficient Rüchardt method Setup and Carrying out the Experiment Elektrizitätslehre Charakterisierung der Ohmschen Widerstände Versuchsbeschreibung: Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Versuchsauswertung Auf- und Entladung eines Kondensators Versuchsbeschreibung Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Versuchsauswertung Auf- und Entladung einer Spule (optional) Versuchsbeschreibung Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Versuchsauswertung Gedämpfter LC-Schwingkreis Versuchsbeschreibung Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Versuchsauswertung Gekoppelte LC-Schwingkreise Versuchsbeschreibung Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik

4 4 INHALTSVERZEICHNIS Versuchsaufbau Versuchsdurchführung Versuchsauswertung Anhang

5 Kapitel 0 Einleitung In dem Anfängerpraktikum für Physiker sollen die Studenten moderne Arbeitsmethoden in der Physik kennen- und anwenden lernen. Dabei sollen folgende Kompetenzen erworben werden: Anwendung physikalischen Wissens aus den Vorlesungen Aufbau eines Experimentes Computerunterstützte Messung und Auswertung Präsentation der Ergebnisse Arbeiten in der Gruppe Die Studenten sollen sich intensiv mit dem Versuch, dem physikalischen Hintergrund, den Messmethoden und der Auswertung der Daten auseinandersetzen. Für jeden Versuch stehen daher 2,5 Tage zur Verfügung. Das Praktikum wird wie folgt gegliedert: Die Studenten erarbeiten insgesamt vier Versuche in vier Wochen aus den Arbeitsgebieten: Mechanik, Akustik, Wärmelehre und Elektrizitätslehre. Der Stoff orientiert sich an der Vorlesung. Eine Arbeitsgruppe besteht aus vier Studenten und einem Tutor. Jeder Tutor betreut einen Versuch während der vier Wochen und jeweils zwei Arbeitsgruppen gleichzeitig. Maximal vier Arbeitsgruppen arbeiten in einem Raum unter der Betreuung von zwei Tutoren. Zu Beginn des Praktikums gibt es eine zweitägige (im WS eintägige) Veranstaltung, in der den Studenten Grundkenntnisse in Fehlerrechung (Statistik) und in Gerätekunde vermittelt werden. Diese Lehrveranstaltungen sind kombinierte Vorlesungen und Übungen. Für jeden der Versuche gibt es einen oder zwei verantwortliche Physiker am I. Physikalischen Institut an die sich die Studenten mit Problemen, Fragen und Anregungen zur Versuchsbeschreibung oder Durchführung wenden können (siehe Tabelle 0). 5

6 6 KAPITEL 0. EINLEITUNG Versuch Name Telefon Raum Mechanik 1.1 Mathematisches Pendel Prof. W. Braunschweig 7180 A Doppelpendel Prof. W. Braunschweig 7180 A Trägheitsmomente Prof. W. Wallraff 7187 B Akustik 2.1 Schallgeschwindigkeit in Gasen Dr. Th. Siedenburg 7186 B Schallgeschwindigkeit in Festkörpern Dr. Th. Siedenburg 7186 B Schwebungen von Schallwellen Dr. Th. Siedenburg 7186 B Dopplereffekt Dr. G. Schwering 7202 C Wärmelehre 3.1 Dampfdruckkurve Dr. K. Klein 7205 C Adiabatenkoeffizienten Dr. A. Ostaptchouk 7182 B Elektrizitätslehre 4.1 Charakterisierung Ohmscher Widerstände Dr. Th. Kirn 7186 B Auf- und Entladung von Kondensatoren Priv. Doz. Dr. W. Krenz 7206 A Auf- und Entladung von Spulen 4.4 LC-Schwingkreis 4.5 Gekoppelte Schwingungen Tabelle 1: Verantwortliche Physiker für die Versuche im Anfängerpraktikum Physik, Teil I.

7 0.1. ARBEITSABLAUF Arbeitsablauf Das Praktikum wird im Sommersemester (Wintersemester) für 192 (32) Studenten ausgelegt, die in 48 (8) Arbeitsgruppen A01-A16 (A01-A04), B01-B16 (B01-B04) und C01-C16 eingeteilt werden. Die A- und B-Gruppen sind vormittags (von 08:30 Uhr bis 13:00 Uhr) im Wechsel und die C-Gruppen nachmittags (von 14:00 Uhr bis 18:30 Uhr) jeweils drei Tage aktiv und bereiten einen Tag die Versuche vor. 1. Tag: Besprechung mit dem Tutor, Erarbeitung eines geeigneten Versuchsaufbaus. Versuchsaufbau, incl. Inbetriebnahme aller für die Messung erforderlicher Geräte und Computer. Pro Arbeitsgruppe sollen zwei Versuchsaufbauten in Betrieb genommen werden, die identisch oder unterschiedlich sein können, je nach Fragestellung. Die Messdaten werden aufgezeichnet und die Auswertung soweit durchgeführt, dass erste, vorläufige Ergebnisse diskutiert werden können. 2. Tag: Die Auswertung der Versuche wird im CIP-Pool der Physik oder auf eigenen Computern zu Hause weitergeführt und abgeschlossen. Das Protokoll und die Abschlusspräsentation werden von der Arbeitsgruppe gemeinsam erarbeitet. 3. Tag: Die Arbeitsgruppe gibt direkt zu Beginn ein Protokoll ab, welches die Messergebnisse beider Versuchsaufbauten beschreibt und vergleicht. Die Tutoren lesen und bewerten das Protokoll. Im Anschluß werden die Versuchsergebnisse in den Arbeitsgruppen präsentiert und diskutiert. Die Präsentation erfolgt für die maximal vier Arbeitsgruppen, die an dem gleichen Arbeitsgebiet (Mechanik, Akustik, Wärmelehre, E.-Lehre) experimentiert haben, zusammen in einem Raum. Die beiden betreuenden Tutoren wählen aus allen Präsentationen die für ihren Versuch Beste aus. Die Studenten wählen aus, welchen Versuch aus einem Arbeitsgebiet sie durchführen wollen. Dies ist natürlich nur in dem Umfang möglich, wie es die vorhandenen Versuchsaufbauten zulassen. Die Studenten müssen sich daher auf alle Versuche eines Arbeitsgebietes vorbereiten. Das Praktikum wird mit einem Kolloquium und der Vorstellung der besten Präsentationen durch die Arbeitsgruppen für jeden Versuch am Ende der vier Wochen abgeschlossen. Die Abschlusspräsentationen sollen den Studenten noch einmal eine Wiederholung der Lehrinhalte des Praktikums ermöglichen und damit eine gute Vorbereitung auf das abschliessende Kolloquium sein. Alle Studenten wählen am vorletzten Tag aus diesen Präsentationen die Beste aus. Dieser Student und die punktbeste Arbeitsgruppe werden mit einem Sachpreis ausgezeichnet. Jeder Student aus einer Gruppe muss in den vier Wochen mindestens einmal: einen Versuch aufgebaut haben, die Ergebnisse der Gruppe präsentiert haben und ein Protokoll auf dem Computer erstellt haben.

8 8 KAPITEL 0. EINLEITUNG 0.2 Benutzung der Notebooks Für die Durchführung der Versuche erhält jede Arbeitsgruppe zwei Notebooks. Diese stehen nur für die Arbeiten im Praktikum zur Verfügung und können nicht mit nach Hause genommen werden. Auf den Notebooks läuft als Betriebssystem Windows XP und UNIX. An Software ist das CASSY-Messwerterfassungssystem (siehe das OpenOffice und das Numerik Programm Maple 9.0 installiert. Weiterhin steht eine Digitalkamera zur Verfügung, um die Versuchsaufbauten zu dokumentieren. Protokolle und Präsentationen sollten mit OpenOffice erstellt werden. Die statistische Auswertung der Versuche (Mittelwerte, lineare Regression, etc.) sollen mit MAPLE durchgeführt werden. Die Studenten haben nur Schreibzugriff auf den User-Bereich. Als ersten Arbeitsschritt legt jeder Student, sobald er ein Notebook erhält, im User-Bereich ein Verzeichnis mit seinem Namen an. In diesem Verzeichnis sollten alle Dateien, die zu dem Versuch gehören, abgespeichert werden und am Ende der eintägigen Arbeitsphase auf Disketten oder USB-Memory-Sticks überspielt werden. Der User-Bereich wird bei jedem Wechsel zwischen A-, B- und C-Gruppen gelöscht, so dass alle ungesicherten Daten unwiederbringlich verloren sind. Alle Notebooks sind über ein WLAN vernetzt und haben somit auch Zugang zum Internet. Alle Versuchsergebnisse können über scp zum CIP-Pool Bereich oder nach Hause überspielt werden. Eine ssh Verbindung (Programm Putty) zu dem CIP-Pool können die Studenten herstellen. Für Experten sind auf den Notebooks zusätzlich die Programmpakete LATEX (TEXnicCenter, Textverarbeitung) und GHOSTSCRIPT/GHOSTVIEW (Verarbeitung von Post-Script-Dateien) installiert. Es stehen die Texteditoren GVIm und XEmacs zur Verfügung, um eigene C-Programme zu erstellen. Mit dem Grafikprogramm GIMP können die Bilder von der Digitalkamera bearbeitet werden und Screen-Shots erstellt werden. Zusätzlich sind für einige Versuche spezielle Programme installiert (z.b. Digitaloszilloskope) die in den Anleitungen näher erläutert sind. 0.3 Versuchsvorbereitung Die Versuchsbeschreibungen sollen den Studenten eine qualifizierte Vorbereitung auf den Versuch ermöglichen und eine Anleitung für die Versuchdurchführung sein. Die physikalischen Grundlagen zu den Versuchsthemen werden in den Versuchsanleitungen nur bedingt hergeleitet. Es ist daher unerlässlich, entsprechende Physikbücher für die Vorbereitung zu verwenden. Besonders geeignet sind die folgenden Bücher: W. Walcher, Praktikum der Physik, Teubner Taschenbuch. Demtröder, Experimentalphysik, Band 1 und 2. P.A. Tipler, Physik, Spektrum Verlag. Gerthsen, Kneser, Vogel, Physik, Springer Verlag

9 0.4. BEWERTUNG Bewertung Die erbrachten Leistungen werden für jeden Versuch durch die Tutoren im Rahmen eines Punktesystems testiert. Dabei werden die verschiedenen Arbeitsschritte mit 0, 2, 4, 6, 8 oder 10 Punkten beurteilt. Bei der Durchführung des Versuches wird jeder Student individuell durch den Betreuer bewertet. Für das Protokoll erhält jeder Student der Gruppe dieselbe Punktzahl. Die Präsentation wird für denjenigen Studenten einer Gruppe gewertet, der die Präsentation vorträgt. Sie wird doppelt gewertet, also mit 0, 4, 8, 12, 16 oder 20 Punkten. Ein Student kann somit maximal 100 Punkte in dem Praktikum erreichen, 51 Punkte sind mindestens erforderlich um zum abschliessenden Kolloquium zugelassen zu werden. Wer mindestens 81 Punkte erreicht, braucht an dem Kolloquium nicht mehr teilzunehmen. Die Studenten, die am Tag vor dem Kolloquium eine der Abschlusspräsentationen gehalten haben, brauchen an dem Kolloquium ebenfalls nicht mehr teilzunehmen. In besonderen Härtefällen entscheidet der zuständige Praktikumsleiter über die Zulassung zum Kolloquium. Wird das Kolloquium nicht bestanden, kann es einmal wiederholt werden. Wird auch das zweite Kolloquium nicht bestanden, muss das Praktikum wiederholt werden. Studenten die mehr als einmal nicht auf einen Versuch vorbereitet sind, müssen das Praktikum wiederholen. Aus Krankheitsgründen kann ein Student bei einem Versuch entschuldigt fehlen (ärztliches Attest muss vorgelegt werden), bei zwei Versuchen muss das Praktikum wiederholt werden. Studenten die ihre Versuchsergebnisse, Protokolle oder Präsentationen nicht selber erarbeiten sondern abschreiben, werden von dem Praktikum unverzüglich ausgeschlossen. 0.5 Zeitlicher Ablauf Das Praktikum beginnt mit der Einführungsveranstaltung und endet mit der Abschlussbesprechung und dem Kolloquium. Der zeitliche Ablauf des Praktikums, die Raumeinteilung, sowie die Einteilung der Studenten in die Arbeitsgruppen wird gesondert bekannt gegeben. Die Einteilung der Studenten in das Kolloquium wird in der Abschlussbesprechung bekannt gegeben. Das Praktikum ist von 08:30 Uhr bis 18:30 Uhr für die Studenten geöffnet.

10 Kapitel 1 Mechanik 1.1 Bestimmung der Erdbeschleunigung mit dem Pendel Aufgaben In diesem Experiment werden die Schwingungen eines physikalischen Pendels untersucht. Aus den Messungen der Schwingungsdauern bei verschiedenen Pendellängen wird die Erdbeschleunigung ermittelt. Vorkenntnisse/Grundlagen : Schwerpunktssatz, Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen. Literatur : Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399 W.Walcher : Praktikum der Physik Teubner Studienbücher Physik, ISBN , S.83 - S.89 F.Kohlrausch : Praktische Physik 1 ISBN S.62 - S.64 (Orts-und Zeitabhängigkeit der Erdbeschleunigung) F.Kohlrausch : Praktische Physik 3 ISBN S S.295 (Tabellenwerte der Erdbeschleunigung) 10

11 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL Das mathematische Pendel Das einfache mathematische Pendel besteht aus einer punktförmigen schweren Masse m S, die an einem masselosen Faden der Länge l aufgehängt ist. In der Ruhelage bewirkt die Schwerkraft F g = m S g mit g als Erdbeschleunigung, dass das Pendel senkrecht hängt. Nach Auslenkung aus der Ruhelage um einen kleinen Winkel ϕ max (klein bedeutet hier sinϕ max ϕ max ) bewirkt xf g ein rückstellendes Drehmoment, das das Pendel wegen seines Trägheitsmomentes in harmonische Schwingungen versetzt. Die Bewegungsgleichung lautet J ϕ = m S g l sin(ϕ) m S g l ϕ (1.1) wobei J = m T l 2 das Trägheitsmoment der trägen Masse m T in der Entfernung l vom Aufhängpunkt ist und die rechte Seite das rücktreibende Drehmoment darstellt; ϕ ist der momentane Auslenkwinkel und ϕ = d 2 ϕ/dt 2 die momentane Winkelbeschleunigung. Mit m T = m S (Einstein sches Äquivalenzprinzip der Gleichheit von schwerer und träger Masse) wird die Bewegung unabhängig von den Massen : ϕ = g l ϕ = ω2 ϕ (1.2) Dies ist eine lineare, homogene Differentialgleichung zweiter Ordnung deren allgemeine Lösung eine harmonische Schwingung darstellt : ϕ(t) = A cos(ωt) + B sin(ωt) (1.3) ω = g ist die Kreisfrequenz der Schwingung. Die Anfangsbedingungen legen die Integrationskonstanten A und B fest. Mit ϕ(t = 0) = ϕ max und ϕ(t = 0) = 0 (Start der Pendelbewegung l vom Auslenkwinkel ϕ max ohne Anfangswinkelgeschwindigkeit) ergibt sich Die Schwingungsdauer beträgt ϕ(t) = ϕ max cos(ωt) (1.4) T = 2π ω = 2π l g (1.5) bzw. T 2 = 4π 2 1 g l (1.6) Das Quadrat der Schwingungsdauer wächst linear mit der Pendellänge l.

12 12 KAPITEL 1. MECHANIK Das physikalische Pendel Die Beqwegungsgleichung für ein physikalisches Pendel, d.h. eines ausgedehnten, massebehafteten Systems, das um einen Aufhängepunkt bzw. um eine Achse schwingen kann, ist formal mit der des mathematischen Pendels identisch : bzw. Mit ω 2 = ( 2π T )2 wird die Schwingungsdauer T dann J ϕ = m g l s ϕ = ω 2 ϕ (1.7) ϕ = ω 2 ϕ (1.8) T 2 = 1 g 4π2 J ml s (1.9) Das rücktreibende Drehmoment wird wieder von der Schwerkraft erzeugt. Nach dem Schwerpunktssatz verhält sich das System so, als ob die Gesamtmasse m im Schwerpunkt konzentriert ist. Demgemäss ist l s die Distanz von Aufhängepunkt bzw. Drehachse zum Schwerpunkt S. Die Trägheit ist gegeben durch das Gesamtträgheitsmoment J um die Drehachse. Das vorliegende physikalische Pendel besteht aus dem Winkelaufnehmer-Profil, der Pendelstange und dem zylindrischen Pendelkörper (Abb. 1.1). Bestimmung des Schwerpunktes Die Pendelstange der Masse m st hat einen über die Gesamtlänge l st konstanten Querschnitt; ihr Schwerpunkt S liegt in der Stangenmitte. Die Entfernung von S von der Drehachse ist l st /2 + r w, wobei r w die Distanz von Drehachse zum Anfang der Stange ist.die Breite der Stange (senkrecht zur Drehachse) ist b st. Der Schwerpunkt des zylindrischen Pendelkörpers der Masse m p Zylinders; seine Entfernung von der Drehachse ist l p. liegt im Zentrum des Das Winkelaufnehmerprofil der Gesamtmasse m w wird als symmetrischer Hohlzylinder angenähert, wobei die Symmetrieachse die Drehachse ist. Der Schwerpunkt wird also als in der Drehachse liegend angenommen. Für die Lage des Gesamtschwerpunktes ergibt sich damit m l s = ( 1 2 l st + r w ) m st + l p m p (1.10) Bestimung des Gesamtträgheitsmomentes Das Trägheitsmoment J einer Massenverteilung bezüglich einer Drehachse ist gegeben durch den Ausdruck J = r 2 dm (1.11) wobei r die Entfernung des Massenelementes dm von der Drehachse ist und über die gesamte Verteilung integriert wird.

13 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 13 Abbildung 1.1: Pendel im Versuchsaufbau Für die Pendelstange ergibt sich für das Trägheitsmoment um ihre Symmetrieachse J st, = 1 12 m st (l 2 st + b 2 st) (1.12) Nach dem Steinerschen Satz folgt für das Trägheitsmoment um die Drehachse Für das Trägheitsmoment des Pendelkörpers folgt J st = J st, + m st (r w l st) 2 (1.13) J p = 1 2 m pr 2 p + m p l 2 p (1.14) Für den als Hohlzylinder angenäherten Winkelaufnehmer mit Symmetrieachse in der Drehachse folgt Damit wird das Gesamtträgheitsmoment J w = m w r 2 w (1.15) J = J p + J st + J w = m p l 2 p + K 1 (1.16)

14 14 KAPITEL 1. MECHANIK Der erste Term auf der rechten Seite ist dominant, für K 1 ergibt sich K 1 = m st ( 1 3 l2 st + r w l st b2 st + r 2 w) + m w r 2 w m pr 2 p (1.17) Damit ergibt sich für das Quadrat der Schwingungsdauer (s.gl.(8) und Gl.(9)) mit Nach Division von Zähler und Nenner in Gl.(17) durch m p wird Die Grössen K 1 m p und K 2 m p Bestimung der Erdbeschleunigung g T 2 = 4π2 g mpl 2 p + K 1 m p l p + K 2 (1.18) K 2 = ( 1 2 l st + r w ) m st (1.19) T 2 = 4π2 g l2 p + K1 m p l p + K 2 m p (1.20) sind kleine, aber keineswegs vernachlässigbare Korrekturen. Die Messung der Erdbeschleunigung g kan auf zweierlei Wegen erfolgen. Zum einen können die Schwingungsdauern für verschiedene Werte von l p = l 0 +x+r p (s.abb. 1.1) gemessen werden. Mit Hilfe einer sogenannten Tiefenlehre wird zunächst der Abstand l 0 genau vermessen und dann der Abstand x. Zur Auswertung wird der Ausdruck T 2 (l 0 +x+r p + K 2 m p ) gegen (l 0 +x+r p ) 2 aufgetragen. Aus der Steigung der Geraden wird g ermittelt. Aus dem Achsenabschnitt ergibt sich ein Wert für K 1 der mit dem berechneten verglichen werden kann. Die Massen und die geometrischen Grössen zur Bestimmung der Korrekturfaktoren K 1 und K 2 werden zuvor gemessen. Eine weitere Möglichkeit g zu bestimmen besteht darin, das Pendel als mathematisches Pendel zu behandeln, und den systematischen Fehler, der durch das Trägheitsmoment J St und das Rückstellmoment D St ϕ der Stange auftritt, zu minimieren. Man geht dabei so vor, daß zunächst die Schwingungsfrequenz der Stange allein bestimmt wird. Danach wird die Masse an der Stelle angebracht, an der die Kombination Stange/Pendel dieselbe Eigenfrequenz hat wie die Stange allein. In diesem Fall beeinflussen sich Masse und Stange nicht, und man kann die Formeln für das mathematische Pendel verwenden. Dies ist auch leicht aus den Gleichungen zu ersehen. Für die Stange allein gilt: Für die Masse allein gilt: ω 2 st = J st D st (1.21) ω 2 m = J m D m (1.22) Man beachte, daß J m nicht das Trägheitsmoment des mathematischen Pendels mit Masse m ist, sondern zusätzlich das Trägheitsmoment des Vollzylinders um die Zylinderachse enthält ( J m = J p, s.gl. 1.14). Das physikalische Pendel, bestehend aus Stange und Masse hat die Eigenfrequenz: ωp 2 = J st + J m = ωm Jst J m D st + D m 1 + Dst D m = ω 2 st 1 + Jm J st 1 + Dm D st (1.23)

15 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 15 Hat man nun das Pendel so eingestellt, daß ω p = ω st gilt, so sieht man aus Gl.1.23, daß dann auch gelten muß: Jst J m = Dst D m. Umgeformt ergibt sich: J m D m = J st D st ω 2 m = ω 2 st = ω 2 p (1.24) Versuchsaufbau und Durchführung Das Pendel besteht aus einer Masse, die verschiebbar an einer Stange angebracht ist. Die Aufhängung des Pendels ist ein U-Profil mit zwei Spitzen und zwei Permanentmagneten (Abb. 1.3). Die Spitzen bilden das Lager und werden in die Nut des Winkelaufnehmers gesetzt. Der Winkelaufnehmer enthält eine Hall-Sonde, die das Magnetfeld senkrecht zur Nut misst. Dreht sich nun die Aufhängung mit den Permanentmagneten um den Winkelaufnehmer, so liefert die Hallsonde eine Spannung die proportional zum Sinus des Winkels ist. Für kleine Winkel ist diese Spannung näherungsweise proportional zum Winkel selbst. Mit Hilfe von Stativstangen, Tischklemmen und Verbindungsmuffen wird ein Gestell konstruiert, das den Winkelaufnehmer hält (Abb. 1.2). Der Aufbau sollte so stabil sein, daß bei der Pendelbewegung die Aufhängung nicht mitschwingt. Der Winkelaufnehmer kann direkt an das CASSY-Modul über zwei Leitungspaare angeschlossen werden (Abb. 1.4). Das eine dient zur Spannungsversorgung und ist besonders gekennzeichnet, das zweite liefert die gemessene Hallspannung. Durch Regeln der Versorgungsspannung kann die Nulllage eingestellt werden. Bei der Datenaufnahme wird zunächst die Spannung aufgenommen, die die Schwingung des Pendels wiedergibt. Anschliessend wird die Fouriertransformierte bestimmt, aus der man die Frequenz des Pendels erhält. Um ein Maß für den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird jede Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung des Mittelwertes bestimmt. Um die Erdbeschleunigung g zu bestimmen wird die Pendelmasse entlang der Stange verschoben und die Schwingungsdauer an den verschiedenen Positionen gemessen. Aus dem Verlauf der Schwingungsdauer als Funktion der Position der Masse kann bei geeigneter Auftragung g ermittelt werden (Gl. 1.18). Alternativ kann auch das zweite Verfahren benutzt werden. Dabei läßt man zunächst die Stange ohne Pendelmasse schwingen und bestimmt die Frequenz ω st. Danach bringt man die Pendelmasse an der Stange an und sucht iterativ die Stelle an der ω p = ω st wird. Man kann nun die Formeln für das mathematische Pendel anwenden.

16 16 KAPITEL 1. MECHANIK Abbildung 1.2: Versuchsaufbau

17 1.1. BESTIMMUNG DER ERDBESCHLEUNIGUNG MIT DEM PENDEL 17 Abbildung 1.3: Aufhängung des Pendels Abbildung 1.4: Anschluss des Winkelaufnehmers

18 18 KAPITEL 1. MECHANIK 1.2 Schwingungen von gekoppelten Pendeln Aufgaben In diesem Experiment werden die Schwingungen von zwei Pendeln untersucht, die durch eine Feder miteinander gekoppelt sind. Für verschiedene Kopplungsstärken werden die Schwingungsdauern der beiden Grundschwingungen sowie der Schwebung des Systems gemessen und die Schwebungsdauer mit der Erwartung verglichen. Vorkenntnisse/Grundlagen : Federverhalten (Hooke sches Gesetz),Beschreibung von Schwingungen, Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung, Drehmoment, Trägheitsmoment, Direktionsmoment, einfache lineare Differentialgleichungen. Literatur : Paul A.Tipler : Physik Spektrum Lehrbuch, ISBN , S S.399 W.Walcher : Praktikum der Physik Teubner Studienbücher Physik, ISBN , S.89 - S Die Bewegungsgleichung für das gekoppelte Pendel Die Anordnung ist schematisch dargestellt in Abb Die Kopplungsfeder ist befestigt in der Entfernung l F von den Drehachsen. Die (identischen) physikalischen Pendel P 1 und P 2 werden so montiert, dass die Feder bei Ruhestellung der Pendel gespannt ist. Dadurch hängen die Pendel in der Ruhestellung (im Gleichgewicht) nicht in der vertikalen V, sondern um den Winkel ϕ nach innen. Das durch die Feder erzeugte Drehmoment ist M F, = D F x l F (1.25) wobei D F die Federkonstante und x ihre Verlängerung gegenüber dem entspannten Zustand ist. In der Ruhestellung ist M F, entgegengesetzt gleich dem durch die Schwerkraft erzeugten Drehmoment M S, = m g l s ϕ (1.26) wobei l s die Entfernung des Schwerpunktes jedes der beiden Pendel von seiner Drehachse und m die Gesamtmasse jedes Pendels bedeuten. Wird P 2 um ϕ 2 aus der Nullage ausgelenkt, so wirkt

19 1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 19 Abbildung 1.5: Gekoppelte Pendel insgesamt das Drehmoment M 2 = m g l s (ϕ 2 ϕ ) D F (x + l F ϕ 2 ) l F (1.27) oder M 2 = g l s ϕ 2 D F l 2 F ϕ 2 (1.28) Wird ausserdem P 1 um ϕ 1 verschoben, so kommt durch die Feder das Drehmoment D F l 2 F ϕ 1 hinzu, so dass sich insgesamt ergibt Analog wird für P 1 Die Bewegungsgleichungen beider Pendel lauten somit M 2 = m g l s ϕ 2 D F l 2 F (ϕ 2 ϕ 1 ) (1.29) M 1 = m g l s ϕ 1 + D F l 2 F (ϕ 2 ϕ 1 ) (1.30) J ϕ 1 = M 1 = m g l s ϕ 1 + D F l 2 F (ϕ 2 ϕ 1 ) (1.31) J ϕ 2 = M 2 = m g l s ϕ 2 D F l 2 F (ϕ 2 ϕ 1 ) (1.32) bzw. mit den Abkürzungen ω 2 s = mgl s J (1.33) Ω 2 = D F l 2 F J (1.34) ϕ 1 = ω 2 s ϕ 1 + Ω 2 (ϕ 2 ϕ 1 ) (1.35) ϕ 2 = ω 2 s ϕ 2 + Ω 2 (ϕ 2 ϕ 1 ) (1.36)

20 20 KAPITEL 1. MECHANIK Dies ist ein System gekoppelter linearer Differentialgleichungen. Die Lösung wird mit Hilfe der Substitutionen α = ϕ 2 + ϕ 1, β = ϕ 2 ϕ 1 erreicht : Summe und Differenz der beiden Gleichungen (24 ) und (25 ) führen auf die einfachen Differentialgleichungen mit den Lösungen α = ω 2 s α (1.37) β = (ω 2 s + 2Ω 2 ) β = ω 2 sf β (1.38) α(t) = ϕ 2 (t) + ϕ 1 (t) = A sin(ω s t) + B cos(ω sf t) (1.39) β(t) = ϕ 2 (t) ϕ 1 (t) = C sin(ω s t) + D cos(ω sf t) (1.40) Die Konstanten werden durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Liegen beim Start der Bewegung keine Anfangswinkelgeschwindigkeiten vor, d.h. ϕ 2 (t = 0) = 0 und ϕ 1 (t = 0) = 0, so wird A = C = 0 und aus der Summe der Gleichungen (32) und (33) wird 2ϕ 2 (t) = B cos(ω s t) + D cos(ω sf t) (1.41) 2ϕ 1 (t) = B cos(ω s t) D cos(ω sf t) (1.42) Werden die Pendel aus den Positionen ϕ 1 (t = 0) = ϕ max und ϕ 2 (t = 0) = ϕ max gestartet, so wird D = 0 und B = 2ϕ max und die Pendel schwingen gleichsinnig gemäss ϕ 2 (t) = ϕ max cos(ω s t) (1.43) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω s t) (1.44) mit der Kreisfrequenz ω s, d.h. der Kreisfrequenz jedes Pendels ohne Kopplung. Werden die Pendel aus den entgegengesetzten Positionen ϕ 1 (t = 0) = ϕ max, ϕ 2 (t = 0) = +ϕ max gestartet, so wird B = 0 und D = 2ϕ max und die Pendel schwingen gegensinnig : mit der Kreisfrequenz ω sf : ϕ 2 (t) = ϕ max cos(ω sf t) (1.45) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω sf t) (1.46) ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2 (1.47) Wird die Schwingung mit Pendel P 1 mit ϕ 1 (t = 0) = ϕ max und Pendel P 2 in Ruheposition, ϕ 2 (t = 0) = 0 gestartet, so wird B = D = ϕ max und ϕ 2 (t) = 1 2 ϕ max cos(ω s t) ϕ max cos(ω sf t) (1.48) ϕ 1 (t) = 1 2 ϕ max cos(ω s t) 1 2 ϕ max cos(ω sf t) (1.49) Jedes Pendel schwingt mit einer Überlagerung von zwei verschiedenen Frequenzen. Mit Hilfe eines Additionstheorems für trigonometrische Funktionen lassen sich die Gleichungen umschreiben in ϕ 1 (t) = ϕ max cos( ω sf ω s 2 t) cos( ω sf + ω s t) (1.50) 2

21 1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 21 Mit den Abkürzungen wird daraus ϕ 2 (t) = ϕ max sin( ω sf ω s 2 ω k = ω sf + ω s 2 ω sch = ω sf ω s 2 t) sin( ω sf + ω s t) (1.51) 2 (1.52) (1.53) ϕ 1 (t) = ϕ max cos(ω sch t) cos(ω k t) (1.54) ϕ 2 (t) = ϕ max sin(ω sch t) sin(ω k t) (1.55) Die Bewegung jedes der beiden Pendel besteht also aus der Überlagerung zweier Schwingungen mit den Kreisfrequenzen ω sch und ω k. Sie kann als Schwingung der höheren Frequenz ω k angesehen werden, die mit der niedrigeren Frequenz ω sch moduliert ist. Diese Erscheinung wird Schwebung genannt Messgrössen Der Messung zugänglich sind die Schwingungsdauern : T s = 2π ω s (1.56) T sf = 2π ω sf (1.57) T k = 2π ω k = T sch = 2π ω sch = 4π ω sf + ω s (1.58) 4π ω sf ω s (1.59) Durch Einsetzen von ω s und ω sf ergeben sich folgende Beziehungen zwischen den Schwingungsdauern : T s T sf T k = 2 (1.60) T s + T sf T sch = 2 Als Kopplungsgrad κ des Pendelsystems wird das Verhältnis T s T sf T s T sf (1.61) κ = Ω2 ω 2 s + Ω 2 = D F l 2 F mgl s + D F l 2 F (1.62) definiert. Mit ω 2 sf = ω 2 s + 2Ω 2 folgt κ = 1 2 (ω2 sf ωs) (ω2 sf + ω2 s) = T 2 s Tsf 2 Ts 2 + Tsf 2 (1.63)

22 22 KAPITEL 1. MECHANIK Abbildung 1.6: Aufbau des gekoppelten Pendels Der Kopplungsgrad ist umso kleiner (die Kopplung also umso schwächer), je näher die Befestigungspunkte der Feder an den Drehachsen der Pendel liegen. Trägt man 1 1 als Funktion von κ lf 2 auf so ergibt sich eine Gerade, aus deren Steigung die Federkonstante ermittelt werden kann : 1 κ = 1 + ml sg 1 D F lf 2 (1.64) Versuchsaufbau und Durchführung Der Versuchsaufbau ist ähnlich wie beim einfachen Pendel (Kap ). Es werden nun zwei Pendel im Abstand von ca. 50 cm an dem Gestell befestigt und über ein Federpaar gekoppelt (Abb. 1.6). Die Federn können in verschiedenen Höhen an den Pendelstangen befestigt werden, wodurch unterschiedliche Kopplungskonstanten erzielt werden. Da die Federn nicht gestaucht werden können, müssen die Pendel so weit auseinander sein, dass die Federn in der Ruhelage schon gespannt sind. Es muß darauf geachtet werden, daß die Pendelauschläge so klein bleiben, daß die Federn nie völlig entspannt sind. Beide Winkelaufnehmer können gleichzeitig mit einem CASSY-Modul ausgelesen werden und haben einen unabhängigen Nullabgleich. Um eine günstige Darstellung auf dem Bildschirm zu

23 1.2. SCHWINGUNGEN VON GEKOPPELTEN PENDELN 23 erzielen, kann die Nulllage eines Pendels entweder durch die Versorgungsspannung des Winkelaufnehmers oder durch Einstellung eines Offsets in der CASSY-Software verschoben werden. Es werden die Pendelausschläge aufgenommen und die Fouriertransformierten bestimmt. Im allgemeinen Fall erhält man eine Schwebung, die eine Überlagerung aus zwei Schwingungen mit dicht benachbarten Frequenzen ist. Im Fourierspektrum erkennt man deshalb zwei Spitzen, die mit wachsender Kopplungsstärke zusammenrücken. Lässt man die Pendel gleichsinnig (in Phase) schwingen, so taucht nur die kleinere der beiden Frequenzen auf. Schwingen die Pendel gegensinnig, so erhält man im Spektrum nur die Spitze der höheren Frequenz. Um den Fehler der Frequenzmessung zu erhalten wird eine Messung mehrmals durchgeführt und die mittlere quadratische Abweichung zum Mittelwert bestimmt. Aus den gemessenen Frequenzen wird der Kopplungsgrad κ bestimmt (Gl.1.63). Außerdem werden die Abstände l F zwischen dem Aufhängepunkt des Pendels und der Befestigung der Feder gemessen. Trägt man 1 gegen 1 auf, so erhält man eine Gerade, aus deren Steigung man die κ lf 2 Federkonstante ermitteln kann (Gl. 1.64).

24 24 KAPITEL 1. MECHANIK 1.3 Trägheitsmomente Abbildung 1.7: Versuchsaufbau für die Messung von Trägheitsmomenten. Physikalische Grundlagen Definition des Trägheitsmomentes, Satz von Steiner, Direktionsmoment, Schwingungen Einführung Bei einem beliebigen starren Körper, dessen Massenelemente m i den Abstand r i zur Drehachse haben, ist das Trägheitsmoment J = m i ri 2 (1.65) i Für eine punktförmige Masse m auf einer Kreisbahn mit dem Radius r gilt: J = m r 2

25 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 25 Das Trägheitsmoment wird aus der Schwingungsdauer einer Drillachse bestimmt, J T = 2π (1.66) D auf die der Probekörper gesteckt wird und die über eine Schneckenfeder elastisch mit dem Stativ verbunden ist (siehe Abb. 1.7). Das System wird zu harmonischen Schwingungen angeregt. Aus der Schwingungsdauer T errechnet man bei bekanntem Direktionsmoment D das Trägheitsmoment des Probekörpers gemäß ( ) T 2 J = D (1.67) 2π Die Messwerte werden mit den theoretischen Vorhersagen für einen Körper der Masse m, dessen Massenelemente m i um eine feste Achse im Abstand r i rotieren, verglichen: J = m i ri 2 = r 2 dm (1.68) i Der Schwingungsvorgang wird mit Hilfe eines Winkelaufnehmers (siehe Abb. 1.8) in elektrische Signale umgewandelt. Der Aufnehmer liefert für kleine Auslenkungen eine winkelproportionale Spannung. Er besteht aus einem vernickelten Messingrohr (10 mm Durchmesser) mit angeschraubtem Kleingehäuse für die elektrischen Bauteile. In dem Messingrohr befindet sich eine Nut an deren Ende in einem Langloch eine magnetfeldempfindliche Sonde (Hall- Sonde) eingeklebt ist. Die Sonde ist so orientiert, dass sie auf die zur Nut senkrecht stehende Komponente des Magnetfeldes anspricht. Die zwei felderzeugenden Permanentmagnete sind so auf die Innenseiten einer U-förmigen Gabel geklebt, dass sich Nord- und Südpol gegenüberliegen. Im Ruhezustand verschwindet daher die vertikale Feldkomponente; die Ausgangsspannung des Winkelaufnehmers ist somit 0. Wird nun die Drillachse um den Winkel α aus der horizontalen Richtung ausgelenkt, tritt eine Feldkomponente in vertikaler Richtung auf. Abbildung 1.8: Drillachse mit Winkelaufnehmer.

26 26 KAPITEL 1. MECHANIK Die exakte Abhängigkeit wird durch die Gleichung B = B sin α beschrieben. Im Falle kleiner Winkel kann sin α durch α approximiert werden, so dass die Ausgangsspannung proportional dem Auslenkwinkel α wird. Die Abweichung von diesem linearen Verhalten liegt bis zu einem Winkel von α = ±14 Grad (entsprechend sin α = 0, 24) unter 1%. Die Versorgungsspannung wird über das entsprechend gekennzeichnete Leitungspaar zugeführt und soll im Bereich V liegen. Es ist auf die Polarität gemäß den Farben der Anschlussstecker (rot-positiv, blau-negativ) zu achten. Bei Fehlbeschaltung tritt keine Ausgangsspannung auf. Die von dem Winkelaufnehmer gelieferten Spannungssignale werden mit Hilfe des computerunterstützten Messwerterfassungssystems CASSY aufgezeichnet. Mit Hilfe einer Fourieranalyse lässt sich aus dem aufgezeichneten Schwingungsvorgang mit großer Genauigkeit die Frequenz und damit die Schwingungsdauer bestimmen. Im ersten Teil des Versuches wird das Trägheitsmoment eines Massenpunktes in Abhängigkeit vom Abstand r zur Drehachse bestimmt. Dazu wird ein Stab mit zwei gleichen Massenstücken in Querrichtung auf die Drillachse gesteckt. Die Schwerpunkte der beiden Massenstücke haben den gleichen Abstand r zur Drehachse, so dass das System ohne Unwucht schwingt. Im zweiten Teil des Versuches werden die Trägheitsmomente eines Hohlzylinders, eines Vollzylinders und einer Vollkugel miteinander verglichen. Dazu stehen zwei Vollzylinder mit gleicher Masse jedoch unterschiedlichen Radien zur Verfügung. Weiterhin ein Hohlzylinder, der in Masse und Radius mit einem Vollzylinder übereinstimmt, und eine Vollkugel, deren Trägheitsmoment mit einem der Vollzylinder übereinstimmt. Im dritten Teil des Versuchs wird der Steinersche Satz am Beispiel einer flachen Kreisscheibe experimentell verifiziert. Dazu werden die Trägheitsmomente J a einer Kreisscheibe für verschiedene Abstände a der Drehachse zum Schwerpunkt gemessen und mit dem Trägheitsmoment J 0 um die Schwerpunksachse verglichen. Es soll der Steinersche Satz bestätigt werden. J a = J 0 + m a 2 (1.69) Versuchsbeschreibung Die Versuchskörper zur Drillachse sind so ausgewählt, dass sich folgende Fragestellungen untersuchen lassen: Messung des Zusammenhangs J = f(r 2 ) für einen Massenpunkt, der im Abstand r um eine feste Achse rotiert. Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern mit nahezu gleicher Masse, aber verschiedener Massenverteilung.

27 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 27 Bestimmung der Trägheitsmomente von Zylindern und Kugeln aus gleichem Material, deren Massen und Radien so abgestimmt sind, dass sich gleiche Trägheitsmomente ergeben. Bestätigung des Steinerschen Satzes Versuchsaufbau Zum Versuchsaufbau gehören 1. Drillachse mit zweifach kugelgelagerter Welle, durch eine Schneckenfeder an eine Gabel angekoppelt. Richtmoment der Feder: Höhe der Drillachse: Gewicht der Drillachse: ca. 0,025 N m ca. 0,2 m ca. 0,39 kg 2. Stab mit Kupplungsstück zum Aufstecken auf die Drillachse; je 5 Kerben in 0, 05 m Abständen zu beiden Seiten der ebenfalls gekerbten Stabmitte. Länge des Stabes: Masse des Stabes: ca. 0,6 m ca. 0,13 kg 3. Zwei Massen (als Modell von Massenpunkten), längs des Stabes (2) verschiebbar, mit Kugelrasten, die in die Kerben des Stabes greifen, so dass die Massen in definierten Abständen von der Stabmitte gehalten werden. Masse jedes Massenstückes: ca. 0,24 kg 4. Vollzylinder aus Holz (Holzscheibe), Durchmesser ca. 225 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,225 m ca. 0,015 m ca. 0,35 kg

28 28 KAPITEL 1. MECHANIK 5. Vollzylinder aus Holz, Durchmesser ca. 90 mm. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,09 m ca. 0,09 m ca. 0,35 kg 6. Hohlzylinder aus Metall, Durchmesser ca. 90 mm. Durchmesser: Höhe: Masse: ca. 0,09 m ca. 0,09 m ca. 0,35 kg 7. Aufnahmeteller aus Metall für die Zylinder (5) und (6) mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse und mit Schraube zum fixieren der Zylinder. Durchmesser: Masse: ca. 0,1 m ca. 0,12 kg Durchmesser und Höhe der Zylinder (5) und (6) stimmen überein (nachmessen!), die Massen der 3 Zylinder (4), (5) und (6) sind näherungsweise gleich (nachmessen!). 8. Kugel aus Holz, Durchmesser ca. 145 mm, mit Buchse zum Aufstecken auf die Drillachse. Die Trägheitsmomente der Kugel und des Zylinders (4) sind etwa gleich. Durchmesser: Masse: ca. 0,145 m ca. 0,99 kg

29 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE Kreisscheibe mit Halterung zum Aufstecken auf die Drillachse mit 9 Löchern zum Aufspannen der Scheibe auf der Halterung in der Scheibenmitte, sowie im Abstand von 0, 02; 0, 04;... 0, 14; 0, 16 m von der Scheibenmitte. Durchmesser: Masse: ca. 0,4 m ca. 0,74 kg Hinweise zum Experimentieren Schrauben (10) welche die federnden Kugelrasten der Massen (3) gen den Stab (2) drücken, nicht betätigen. Die Schrauben sind so eingestellt, dass man einerseits die Massen entsprechend den Versuchsbedingungen längs des Stabes verschieben kann, und dass die Massen anderseits gegen die Zentrifugalkraft auf dem Stab gehalten werden. Die Anordnung stets so aus der Gleichgewichtslage auslenken, dass die Feder zusammengedrückt und nicht aufgebogen wird. Die maximale Auslenkung wird druch die Halterungen für die Magnete auf ca. 60 Grad beschränkt. Die Schwingungsdauern sollten zweckmäßigerweise durch Mittelwertbildung aus mehreren Messungen für z.b. 5 Schwingungen bestimmt werden. Aus der Varianz der Messwerte ergibt sich auch der Fehler für die Schwingungsdauern. Zusätzlich gibt es Fehler durch die Art und Weise wie mit der CASSY-Software der Schwerpunkt im Frequenzspektrum bestimmt wird. Um diesen Fehler abzuschätzen, sollte zumindestens eine Messung mit MAPLE ausgewertet werden, d.h. die mit CASSY aufgzeichneten Spannungswerte werden in MAPLE eingelesen, die Fouriertransformation mit der Prozedur fourier aus der MAPLE-Bibliothek app maple durchgeführt und mit der Prozedur peak der Schwerpunkt der Verteilung bestimmt. Durch Variation des Messbereichs für die Fouriertransformation, durch Variation des Fensters in dem der Schwerpunkt bestimmt wird und durch Vergleich mit dem Ergebnis aus der CASSY Software kann der systematische Fehler in der Frequenzbestimmung abgeschätzt werden. Ein Beispiel einer solchen Messung mit dem Messwerterfassungssystem CASSY ist in Abb. 1.9 gezeigt. Aus der Fouriertransformation (siehe Abb. 1.10) ergibt sich in diesem Beispiel eine Schwingungsdauer von 4.88 s. Die gleiche Messung wurde 5 mal wiederholt um die statistischen Schwankungen zu ermitteln. Es ergaben sich die Messwerte: 4,88s, 4,87s, 4,87s, 4,88s, 4,87s. Für den Mittelwert also: T = (4, 874 ± 0, 002) s.

30 30 KAPITEL 1. MECHANIK Abbildung 1.9: Messreihe eines Schwingungsvorgangs mit der Drillachse. Abbildung 1.10: Fouriertranformation der in Abb. 1.9 gezeigten Messreihe. Mit dem Peakfinder aus der CASSY Software ergibt sich eine Schwingungsdauer von 4,87 s.

31 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 31 Das Trägheitsmoment der Drillachse liegt in der Grössenordung von 10 5 kgm 2. Es ist in der Auswertung nicht berücksichtigt, so dass die experimentell ermittelten Trägheitsmomente stets etwas größer als die theoretisch erwarteten Werte sind Bestätigung von J = f(r 2 ) und Bestimmung des Direktionsmomentes D Zunächst wir das Gewicht der Massen m W 1, m W 2 und das Gewicht des Stabes m Stab mit einer Waage gemessen und die Länge des Stabes l Stab mit einem Massband bestimmt. Dann wird der Stab ohne Massen auf die Drillachse gesteckt und die Schwingungsdauer gemessen. Anschliessend werden die Massen (m W 1, m W 2 ) symmetrisch im Abstand r = 0, 05; 0,10; 0,15; 0,20; 0,25 m von der Stabmitte angeordnet und ebenfalls die Schwingungsdauern gemessen. Beispiel einer solchen Messreihe: Das Trägheitsmoment für den Stab alleine ist r m 0,00 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 T s 2,52 2,71 3,76 4,86 6,08 7,40 J Stab = 1 12 m Stab l 2 Stab und für die Massenpunkte im Abstand r von der Drillachse: J Massen = (m W 1 + m W 2 ) r 2 = m W r 2 Es sollte also folgender funktionaler Zusammenhang gelten: T 2 = 4π 2 J Massen + J Stab D = 4π2 D m W r 2 + 4π2 D J Stab Die Messung mit dem Stab alleine entspricht also dem Messwert für r = 0. Der linearer Zusammenhang zwischen dem Quadrat der Schwingsdauern (T 2 ) und dem Quadrat des Abstandes (r 2 ) (siehe Abb. 1.11) erlaubt es, mit Hilfe einer linearen Regression, T 2 = m r 2 + a = 737, 34 s2 m 2 r2 + 6, 36 s 2 aus der Steigung der Geraden m das Direktionsmoment D zu bestimmen: D = 4π2 m m W 4π 2 = 0, 48 N m 737, 34 = 0, 0257 N m

32 32 KAPITEL 1. MECHANIK Abbildung 1.11: Grafische Darstellung der Messwerte T 2 (r 2 ) zusammen mit der Ausgleichsgeraden. Mit bekanntem Direktionsmoment D kann anschliessend aus dem Achsenabschnitt a das Trägheitsmoment des Stabes experimentell bestimmt werden und mit der theoretischen Vorhersage J exp. Stab = ad 4π 2 6, 36 0, 0257 = 4π 2 = 0, kg m 2 J theo. Stab = 1 12 m Stab l 2 Stab = , 132 0, 62 kg m 2 verglichen werden. = 0, kgm Vergleich der Trägheitsmomente von Zylindern gleicher Masse mit verschiedener Massenverteilung Dünner Vollzylinder aus Holz Die Masse des Vollzylinders aus Holz (Holzscheibe - HS) m HS wird durch wiegen und sein Durchmesser d HS mit dem Massband bestimmt. Dann wird die Holzscheibe auf der Drillachse befestigt und die Schwingungsdauer gemessen. Beispiel: T HS = 1, 82 s J exp HS = 1 4π 2 D T 2 HS = 1 4π 2 0, , 822 Nms 2 = 2, kg m 2

33 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE 33 Der theoretisch zu erwartende Wert ergibt sich zu: J theo HS = 1 2 m HS ( ) 2 dhs 2 = 2, kg m 2 Vollzylinder (VZ) und Hohlzylinder (HZ) Beide Zylinder werden auf einen Aufnahmeteller (T) gesetzt, so dass sich die Trägheitsmomente J V Z und J HZ nicht unmittelbar experimentell, sondern durch Differenzbildung ermitteln lassen: J V Z = J V Z+T J T Aufnahmeteller: J HZ = J HZ+T J T Aufnahmeteller + Vollzylinder: T = 0, 564 s J exp T = 1 4π 2 D T 2 T = 1 4π 2 0, , 5642 Nms 2 = 0, kg m 2 T = 0, 92 s J V Z+T = 1 4π 2 D T 2 V Z+T = 1 4π 2 0, , 922 Nms 2 = 0, kg m 2 Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Vollzylinders J exp V Z = J V Z+T J T = 0, kg m 2 im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von JV theo Z = 1 ( ) 2 2 m dv Z V Z 2 Aufnahmeteller + Hohlzylinder: = 0, kg m 2 T = 1, 18 s J V Z+T = 1 4π 2 D T 2 V Z+T = 1 4π 2 0, , 182 Nms 2 = 0, kg m 2

34 34 KAPITEL 1. MECHANIK Damit ergibt sich für das Trägheitsmoment des Hohlzylinders J exp HZ = J HZ+T J T = 0, kg m 2 im Vergleich zu dem theoretisch zu erwartenden Wert von J theo HZ = m V Z Trägheitsmoment der Kugel T = 1, 82 s ( ) 2 dhz 2 = 0, kg m 2 J exp K = 1 4π 2 D T 2 V Z+T = 1 4π 2 0, , 822 Nms 2 = 2, kg m 2 Um das experimentelle Ergebnis mit der theoretischen Vorhersage J theo K = 2 5 m KR 2 K vergleichen zu können, benötigen wir den Radius der Kugel R K. Dieser lässt sich mit dem Massband nur sehr ungenau abschätzen. Wesentlich genauer ist es, die Dichte der Kugel ρ K zu verwenden, um über die Beziehung m K = V K ρ K = 4 3 πr3 Kρ K den Radius zu bestimmen. Mit ρ K = (0, 63 ± 0, 02) 10 3 kg/m 3 erhalten wir: und damit R K = J theo K = 2 5 m KR 2 K [ mk 4 3 πρ K ] 1 3 = 0, 0716 m = 2 5 0, 99 kg 0, m 2 = 2, kg m 2 Der Vergleich mit der Messung für die Holzscheibe zeigt, dass die Trägheitsmomente übereinstimmen. Bestimmt man Massen und Radien der Versuchskörper, so lässt sich experimentell bestätigen, dass Kugel und Holzscheibe das gleiche Trägheitsmoment haben wenn gilt: m HS R 2 HS = 4 5 m K R 2 K

35 1.3. TRÄGHEITSMOMENTE Bestätigung des Steinerschen Satzes In diesem Versuchsteil soll die Abhängigkeit des Trägheitsmomentes J vom Abstand a zwischen Rotations- und Schwerpunktachse untersucht werden. Der Steinersche Satz J a = J 0 + m a 2 soll bestätigt werden. J 0 ist hierbei das Trägheitsmoment bei Rotation um die Schwerpunktsachse. Die Kreisscheibe wird zunächst um ihre Schwerpunktsachse rotieren gelassen (a = 0). Zur besseren Genauigkeit und um die Schwankung der Messwerte abzuschätzen wird die Messung mehrfach wiederholt und die Schwingungsdauer durch Mittelwertbildung bestimmt. In gleicher Weise wird die Schwingungsdauer T als Funktion des Abstandes a = 0, 02; 0, 04;... 0, 16 m zwischen Rotations- und Schwerpunktsachse bestimmt. Wichtig: Nach jeder Änderung von a den Stativfuss mit Hilfe der Dosenlibelle wieder so ausrichten, dass die Kreisscheibe in der Horizontalen rotiert. Ergebnis: a[m] T[s] J [kg m 2 ] 10 2 J J 0 [kg] a 2 0,00 4,782 1,490 0,02 4,800 1,501 0,04 4,961 1,604 0,06 5,230 1,782 0,08 5,532 1,994 0,75 0,10 5,884 2,256 0,12 6,313 2,597 0,14 6,710 2,951 0,16 7,220 3,400 Für das Trägheitsmoment J eines Körpers der Masse m, dessen Rotationsachse um a von der Schwerpunktsachse entfernt ist, gilt: J a = J 0 + const. a 2 Die Auswertung des Diagramms J = f(a 2 ) liefert für den konstanten Proportionalitätsfaktor in befriedigender Übereinstimmung mit der Masse der Kreisscheibe von 0, 75 kg. Damit bestätigt der Versuch den Steinerschen Satz: J a = J 0 + m a 2

36 Kapitel 2 Akustik Bei den Versuchen zur Akustik kann prinzipiell zwischen 2 Meßprogrammen gewählt werden. (I und II mit etwa gleichem Meß- und Auswerteaufwand s.u.) Da jeweils nur 4 Aufbauten zur Verfügung stehen, sollte vor der Vorbereitung die Aufteilung auf die Versuche unter den Gruppen koordiniert werden. Meßprogramm I: V 2.1.A und ein Versuch aus V 2.1.B und entweder V 2.2 oder V 2.3 V 2.1 Schallwellen in Gasen / Ausbeitungsgeschwindigkeit A Laufende Welle Laufzeit gegen Laufstrecke B1 Stehende Welle Schalldruck gegen Ort B2 Stehende Welle Schalldruck gegen Rohrlänge B3 Stehende Welle Schalldruck gegen Frequenz V 2.2 Schallwellen in Festkörpern / Elastizitätsmodul 1 Bestimmung der Stab-Dichte 2 Aufzeichnung der Grundschwingung V 2.3 Schwebungen von Schallwellen zweier Stimmgabeln 1 Aufzeichnung der Schwingung einzeln und in Schwebung 2 Periodenlängen und Fourier Auswertung Meßprogramm II: V 2.4 komplett V 2.4 Doppler-Effekt 1 Schallgeschwindigkeit aus Phasenverschiebung 2 Frequenzverschiebung gegen Quellengeschwindigkeit 3 Echolot 36

37 2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN Schallgeschwindigkeit in Gasen Versuchsziel A Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft aus Laufzeitmessungen. B Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft mit stehenden Wellen: durch Messung des Schalldruckverlaufs oder Messung der Resonanzlängen oder Messung der Resonanzfrequenzen Vorkenntnisse: Wellen Schallausbreitung in Gasen Überlagerung von Wellen Stehende Wellen Schallwandler (Piezo/Lautsprecher/Mikrophon) Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x Timer-Box 1x Stromquellen-Box 1x Temperatursensor 1x Plexiglas Rohr ø 10cm L 50cm mit Ständer 1x Endstück mit Lautsprecher 1x Endstück mit Durchführung 1x im Rohr verschiebbare Scheibe 1x Universalmikrophon mit Stativstange u. Sockel 1x Piezo Hochtöner mit Stativstange u. Sockel 1x Wegaufnehmer mit Stativstange 1x Faden 1m mit Gummiring und Gewicht 1x Tischklemme 1x Führungsschiene Alu 30x3mm^2 L 50cm 1x Funktionsgenerator khz 1x BNC -> 4mm Übergangsstecker 2x BNC -> Lemo Übergangsstecker 2x 4mm Laborkabel 25cm/1.0mm Paar rot/blau 1x 4mm Laborkabel 100cm/1.0mm Paar rot/blau 2x 4mm Laborkabel 200cm/1.0mm Paar schwarz 1x

38 38 KAPITEL 2. AKUSTIK Grundlagen Schallgeschwindigkeit in Gasen Die Ausbreitung von Schallwellen in Gasen ist ein adiabatischer Prozeß. Das Schallfeld ist durch die Angabe von Schallschnelle u(x, t) (lokale Geschwindigkeit der Gasmoleküle) oder Schalldruck p(x, t) (lokale Abweichung des Drucks vom Außendruck) beschrieben. Ist der Schalldruck p klein gegenüber dem Außendruck p 0, so gelten die Euler-Gleichungen: x p(x, t) = ϱ t u(x, t) und 1 u(x, t) = x κp 0 t p(x, t) mit κ = c P /c V (2.1) Eine Lösung der Wellengleichung 2 u = v 2 2 u sind ebene Wellen: u(x, t) = u t 2 x 2 0 sin(ωt ± kx φ) mit Kreiswellenzahl k = 2π/λ, Kreisfrequenz ω = 2πf und Phasengeschwindigkeit v ph = ω/k. Ohne Dispersion entsprechen Phasen- und Gruppengeschwindigkeit v gr = ω/ k der Ausbreitungsgeschwindigkeit v, die für ein ideales Gas von der Temperatur T allein abhängig ist: v = R κ p 0 κ/ϱ = v 0 T/T 0 mit v 0 = T 0 (2.2) M mol allg. Gaskonstante: R = J/(mol K) Adiabatenexponent: κ = 7/5 für ein zweiatomiges Gas (N 2, O 2 ) Molmasse von Luft: M mol = Kg/mol üblicherweise wählt man: T 0 = K (=0 C) Stehende Wellen In einem geschlossenen Rohr bilden sich durch Überlagerung von einlaufenden mit reflektierten periodischen Schallwellen sog. stehende Wellen aus. Im Gegensatz zu frei laufenden (z.b. ebenen) Wellen gibt es hier Orte, an denen zu jeder Zeit die Schallschnelle oder der Schalldruck verschwinden (Knoten) und Zeiten, zu denen an jedem Ort Schalldruck oder Schnelle verschwinden. Befindet sich bei x=0 ein schallharter Abschluß, so ist dort die Schallschnelle zu jeder Zeit u x=0 = 0 (Schnelleknoten) und die Amplitude des Schalldrucks extremal (Druckbauch). Allgemein gilt in einem Rohr der Länge L mit schallhartem Abschluß bei x=0 und Schallquelle bei x=l mit Schallschnelle u(x = L, t) = u L sin ωt: u(x, t) = u L T 0 sin kl Damit ist der Effektivwert 1 T p2 (x, t)dt des Schalldrucks ˆp(x) = ϱ v u L 2 Die Druckknoten haben somit einen Abstand x = λ/2 und liegen bei: sin kx sin ωt cos kx sin kl x n = n λ/2 λ/4 n = 1, 2,... (2.3) Am schallharten Abschluß bei x=0 ist der Effektivwert des Schalldrucks: ˆp x=0 = ϱ v u ( ) L 2πf / sin 2 v L d.h. bei fester Rohrlänge L liegen Resonanzen bei f n = n v/2l n = 1, 2,... (2.4) und bei fester Frequenz f liegen Resonanzen bei L n = n v/2f n = 1, 2,... (2.5)

39 2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN Vorbereitung Zur Vorbereitung ist es eine gute Übung, die Eulergleichungen 2.1 aus Beschleunigungs- und Kompressionsvorgängen eines diskreten Gasvolumens herzuleiten. Daraus wird die Wellengleichung ableitet, und die Ausbreitungsgeschwindigkeit abgelesen. Die Umrechnung in 2.2 sollte auch linear nach T C in o C entwickelt werden. Zur Herleitung von Gl. 2.3 sind ein- und auslaufende Wellen nach Diskussion der Randbedingungen an der reflektierenden Wand phasenrichtig zu überlagern und mit Additionstheoremen zusammenzufassen. Weiterhin sind p und u über die Euler-Gl. 2.1 verknüpft Messung und Auswertung Vier verschiedene Messungen sind möglich: A Laufzeit einer Störung in Abhängigkeit der Laufstrecke Mit dieser Messung wird die Schallgeschwindigkeit bei Raumtemperatur gemessen. B1 Schalldruck in Abhängigkeit des Ortes entlang des Rohres Das Schalldruckprofil einer stehenden Welle wird vermessen. B2 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Resonatorlänge Diese Messung zeigt die Resonanzlängen einer stehenden Welle in einem geschlossenen Rohr. Warum wird am schallharten Abschluß gemessen? B3 Schalldruck am schallharten Abschluß in Abhängigkeit der Frequenz Diese Messung zeigt die Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle in einem geschlossenen Rohr. Aus allen Messungen wird die Schallgeschwindigkeit bestimmt und mit der Erwartung nach Gl. 2.2 verglichen. Dazu ist jedesmal eine Messung der Lufttemperatur nötig, deren Unsicherheit ebenfalls berücksichtigt werden muß. Fehlerabschätzung Die Messungen zur Schallausbreitung in Luft werden mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Dabei kommen verschiedene Meßaufnehmer zum Einsatz, die teilweise vor der Messung kalibriert werden (Wegaufnehmer), deren systematische Unsicherheiten ansonsten aber nach Herstellerangaben abgeschätzt werden müssen (Zeitbasis, Temperatur). Die Schätzung der statistischen Fehler geschieht durch Mehrfachmessungen (Mittelwert/RMS) oder durch Variation der Meßwertintervalls z.b. für Peakwertbestimmungen. Mittels Fehlerfortpflanzung wird schließlich die Güte der Messung (Vertrauensbereich) ermittelt. I. A. reduziert sich der Fehler durch eine sinnvolle Verteilung der Meßwerte (kleinere Abstände und damit mehr Meßwerte an kritischen Stellen wie z.b. Resonanzfrequenzen oder Schalldruckknoten). Um die begrenzte Meßzeit effektiv auszunutzen, ist es sinnvoll, schon während der Messung die einzelnen Fehlerbeiträge getrennt zu bestimmen. Dominiert ein Beitrag den Meßfehler, sollte der weitere Aufwand in dessen Reduzierung investiert werden.

40 40 KAPITEL 2. AKUSTIK Laufzeit gegen Laufstrecke Wird die Laufzeit t einer Störung a(x vt) für verschiedene Orte x gemessen, so ergibt sich die Ausbreitungsgeschwindigkeit v als Steigungsfaktor der Auftragung x gegen t auch ohne absolute Ortskenntnis der Störquelle. Hierzu werden Stoßwellen mit dem Piezo-Hochtonlautsprecher erzeugt und mit Sensor-CASSY aufgezeichnet. Abb. 2.1 zeigt den Aufbau: Mikrofon = ~ Trigger Piezo Hochtöner + INPUT A TIMER BOX R P + E T F INPUT B STROMQUELLEN BOX + T V R S + SENSOR CASSY Abbildung 2.1: CASSY Meßaufbau Laufzeit gegen Laufstrecke Am Tischende fixiert die Tischklemme die 50cm lange Alu-Schiene. An ihrem anderen Ende schließt sich die Rohr-Halterung an. Das Schallrohr wird mittig darauf gelegt und auf der hinteren Seite mit dem Piezo-Hochtöner abgeschlossen. Der Rohrabschluß mit Durchführung wird auf die vordere Rohrseite gesteckt. Das eingeschaltete 1 Mikrophon wird im Trigger-Modus = auf mittlere Empfindlichkeit eingestellt und im Sockel auf der Alu-Schiene verschiebbar durch die mittige Durchführung in das Rohrinnere geführt. 1 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um den Akkulaufzeit zu schonen. Bei Verschwinden des Signals ( kein Trigger ) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.

41 2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN 41 An der Tischklemme wird der Wegaufnehmer befestigt und ein an der Mikrophon-Stativstange befestigter Faden parallel zur Schiene über das Rad geführt, und mit einem Gewicht beschwert. An Kanal A wird die Timer-Box angeschlossen. Sie benötigt zur Laufzeitmessung ein Start- Signal am Eingang E und ein Stop-Signal am Eingang F. An den Eingang E wird der Piezolautsprecher richtig herum gepolt (E an +/gelb) angeschlossen. Parallel dazu wird das rechte Relais-Schalterpaar (R2/R3) geschaltet. Schließt das Relais, wird das Piezoelement entladen und sendet eine Stoßwelle aus. Gleichzeitig fällt die am Eingang E intern anliegende Spannung auf 0V, Startzeit ist somit die negative Flanke an E. Öffnet der Relais Schalter, so wird das Piezoelement über den internen 15 kω Widerstand R P von Eingang E mit größerer Zeitkonstante ohne meßbare Schallaussendung wieder auf +5V aufgeladen. Das Mikrophon im Triggermodus liefert bei Eintreffen der Stoßwelle das Stop-Signal und wird an Eingang F angeschlossen. Zur Streckenmessung wird der Wegaufnehmer (Mehrgangpotentiometer) über die Stromquellen- Box (liefert konstanten Strom) an Kanal B angeschlossen. Die Laufrichtung kann durch die Wechsel des Potentiometer-Endabgriffs umgekehrt werden. Der Nullpunkt wird so eingestellt (und während der Messung kontrolliert), daß der gesamte Verschiebebereich des Mikrophons gemessen werden kann. Wegen der Bauteiletoleranz des Potentiometers im Prozentbereich muß der Wegaufnehmer in einem Vorversuch mit dem Bandmaß kalibriert werden. Dazu werden die mit dem Bandmaß gemessenen Orte S gegen den Widerstand Rb1 des Wegaufnehmers wie in Abb. 2.2 aufgezeichnet. Bei äquidistanten Kalibrationspunkten mit ähnlichen Einzelfehlern reduziert die Parametrisierung S S 0 = K (R R 0 ) die Anpassung auf eine Ursprungsgerade (S 0 und R 0 sind die mittleren Orte und Widerstände). Die Steigung der Ausgleichsgeraden liefert den Kalibrationsfaktor K, zur Umrechnung von Widerstandseinheiten auf Längeneinheiten. CASSY Meßparameter / manuell Formel / Kanal B / Strombox Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms / neue Größe S = 60-2*n (Messungen bei 58,56,...) Darstellung / X-Achse Rb1 Y-Achse S Abbildung 2.2: CASSY-LAB Kalibration des Wegaufnehmers. Wie bei allen Ausgleichsrechnungen sind die Einzelfehler auf der x- und y-achse zu berücksichtigen. Liefert die Geradenanpassung ein χ 2 von etwa 1 pro Freiheitsgrad, so ist die Fehlerabschätzung und damit auch der Fehler des Steigungsfaktors sinnvoll. Diese Unsicherheit von K muß bei den folgenden Messungen als systematischer Fehler berücksichtigt werden, d.h. er liefert unabhängig von den jeweiligen Einzel-Meßwerten einen zusätzlichen Beitrag als Skalenfehler bei der Umrechnung des Endergebnisses von kω auf m.

42 42 KAPITEL 2. AKUSTIK Zur Bestimmung der Schallgeschwindigkeit wird die Laufzeit an ca. 8 Orten in Abständen von ca. 5cm gemessen. Dazu wird das Mikrophon in die gewünschte Position verfahren und die Stabilisierung der Ortskoordinate abgewartet. Mit Start/Stop [F9] wird für diesen Ort eine Meßreihe gestartet und nach ca. 10 Werten wieder beendet. Die aufgenommenen Meßreihen werden zur weiteren Auswertung in einer Datei gespeichert. CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: CASSY / Kanal A / Laufzeit Dta1 E->F, 0.002s, Flanken invertiert Kanal B / Widerstand Rb1, 0-3kOhm, gemittelt 1000 ms Relais / frac(t)<0.1 (periodisches Schalten) Meßparameter / automatisch Intervall 1s neue Meßreihen anhängen Formel / neue Größe S = Rb1 * (Wegaufnehmer-Kalibration) Darstellung / X-Achse Dta1 Y-Achse S Die Meßdaten enthalten pro Zeile die Laufzeit t A1 und den Weg S. Weg-Kalibration hier: S = Rb cm/kΩ Offensichtliche Ausreißer wurden entfernt. Es gilt: S = S 0 + v t Eine Geradenanpassung an S gegen t liefert als Steigungsfaktor die Schallgeschwindigkeit v bei Raumtemperatur T, als y-achsenabschnitt die Position S 0 der Schallquelle. Abbildung 2.3: CASSY-LAB Messung der Laufstrecke S gegen die Laufzeit t A1. Der markierte Ausreißer bei S = 35.7cm wird weggelassen.

43 2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN Druckknoten einer stehenden Welle Gemessen wird das Schalldruckprofil einer stehenden Welle, also die Ortsabhängigkeit der Schalldruckamplitude entlang des Rohrs. Abb. 2.4 zeigt den Aufbau: Lautsprecher Mikrofon = ~ p eff INPUT A I U Frequenz FEIN + x100k x10k x1k x100 x10 x1 Bereich Signal Form Amplitude min DC max AC low Offset 0 + AC high FG 200 INPUT B STROMQUELLEN BOX + T V R S + SENSOR CASSY Abbildung 2.4: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Ort Das Mikrophon im Effektivwertmodus = wird nun direkt an CASSY Kanal A angeschlossen und ansonsten wie in Versuch durch die mittige Öffung der Abschlußkappe ins Rohrinnere geführt. Als Schallquelle dient der Klein-Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt. Mit dem BNC-Lemo-Adapter wird er an den niederohmigen DC-Ausgang des Funktionsgenerators angeschlossen und dieser wie folgt betrieben, um Sinusschwingungen bei ca Hz zu erzeugen: Signalform (Sinusschwingung) Bereich x1k ( x 1 khz) Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher) Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung) Vor der eigentlichen Messung wird eine Resonanz-Frequenz bei ca. 2400Hz eingestellt und nach Versuchsaufbau aus Abb mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen.

44 44 KAPITEL 2. AKUSTIK Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Am schallharten Rohrende wird er auf x=0 eingestellt, mit Anstieg zum hinteren Ende hin. Vor Aufnahme einer Meßreihe sollte der dynamische Bereich des Mikrophonkanals an den Maximalwert im Druckbauch angepaßt werden. CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms Meßparameter / manuell Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration) Darstellung / X-Achse S Y-Achse Ua1 Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte wie in Abb. 2.5 auf die optimale Bestimmung der Druckknoten und -Bäuche ausgerichtet sein. Abbildung 2.5: Messung der Schalldruckamplitude gegen den Ort. Es werden die Positionen x n der Druckbäuche und -Knoten a bestimmt und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.3 liegen diese Werte auf einer Geraden mit Steigung λ/2. Mit v = λf wird aus diesen Messungen die Schallgeschwindigkeit bestimmt: a Wird die Knotenlage mit dem Peakfinder ermittelt, so muß die Kurve invertiert werden! Warum? Abbildung 2.6: Schallgeschwindigkeit aus Peaklage der Druckknoten und -Bäuche.

45 2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN Resonanzlängen einer stehenden Welle Gemessen wird die Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle von der Resonatorlänge. Abb. 2.7 zeigt den Aufbau: Lautsprecher Mikrofon = ~ p eff INPUT A I U Frequenz FEIN + x100k x10k x1k x100 x10 x1 Bereich Signal Form Amplitude min DC max AC low Offset 0 + AC high FG 200 INPUT B STROMQUELLEN BOX + T V R S + SENSOR CASSY Abbildung 2.7: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Resonatorlänge Auf das Ende des Mikrophons im Effektivwertmodus = wird vorsichtig die Lochscheibe geschoben, um an einem im Rohr verschiebbaren schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen. Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt, um Sinusschwingungen bei ca Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator, mit folgenden Einstellungen: Signalform (Sinusschwingung) Bereich x1k ( x 1 khz) Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher) Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung) Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen.

46 46 KAPITEL 2. AKUSTIK Vor der eigentlichen Messung wird die höchste Frequenz (ca. 2400Hz) eingestellt und nach Versuchsaufbau aus Abb mit der Timer-Box an CASSY Kanal B gemessen. Im weiteren wird mit CASSY Kanal B die Mikrophonposition gemessen. Wie bei Messung wird dazu der Wegaufnehmer über die Strombox angeschlossen. Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon- Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen. CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms Kanal B / Widerstand Rb1 0-3kOhm gemittelt 1000 ms Meßparameter / manuell Formel / neue Größe S=Rb1*15.91 (Wegaufnehmer Kalibration) Darstellung / X-Achse S Y-Achse Ua1 Nach Einstellen einer Position und Stabilisierung des Ortswertes wird mit Start/Stop [F9] ein Meßwert aufgenommen. Die Wahl der weiteren Positionen sollte auf die optimale Bestimmung der Resonanzlängen ausgerichtet sein. Abb. 2.8 zeigt eine solche Messung. Abbildung 2.8: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Resonatorlänge. Zur quantitativen Auswertung werden die Messungen in einer Datei abgespeichert. Es werden die Resonanzlängen L n bestimmt und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.5 liegen diese Werte auf einer Geraden mit Steigung v/2f. Bei bekannter Frequenz f wird mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt. Abbildung 2.9: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzlängen.

47 2.1. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN GASEN Resonanzfrequenzen einer stehenden Welle Gemessen wird die Frequenz-Abhängigkeit der Schalldruckamplitude einer stehenden Welle am schallharten Abschluß bei fester Resonatorlänge. Abb zeigt den Aufbau: Lautsprecher Mikrofon = ~ p eff INPUT A I U Frequenz FEIN + x100k x10k x1k x100 x10 x1 Bereich Signal Form Amplitude min DC max AC low Offset 0 + AC high FG 200 INPUT B TIMER BOX R P + E T F R 12 V S + SENSOR CASSY Abbildung 2.10: CASSY Meßaufbau Schalldruck gegen Frequenz Das Mikrophon im Effektivwertmodus = wird an das Rohrende verschoben, um am schallharten Abschluß im Druckbauch die Schalldruckamplitude zu messen. Es wird direkt an Sensor-CASSY Kanal A angeschlossen. Als Schallquelle dient der Lautsprecher in der Kappe, die das Rohr am hinteren Ende abschließt, um Sinusschwingungen zwischen 200 Hz und 2400 Hz zu erzeugen. Angeregt wird er vom Funktionsgenerator, der folgendermaßen eingestellt wird: Signalform (Sinusschwingung) Bereich x1k ( x 1 khz) Offset 0 (kein Konstantstrom durch den Lautsprecher) Amplitude mittig (Minimum für sichere Frequenzmessung) Der Lautsprecher wird mit dem BNC-Lemo-Adapter an den niederohmigen DC-Ausgang angeschlossen. Zur Frequenzmessung wird der rechte Hochpegel AC-Ausgang an den Eingang E der CASSY Timer-Box in Sensor-CASSY Kanal B angeschlossen.

48 48 KAPITEL 2. AKUSTIK Vor der Aufnahme der Meßwerte empfiehlt es sich, den dynamischen Bereich des Mikrophon- Kanals an die maximale Schalldruckamplitude bei Resonanz anzupassen, d.h. die Empfindlichkeit des Mikrophons möglichst niedrig einstellen und ggf. die Amplitude am Funktionsgenerator erhöhen, um den gewählten Meßbereich von CASSY Kanal A optimal auszunutzen. CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 0-Umax Nullpunkt links, gemittelt 1000 ms Kanal B / Timerbox / Frequenz fb1(e) 5000 Hz Torzeit 1s Meßparameter / manuell Darstellung / X-Achse fb1 Y-Achse Ua1 Nach Einstellen einer Frequenz und Stabilisierung des Frequenzwerts wird mit Start/Stop [F9] ein Meßwert pro Frequenz aufgenommen. Die Wahl der weiteren Frequenzwerte sollte auf die optimale Bestimmung der Resonanzfrequenzen ausgerichtet sein. Abb zeigt eine solche Messung. Wie zu erkennen ist, sind diese Resonanzen recht schmal. Daher empfiehlt es sich, deren Lage vorher abzuschätzen. Mit der Frequenz-Feineinstellung kann ein Resonanzbereich dann komplett durchgestimmt werden. Abbildung 2.11: Messung der Schalldruckamplitude gegen die Frequenz Zur quantitativen Auswertung werden die Messungen in einer Datei abgespeichert. Es werden die Resonanzfrequenzen f n bestimmt und über n aufgetragen. Nach Gl. 2.4 liegen diese Werte auf einer Geraden mit Steigung v/2l. Bei bekannter Resonanzlänge L des Rohres (zwischen den Endkappen) wird mit dieser Messung die Schallgeschwindigkeit v bestimmt: Abbildung 2.12: Bestimmung der Schallgeschwindigkeit aus den Resonanzfrequenzen.

49 2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN Schallgeschwindigkeit in Festkörpern Versuchsziel Messung der Schallgeschwindigkeit in Metallen zur Bestimmung des Elastizitätsmoduls. Vorkenntnisse: Wellen Schallausbreitung in Festkörpern Überlagerung von Wellen Stehende Wellen Fourier-Analyse Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x Universalmikrophon mit Stativstange 1x Sockel 1x Tischklemme 1x Metallstange 20cm 1x Kreuzmuffe 1x Metallstift ø 4mm L 30mm 1x Gummi-Hammer 1x Mikrometermaß 0-25mm 1x Stahl-Bandmaß 2m 1x Metallstangen 1.3m Cu, Al, Fe, Messing je 1x Analysewaage im Raum Grundlagen Der Elastizitätsmodul E ist eine Materialkonstante und charakterisiert die relative Längenausdehnung eines Materials abhängig von der angreifenden Zugspannung: E := F A / L L. Für Metalle ist E in der Größenordnung N/m 2 und damit nur für dünne Drähte statisch meßbar. Mit Metallstäben ist jedoch eine dynamische Messung möglich, indem die Ausbreitungsgeschwindigkeit v l = E/ϱ von longitudinalen Schallwellen bestimmt wird. Ein mittig eingespannter Stab der Länge L wird durch geeignetes Anschlagen zur longitudinalen Grundschwingung der Wellenlänge λ 0 = 2L angeregt. Die Frequenz f 0 und die Dichte ϱ werden gemessen und mit v l = f 0 λ 0 ergibt sich E = ϱ f 2 0 4L 2 (2.6)

50 50 KAPITEL 2. AKUSTIK Messung und Auswertung Ausmessen des Stabes zur Dichtebestimmung a Länge L mit dem Bandmaß b Durchmesser D mit dem Mikrometermaß, gemittelt über mehrere Positionen entlang des Stabs (kann variieren) in mehreren Orientierungen (Elliptizität) c Masse M auf der Analysewaage Die Dichte berechnet sich zu ϱ = M/V = M/(L πd 2 /4) Einspannen des Stabes Abb zeigt den mechanischen Aufbau zusammen mit der Sensor-CASSY Datenaufnahme. INPUT A Mikrofon = ~ Ampl. I INPUT B U U 12 V R S + SENSOR CASSY Abbildung 2.13: CASSY Meßaufbau Schallgeschwindigkeit in Stäben Die Kreuzmuffe wird an der kurzen Metallstange mit der Tischklemme am Tisch befestigt. Der 1.3m Metallstab wird von einem Metallstift unterstützt parallel zur Tischfläche so in der Kreuzmuffe eingespannt, daß er nur an 2 Punkten (Pfeile) gehalten wird und damit frei schwingen kann.

51 2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 51 Aufnahme der Meßwerte Als Meßaufnehmer dient das Mikrophon. Es wird im Amplitudenmodus = auf niedrigster Empfindlichkeit in ca. 5mm Abstand vom Stabende aufgestellt und eingeschaltet 2. Aufgezeichnet werden die Meßwerte mit Sensor CASSY. Bei geeigneter Einstellung der Zeitbasis können sowohl die Schwingungen, als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) dargestellt werden. CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: CASSY / Kanal A / Spannung Ua V Momentanwerte Meßparameter / automatisch Intervall 100 mu s x16000 Darstellung / X-Achse t Y-Achse Ua1 FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1 Angeregt wird die Schwingung durch einen leichten Schlag auf das Stabende mit dem Gummihammer. Der Anschlag wird solange variiert, bis der Höreindruck bzw. das Frequenzspektrum eine saubere Anregung der Grundschwingung zeigt. Bessere Ergebnisse werden erzielt, wenn die Messung mit [F9] ([n]) erst im Ausklingen der Schwingung gestartet wird, da so die Einschwingvorgänge direkt nach dem Anschlagen nicht mit aufgezeichnet werden. Abb zeigt ein solches FFT-Spektrum für einen Messingstab. Abbildung 2.14: FFT-Spektrum mit Oberschwingung in log-darstellung erkennbar 2 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei Verschwinden des Signals ( kein Trigger ) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen.

52 52 KAPITEL 2. AKUSTIK Fünf solcher Schwingungen mit etwa 1000 Perioden sowie deren FFT-Spektren incl. der Bestimmung des Peakschwerpunktes von f 0 werden zur weiteren Auswertung abgespeichert. Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, denn ein weiterer zur selben Zeit angeschlagener Metallstab gleichen Materials würde die Messung verfälschen. Ein zur selben Zeit angeschlagener Metallstab anderern Materials ist im Fourier-Spektrum problemlos bei seiner Frequenz zu erkennen und beeinträchtigt wegen der schmalen Linienbreite die Auswertung nicht. Er wäre auch mit wesentlich kleinerer Amplitude zusätzlich auswertbar. Auswertung der Meßdaten a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingung wird wie z.b. in Abb die Frequenz f 0 aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt. b Aus dem diskreten FFT-Frequenzspektrum wird f 0 wie z.b in Abb aus der Peaklage der Grundschwingung bestimmt. c Eine Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingung u i (t i ) liefert eine genauere Frequenzbestimmung. Dazu wird der Betrag der Fouriertransformierten a in einem Bereich f = f 0 ± 10 Hz in geeigneter Schrittweite berechnet: [ n a(f) 2 u i cos (2πft i )] + i=1 [ n u i sin (2πft i ) i=1 Die Lage des Maximums von a(f) und damit f 0 wird durch Anpassung einer Parabelfunktion oder den Peakfinder bestimmt. Für diese Auswertung gibt es ein Maple-Script Beispiel. ] 2 Fehlerabschätzung Systematische Fehler resultieren z.b. aus Gerätegenauigkeiten oder Ablesefehlern. Sie werden für jede Einzelmessung geschätzt. Statistisch verteilte Fehler werden durch die Streuung von Mehrfachmessungen abgeschätzt. Der Gesamtfehler ergibt sich mittels Fehlerfortplanzung aus den Einzelfehlern, hier zu: E = E (2 f 0 f 0 - Zeitbasis und FFT Peaklagen-Fehler für f 0 - Meßfehler für Stab-Länge, -Durchmesser und -Masse ) 2 + ( M M )2 + ( L L )2 + (2 D D )2 - Temperatur: L = L 0 (1 + α l (T T 0 )) mit Längenausdehnungskoeffizient α l Wie groß ist dieser Beitrag für f 0 und ϱ? Bei dieser Messung ist eine Abschätzung der Einzelfehlerbeiträge sehr aufschlußreich.

53 2.2. SCHALLGESCHWINDIGKEIT IN FESTKÖRPERN 53 Abbildung 2.15: Ausschnitt der aufgezeichneten Messingstab-Schwingungen Abbildung 2.16: FFT-Peakposition der Messingstab-Grundschwingung

54 54 KAPITEL 2. AKUSTIK 2.3 Schwebungen von Schallwellen Versuchsziel Spektralanalyse von Wellenüberlagerungen Vorkenntnisse: Wellen Überlagerung von Wellen Fourier-Analyse Benötigte Geräte: Sensor CASSY 1x Universalmikrophon mit Stativstange 1x Sockel 1x Stimmgabel Resonanzkörper Schiebe-Gewicht je 2x Anschlaghammer 1x Grundlagen Schallwellen breiten sich in einem Medium aus. Da z.b. in Luft dieselben Gasmoleküle von verschiedenen Schallquellen zu Schnelleoszillationen angeregt werden, überlagern sich alle in einem Punkt eintreffenden Schallwellen. Schalldruck p und Schallschnelle u sind bei ebenen fortlaufenden Wellen mit u(x, t) = u 0 cos (2πft 2πx/λ) in Phase: p(x, t) = ϱfλ u(x, t) Der Schalldruck p am Ort x ergibt sich als Summe aller eintreffenden Wellen: p(x, t) = p i (x, t) i Für zwei einander entgegenlaufende Wellen i=1,2 mit Kreisfrequenzen ω i = 2πf i, Kreiswellenzahlen k i = 2π/λ i gleicher Amplitude ( p 0 und beliebiger Phasendifferenz φ ergibt sich: ω1 + ω 2 p(x = 0, t) = p 1 + p 2 = 2p 0 cos t φ ) ( ω1 ω 2 cos t + φ ), d.h. eine Schwingung mit mittlerer Frequenz f und Schwebungsfrequenz f s : f = f 1 + f 2 2 f s = f 1 f 2 2 (2.7) Mit T s = 1/f s haben zwei aufeinanderfolgende Schwebungsknoten einen Abstand T k = T s / Messung und Auswertung Mit dem eingeschalteten 3 Mikrophon im Amplitudenmodus = auf niedrigster Empfindlichkeit wird der Schalldruck mittig zwischen den Resonanzkörpern der zwei Stimmgabeln gemessen, die mit Zusatzmassen unterschiedlich gestimmt werden können. Die Meßwerte werden mit Sensor-CASSY in geeigneter Schrittweite aufgezeichnet, sodaß sowohl die Schwingungen als auch deren Fast-Fourier-Frequenzspektren (FFT) sinnvoll dargestellt werden. Abb zeigt den Aufbau. 3 Das Mikrophon schaltet sich nach ca. 10 Min. selbständig aus, um die Akkulaufzeit zu verlängern. Bei Verschwinden des Signals ( kein Trigger ) daher zuerst durch Wiedereinschalten dieses Problem ausschließen

55 82 CASSY Lab Akustische Schwebungen 2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 55 Abbildung Beispiel laden 2.17: CASSY Meßaufbau Akustische Schwebungen Versuchsbeschreibung Es wird die Schwebung aufgezeichnet, die durch zwei geringfügig gegeneinander verstimmte Stimmgabeln erzeugt wird. Die Einzelfrequenzen f1 und f2, die neue Schwingungsfrequenz fn und die Schwebungsfrequenz fs werden ermittelt und können mit den theoretischen Werten Vor der Aufnahme der Meßwerte den dynamischen Bereich des Mikrophon-Kanals an die maximale Schalldruckamplitude anpassen. fn = ½ (f1 + f2) und fs = f1 f2 verglichen werden. CASSY-Lab Tip zur Aufzeichnung der Meßwerte: Benötigte Geräte 1 Sensor-CASSY CASSY Lab Paar Resonanzstimmgabeln Trigger Universalmikrofon Ua1 0.1 V steigend Sockel PC ab Windows 95/98/NT CASSY / Kanal A / Spannung Ua1 +- Umax V Momentanwerte Meßparameter / automatisch Intervall 500 mu s x16000 Darstellung / X-Achse t Y-Achse Ua1 FFT / Fast Fourier Transformation von Ua1 Versuchsaufbau (siehe Skizze) Das Universalmikrofon (Funktionsschalter auf Betriebsart Signal und Einschalten nicht vergessen) wird zwischen beiden Stimmgabeln positioniert und an Eingang A des Sensor-CASSYs angeschlossen. Eine der Stimmgabeln wird durch eine Zusatzmasse geringfügig verstimmt. Für die Schwebung ist wie in Abb ausschnittweise zu sehen auf eine möglichst vollständige Auslöschung in den Schwebungsknoten zu achten, d.h. die Amplituden der beiden Schallwellen müssen beim Mikrophon gleich groß sein. Versuchsdurchführung Einstellungen laden Erste Stimmgabel anstoßen und Messung mit F9 auslösen Signalstärke mit Einsteller am Mikrofon optimieren Frequenz f1 ermitteln (z. B. durch senkrechte Markierungslinien in der Standard-Darstellung oder als Peakschwerpunkt im Frequenzspektrum) Neben der Schwebung für drei verschiedene Frequenzdifferenzen sind auch die Schwingungen und FFT-Frequenzspektren der einzeln angeschlagenen Stimmgabeln aufzuzeichnen. Diese Messungen sollten mit den anderen Gruppen im Raum koordiniert werden, um störungsfreie Daten aufzuzeichnen.

56 56 KAPITEL 2. AKUSTIK Abbildung 2.18: Schwebung mit nahezu vollständiger Auslöschung in den Schwebungsknoten Auswertung der Meßdaten a Aus einem Ausschnitt der aufgezeichneten Schwingungen werden die Frequenzen f 1, f 2 und f aus der Zeitdauer für mindestens 20 Perioden ermittelt. Die Schwebungsfrequenz f s wird aus dem Zeitabstand T k der Schwebungsknoten bestimmt. Decken sich die Messungen von f und f s mit den Vorhersagen aus Gl.2.7? b Aus den diskreten FFT-Frequenzspektren der einzeln und gemeinsam angeschlagenen Stimmgabeln werden die Frequenzen f 1 und f 2 wie z.b in Abb für die Schwebung gezeigt aus den Peaklagen bestimmt. Abbildung 2.19: Bestimmung der Einzelfrequenzen aus den FFT-Peaklagen c Die Fouriertransformation der gesamten aufgezeichneten Schwingungen u i (t i ) zeigt deren spektrale Zusammensetzung. Dazu wird der Betrag der komplexen Fouriertransformierten a(f) + u(t)e i2πf t dt in einem Bereich ±2f s um f 1, f 2 bzw. f in geeigneter Schrittweite durch Summen-Näherung des Fourierintegrals berechnet: [ n a(f) 2 [ n ] 2 u i cos (2πft i )] + u i sin (2πft i ) i=1 i=1

57 2.3. SCHWEBUNGEN VON SCHALLWELLEN 57 Die Lage der Maxima von a(f) und damit f 1 bzw. f 2 werden wie in Abb gezeigt durch Anpassung von Parabelfunktionen bestimmt. In der Fouriertransformierten der Schwebung können die zwei Frequenzen noch getrennt werden, wenn ihr Abstand f größer ist, als die eineinhalbfache Halbwerts-Breite σ f der Einzelspektren. Diese Breite fällt mit der Anzahl N der aufgezeichneten Perioden: σ f /f 1/2N, sodaß sich als Trenn-Bedingung ergibt: T mess = N T > 1.5T k. Damit ist auch in der Fouriertransformierten eine Trennung der zwei Frequenzen erst möglich, wenn mindestens zwei Schwebungsknoten aufgezeichnet wurden. Dies kann durch Einschränkung der verwendeten Meßwerte in den Fouriersummen gezeigt werden. Fehlerabschätzung Die Abschätzung der Fehler beschränkt sich hier auf die Genauigkeit mit der die Zeitdauer für die gemessenen Schwingungsperioden ermittelt werden kann. Wegen der diskreten Abtastung des Signals u i zu Zeiten t i mit Abstand t i ist selbst durch Interpolation zwischen zwei Meßwerten keine Verbesserung unter 0.1 t i zu erwarten. Im Allgemeinen lassen sich Nulldurchgänge präziser ermitteln als die Extrema, dabei ist aber ein evtl. vorhandener Offset der Schwingung, d.h. eine Abweichung der Nullage von u zu berücksichtigen. Für die Fouriertransformierten sind die Fehler der Fit-Parameter der Peak-Maxima eine Abschätzung. Dabei ist auf eine sinnvolle Güte der Anpassung zu achten (χ 2 pro Freiheitsgrad 1). Da diese Messung nur ein relativer Vergleich ist, heben sich die systematischen Fehler auf und es bleiben die statistisch verteilten Fehler. Diese können auch aus der Schwankung von Mehrfachmessungen abgeschätzt werden.

58 58 KAPITEL 2. AKUSTIK u/v t/s u/v t/s abs(a) 0.15 f1 = Hz f2 = Hz f/hz Abbildung 2.20: Fouriertransformation für nah beieinander liegende Einzelfrequenzen Oben: Die gesamte aufgezeichnete Schwebung Mitte: Ein Ausschnitt mit Knoten bei t=2.55s Unten: Die Fouriertransformierte mit Parabelanpassungen für f 1 und f 2

59 2.4. DOPPLER-EFFEKT Doppler-Effekt a) Messung der Schallgeschwindigkeit in Luft b) Doppler-Effekt c) Echolot Versuchsziele α) Abstrahlcharakteristik des Senders (Schallumwandler) Hierbei handelt es sich um einen Vorversuch, um einen guten, langzeitstabilen Senderbetrieb zu garantieren. a) Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft Mit einem Oszilloskop wird die Phasenverschiebung bei Veränderung des Abstandes zwischen Sender und Empfänger sichtbar gemacht. Das Durchfahren von 100 Wellenlängen bei fester Senderfrequenz ermöglicht die Bestimmung der Schallgeschwindigkeit in Luft. b) Überprüfung des Doppler-Effektes Das Frequenzspektrum einer periodisch hin- und herfahrenden Schallquelle wird ausgemessen und mit der theoretischen Erwartung verglichen. c) Das Echolot-Prinzip wird an einer reflektierenden Wand erprobt Physikalische Grundlagen Kenntnisse: Wellengleichungen, Schall als harmonische Welle, Dopplereffekt, Echolot-Prinzip Schall ist eine longitudinale Welle mit den Feldgrößen Schalldruck p (skalar) und Schallschnelle u (Bewegung der Einzelteilchen entlang Ausbreitungsrichtung). In diesem Versuch werden Ultraschallwellen (hörbarer Schall endet je nach Güte des menschlichen Ohres bei 15 bis 20 khz) benutzt, um die Schallgeschwindigkeit in Luft und den Doppler-Effekt zu messen. Als letzter Versuchsteil wird das Sender Empfänger System ebenfalls in Luft als Echolot betrieben. Eine ebene Welle, die sich o.b.d.a in x-richtung ausbreitet, wird durch die Wellengleichung der Form: d 2 a dx = 1 2 c d2 a (2.8) 2 dt 2 beschrieben, wobei a die Feldgröße (p und u) bezeichnet. Zur Herleitung der Wellengleichung in Gasen benötigt man die Eulerschen Gleichungen für adiabatische Prozesse: dp dx = ρ du dt, dp dt = p 0κ du dx (2.9) wobei ρ, p 0 und κ Dichte, Druck und Adiabatenkoeffizient (= c p /c V Gasen) des Mediums sind. = 1,4 bei zweiatomigen

60 60 KAPITEL 2. AKUSTIK Aufgabe: Man leite die Wellengleichung 2.8 aus 2.9 her und zeige, dass für die Schallgeschwindigkeit c (im dispersionslosen Fall) gilt: c = κ p0 ρ (2.10) Da ρ und p 0 temperaturabhängig sind, ist es auch die Schallgeschwindigkeit. Aufgabe: Man zeige mit Hilfe der idealen Gasgleichung die Beziehung: c = R κ M mol T (2.11) und entwickle diese für Raumtemperatur ϑ (in C, d. h. T = ϑ). Einsetzen der Werte für Luft (80%N 2, 20%O 2 ) ergibt: c = ( 331, 6 + 0, 6 ϑ C ) m s ϑ in C (2.12) Die Lösung der Wellengleichung gibt den zeitlichen und räumlichen Verlauf z.b. der Druckamplitude p wider: ( p(x, t) = ˆp sin 2π f 0 t x ) + Φ (2.13) λ 0 Die Phase Φ kann in unserem Fall o.b.d.a. zu Null gesetzt werden. Aufgabe: Man zeige durch Einsetzen von 2.13 in 2.8, dass für die Wellenlänge λ 0 und die Frequenz f 0 gilt: c = λ 0 f 0 (2.14) Somit kann die Schallgeschwindigkeit durch gleichzeitige Messung der Wellenlänge und der Frequenz bestimmt werden. Sendet z. B. ein Sender mit konstanter Frequenz f, so kann ein Empfänger an einem festen Ort eine zeitliche Schwingung mit dieser Frequenz registrieren: p(t) = p 0 sin 2π (f 0 t + Φ ) (2.15) Die Phase Φ ist nun durch den Abstand zwischen Sender und Empfänger in Wellenlängeneinheiten bestimmt. Zur Piezo-Elekritzität: Bestimmte Kristalle können entlang ausgezeichneter (polarer) Symmetreiachsen bei mechanischem Druck eine elektrische Polarisation erfahren, die eine messbare Spannung an den Außenflächen des Kristalls erzeugt. Andererseits kann eine angelegte Spannung zu einer mechanischen Verschiebung der kristallinen Struktur führen. Diese Effekte können wegen der kleinen Auslenkungen sehr schnell ablaufen. In diesem Versuch werden Piezokristalle als sogenannte Ultraschallwandler benutzt. Trotz der für ein Material immer gleichen Kristallstruktur, die im Prinzip immer zu derselben Resonanzfrequenz führen müsste, besitzt jeder Kristall aufgrund seiner geometrischen Dimensionen eine eigene Resonanzfrequenz, bei der er maximalen Ausschlag zeigt. Die Resonanzfrequenz der verwendeten Ultraschallwandler liegt bei 40 khz.

61 2.4. DOPPLER-EFFEKT 61 v Abbildung 2.21: Der Doppler-Effekt bei bewegter Quelle Zum Doppler-Effekt: Wenn sich Sender und Empfänger relativ zueinander bewegen, misst der Empfänger eine von der Senderfrequenz f 0 verschiedene Frequenz f. Bewegen sie sich mit einer Geschwindigkeit v aufeinander zu, so wird die Welle zusammengedrückt, bewegen sie sich voneinander weg, wird die Welle auseinandergezogen. Aufgabe: Man leite die unterschiedlichen Bezeihungen für die vom Empfänger registrierte Frequenz f her: { } 1 + : Sender entfernt sich f = f 0 (2.16) 1 ± v/c : Sender nähert sich und f = f 0 (1 ± v/c) { + : Empfänger nähert sich } : Empfänger entfernt sich (2.17) Meist ist die Geschwindigkeit des Senders klein gegenüber der Schallgeschwindigkeit c (wir erwarten in diesem Versuch 1 : 350), sodass die erste Formel gemäß der Taylorentwicklung umgeformt werden kann in: ( f = f 0 1 v ( ) ) v 2 ( c ±... f 0 1 v ) (2.18) c c Aufgabe: Die Schallgeschwindigkeit und die Sendergeschwindigkeit sei jeweils auf 0,1% genau bestimmt. Ist für v : c = 1 : 350 messbar, ob die exakte oder die genäherte Formel stimmt? Somit kann man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen v und Frequenzverschiebung f ausgehen: f f 0 = f f 0 f 0 = v c { : Sender entfernt sich + : Sender nähert sich } (2.19)

62 62 KAPITEL 2. AKUSTIK Zum Echolot: Das Echolotprinzip ist aus dem Alltag wohlbekannt: Schall (und natürlich auch Ultraschall) wird an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes gut reflektiert. Das Echolot benutzt eine gepulste Schallquelle, um Wellenpakete zu senden, welche reflektiert und mit einem Empfänger registriert werden. Aufgabe: Warum muss die Quelle gepulst sein? Warum benutzt man Ultraschall? Es wird der Zeitunterschied t zwischen Aussendung des Signals und Einlauf des reflektierten Signals gemessen. Dann ist der Abstand zur Grenzfläche: d = 1 t c (2.20) 2 Zur Erzeugung und Messung der Ultraschallwellen werden sogenannte Ultraschallwandler benutzt. Die Umwandlung zwischen elektrischer und mechanischer Energie erfolgt durch den piezoelektrischen Effekt. Im beweglichen Sendergehäuse wird die Piezo-Fläche von einer kontinuierlichen Rechteckspannung angeregt und sendet eine harmonische Schallwelle (mit nur einer Frequenz f 0 ) aus Versuchsaufbau Es steht folgendes Material zur Verfügung: Pendelbahn mit 16 Schienenabschnitten ( 2m, Firma LEGO), Kontrollelektronik Pendelzug zur automatischen Pendelbewegung und Zeitmessung mit Netzteil und 4 Lichtschranken. Es soll eine möglichst lange Messstrecke aufgebaut werden, wobei ein wenig Auslaufreserve dazugegeben werden muss (probieren bei maximaler Versorgungspannung 4,5 V). Die Pendelbahn wird gemäß Abb an das Gerät Pendelzug angeschlossen. Die äuße- Pendelzug Kontrollelektronik zum PC Netzteil 12V SDS200 MXG 9802A L1 L2 L3 L4,, Empfanger Pendelzug mit Batterie und Sender Abbildung 2.22: Schematischer Versuchsaufbau ren Lichtschranken L1 und L4 werden zum Stoppen des Triebwagens und Rücksetzen der

63 2.4. DOPPLER-EFFEKT 63 Stoppuhr, die inneren Lichtschranken L2 und L3 zur Zeitmessung benutzt. Die Pendelzugkontrolle schaltet automatisch an den Endpunkten von Vor- auf Rücklauf (bzw. umgekehrt) um, wobei der Triebwagen an den Endpunkten einige Zeit verweilt, damit die Messwerte notiert werden können und die Senderfrequenz f 0 beim Doppler-Effekt gemessen wird. Die Kontrollelektronik Pendelzug (Abb. 2.23) besitzt folgende Bedienelemente: Drehpotentiometer: Versorgungsspannung ( , 5 V) linker Schalter: Mit START und STOP wird die Versorgungsspannung des Triebwagens kontrolliert. Die Stoppuhr ist davon unabhängig. Sie reagiert nur auf Signale der Lichtschranken L2 und L3. Während des Versuchs wird der Schalter nur für den Doppler-Effekt in START-Stellung gebracht, ansonsten wird der Triebwagen von Hand bewegt. rechter Schalter: Umschalten zwischen manuellem (MAN) und automatischem Betrieb (AUTO). Während des ganzen Versuchs belässt man den Schalter in der Stellung AUTO. linke Anzeige: Versorgungsspannung des Pendelzugs in Volt rechte Anzeige: Stoppuhr in ms Netzteil anschluss PENDELZUG U 2.80 CANON D Buchse Bahn & Lichtschranke T START STOP SPEED MAN AUTO Abbildung 2.23: Pendelzug Kontrollelektronik piezoelektrischer Schallumwandler als Empfänger mit angeschlossenem LEMO-Kabel. Sender-Box (siehe Abb. 2.24) mit batteriebetriebenem piezoelektrischem Schallumwandler, kontinuierlicher oder gepulster Betrieb. Ein Frequenzgenerator erzeugt eine Rechteckspannung mit einer Frequenz von 40 khz, die der Schallumwandler in eine harmonische (sinusförmige) Schallwelle umwandelt. Schaut man von vorne auf den Sender, so befinden sich an der rechten Seite die Batterieanschlüsse und an der linken Seite ein Drehpotentiometer und eine LEMO-Buchse. Mit dem Drehpotentiometer ist die Anregerfrequenz in einem Bereich von einigen Hundert Hertz einstellbar.

64 64 KAPITEL 2. AKUSTIK gepulstes Signal Aus/Ein PULSE OFF BAT OFF Betriebsschalter Aus/Ein Poti. fur Frequenz Abstimmung LEMO Buchse: elektr. Erregersignal Ultraschall wandler Abbildung 2.24: Sender-Box An der LEMO-Buchse kann das Erregersignal abgegriffen werden. Oben auf der Sender-Box befinden sich zwei Kippschalter: der rechte schaltet die Versorgungsspannung (OFF/BAT) durch, der linke schaltet zwischen kontinuierlichem (OFF) und gepulstem Betrieb (PULSE). DEN SENDER ERST EINSCHALTEN, WENN DER AUFBAU KOMPLETT IST UND MIT DEN MESSUNGEN BEGONNEN WERDEN KANN (Kap ). Funktionsgenerator/messer CONRAD MXG-9802 A, der als computerauslesbarer Frequenzmesser betrieben wird, Kabel für serielle Schnittstelle. Der Schalter FC/FG schaltet die Digitalanzeige zwischen internem (Frequenzgenerator) und externem Signal um (Frequenzmesser). Der Frequenzmesser misst während einer einstellbaren Zeit (Gate) die Frequenz und zeigt sie auf dem Display an. Aufgabe: Mit welcher Genauigkeit lässt sich die Frequenz bestimmen bei Gate-Zeiten von 1/10s, 1s, 10s? Beim Einschalten des Gerätes wird automatisch das Gate auf 1 Sekunde und der ausgelesene Kanal (CHAN) A gewählt. Diese Einstellungen sollten für die gesamte Versuchsdauer beibehalten werden. Überprüfen Sie die Einstellungen auf dem Display (untere LED-Leiste). Als Kabelanschluss für das Empfängersignal wird der zweite von rechts (CH-A 200MHz) benutzt. Der Frequenzmesser ist über die serielle Schnittstelle (Anschluss an der Rückseite) mit dem Praktikums-Computer auslesbar. Das Ausleseprogramm doppler mit graphischer Anzeige wird vom Assistenten bereitgestellt. Eine detaillierte Beschreibung über die Bedienung findet sich in Kap Bitte kopieren Sie dieses Programm in Ihren Bereich, da sonst alle Datein mit Ihren Messungen auf dem Desktop abgelegt werden. LEMO und BNC Kabel mit Adaptern ( T ). computerausgelesenes, digitales Speicheroszilloskop SDS 200, USB-Kabel. Das Oszilloskop wird über das USB-Kabel an den Praktikums-Computer angeschlossen. Die Spannungsversorgung des Gerätes wird über das USB-Kabel geliefert. Das Programm SoftScope 1.2 zum Auslesen und Darstellen der Messwerte wird vom Desktop des Praktikums- Computers gestartet. Beim Starten des Programms schaltet das Oszilloskop einige Relais durch, NICHT ER- SCHRECKEN!

65 2.4. DOPPLER-EFFEKT 65 Zum besseren Kennenlernen des Oszilloskops kann das Signal des Frequenzgenerators auf einen Kanal (z. B. Ch1) gegeben werden. Die verschiedenen Funktionen (Trigger, Delay, Cursor, Messungen, usw.) können dann sozusagen an einer selbst bestimmbaren Schwingungsquelle ausprobiert werden. Die Beschreibung der einzelnen Bedienelemente würde den Rahmen dieser Versuchsbeschreibung sprengen. Der Praktikumsassistent wird die wichtigsten Punkte vorstellen und für weitere Fragen zugegen sein. Es liegt auch eine kurze Bedienungsanleitung bei. 1 Metermaßband Versuchsdurchführung α) Bestimmung der Abstrahlcharakteristik des Senders zeitabhängig Beim Einschalten des Senders wärmt sich die Treiberelektronik langsam auf. Dies kann zu einer Frequenzverschiebung führen. Messen Sie die Frequenz mit dem Frequenzmesser CONRAD MXG-9802 A nach dem Einschalten alle 30 Sekunden. Beobachten Sie, ob die Frequenz ab einer gewissen Zeit stabil bleibt. Danach sollte der Sender nicht mehr ausgeschaltet werden, um Frequenzschwankungen während der Messungen zu unterdrücken. Für diese Messung kann auch das Programm doppler benutzt werden, das im Abschnitt b) genauer beschrieben wird. frequenzabhängig Diese Messung erfolgt mit dem Oszilloskop. Die angezeigte Spannung (linke Menü-Leiste, von Spitze zu Spitze) ist proportional zur Druckamplitude. Da es sich hier um eine relative Amplitudenmessung handelt, sollte der Messbereich bzw. Abstand zum Empfänger so gewählt werden, dass der Messbereich vollkommen ausgenutzt wird (z. B. einmal die Frequenz durchfahren und beim maximalen Messwert den Abstand entsprechend festsetzen). Die Schallintensität des Senders variiert etwas. Einige Messwerte im Abstand von einigen Sekunden notieren und mitteln. Die Messwerte in ein Diagramm U(f) eintragen. a) Messung der Schallgeschwindigkeit Über eine Veränderung des Abstandes zwischen Sender und Empfänger wird die Phase der gemessenen Wellenfront zur ausgesendeten Wellenfront verändert. Aus Gl erkennt man, dass zwischen den Schwingungen (Gl. 2.15) an zwei verschiedenen Orten mit dem Abstand d entlang der Ausbreitungsrichtung x der harmonischen Welle ein Phasenunterschied besteht: Φ = 2π d λ 0 (2.21) Fährt man nun den Sender (mit der Hand) vom Empfänger weg, so läuft dieser Phasenunterschied in der registrierten Schwingung durch. Nach einer komplett zurückgelegten Wellenlänge λ 0 ist die Schwingung wieder deckungsgleich mit der Startschwingung. Diese Messung wird mit dem Oszilloskop durchgeführt: Auf Kanal 1 (Ch1) wird das elektrische Ausgangssignal des Senders gegeben. Der Trigger wird auf Ch1 festgesetzt. Der

66 66 KAPITEL 2. AKUSTIK Messbereich sollte so gewählt werden, dass zwei bis drei Rechteckstufen zu sehen sind. Auf Kanal 2 (Ch2) wird nun das Ausgangssignal des Empfängers gegeben. Bei einer leichten Verschiebung des Senders ist zu sehen, wie sich das sinusförmige Empfängersignal gegen das Rechtecksignal verschiebt (siehe Abb. 2.25). Hinweise zur Durchführung und Auswertung: Chan 1 Chan 2 Abbildung 2.25: Abbildung der Schwingungen mit dem Oszilloskop beim Durchfahren einer Wellenlänge Eine eindeutig gut ablesbare Phase als Ausgangspunkt nehmen. Einen guten Anfangspunkt für die Streckenmessung nehmen (LEGO-Steinchen... ) Bei welchem Signal (Rechteckspannung oder Sinusschwingung) ist der Trigger stabiler? Langsam fahren, da das Oszilloskop sampled, was bei unregelmäßigem Signal zu breiten Bändern in der Anzeige führt. Um einen möglichst kleinen relativen Fehler in der Streckenbestimmung zu erhalten, werden 100 Wellenlängen durchgeschoben. Zur besseren Kontrolle des Zählvorgangs alle 20 Wellenlängen den Wert der zurückgelegten Strecke und der Frequenz aufschreiben. Sind bei jeder Messung genau 20 Wellenlängen durchfahren worden? Ist die Senderfrequenz konstant? Die Wellenlänge wird durch lineare Regression im (n λ, d) Diagramm bestimmt. Wie groß ist der Fehler der Einzelmessung? Wie groß ist der Fehler von λ? Vergleichen Sie mit dem theoretisch erwarteten Wert (Gl. 2.12). Ein Thermometer ist im Versuchsraum aufgehängt. Wie groß ist der Fehler des erwarteten Wertes? b) Messung des Doppler-Effekts Bei verschiedenen Geschwindigkeiten ( funktionaler Zusammenhang mit Versorgungsspannung) wird die Frequenzänderung während der Fahrt des Senders auf den Empänger zu, bzw. von ihm weg, gemessen. Der Versuch setzt sich aus zwei Messungen zusammen: (1) Bestimmung der Geschwindigkeit der Pendelbahn (in Abhängigkeit von der Versorgungsspannung) (2) Bestimmung der Frequenzverschiebungen

67 2.4. DOPPLER-EFFEKT 67 Die beiden Messungen können kombiniert werden, d. h. es sollte gleichzeitig zur Laufzeitmessung des Wagens die Freqenzverschiebung mit dem Programm doppler bestimmt werden. Sie sind hier nur getrennt aufgeführt, um zu verdeutlichen, dass sie beide einer entsprechenden Auswertung und Fehlerbetrachtung bedürfen. zu (1): Geschwindigkeitsmessung Bauen Sie die Pendelbahn mit den vier Lichtschranken entsprechend der Abb auf. Die Funktionsweise der Elektronik wurde in Abschnitt beschrieben. Für ein besseres Verständnis der Apparatur lässt man die Pendelbahn einige Mal auf der Schalterstellung AUTO laufen. Die Bestimmung des Anfangs- und Endpunktes der Messstrecke bereitet einige Schwierigkeiten. Die Lichtschranke wird ausgelöst, wenn der kontinuierliche Lichtstrahl aus der linken Öffnung an dem Reflexionsstreifen auf dem Triebwagen in die rechte Öffnung reflektiert wird (siehe Abb. 2.26). Dieser Zeitpunkt (und damit Ortspunkt) ist nicht identisch mit dem Vorbeifahren der Streifenkante an der Lichtschranke. Am besten fährt man sehr langsam den Wagen mit der Hand durch (Pendelzug-Kontrolle auf STOP) und achtet auf den Augenblick des Auslösens (bzw. Stoppens) der Stoppuhr. Mit etwas Geschick und Ausnutzen der LEGO-Rasterstruktur kann durch Verschieben der Lichtschranken eine Genauigkeit von unter 1 mm errreicht werden! Es ist zu prüfen, ob die Strecken in Hin- und Rückrichtung gleich lang sind. Lichtschranke Reflexionsstreifen Lichtsignal Triebwagen Abbildung 2.26: Funktionsweise der Lichtschranke (Sicht von oben) Hinweise zur Durchführung und Auswertung: - Befolgen Sie eine sinnvolle Messreihe: z.b. von 2.5 V an in Schritten von 0.5 V. (Bei einer Versorgungsspannung unterhalb von 2.5 V reicht das Drehmoment des Triebwagens nicht für eine gleichmäßige Bewegung aus.) - Probieren Sie bei maximaler Geschwindigkeit, ob die Auslaufstrecken lang genug sind. - Die Geschwindigkeit für Hin- und Rückfahrt kann unterschiedlich sein, z. B. durch nicht horizontalen Aufbau.

68 68 KAPITEL 2. AKUSTIK - Wie gut ist die Reproduzierbarkeit, d.h. sind die Messwerte der Laufzeiten statistisch verteilt? Der Fehler der Laufzeit wird durch einfaches Mittel über jeweils fünf bis zehn Hin- und Herfahrten bestimmt. - (Zusatz:) Wie ist der funktionale Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und Geschwindigkeit? Bei linearem Zusammenhang zwischen Versorgungsspannung und Geschwindigkeit kann eine Ausgleichsgerade mittels linearer Regression berechnet werden. zu (2): Frequenzverschiebung Für die Messung der Frequenzverschiebung wird der Frequenzmesser über die serielle Schnittstelle des Praktikums-Computers ausgelesen. Das Programm doppler kann zwar vom Desktop aus gestartet werden, jedoch ist es günstiger, es von einem DOS-Fenster ( Eingabeaufforderung ) mit dem Befehl doppler zu aktivieren. Wenn Sie keine weiteren Parameter angeben, liest das Programm den Frequenzmesser aus. Wenn Sie den Namen einer alten, gespeicherten Messung anfügen (Dateityp Frequenz, nicht Histogramm), stellt das Programm diese Werte dar. Verifizieren Sie, dass das Programm die gleiche Empfängerfrequenz liest wie die Anzeige des Frequenzmessers darstellt. Das Programm liest einmal pro Sekunde den Frequenzmesser aus und stellt die Daten auf zwei Fenstern dar (Abb. 2.27): MGX 9802 Frequenzmessung f = Hz Statistik mean = 0.23 Hz emean = 0.25 Hz rms = 2.68 Hz Abbildung 2.27: Graphische Darstellung des Programms doppler zur Messung des Doppler-Effekts Das größere Fenster zeigt den zeitlichen Verlauf der Messungen, wobei der letzte gelesene Wert oben in der Mitte dargestellt wird. Befindet sich der Cursor in diesem Fenster, erhält man mit der rechten Klick-Fläche (Maustaste) ein Menü zur Kontrolle des Programms. Es ist ratsam, das Menüfenster nicht unnötig zu bedienen, da keine neuen Daten aufgenommen werden, solange das Menü aktiviert ist. Das Programm kann mit folgenden Optionen kontrolliert werden: Start: Weiterführung der Messung, falls vorher gestoppt Stop: Stoppen der gegenwärtigen Messung

69 2.4. DOPPLER-EFFEKT 69 Reset: Löschen der aktuellen Messung. ACHTUNG: Dieser Befehl löscht nur die Darstellung. Bei einer späteren Speicherung werden alle Daten ab dem ersten Start des Programms in eine Datei geschrieben (s.u.). Deswegen ist es besser, für jede Messung das Programm neu zu starten und gleich mit der Messung zu beginnen. Save: Die Daten werden in einer Datei im aktuellen Verzeichnis abgespeichert, wobei deren Name automatisch generiert wird (jahr-monat-tag-stunde-minute-sekunde doppler typ.dat, mit typ: f=frequenz, h=histogramm). Am besten startet man das Programm für jede Messung neu, da die Reset-Funktion nur den Bildschirminhalt löscht, aber alle Daten behält und bei einer nachträglichen Auswertung auch diese in die Berechnungen mit einbezieht. Change ymax: Die Obergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden großen Schritten verändert werden. Change ymin: Die Untergrenze des angezeigten Frequenzbereichs kann in verschieden großen Schritten verändert werden. Das kleinere Fenster zeigt die Verteilung (das Histogramm) der gemessenen Frequenzen. Es rechnet automatisch bei jedem dazukommenden Wert den Mittelwert neu aus und zieht ihn von den Messungen ab. Somit ergeben sich drei Häufungen (Rückfahrt, Stillstand, Hinfahrt), die um 0 Hz gruppiert sind. Die Werte (mean = Mittelwert, emean = Fehler des Mittelwertes, rms = Standardabweichung) der einzelnen Häufungen können mit einem darüber gelegten Fenster angezeigt werden. Wenn das Fenster nicht aktiviert ist ( Peak finder off ), wird der Mittelwert aller Daten angezeigt (die Fehler sind somit statistisch unsinnig). Aktivieren Sie die Kontrolle mit der rechten Klickfläche (der Cursor muss sich natürlich in dem Histogrammfenster befinden), und wählen Sie den Menü-Punkt Peak finder on. Das Fenster wird mit roten senkrechten Linien angezeigt. Mit den Cursor-Tasten und können die Begrenzungslinien verschoben werden. Tippt man die Taste U so wird das obere Limit, tippt man die Taste L so wird das untere Limit verschoben. Starten Sie nun die Pendelbahn im AUTO-Betrieb und schauen, wie das Programm reagiert. Nehmen Sie für jede Geschwindigkeit einen eigenen, sinnvoll großen Datensatz auf. Hinweise zur Durchführung und Auswertung: - Überprüfen Sie von Zeit zu Zeit die Umgebungstemperatur. - Wie kommt das eigentümliche Histogramm zustande (es sind mehr als nur drei Häufungen zu sehen)? - Achten Sie darauf, dass das richtige f genommen wird! Wie groß ist der Fehler von f (Achtung: Differenzmessung!)? - Tragen Sie zum Schluss die Ergebnisse der gesamten Messreihe in ein Diagramm ein. Welche Darstellung ist sinnvoll? Überlegen Sie, welche Fehler in diese Messung eingehen. Eine Möglichkeit der Auftragung ist in Abb 2.28 zu sehen.

70 70 KAPITEL 2. AKUSTIK f / f 0 0,001 0,001 Abbildung 2.28: Graphische Darstellung des Ergebnisses des Doppler-Effekts v / c - Verifizieren sie die theoretische Vorhersage unter Berücksichtigung des Ergebnissis von Versuchsteil a) mittels linearer Regression (mit Fehler auf der Abszisse und Ordinate). - Meist sind die beiden äußeren Häufungen des doppler-histogramms asymmetrisch. Dies ist durch die Systematik der Messung gegeben. (Warum? Welche?) Dort ist zu überlegen, ob die angegebene Standardabweichung des Mittelwertes (Grundlage: statistische Gauß-Verteilung) den tatsächlichen Fehler richtig abschätzt. Man kann den Fehler auch durch Verändern des Intervalls abschätzen, indem man die Variation des sich dann verändernden Mittelwertes betrachtet. Zu überlegen ist auch, ob man den Schwerpunkt (=Mittelwert) der Verteilung nimmt oder den Wert der maximalen Häufung. - Alternativ zur genäherten Formel (Gl. 2.18) kann die Auswertung auch über die exakte Formel durchgeführt werden. Durch leichtes Umformen erhält man die Beziehung: f f = v c (2.22) c) Echolot Ultraschallwellen werden an Grenzflächen zwischen Medien unterschiedlichen Schallwellenwiderstandes reflektiert. Wie in Versuchsteil a) gesehen, kann man mittels der Phasenverschiebung einer kontinuierlichen Welle nur Strecken vermessen, die kürzer als eine Wellenlänge sind. Deshalb benutzt man eine gepulste Schallquelle, die kurze Wellenzüge einiger Wellenlängen aussendet. Der Abstand zum reflektierenden Hindernis wird dann gemäß Gl bestimmt. (1) Stellen Sie Empfänger und Sender auf (Fast-)Berührung gegenüber auf (direkter Kontakt kann zu elektrischem Übersprechen zwischen Sender und Empfänger führen). Geben Sie analog zur Messung der Schallgeschwindigkeit das Sendersignal auf Kanal 1 und das Empfängersignal auf Kanal 2 des Oszilloskops. Wählen sie die Zeiteinteilung

71 2.4. DOPPLER-EFFEKT 71 so, dass Sie das gesamte Sender- und Empfängersignal gleichzeitg auf dem Schirm sehen. Warum hat das Empfängersignal eine andere Form als das Sendersignal (abgesehen von der Rechteckspannung)? Messen sie die Zeit zwischen erster Senderschwingung und erster Empfängerschwingung. Sie können einen Cursor im Oszilloskop-Bildschirm durch Klicken auf das Pfeil- Symbol oben links aktivieren. Der Cursor lässt sich mit dem touchpad bei gedrückter linker Taste verschieben. Der gegenwärtige Wert wird unten angezeigt. Diese Zeitdifferenz t 0 muss bei allen folgenden Versuchen abgezogen werden, da ja der Abstand zwischen Sender- und Empfängergehäuse gleich Null ist. Schieben Sie den Sender langsam vom Empfänger weg und schauen Sie sich die beiden Signale bei groberer Zeitauflösung an. Messen sie den Abstand zum Sender mit dem Maßband und die Zeitdifferenz mit dem Oszilloskop. Man kann ein wenig mit der Zeitauflösung, dem Trigger-Delay und dem Cursor spielen, um ein möglichst exaktes Ergebnis zu erhalten. Führen Sie einige Messungen durch und vergleichen Sie das Ergebnis mit der in Teil a) gemessenen Schallgeschwindigkeit. (2) Stellen Sie Empfänger und Sender nebeneinander auf. Schauen sie sich erst das gepulste Signal bei großer Zeitauflösung an. Stört das direkte Sendersignal das Empfängersignal (Übersprechen)? Durch eine Trennwand und leichtes Drehen des Senders oder Empfängers lässt sich womöglich die Situation verbessern. (Der Sender strahlt nicht unbedingt exakt geradeaus.) Eventuell andere Störfaktoren (Schienen, nah placierte Geräte) entfernen. Stellen Sie die Reflexionswand in einem Abstand von ungefähr 50 cm auf. Messen Sie den Zeitunterschied t zwischen gesendetem und reflektiertem Signal. Berechnen Sie unter Verwendung des Ergebnisses aus Versuchsteil a) den Abstand zur Reflexionswand (Gl. 2.20) und vergleichen mit dem Wert, den Sie mit dem Maßband bestimmt haben. Wiederholen Sie die Messung bei verschiedenen Abständen. Wie gut ist Ihr Echolot? Schätzen Sie den Fehler der berechneten Lauflänge (Fehler in t, t 0 und c) ab. Wie groß sind die Abweichungen zur Messung mit dem Metermaßstab?

72 Kapitel 3 Wärmelehre 3.1 Dampfdruckkurve Aufgaben In diesem Versuch wird die Dampfdruckkurve von Wasser vermessen und die Verdampfungsenthalpie bestimmt. Grundlagen Wärme, Temperatur, Zustandsgrößen, ideale und reale Gase, ideale Gasgleichung, 1. und 2. Hauptsatz der Wärmetheorie, Zustandsänderung, Zustandsdiagramm, Phasenübergänge, Verdampfungsenthalpie, Clausius-Clapeyron-Gleichung, kritische Parameter. Literatur Gerthsen/Vogel, Physik Bergmann/Schäfer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Band 1, Mechanik Akustik Wärme Hänsel/Neumann, Physik Tipler, Physik Baehr, Thermodynamik Stumpf/Rieckers, Thermodynamik hebbeker/lectures/ph1 0102/p112 l07/p112 l07.html

73 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 73 Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 2. Teil, Gleichgewichte außer Schmelzgleichgewichten Landolt-Börnstein, Zahlenwerte und Funktionen, Band II, 4. Teil: Kalorische Zustandsgrößen Theoretische Grundlagen Wärme und Temperatur Wärme ist eine Form von Energie. Wird einem Körper Wärme zugeführt oder wird ihm Wärme entzogen, ändert sich seine Temperatur (Ausnahme: latente Wärme, siehe Abschnitt Änderung von Aggregatszuständen ), wie aus dem Alltag bekannt ist. Die Temperatur ist eine Zustandsgröße. Hierunter versteht man eine eine Stoffmenge charakterisierende Größe, deren Wert nur vom momentanen Zustand der Stoffmenge abhängt, es also egal ist, auf welchem Weg dieser Zustand erreicht wurde. Andere Zustandsgrößen sind Druck, Volumen, innere Energie. Arbeit und Wärme sind dagegen keine Zustandsgrößen. Um die Temperatur zu messen, braucht man eine physikalische Größe, die sich mit der Temperatur ändert, und eine Skala, die über zwei (willkürliche) Fixpunkte festgelegt wird. Falls die Temperaturabhängigkeit der zur Temperaturmessung verwendeten Größe linear ist, wird der Bereich zwischen den Fixpunkten gleichmäßig in z.b. 100 Einheiten eingeteilt und die so gewonnene Skala über die Fixpunkte hinaus verlängert. Beispiele für Temperatur-Skalen: Celsius-Skala (1741): 0 C = Schmelztemperatur von Eis, 100 C = Siedetemperatur von Wasser. Die offizielle Temperaturskala ist die Kelvin-Skala, in der als einziger Fixpunkt seit 1954 der mit großer Genauigkeit bestimmbare Tripelpunkt (siehe später) des Wassers (T = C) verwendet wird: 0 K = tiefste theoretisch denkbare Temperatur (absoluter Nullpunkt), K = Tripelpunkt von Wasser. Die Kelvinskala bezieht sich also auf den absoluten Nullpunkt. Die in Kelvin gemessene Temperatur wird als absolute Temperatur bezeichnet. Das Kelvin ist auch die Einheit für Temperaturdifferenzen. Ein Beispiel für einen häufig für Temperaturmessungen ausgenutzten physikalischen Effekt ist die Ausdehnung von Stoffen (meist Flüssigkeiten) mit steigender Temperatur. Eine Besonderheit ergibt sich für Wasser: normalerweise hat der feste Aggregatszustand eines Stoffes eine höhere Dichte als der flüssige. Wasser hat aber bei T = 4 C seine größte Dichte (Eis schwimmt auf Wasser). Für Wasser ist γ also negativ für T < 4 C, positiv für T > 4 C. Gesetze für ideale Gase In einem idealen Gas werden die Moluküle als punktförmig angenommen (kein Eigenvolumen) und die Wechselwirkung zwischen den Molekülen vernachlässigt.

74 74 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE Das Volumen eines Gases hängt vom Druck ab. Bei gleicher Masse (geschlossenes Gefäß) erhöht sich bei Kompression die Dichte des Gases: p = ρ const. Daraus folgt das Boyle-Mariottsche Gesetz, welches für ideale Gase bei konstanter Temperatur gilt: p V = const. Der Zusammenhang zwischen den drei Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur wird durch die Zustandsgleichung idealer Gase (ideale Gasgleichung) beschrieben: pv = νrt abs (3.1) Hierbei ist ν die Stoffmenge (Anzahl der Mole). R wird als allgemeine Gaskonstande bezeichnet. Mit dem Molvolumen V 0 = 22.4 l/mol, dem Normaldruck p 0 = bar und T 0 = K gilt: R = p 0 V 0 /T 0 = 8.31 J/(mol K). Mit der Avogadrozahl N A = Teilchenzahl pro Mol = und ν = N/N A lässt sich Gleichung 3.1 auch schreiben als pv = NkT abs mit der Boltzmann-Konstanten k = R/N A = J/K. Die Isothermen, d.h. p-v-kurven für T=const., sind demnach für ein ideales Gas Hyperbeln, wie in Abb. 3.1 links exemplarisch für ein Gas, welches bei 0 C und Athmosphärendruck ein Volumen von 1 l einnimmt, gezeigt ist. Abbildung 3.1: Links: Isothermen eines idealen Gases. Rechts: Van der Waals-Isothermen von CO 2.

75 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 75 Reale Gase In realen Gasen haben die Moleküle ein endliches Eigenvolumen. Dies führt zum sogenannten Kovolumen b, welches wegen der Packungslücken ungefähr dem vierfachen Eigenvolumen der Moleküle entspricht. Desweiteren wechselwirken die Teilchen untereinander durch Van der Waals-Kräfte, wodurch zum äußeren Druck ein innerer Druck addiert werden muß. Die ideale Gasgleichung geht über in die Van der Waals-Gleichung: (p + a/v 2 )(V b) = νrt abs Die Isothermen sehen damit anders aus als für ein ideales Gas, wie man in Abb. 3.1 rechts am Beispiel von Kohlendioxid sieht. Außerdem ist zu beachten, daß für ein reales Gas die Wechselwirkung der Teilchen so stark werden kann, daß es seinen Aggregatszustand ändert und sich verflüssigt. Dies wird später behandelt. Spezifische Wärmekapazität Wenn zwei Körper mit den Temperaturen T 1 und T 2 < T 1 in Kontakt gebracht werden, stellt sich eine gemeinsame Temperatur T mit T 1 < T < T 2 ein. Es wird also Wärme von Körper 1 auf den Körper 2 übertragen. Die übertragene Wärmemenge Q ist Q = c 1 m 1 T = c 2 m 2 T c ist dabei eine materialabhängige Größe und wird als spezifische Wärmekapazität bezeichnet. Die Einheit für die Wärmemenge ist das Joule. Im Alltag noch gebräuchlich ist die Kalorie (cal), wobei 1 cal = Joule die Wärmemenge ist, die man benötigt, um 1 g Wasser von 14.5 C auf 15.5 C zu erwärmen. Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist [c] = J/(gK). Weiterhin ist definiert die Wärmekapazität C: C = mc = Q/ T mit [C] = J/K, sowie die molare Wärmekapazität C m = Mc mit [C m ] = J/(Mol K). Bei tiefen Temperaturen ist c allerdings selbst temperaturabhängig. Außerdem hängt die spezifische Wärmekapazität davon ab, ob man sie bei konstantem Druck (c p ) oder konstanten Volumen (c V ) bestimmt. Bei konstantem Druck führt die zugeführte Wärme nicht nur zu einer Erwärmung, sondern auch zu einer Ausdehnung der Körpers. Es ist also immer c P > c V. Wegen der kleinen Ausdehnung von Festkörpern und Flüssigkeiten mit der Temperatur fällt dies praktisch nur bei Gasen ins Gewicht. Das Verhältnis der beiden spezifischen Wärmen wird als Adiabatenexponent κ bezeichnet (warum wird später klar werden): κ = c p /c V (3.2) Diese Größe spielt auch in der Akustik (Schallwellen, siehe Versuche zur Akustik) eine Rolle.

76 76 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE 1. Hauptsatz Wie schon erwähnt wurde, ist Wärme eine Form von Energie, sie kann z.b. durch Reibung mechanisch erzeugt werden. Der Energieerhaltungssatz besagt, daß die Gesamtenergie innerhalb eines abgeschlossenen Systems durch beliebige (mechanische, thermische, elektrische, chemische) Vorgänge nicht erhöht werden kann. Es gibt also kein Perpetuum Mobile. In einem abgeschlossenen System findet weder Materie- noch Energieaustausch mit der Umgebung statt. Von einem geschlossenen System spricht man, wenn nur Energieaustausch stattfindet, und in einem offenem System wird sowohl Energie als auch Materie mit der Umgebung ausgetauscht. In der Thermodynamik werden i.a. geschlossene Systeme behandelt. Als innere Energie U eines Systemes bezeichnet man seine Energie im Schwerpunktsystem, also die Summe von thermischer, chemischer und elektrischer Energie, d.h. die Gesamtenergie abzüglich äußerer mechanischer (kinetischer, potentieller) Energie. Es gilt: U = Q + A (3.3) mit Q = zugeführter Wärme und A = zugeführter Arbeit. Die Vorzeichenkonvention ist die folgende: für Q > 0 wird Wärme zugeführt, für A > 0 Arbeit am System verrichtet. Ist dagegen Q < 0, wird die Wärme Q = Q abgeführt, für A < 0 wird die Arbeit A = A vom System verrichtet. In einem sogenannten Kreisprozeß landet man nach Zu- /Abführung von Wärme und Arbeit wieder beim Ausgangszustand, es gilt also U 1 = U 2 und damit: U = Q + A = 0 (3.4) also entweder Q > 0 (Wärme wird zugeführt) und A < 0 (Arbeit wird vom System verrichtet) oder umgekehrt. Die Gleichungen 3.3 und 3.4 bilden zusammen den 1. Hauptsatz der Wärmetheorie. Die Arbeit A ist die Arbeit, die von äußeren Kräften geleistet wird. Im Allgemeinen führt der Außendruck p a zu einer Volumenänderung dv : da = p a dv Falls dv < 0, verübt der Druck Arbeit am System (da > 0), im anderen Fall dehnt sich das System aus und verrichtet dabei Arbeit. Die Arbeit ist dann pdv und damit die Fläche unter einer Zustandsänderung im p-v-diagramm, siehe Abb In einem Kreisprozeß wird eine geschlossene Kurve im p-v-diagramm durchlaufen, ihr Flächeninhalt entspricht der freigewordenen oder geleisteten Arbeit (je nach Umlaufrichtung). Im Allgemeinen kann man den äußeren, vom Experimentator frei wählbaren Druck nicht durch den inneren, durch die Zustandsgleichung vorgegebenen Druck ersetzen. Dies ist nur in sogenannten quasi-statischen Prozessen erlaubt, in denen der äußere Druck dem inneren Druck numerisch immer fast gleich gewählt ist, wobei die Prozesse dann unendlich langsam ablaufen. Dies hat den Vorteil, daß man für p i die ideale Gasgleichung verwenden kann: p i V = νrt.

77 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 77 Abbildung 3.2: Arbeitsdiagramme von quasi-statischen Prozessen. Im rechten Bild ist ein Kreisprozeß gezeigt. Zustandsänderungen 1.) Isochore Zustandsänderung: V = const. du = dq = mc V dt U = mc V T + U 0 Die innere Energie hängt für eine feste Masse also nur von T ab. 2.) Isobare Zustandsänderung: p = const. Hieraus folgt C mp C mv = R. 3.) Isotherme Zustandsänderung: T = const. du = mc p dt pdv = mc V dt U = mc V T + U 0 du = 0 dq = pdv Zugeführte Wärme wird komplett in Arbeit umgesetzt. 4.) Adiabatische Zustandsänderung: Q = const. du = pdv = mc V dt Läuft der Prozeß quasi-statisch ab, gilt p = p i = νrt/v. mc V dt = νrt dv/v Mc V dt/t + RdV/V = 0

78 78 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE Abbildung 3.3: Isothermen (gestrichelte Linien) und Adiabaten (durchgezogene Linien) eines idealen Gases. C mv dt/t + R dv/v = 0 C mv ln T/T 0 + R ln V/V 0 = 0 ln T/T 0 + ln V/V 0 R/C mv = 0 T T 0 ( V V 0 ) R/CmV = 1 Mit den Gleichungen 3.2 und C mp C mv = R folgt daher: T V κ 1 = const. (3.5) Mit der idealen Gasgleichung folgt: pv κ = const. (3.6) pt κ 1 κ = const. (3.7) Dies sind die drei Poissonschen Gleichungen. Eine Druckänderung führt also zu einer Temperaturänderung (Beispiele für adiabatische Prozesse: Luftpumpe, Schallwellen). Im p-v-diagramm verlaufen die Adiabaten steiler als die Isothermen und schneiden diese daher, wie in Abb. 3.3 zu sehen ist. Änderung von Aggregatszuständen Wenn man einem Festkörper Wärme mit einer konstanten Rate zuführt, ändert sich die Temperatur wie in Abb. 3.4 exemplarisch für 1 g Wasser gezeigt. Zuerst steigt die Temperatur wie erwartet an: Q = c peis m(t T 0 ). Bei 0 C allerdings passiert etwas Neues: trotz Wärmezufuhr bleibt die Temperatur konstant. Beim Übergang vom festen zum flüssigen Aggregatszustand muß die kristalline Anordnung der Moleküle mit ihrer räumlich stabilen Struktur von Ionen und Elektronen aufgebrochen werden. Die zugeführte Wärmemenge von 335 J wird gebraucht, um 1 g Eis

79 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 79 zu schmelzen. Die Schmelzwärme beträgt also λ Schmelz = J/g Λ Schmelz = 6.03 kj/mol Zwischen 0 C und 100 C steigt die Temperatur nach Q = c pw asser m(t T Schmelz ) weiter an. Bei der Siedetemperatur T s = 100 C muß wieder eine Umwandlungswärme, die Verdampfungswärme, zugeführt werden: λ Verd = J/g Λ Verd = 40.6 kj/mol denn beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand wird die durch Van der Waals-Kräfte vermittelte Nahordnung zerstört. Solche Umwandlungswärmen zwischen Aggregatszustanden oder Phasen (z.b. verschiedenen Kristallstrukturen) werden auch als latente Wärmen bezeichnet. Beim Umkehrvorgang, also Kondensation und Erstarrung, werden die gleichen Energiemengen frei. Wie in der Chemie spricht man, je nachdem ob Wärme verbraucht oder frei wird, von endothermen oder exothermen Prozessen. Abbildung 3.4: Temperaturverlauf bei konstanter Erwärmung von 1 g Wasser. Ein Teil der Umwandlungswärme geht in Volumenarbeit über, denn das Volumen der Aggregatszustände ist i.a. unterschiedlich. Beim Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand muß eine dem Differenzvolumen entsprechende Menge Luft verdrängt werden: da = pdv. Die Änderung der inneren Energie ist also du = dq pdv < λ Verd m. In den obigen Zahlen ist

80 80 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE die Volumenarbeit schon enthalten. Zur Verdeutlichung spricht man statt von Wärme auch von Enthalpie H, wenn die Volumenarbeit schon addiert ist: H = U + pv H = U + (pv ) = Q V dp Für dp = 0 ist die Enthalpie also mit der Wärme identisch. Im Folgenden soll der Übergang vom flüssigen zum gasförmigen Aggregatszustand betrachtet werden. Hat man eine Flüssigkeit in einem evakuierten geschlossenen Gefäß, so verdampfen und kondensieren Moleküle, bis sich ein Gleichgewicht einstellt. Der Dampf hat dann einen von der Temperatur und Stoffart abhängigen Druck, den Dampfdruck oder Sättigungsdruck. Der Zusammenhang zwischen Sättigungsdampfdruck und Temperatur wird durch die Dampfdruckkurve beschrieben. Abb. 3.5 zeigt die Dampfdruckkurve von Wasser. Ist das Gefäß nicht evakuiert, müssen die Moleküle durch z.b. Luft diffundieren. Das Gleichgewicht stellt sich langsamer ein, aber der Dampfdruck ist der gleiche, denn nach Dalton ändert sich an den Partialdrücken der einzelnen Gase durch die Anwesenheit anderer Gase nichts. Ist zu wenig Flüssigkeit vorhanden, verdampft alles und es kann sich kein Gleichgewicht einstellen. Flüssigkeit in einem offenen Gefäß wird also unabhängig von Druck und Temperatur immer vollständig verdampfen (Verdunstung). Abbildung 3.5: Dampfdruckkurve von Wasser. Die Isothermen des Flüssigkeit-Gas-Systemes von CO 2 sind auf der linken Seite von Abb. 3.6 gezeigt. Sie folgen nicht mehr dem Boyle-Mariottschen Gesetz für ideale Gase, sondern zeigen

81 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 81 einen komplizierteren Verlauf. Wir betrachten die Isotherme bei T 1 = 10 C. Rechts vom Punkt A ist das CO 2 gasförmig, Kompression führt also zu einem Druckanstieg. Am Punkt A setzt Sättigung ein, Kompression führt zu Kondensation bei konstantem Druck. Schließlich ist bei B nur noch Flüssigkeit vorhanden, weitere Kompression führt zu starkem Druckanstieg. Das durch die Punkte A und B der Isothermen definierte Gebiet wird als Sättigungsgebiet bezeichnet. Für T 2 = 31 C sind am Punkt C die Volumina von Gas und Flüssigkeit gleich, beide Aggregatszustände haben die gleiche Dichte. Dieser Punkt wird als kritischer Punkt bezeichnet, entprechend die zugehörigen Zustandsgrößen als kritische Temperatur, kritische Dichte etc.. Oberhalb der kritischen Temperatur kann ein Gas auch durch beliebig hohen Druck nicht verflüssigt werden. Nur für Zustände weit entfernt vom kritischen Punkt gilt die Thermodynamik eines idealen Gases. Die aus der Van der Waals-Gleichung berechneten Isothermen (Van der Waals-Isothermen) sehen anders aus als die im Experiment gewonnen Kurven (Abb. 3.6, rechte Seite). Man erhält die den Punkten A und B von oben entprechenden Punkte A und C, wenn man eine Gerade so durch die Van der Waals-Isotherme legt, daß die schraffierten Flächen gleich groß sind. Wird die Wärmezufuhr einer Flüssigkeit so groß, daß die Wärme nur durch inneres Verdampfen (Vergrösserung der Oberfläche) mittels Gasblasen, welche an die Oberfläche steigen, abgeführt werden kann, spricht man vom Sieden. Die Temperatur ist dann konstant (Siedetemperatur), d.h. ein stationärer Zustand erreicht, wenn der Druck in den Blasen dem äußeren Druck entspricht. Die Siedetemperatur hängt also vom Außendruck ab (Abb. 3.8.) Die Blasen entstehen an Keimen, z.b. gelösten Gasen, Spitzen, Ionen,... In sehr sauberen Flüssigkeiten gibt es daher Siedeverzug. Abbildung 3.6: Links: Isothermen von CO 2 mit Sättigungsgebiet. Rechts: Van der Waals- Isothermen von CO 2 mit Sättigungsgebiet.

82 82 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE Clausius-Clapeyronsche Gleichung Die quantitative Beschreibung des Sättigungsdampfdruckes leistet die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Zur Herleitung betrachten wir den in Abb. 3.7 gezeigten Kreisprozeß im p-v-diagramm. Start bei A mit ν, V 2, T, c 2 A B: Q = νc m2 dt wird zugeführt B C: Verdampfen, Q = νλ wird zugeführt C D: Q = νc m1 dt wird entzogen D A: Kondensieren, Q = νλ wird frei Es gilt also mit Λ = Λ + dλ dt und dem ersten Hauptsatz: dt Q = ν(c m2 dt + Λ C m1 dt Λ) = ν((c m2 C m1 )dt + dλ dt dt = A = dp(v 1 V 2 ) Der zweite Hauptsatz ( δq T ν((c m2 C m1 )dt + dλ dt dt = dp(v 1 V 2 ) (3.8) ν = 0) liefert die Gleichung: ( Cm2 dt T + Λ T + dt C m 1 dt T Λ T ) = 0 Abbildung 3.7: Kreisprozeß zur Herleitung der Clausius-Clapeyron-Gleichung.

83 3.1. DAMPFDRUCKKURVE Siedetemperatur von Wasser als Funktion des Druckes Umgebungsdruck [hpa] Siedetemperatur [degc] Abbildung 3.8: Temperaturabhängigkeit des Siedepunktes von Wasser.

84 84 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE (C m2 C m1 ) dt + Λ + dλdt dt T T (1 + dt/t ) Λ T = 0 ( (C m2 C m1 )dt + Λ + dλ ) dt dt (1 dt/t ) Λ = 0 (C m2 C m1 )dt + dλ dt ΛdT/T = 0 (3.9) dt 1 Hierbei wurde = 1 dt gesetzt und der quadratische Term in dt vernachlässigt. Aus 1+ dt T T Gleichungen 3.8 und 3.9 ergibt sich: dp ν (V 1 V 2 ) = Λ dt T Λ(T ) = T dp dp dt = dt (V 1 V 2 )/ν νλ T (V 1 V 2 ) Dies ist die Clausius-Clapeyronsche Gleichung. Sie gilt für beliebige Phasenübergänge. Eine Integration, wobei die Temperaturabhängigkeiten von Λ und dv bekannt sein müssen, ergibt p(t ). Beim Verdampfen, wenn V gas >> V fl, gilt: Integration ergibt Λ V erd (T ) = T dp dt (V gas V fl )/ν dp dt = νλ V erd T (V gas V fl ) = νλ = pλ T V gas RT 2 p 1 p 0 p dp = Λ V 1 R V 0 T dt 2 ln(p/p 0 ) = Λ R ( 1 T 1 T 0 ) Bei entsprechender Auftragungsweise kann die Verdampfungswärme also direkt aus der Steigung bestimmt werden, wobei wegen der Temperaturabhängigkeit von Λ streng genommen nur kurze Temperaturbereiche genommen werden dürfen. Zustandsdiagramm Für alle Phasenübergange wird p(t ) im Zustandsdiagramm dargestellt. Abb. 3.9 zeigt die Zustandsdiagramme für CO 2 (links) und Wasser (rechts) mit den Phasenübergängen Sublimation,

85 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 85 Schmelzen und dem ausführlich behandelten Verdampfen. Die Steigung von dp/dt ist i.a. positiv. Eine Ausnahme bildet die Schmelzkurve von Wasser, deren Steigung negativ ist. Der Grund ist die schon behandelte Anomalie des Wassers, also V Eis > V fl. Man kann also durch Druck Eis schmelzen (Anwendung: Schlittschuhlaufen). Der Punkt, an dem sich alle drei Kurven treffen, wird Tripelpunkt genannt. Hier herrscht Koexistenz aller drei Aggregatszustände. Abbildung 3.9: Wasser. Links: Zustandsdiagramm von Kohlendioxid. Rechts: Zustandsdiagramm von Versuchsaufbau und Durchführung Benötigte Geräte Sensor-CASSY; Heizhaube; Absolutdrucksensor mit Stativstange; 6-poliges Verbindungskabel; B-Box; Temperatursensor; Temperaturbox; Kolben; Messbecher; Glasventil; Handpumpe; Stativ mit Stange; Schläuche; Verbindungsstücke; Muffen. Ein Piezowiderstand auf Siliziumbasis (Motorola MPX2100AP) ist als Drucksensor (p < 1500 hpa) in das Gehäuse des Leybold-Absolutdrucksensors eingebaut. Der Sensor ist zwischen 0 und 85 C temperaturkompensiert und kann von 40 C bis 125 C betrieben werden. Um zu verhin-

86 86 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE dern, daß Kondensat in den Sensor zurückfließt, ist der Sensor mit der Messöffnung abwärts zu montieren. Das analoge Drucksignal (40mV/1000hPa, ±1% Linearitätsfehler) des Piezo-Sensors wird verstärkt (Output des Absolutdrucksensors: 1V/1500hPa), der Fehler des Sensors wird mit < 1% angegeben. Dann wird das Signal über einen Pegelkonverter (B-Box, Verstärkungsfehler 1%) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D Wandler) weitergereicht. Der Temperaturfühler (Betriebsbereich 200 C< T < 400 C, Fehler für 40 C< T < 335 C: ±2.5 C) basiert auf einem NiCr-Ni-Thermoelement. Dieser Sensor ist an der Spitze eines hermetisch verschlossenen dünnen Edelstahlrohres montiert (Vorsicht beim Einführen in die mit einem durchbohrten Stopfen verschlossene Messöffnung). Die Ansprechzeit (99% des Temperaturendwertes) in Gasen ist 2s. Das analoge Temperatursignal (4.1mV/100 C) wird über einen Pegelkonverter (Temperatur-Box, Messfehler < 1 %) an die Digitalisierung (CASSY, 12bit A/D Wandler) weitergereicht. CASSY kann Messwerte mit bis zu 100kHz Wiederholrate aufnehmen und puffern. Allgemeines Bei allen Messungen darf die Funktion Meßwerte mitteln in der CASSY-Software nicht verwendet werden, da sie die Bestimmung der Meßfehler stark verfälscht! Sorgfältig protokollieren! Wichtig sind insbesondere die Zeitpunkte und Dauer der Messungen, die Nummer der verwendeten Apparatur, Ergebnisse der Vorversuche und jeder Handgriff an der Apparatur. Immer die Rohdaten mit abspeichern. Z.B. gehören neben ln(p) und 1/T auch p und T selbst mit in den CASSY-Datensatz. Das spätere Zurückrechnen ist, wenn überhaupt möglich, eine ergiebige Fehlerquelle. Die unten angegebenen Zeitdauern pro Messung sollen nur ein Anhaltspunkt für Sie sein. Falls Sie allerdings wesentlich länger brauchen, könnten Sie am Ende in Zeitdruck geraten. Messung des Rauschens der Sensoren Dauer der Messung: ca. 15 Minuten Um die statistische Messgenauigkeit abzuschätzen, kann man die Sensoren über ein kurzes Zeitintervall mit hoher Rate auslesen (Raumtemperatur bzw. Normaldruck). Unter der Annahme eines stabilen Messwertes in diesem Zeitintervall ergibt die Streuung der beobachteten Daten die statistische Messungenauigkeit (Digitalisierungsartefakte). Aus diesen Messwerten anschließend in Maple mit der Routine mean aus der Praktikumsbibliothek das RMS bestimmen. Dies ist der gesuchte Messfehler der Sensoren. Die von Leybold angegebenen Fehler können als systematische Fehler betrachtet und behandelt werden. Die Messwerte sollen zusätzlich in ein Histogramm eingetragen werden, um einen Überblick über ihre Verteilung zu erhalten.

87 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 87 Kalibrierung des Temperatursensors Dauer der Messung: ca. 15 Minuten Der Temperatursensor wird mit Eiswasser und kochendem Wasser kalibriert. Eiswürfel erhalten Sie vom Assistenten. Die Kalibration mit kochendem Wasser führen Sie später während des Haupversuches durch. Die gemessenen Temperaturwerte sollen nachträglich in der Auswertung mit Hilfe der Kalibrationsmessung korrigiert werden, falls signifikante Abweichungen bestehen. Messung der Gasdichtigkeit Dauer der Messung: ca. 30 Minuten In einer Vormessung soll die Gasdichtigkeit geprüft werden. Hierzu wird im Kolben mittels einer Handpumpe ein Unterdruck (p < 200 hpa) erzeugt, welcher durch Undichtigkeiten mit der Zeit ausgeglichen wird. Der Druckverlauf sollte über ca. 10 Minuten gemessen werden. Der prinzipielle Versuchsaufbau ist in Abb gezeigt. Zu Beginn des Versuches wird der Kolben entleert und wenn nötig getrocknet. Verbinden Sie die Pumpe über das Ventil mit dem Kolben und montieren Sie den Drucksensor. Erzeugen Sie einen möglichst großen Unterdruck und messen Sie den Druckverlauf. Die Kompensation des Drucksensors sollte in allen Messungen ausgeschaltet sein (die LED auf der B-Box also nicht leuchten). Falls nötig, kann zur Verbesserung der Dichtigkeit der Anordnung die Schlauchschelle vorsichtig weiter angezogen werden. Außerdem steht ein Dichtungsmittel zur Verfügung, das auf die Normschliffe der Glasbehälter/Ventile aufgetragen werden kann. Allgemein ist zu empfehlen, das Öffnen der einmal abgedichteten Glas- und Schlauchverbindungen möglichst zu vermeiden. Der Aufbau sollte nach dieser Messung möglichst nicht mehr geändert werden (Schraubverschlüsse nicht mehr auf und zu drehen, Temperatursensor nicht entfernen etc.). Messung der Dampfdruckkurve Dauer der Messung: ca. 1 1/2 Stunden Im Hauptversuch soll die Dampfdruckkurve von Wasser aufgenommen werden. Gefüllt wird das Gefäß durch Ansaugen aus einem Messglas (Eintauchen des Schlauches in das Messglas bei geschlossenem Ventil, kurzzeitiges Öffnen des Ventils, eventuell erneutes Abpumpen). Es sollte soviel Wasser angesaugt werden, daß die Temperatur des Wassers als auch des Dampfes gemessen werden kann. Sodann wird das Wasser mit Hilfe der elektrischen Heizhaube zum Sieden gebracht, und dabei der Temperaturverlauf aufgezeichnet. Während der Aufwärmphase bleibt der Auslaß geöffnet (wieso?). Lassen Sie den erzeugten Dampf in einem Glas kondensieren. Vergleichen Sie die Temperatur in als auch oberhalb der Flüssigkeit. Nutzen Sie die Aufwärmphase, um sich von der starken Druckabhängigkeit der Siedetemperatur zu überzeugen. Nach Einstellung des Gleichgewichtes sollte das Wasser noch einige Minuten sieden, damit die Luft weitgehend aus dem Gefäß entweichen kann. Ihr Partialdruck führt sonst zu einer Verfälschung der Druckmessung. Der Anteil der Luft im austretenden Gas läßt sich recht gut abschätzen, indem der Abgasschlauch einige Zentimeter unter den Flüssigkeitsspiegel z.b. in einem Meßglas getaucht wird. Während der Dampfanteil sofort kondensiert, treten nur die Luftblasen bis an die Oberfläche. Der Dampfdruck wird beim Abkühlen bei verschlossenem Gefäß gemessen. Unbedingt den Hahn

88 88 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE am Auslaßschlauch schließen, kurz bevor die Heizhaube abgeschaltet oder entfernt wird. Der entstehende Druckabfall führt sonst sofort zum Ansaugen von Luft oder Wasser in das Gefäß. Nach dem Schließen des Hahns nicht zu lange warten, der Überdruck kann sonst den Glasstopfen aus dem Rundkolben herausdrücken. Wählen sie eine geeignete Auftragungsweise und berechnen Sie zu Ihrer Kontrolle sofort die Verdampfungswärme. Zweite Dichtigkeitsmessung (nur, falls genügend Zeit vorhanden ist) Um eine eventuelle Änderung der Gasdichtigkeit während des Versuches auszuschliessen, wiederholen Sie die Dichtigkeitsmessung nach der Aufnahme der Dampfdruckkurve. Hierfür muß das Wasser vollständig auf Raumtemperatur abgekühlt sein, da die Temperaturänderung sonst den Druck beeinflußt Auswertung Bestimmung des statistischen Fehlers der Druck- und Temperaturmessung. Eventuell Korrektur der Temperaturdaten mit Hilfe der Kalibrationsmessung. Bestimmung der Leckraten vor (und eventuell nach) der Haupmessung, Abschätzung des für die Enthalpiebestimmung verwendbaren Zeitraumes. Bestimmung der Verdampfungsenthalpie aus der Verteilung von ln(p) gegen 1/T mittels linearer Regression. Für den Drucksensor wurde keine Kalibrationsmessung durchgeführt. Berüchsichtigen Sie daher den von Leybold angegebenen Fehler als systematischen Fehler. Wie ändert sich die Verdampfungsenthalpie, wenn alle Druckwerte um den systematischen Fehler zu niedrig oder zu hoch gemessen wären? Für die lineare Regression kann die Funktion LineareRegressionXY der Praktikumsbibliothek MapleLibs verwendet werden. Sie berücksichtigt Fehler in der x- und y-koordinate (Dokumentation unter maple new/maple new.html). Weiterhin sind die Funktionen plot data xy sowie plot data xy fun sehr nützlich. Alle Werte/Resultate sollen mit Fehlern angegeben, die Punkte in den Plots mit Fehlerbalken gezeichnet werden! Vergleichen Sie Ihr Resultat mit dem Literaturwert, stimmt es im Rahmen des Fehlers überein? Eigentlich ist die Verdampfungsenthalpie temperaturabhängig, wie in Abb gezeigt ist. Verwenden Sie für die Geradenanpassung nur kurze Ausschnitte der Geraden. Sind die Werte signifikant unterschiedlich, stimmen sie mit den Theoriewerten überein? Diskutieren Sie in Ihrer Zusammenfassung die Resultate, systematische Fehlerquellen sowie Mängel des angewendeten Verfahrens.

89 3.1. DAMPFDRUCKKURVE 89 Abbildung 3.10: Versuchsaufbau zur Messung der Dampfdruckkurve.

90 90 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE Molare Verdampfungsenthalpie von Wasser Temperatur [K] Verdampfungsenthalpie [kj/mol] Abbildung 3.11: Temperaturabhängigkeit der Verdampfungsenthalpie von Wasser.

91 3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 91 F = A p Ball D Differential manometer p Rubber bung Marriot s flask Gas pv κ = const Hand pump Abbildung 3.12: Scheme of the Rüchardt method for the ratio cp c v 3.2 Adiabatic Coefficient measurement Purposes In this experiment the ratio cp c v Keywords is measured by the Rüchardt method. Specific heat, equation of state, processes of state transformation (adiabatic, isothermic, isobaric), pressure oscillations Literature See list of sources in Section Rüchardt method The Rüchardt method to determine the ratio cp c v for a gas is based on the measurement of oscillations of a steel ball supported by a column of the gas in a precision glass tube. Scheme of the experiment is shown in Fig

92 92 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE The ball fits exactly into the tube having a diameter of about 16 mm. The precision glass tube is inserted vertically into a glass bottle (Marriot s flask) which has a rubber stopper with a hole fitting the glass tube. Gas pressure inside the bottle is measured by a differential manometer. A hand pump can provide a slow influx of air into the bottle. The increased air pressure raises the ball along the tube. After air influx is stopped the ball will sink down very slowly. It takes considerable time to fall through the tube, for the air enclosed in the tube below the ball escapes very slowly through the narrow gap between ball and tube walls. If the ball hight is increased sharply by the use of two small permanent magnets the ball starts to oscillate up and down a few times before continuing to sink down slowly. The oscillations are damped due to the unavoidable losses of energy by friction. Variations of the air pressure inside the bottle during these oscillations have to be measured and stored. Analysis of these data in accordance with a theory described below allows to determine the air adiabatic coefficient κ. The parameters relevant for the analysis are m - mass of the ball A = πd 2 /4 - cross-section area of the glass tube V - volume of enclosed air p 0 - atmospheric pressure p - pressure inside the bottle c p - specific heat at constant pressure c v - specific heat at constant volume κ = cp c v - adiabatic coefficient The ball is in equilibrium if the pressure p inside the bottle is equal to the sum of the atmospheric pressure p 0 and the pressure due to the weight of the ball: p = p 0 + mg A (3.10) When the ball moves a distance x beyond its equilibrium position, the pressure changes by dp. By this a force Adp is exerted on the ball. Friction force is proportional to the ball velocity dx F fr = α fr. Then by Newton s second law: dt m d2 x dt 2 = Adp α dx fr dt (3.11) The process may be considered practically adiabatic. Therefore, according to 3.15 (Section 3.1.1) pv κ = const (3.12) By differentiation: V κ dp + pκv κ 1 dv = 0 (3.13)

93 3.2. ADIABATIC COEFFICIENT 93 dp = pκ dv (3.14) V The ball was supposed to move a distance x in the glass tube; this gives a change of volume By substituting 3.15 in 3.14 dp = pκax V The equation of motion 3.11 takes now the form dv = Ax (3.15) (3.16) d 2 x dt α dx 2 fr dt + pκa2 mv x = 0 (3.17) This is the differential equation of harmonic oscillations with damping from which the angular frequency of the ball oscillations can be deduced, which is pκa 2 ω = (3.18) mv from this follows for κ = cp c v : κ = ω 2 mv pa 2 (3.19) All the quantities on the right side of equation 3.19 are accessible to measurements, therefore κ can be determined in this way Setup and Carrying out the Experiment Apparatus Oscillation tube; Stand base, V-shape; Stand rod, 50 cm; Clamp with jaw clamp; Two Marriot s flasks of different volumes; Hand vacuum and pressure pump; Differential pressure sensor; Absolute pressure sensor; Sensor-CASSY; PVC tubes; Connectors; Permanent magnets; Digital balance; Precision micrometer. The pressure sensor enables differential pressures p = p 1 p 2 between 0 and ±70 hp a to be measured. It can be connected directly to the Sensor-CASSY. Technical data:

94 94 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE Measuring ranges: ±0.7 hp a, ±7 hp a, ±70 hp a Resolution: 0.05% of measuring range The technical data of the absolute pressure sensor are described in Section Setup Set up the experiment as shown in Fig.3.13: Insert the oscillation tube vertically into the dry Marriot s flask. Both sides of the tube should be closed to avoid fast movements of the ball inside the tube. Fix the vertical position of the tube by clamping it with the jaw clamp connected with the stand. Connect the outlet of the Marriot s flask with the hand pump and with the differential pressure sensor using the PVC tubes and T-connector. Insert the pressure sensor in the INPUT A channel of the CASSY box. Open the upper end of the oscillation tube. The setup is ready for the oscillation measurements. Carrying out the experiment The parameters which define the value of the adiabatic coefficient κ, namely ω - the ball oscillation frequency A = πd2 4 - cross-section of the tube m - mass of the ball V - volume of the bottle p - gas pressure in the equilibrium state of the ball have to be measured using the provided tools: relative pressure sensor absolute pressure sensor precise micrometer digital balance

95 3.2. ADIABATIC COEFFICIENT Abbildung 3.13: Experiment setup for measuring the ratio 95 cp cv

96 96 KAPITEL 3. WÄRMELEHRE The measurement of the parameter V can be performed by weighing of the empty bottle and of the bottle filled with water. This can be done only after performing the oscillation measurement because the air inside the Marriot s flask has to be dry then. Ball oscillation frequencies for different ball positions (heights) inside the tube have to be measured for both Marriot s flasks. All the measurements have to be done several times. Evaluation of sources and values of systematic and stochastic errors for all the measured parameters should be presented. The values of the adiabatic coefficient κ together with its measurement errors should be calculated using all the measurements done. The resulting κ value measured in the experiment have to be calculated using either weighted mean or linear regression method (or both). Analysis of the κ error budget (sources of the dominant errors, possible ways to improve the experiment performance, etc.) has to be presented.

97 Kapitel 4 Elektrizitätslehre Vorversuche: 4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände 4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators 4.3 Auf- und Entladung einer Spule Hauptversuche: 4.4 LC-Schwingkreise 4.5 gekoppelte Schwingungen Physikalische Grundlagen Ohmsches Gesetz, Kirchhoffsche Regeln, Schaltungen von Widerständen, Kondensatoren, Spulen, Auf- bzw. Entladevorgänge, Schwingungen, gedämpfte Schwingungen, gekoppelte Schwingungen, Wechselströme, Wechselstromwiderstände, Verlustwiderstände 97

98 98 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE 4.1 Charakterisierung der Ohmschen Widerstände Versuchsbeschreibung: Es soll der Betrag der Ohmschen Widerstände bestimmt werden, die bei den folgenden Versuchsteilen zur Charakterisierung der Kondensatoren und der Spulen benutzt werden. Des weiteren sollen die Messfehler der Strom- und Spannungsmessungen bestimmt werden. Dazu werden zwei Messreihen benötigt: 1.) Es wird eine Gleichspannung eingestellt und der Spannungsabfall an dem Ohmschen Widerstand und der im Kreis fließende Strom gegen die Zeit gemessen. Aus der Häufigkeitsverteilung der Strom- bzw. Spannungsmessung wird der jeweilige Mittelwert, die Standardabweichung (Fehler des Einzelwertes) und der mittlere Fehler des Mittelwertes bestimmt. X = 1 n X i, σ X = 1 n (X i X) n i=1 n 1 2, σ X = σ X (4.1) i=1 n 2.) Die anliegende Gleichspannung wird variiert, der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der fließende Strom gemessen. Die Fehler der Einzelmessungen wurden mit Messreihe 1.) vorher bestimmt. Mittels linearer Regression wird die Steigung und damit der Wert des Ohmschen Widerstandes gemäß dem Ohmschen Gesetz bestimmt Versuchsaufbau U = I R Die verschiedenen Ohmschen Widerstände werden gemäß Abbildung 4.1 auf der Rastersteckplatte aufgebaut und an Spannung gelegt. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) des Sensor CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt Versuchsdurchführung Messreihe 1 Die Spannungsquelle kann über das Menü Einstellungen CASSY automatisch bei Beginn der Messung eingeschaltet werden (Änderung des Zustands 0 auf 1). Die Messzeit wird im Menü Messparameter anzeigen (Abb. 4.1b) eingestellt, die Messgrößen werden als Momentanwerte (Intervall 10 µs) aufgezeichnet. Die an dem Ohmschen Widerstand abfallende Spannung wird mit dem Spannungsmessgerät des Eingangs B, der im Kreis fließende Strom wird mit dem Amperemeter des Eingangs A gemessen. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten! Messreihe 2 Die Spannungsquelle wird über das Menü Einstellungen CASSY eingeschaltet (Zustand 1). Die Messwertaufnahme wird in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf manuelle Aufnahme umgeschaltet (Abb. 4.1c). Es wird ein Messwert pro Start einer Messung

99 4.1. CHARAKTERISIERUNG DER OHMSCHEN WIDERSTÄNDE 99 aufgezeichnet. Variiert wird manuell am Drehknopf die anliegende Spannung und es werden der Spannungsabfall am Ohmschen Widerstand und der Strom aufgezeichnet in einem U-I- Diagramm. Achtung: Auf Grenzwerte und Messbereiche achten! a) SENSOR CASSY INPUT A I U INPUT B U R 12 V S Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 Rastersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 100 Ω! 1 STE Widerstand 47 Ω 1 STE Widerstand 20 Ω 1 STE Widerstand 10 Ω 1 STE Widerstand 5,1 Ω 1 STE Widerstand 1 Ω 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau b) c) Abbildung 4.1: a) Versuchsaufbau zur Charakterisierung des Ohmschen Widerstandes. b) Messreihe 1. c) Messreihe Versuchsauswertung Messreihe 1 Bestimmen Sie aus der Häufigkeitsverteilung der Strom- bzw. Spannungsmessung (Abb. 4.1b) den jeweiligen Mittelwert, die Standardabweichung (statistischer Fehler des Einzelwertes), den mittleren Fehler des Mittelwertes (Gleichungen 4.1) und berechnen sie den Ohmschen Widerstand

100 100 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE sowie den Fehler mittels Fehlerfortpflanzung. R = U I, σ ( ) 1 2 ( ) 2 U R = σu 2 + I I 2 σi, 2 (σu ) σ 2 ( R R = σi + U I Variieren Sie die Anzahl der Messpunkte, wiederholen Sie die Messung und fassen Sie die Ergebnisse tabellarisch zusammen (Tabelle 4.1)! Berücksichtigen Sie ebenfalls den systematischen Fehler mittels Fehlerfortpflanzung: σ U,sys = 0, 01 U i + 0, 005 U Bereichsendwert σ I,sys = 0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert ) 2 Messpunkte Messbereich I (A) σ I (A) σ I (A) Messbereich U (V) σ U (V) σ U (V) R ± R stat ± R sys (Ω) Tabelle 4.1: Beispiel einer Ergebnistabelle. Messreihe 2 Stellen Sie die Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie mittels linearer Regression den Wert und Fehler des Ohmschen Widerstandes (Abb. 4.2). In die lineare Regression gehen die statistischen Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die in Messreihe 1 bestimmt worden sind. Um den systematischen Fehler in R abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern, so dass der Einfluss auf die Steigung der Ausgleichsgeraden maximal wird (Abbildung 4.2). Systematische Verschiebungen: bzw.: U i,verschoben = U i (0, 01 U i + 0, 005 U Bereichsendwert ) I i,verschoben = I i + (0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert ) U i,verschoben = U i + (0, 01 U i + 0, 005 U Bereichsendwert ) I i,verschoben = I i (0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert ) Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an. Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Messreihen und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben (Tabelle 4.2).

101 4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 101 Abbildung 4.2: Messreihe 2: Bestimmung des Ohmschen Widerstandes mittels linearer Regression (rote, mittlere Kurve) und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven). Ohmscher Widerstand Belastbarkeit Toleranz 1 Ω 2 W 5 % 5,1 Ω 2 W 5 % 10 Ω 2 W 5 % 20 Ω 2 W 5 % 47 Ω 2 W 5 % 100 Ω 2 W 5 % Tabelle 4.2: Spezifikationen der Ohmschen Widerstände nach Herstellerangaben 4.2 Auf- und Entladung eines Kondensators Versuchsbeschreibung Mit diesem Vorversuch sollen die Kapazitäten der Kondensatoren bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Der bei diesem Vorversuch verwendete Ohmsche Widerstand muß im vorherigen Vorversuch charakterisiert worden sein! Wird ein Kondensator an eine Spannungsquelle angeschlossen (Abb. 4.3), so wird er geladen. Innerhalb einer gewissen Zeit fließen Ladungen auf die Platten (Ladestrom), bis der Kondensator die gleiche Spannung wie die Quelle hat. Wird dann die Spannungsquelle abgetrennt und die Kondensatorplatten leitend miteinander verbunden, so entlädt sich der Kondensator, im Kreis fließt dann für eine gewisse Zeit ein Entladestrom. Im folgenden wird ein Kondensator über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es wird

102 102 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE der Spannungsabfall am Kondensator sowie der Lade- bzw. Entladestrom gemessen. Daraus kann die Zeitkonstante τ = R C bestimmt werden. B A R + U 0 C U C I Abbildung 4.3: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und Entladevorgängen eines Kondensators Ladevorgang des Kondensators (Schalterstellung A): Der Ladevorgang beginnt beim Zeitpunkt t = 0, zu diesem Zeitpunkt fließt der maximale Strom I 0 = U 0. Dann wird der Kondensator immer mehr geladen, die sich dabei aufbauende Spannung R U C wirkt als Gegenspannung zu U 0, so daß der Ladestrom I immer kleiner wird. Wenn U C = U 0 geworden ist, kommt der Strom zum Erliegen (I = 0). Wird von einem beliebigen Punkt ausgehend der Kreis (Abb. 4.3) einmal vollständig umfahren, muß die Summe aller Spannungen Null ergeben gemäß der Kirchhoffschen Maschenregel. Eine andere Formulierung der Maschenregel lautet, daß die Summe der anliegenden Spannungen gleich der Summe der abfallenden Spannungen ist. Es gilt also zu jedem Zeitpunkt: Wegen C U C = Q und I = dq dt U 0 U R (t) U C (t) = 0 U 0 U C (t) = I(t) R gilt dann: U 0 U C (t) = R C du C (4.2) dt Die Differentialgleichung 4.2 wird integriert mit der Randbedingung, daß beim Zeitpunkt t = 0 keine Ladung auf dem Kondensator ist und daher U C (t = 0) = 0 ist. Für den Spannungsabfall am Kondensator zu einer beliebigen Zeit t gilt dann: U C (t) 0 du C = 1 U 0 U C R C t 0 dt ln ( ) U0 U C (t) U 0 = t R C U C (t) = U 0 ( 1 e t R C ) (4.3) also steigt die Spannung am Kondensator exponentiell mit der Zeit auf U 0 an. Damit ergibt sich für den Ladestrom: I(t) = dq dt = C du C dt = U 0 R t U 0 e R C = R t e τ = I0 e t R C (4.4)

103 4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 103 mit der Zeitkonstanten des RC-Kreises τ = R C. Entladevorgang des Kondensators (Schalterstellung B): Zum Zeitpunkt t = 0 wird die Spannungsquelle durch einen Leiter überbrückt, so daß keine Spannung mehr am Kreis anliegt und der Kondensator gemäß U 0 aufgeladen ist. Dann liefert die Maschenregel: R I(t) + U C (t) = 0 Mit Q = C U C und I = dq dt folgt die homogene Differentialgleichung: R C du C(t) dt + U C (t) = 0 (4.5) Die Lösung der Differentialgleichung 4.5 erfolgt durch Separation der Variablen unter Berücksichtigung der Randbedingung (t = 0 U C = U 0 ): U C U 0 du C = 1 t dt ln U C R C 0 ( ) UC U 0 = t R C und damit ergibt sich für den zeitabhängigen Spannungsabfall am Kondensator: Für den Stromverlauf ergibt sich bei der Entladung: I = dq dt = C du C dt Versuchsaufbau t U C (t) = U 0 e R C = U0 e t τ (4.6) 1 = C U 0 R C t e R C I(t) = U 0 R t e R C (4.7) Der Kondensator und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.4 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Als Spannungsquelle dient die Gleichspannungsquelle S (0-16 V) des Sensor- CASSY-Interface. Zur Strommessung wird das Amperemeter des Eingangs A und zur Spannungsmessung das Voltmeter des Eingangs B benutzt. Zur Überbrückung der Spannungsquelle (Entladevorgang) wird ein Taster parallel zu dem Ohmschen Widerstand und dem Kondensator geschaltet. Bei dem Aufladevorgang des Kondensators wird die Spannungsquelle im Menü Einstellungen CASSY von AUS (0) auf EIN (1) automatisch bei Beginn einer Messung umgeschaltet. Bei dem Entladevorgang bleibt die Spannungsquelle eingeschaltet (1), wird aber durch den Taster überbrückt, so das sich der Kondensator über den Widerstand entlädt.

104 104 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE INPUT A I U INPUT B U R 12 V S + SENSOR CASSY Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 Rastersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 100 Ω 1 Kondensator 10 µf 1 Kondensator 4,7 µf 1 Kondensator 2,2 µf 1 Kondensator 1 µf 1 Satz Brückenstecker 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 1 Taster Abbildung 4.4: Schaltbild zur Aufnahme einer Auf- oder Entladekurve eines Kondensators Versuchsdurchführung a) Aufladung Ladespannung U 0 auf z.b. 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Im Menü Einstellungen CASSY die automatische Umschaltung der Spannungsquelle von AUS (0) auf EIN (1) bei Start der Messung markieren Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 500 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 5ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. I A1 = 0, 04 A, fallende Tendenz einstellen! Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.4, 4.3 und Abb. 4.5a aufnehmen b) Entladung Ladespannung U 0 auf z.b. 6 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Im Menü Einstellungen CASSY die Spannungsquelle auf EIN (1) stellen Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 1000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 10 ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf U B1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen! Messung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.6, 4.7 und Abb. 4.5b aufnehmen Nach Meldung Triggersignal fehlt, den Taster zur Überbrückung der Spannungsquelle betätigen Achtung: Mögliche Nullpunktsschwankungen der Strom- oder Spannungsmessgeräte korrigieren im Menü Einstellungen CASSY!

105 4.2. AUF- UND ENTLADUNG EINES KONDENSATORS 105 a) b) Abbildung 4.5: a) Auf- bzw b) Entladekurve eines Kondensators

106 106 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Versuchsauswertung Für die Bestimmung der Kapazität C werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte Darstellung transformiert werden. S = ln(x) σ S = ds dx σ X = σ X X An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = a t+b angepaßt. Für die Kapazität C und den Fehler σ C der Kapazität des Kondensators gilt dann: C = 1 a R σ C C = (σa a ) 2 + ( σr R ) 2 Um den systematischen Fehler in C abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern. σ Ui,sys = 0, 01 U i + 0, 005 U Bereichsendwert σ Ii,sys = 0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte: U i,+ = U i + σ Ui,sys bzw. U i, = U i σ Ui,sys I i,+ = I i + σ Ii,sys bzw. I i, = I i σ Ii,sys An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer Regression eine Gerade angepaßt und die Steigung (a + bzw. a ) bestimmt (Abbildung 4.6). Es gilt dann: σ sys,+ = a + a bzw. σ sys, = a a σ a,sys = σ sys,+ + σ sys, 2 Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) setzen sich wie folgt auf den Fehler der Kapazität fort: σ a C,sys = 1 a 2 R σ a,sys σ R C,sys = 1 a R 2 σ R,sys Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an: C ± σ C,stat ± σ a C,sys ± σ R C,sys Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Kapazitäten und deren statistischen und systematischen Fehlern den Mittelwert und den Fehler der Kapazität mit dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes: C = n i=1 n i=1 C i σ 2 i 1 σ 2 i σ C = Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben (Tabelle 4.3). 1 n i=1 1 σ 2 i

107 4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 107 Abbildung 4.6: Bestimmung der Kapazität mittels linearer Regression (rote, mittlere) Kurve und des systematischen Fehlers (blaue und grüne Kurven) Kapazität max. zul. Spannung Toleranz 1 µf 100 V 5 % 2,2 µf 63 V 5 % 4,7 µf 63 V 5 % 10 µf 100 V 5 % Tabelle 4.3: Spezifikationen der Kondensatoren laut Herstellerangaben 4.3 Auf- und Entladung einer Spule (optional) Mit diesem Vorversuch sollen die Induktivität L und der innere Ohmsche Widerstand R L der Spulen bestimmt werden, die später bei den Hauptversuchen der LC-Schwingkreise eingesetzt werden! Des weiteren soll der Innenwiderstand des Strommessgerätes ermittelt werden, da dieser später die Dämpfung der freien Schwingung beeinflussen wird Versuchsbeschreibung Eine Spule wird über einen Widerstand aufgeladen oder entladen. Es werden die Spannungsabfälle an der Spule sowie der Lade- oder Entladestrom gemessen. Daraus kann die Zeitkonstante τ = L R, die Induktivität L und der innere Widerstand R L der Spule bestimmt werden.

108 108 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE B A R + U 0 L U L I Abbildung 4.7: Schaltung zur Aufnahme von Strom- und Spannungskennlinien bei Lade- und Entladevorgängen einer Spule Ladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung A): Eine Spule wird über einen Ohmschen Widerstand aufgeladen. Bei der Änderung des Stromes im Kreis ändert sich das Magnetfeld und damit auch der magnetische Fluß im Querschnitt der Spule. Nach dem Induktionsgesetz wird dann in der Spule selbst eine Induktionsspannung U i = L di dt induziert (Selbstinduktion). Für den bei Änderung des Stromes im Kreis durch Selbstinduktion auftretenden Spannungsabfall U L an der Spule gilt: U L = L di, mit dem Selbstinduktionskoeffizienten L (auch Induktivität genannt), der von der geometrischen Gestalt der Spule abhängt. dt Für die Induktivität L einer Spule vom Querschnitt A, der Länge l und mit N Windungen gilt annähernd: L = µ 0 µ r N 2 A l Nach dem Einschalten wächst I(t) von Null an, wird durch U 0 angetrieben und durch U i behindert. Die Spannung U 0 kann einen maximalen Strom I 0 = U 0 im Kreis erzeugen. Mit der R Kirchhoffschen Maschenregel folgt eine inhomogene lineare Differentialgleichung (DGL) 1. Ordnung: U 0 = L di dt + R I di dt + R L I = U 0 L Die Lösung einer solchen DGL setzt sich zusammen aus der Summe einer allgemeinen homogenen Lösung mit einer beliebigen sog. partikulären Lösung der inhomogenen Gleichung: I(t) = I h (t) + I p (t) Für Lösung I h der homogenen DGL ergibt sich: (4.8) di dt + R L I = 0 I(t) 0 t di I = R dt ln L 0 ( ) I(t) = R I(0) L t I h(t) = I h (0) e R L t

109 4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 109 I h (0) ist die Integrationskonstante, die durch die Anfangsbedingung festgelegt wird. Für die inhomogene Lösung I p folgt: L di dt + I R = U 0 I p = U 0 R Damit folgt für die Gesamtlösung: I(t) = I h (0) e R L t + U 0 R Mit der Anfangsbedingung I(0) = 0 folgt: I(0) = I h (0) + U 0 = 0 und damit I R h(0) = U 0 Der Ladestrom ist dann: I(t) = U 0 R ( 1 e R t) L (4.9) Dabei ist τ = L die Zeitkonstante des Stromkreises. Für den zeitabhängigen Spannungsabfall U R L an der Spule folgt damit: U L (t) = L di dt = U 0 e R L t (4.10) Entladevorgang einer Spule (Abbildung 4.7, Schalterstellung B): Zur Zeit t = 0 wird der Schalter von A nach B gelegt und dadurch die Spannungsquelle durch Überbrückung abgeschaltet. Im RL-Kreis folgt dann aus der Maschenregel die homogene Differentialgleichung: mit der Lösung: L di dt + R I = 0 di dt + R L I = 0 (4.11) I h (t) = I h (0) e R L t mit der Anfangsbedingung, daß zur Zeit t=0 der maximale Strom I(0) = U 0 R R. fließt, gilt dann: I(t) = U 0 R R e L t (4.12) Für den Spannungsabfall an der Spule gilt: Versuchsaufbau U L (t) = U 0 e R L t (4.13) Die Spule und der Ohmsche Widerstand werden gemäß Abbildung 4.8 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Die Strommessung erfolgt mit dem Amperemeter des Eingangs A und die Spannungsmessung mit dem Voltmeter des Eingangs B des Sensor-CASSY-Interface. Die Spannungsquelle S des Sensor-Cassy-Interface wird bei dem Ladevorgang im Menü Einstellungen CASSY auf AUS (Zustand 0) gestellt und mit Beginn der Messung automatisch auf EIN (Zustand 1) geschaltet. Beim Entladevorgang wird die Spannungsquelle vom eingeschalteten Zustand 1 automatisch bei Beginn der Messung in den ausgeschalteten Zustand 0 umgeschaltet. Die Datenaufnahme erfolgt erst nach Erfüllung einer Triggerbedingung.

110 110 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE INPUT A INPUT A I I U U INPUT B INPUT B U U 12 V R S + 12 V R S + SENSOR CASSY SENSOR CASSY a) b) Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 Rastersteckplatte, DIN A4 1 STE Widerstand 100 Ω 1 Spule 250, 500 oder 1000 Windungen 1 Experimentierkabel, 50 cm, blau 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau Abbildung 4.8: Schaltbild zur a) Aufnahme von Auf- und Entladekurven und Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes R L einer Spule und b) Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes des Amperemeters Versuchsdurchführung a) Aufladung Ladespannung U 0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms Spannungsquelle einschalten - dazu in Einstellungen CASSY, Spannungsquelle S die Eingabe von 0 nach 1 ändern durch automatische Umschaltung bei Beginn der Messung. Aufladung mit F9 starten, Ladekurven gemäß Gleichungen 4.9,4.10 und Abb. 4.9a aufzeichnen.

111 4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 111 a) b) Abbildung 4.9: a) Auf- und b) Entladekurven einer Spule

112 112 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE b) Entladung Ladespannung U 0 auf etwa 5 V einstellen - dazu Drehknopf an Spannungsquelle S entsprechend einstellen und Ladespannung messen. Achtung: Grenzwerte beachten! Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 250 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 2.5 ms. Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. U B1 = 3 V, steigende Tendenz einstellen! Spannungsquelle bei Beginn der Messung ausschalten - dazu in Einstellungen Spannungsquelle S1 die Eingabe von 1 nach 0 ändern durch automatische Umschaltung bei Beginn der Messung. Entladung mit F9 starten, Entladekurven gemäß Gleichungen 4.12, 4.13 und Abb. 4.9b aufzeichnen. c) Innerer Ohmscher Widerstand R L der Spule (zusätzliche Widerstände entfernen) Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1). Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf manuelle Aufnahme umschalten (Abb. 4.10a). Es wird ein Messwert pro Start einer Messung aufgezeichnet. Variation der anliegenden Spannung U 0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des Spannungsabfalls an der Spule und des Stroms (Abb. 4.10a). d) Innenwiderstand des Amperemeters des Eingangs A Spannungsquelle S über das Menü Einstellungen CASSY einschalten (Zustand 1). Messwertaufnahme in dem Menü Messparameter anzeigen von automatischer auf manuelle Aufnahme umschalten. Es wird ein Messwert pro Start einer Messung aufgezeichnet. Variation der anliegenden Spannung U 0 (manuell am Drehknopf), Aufzeichnung des Spannungsabfalls am Amperemeter und des Stroms (Abb. 4.8b und 4.10b).

113 4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 113 a) b) Abbildung 4.10: Bestimmung des inneren Ohmschen Widerstandes a) einer Spule, b) des Amperemeters mittels Ohmschen Gesetzes.

114 114 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Versuchsauswertung Induktivität L: Für die Bestimmung der Zeitkonstanten τ = L werden die Strom- bzw. Spannungsmessreihen R logarithmisch dargestellt. Die statistischen Fehler der Einzelmesswerte der Strom- und Spannungsmessungen wurden bereits im ersten Vorversuch ermittelt und müssen in die logarithmierte Darstellung transformiert werden. S = ln(x) σ S = ds dx σ X = σ X X An die jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittels linearer Regression eine Gerade y = a t+b angepaßt. Damit ergibt sich für die Induktivität L und deren Fehler σ L : L = R a, σ L L = (σa a ) 2 + ( σr R ) 2 Um den systematischen Fehler in L abzuschätzen, verschieben Sie die Messpunkte mit ihren statistischen Fehlern um die systematischen Fehlern. σ Ui,sys = 0, 01 U i + 0, 005 U Bereichsendwert σ Ii,sys = 0, 02 I i + 0, 005 I Bereichsendwert damit ergibt sich für die verschobenen Messwerte: U i,+ = U i + σ Ui,sys bzw. U i, = U i σ Ui,sys I i,+ = I i + σ Ii,sys bzw. I i, = I i σ Ii,sys An die nun jeweilige logarithmierte Messreihe wird mittles linearer Regression eine Gerade angepaßt und die Steigung (a + bzw. a ) bestimmt. Es gilt dann: σ sys,+ = a + a bzw. σ sys, = a a σ a,sys = σ sys,+ + σ sys, 2 Der systematische Fehler der Steigung und der des Ohmschen Widerstandes R (erster Vorversuch) setzen sich wie folgt auf den Fehler der Induktivität fort: σ a L,sys = R a 2 σ a,sys σ R L,sys = 1 a σ R,sys Geben Sie ihre Ergebnisse zusammenfassend an L ± σ L,stat ± σ a L,sys ± σ R L,sys. Bestimmen Sie dann aus den durch Auf- bzw. Entladung gewonnenen Induktivitäten und deren Fehlern (statistische und systematische) den Mittelwert und den Fehler der Induktivität mit dem Verfahren des gewichteten Mittelwertes: L = n i=1 n i=1 L i σ 2 i 1 σ 2 i σ L = Vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit der Erwartung aufgrund der Herstellerangaben. 1 n i=1 1 σ 2 i

115 4.3. AUF- UND ENTLADUNG EINER SPULE (OPTIONAL) 115 Innerer Widerstand R L der Spule Methode 1: Bei den Aufladekurven in Abbildung 4.9a fällt auf, daß der Spannungsabfall an der Spule nicht exponentiell mit der Zeit gegen Null, sondern gegen einen konstanten Anteil geht. Der Grund dafür ist der innere Ohmsche Widerstand R L der Spule. Bestimmen Sie aus den Aufladekurven den Sättigungsstrom I 0 und den konstanten an der Spule abfallenden Gleichspannungsanteil U L und berechnen Sie den inneren Ohmschen Widerstand der Spule: R L = U L I 0 ) σ RL 2 ( σul = + R L U L ( ) 2 σi0 Methode 2: Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie den Wert und Fehler des inneren Ohmschen Widerstandes R L mittels linearer Regression (Abb. 4.10a). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Diskutieren Sie die Ergebnisse der beiden Methoden mitsamt ihrer statistischen und systematischen Fehler und vergleichen Sie diese mit den Herstellerangaben. Innenwiderstand R i des Amperemeters Stellen Sie die manuell aufgenommene Messreihe in einem U-I-Diagramm dar und bestimmen Sie den Wert und Fehler des Innenwiderstandes des Amperemeters R i mittels linearer Regression (Abb. 4.10b). In die lineare Regression gehen die Fehler der Strom- und Spannungsmessungen ein, die im ersten Vorversuch, Messreihe 1, bestimmt worden sind. Geben Sie das Ergebnis mit statistischen und systematischen Fehlern an. I 0

116 116 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE 4.4 Gedämpfter LC-Schwingkreis Versuchsbeschreibung + I R L C U Abbildung 4.11 LCR-Schwingkreis Wird ein Kondensator C auf die Spannung U 0 aufgeladen und über eine parallel geschaltete Spule entladen, so müssen zu jeder Zeit die Spannungen am Kondensator und an der Spule gleich groß sein, bzw. die Gesamtenergie bei einer freien, ungedämpften Schwingung muß konstant bleiben. Die Gesamtenergie ist gleich der Summe der elektrischen und magnetischen Feldenergien. Ein tatsächlich aufgebauter Schwingkreis besitzt neben einer Kapazität C und einer Induktivität L immer auch einen unvermeidlichen Ohmschen Widerstand R. Kondensatoren und Spulen sind keine idealen Bauelemente, sondern weisen neben der Kapazität bzw. Induktivität auch Ohmschen Widerstände auf (siehe Anhang 4.6). Diese üben eine dämpfende Wirkung auf die Schwingung aus und am Gesamtwiderstand R wird in der Zeit dt die Stromenergie de = I 2 R dt in Wärme umgewandelt. Diese wird der Gesamtenergie des Kreises entzogen. Die elektrischen Schwingungen lassen sich anregen, indem man entweder den Kondensator entlädt oder auflädt. Sowohl Auf- wie Entladung werden durch Schwingungsgleichungen mit einem Dämpfungsterm beschrieben. Es hängt entscheidend vom Dämpfungsterm ab, wie der Einschwingvorgang auf die angelegte Spannung (U 0 bzw. Null) verläuft. Bei kleiner Dämpfung wird sich die Spannung nach einem Einschwingvorgang am Kondensator einstellen. Bei sehr starker Dämpfung kommt es zu keiner Schwingung und der Kondensator erreicht sehr langsam die angelegte Spannung. Zwischen diesen beiden Fällen gibt es einen Spezialfall, bei dem sich die Spannung ohne Schwingung nach kürzester Zeit auf den richtigen Wert einstellt. Diese Situationen entsprechen vollkommen den mechanischen freien Schwingungen. Analoge Beziehung bzw. Bezeichnungen mechanischer und elektromagnetischer Schwingungen sind in Tabelle 4.4 aufgezeigt.

117 4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 117 Schwingungen mechanische elektromagnetische d 2 y dt 2 + b m dy dt + c m y = 0 Differentialgleichung DGL: d 2 Q dt 2 + R L dq dt + 1 L C Q = 0 y Elongation Q elektrische Ladung m Masse L Induktivität b Dämpfungskonstante R Ohmscher Widerstand c Federkonstante 1/C inverse Kapazität Geschwindigkeit: v = dy dt ω 0 = δ = b 2m = Stromstärke: I = dq dt Kreisfrequenz ohne Dämpfung: c/m ω 0 = 1/(LC) Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante: δ = R 2L Kreisfrequenz: ω = c/m b 2 /(4m 2 ) = Dämpfungsgrad: ω 2 0 δ 2 1/(LC) R 2 /(4L 2 ) D = δ ω 0 = b 2 1 mc Potentielle Energie: D = δ ω 0 = R 2 C L Elektrostatische Energie: E pot = 1 2 cy2 E C = 1 Q 2 2 C Kinetische Energie: = 1 2 CU 2 C Magnetische Energie: E kin = 1 2 mv2 E L = 1 2 LI2 Güte (wird meist auch mit Q bezeichnet): Q = 1 = mc/b Q = 1 = 1 L/C 2D 2D R Tabelle 4.4: Analogien zwischen mechanischen und elektromagnetischen Schwingungen

118 118 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Differentialgleichung für freie elektrische Schwingung: An eine Gleichspannung U 0 wird eine Serienschaltung von R, L und C angeschlossen. Nach der Kirchhoffschen Maschenregel ist U 0 gleich der Summe aller Spannungsabfälle an den Komponenten R, L und C: U 0 = U R + U L + U C = R I + L di dt + Q C. Wegen I = dq/dt gilt dann für die elektrische Ladung: L d2 Q dt 2 + R dq dt + Q C = U 0. (4.14) Weil eine so aufgebaute Differentialgleichung (DGL) für alle freien gedämften Schwingungen gilt, bei denen die Schwingungsamplituden nicht so groß werden, dass nicht-lineare Terme berücksichtigt werden müssen, schreibt man: mit d 2 Q dt 2 δ = R 2L + 2 δ dq dt + ω2 0 Q = U 0 L. (4.15) und ω 0 = 1 LC (4.16) δ heißt Abklingkoeffizient, Dämpfungskonstante (in s 1 ) und ist ein Maß für die Dämpfung; ω 0 ist die Kreisfrequenz der ungedämpften freien Schwingung. Das Verhältnis von Abklingkoeffizient und Kreisfrequenz ist dimensionslos und heißt Dämpfungsgrad D der gedämpften Schwingung: D = δ ω 0 = R 2 C L. d = 2 D ist der Verlustfaktor und das Inverse davon die Güte: Q = 1 2D = 1 R L C. (4.17) Der gesamte Ohmsche Widerstand R des Schwingkreises, in dem unter anderem auch der Ohmsche Widerstand der Spule enthalten ist, trägt zu Energieverlusten bei. Durch diese Dämpfung verringern sich die Kreisfrequenz und die Güte des Schwingkreises. Gleichung 4.15 ist eine inhomogene lineare DGL 2. Ordnung. Die allgemeine Lösung dieser DGL ist die Summe aus der allgemeinen Lösung der homogenen und einer beliebigen Lösung der inhomogenen Gleichung: Q(t) = Q h (t) + Q p (t). Q p (t) nennt man partikuläre Lösung. Die Gesamtlösung enthält zwei Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen des Schwingungsproblems bestimmt werden müssen.

119 4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 119 Lösung der homogenen Differentialgleichung Die homogene Differentialgleichung wird gelöst durch den Ansatz: d 2 Q dt δ dq dt + ω2 0 Q = 0 (4.18) Q(t) = Q 0 e λt Q(t) = λ Q(t) Q(t) = λ2 Q(t) Einsetzen in die Differentialgleichung liefert: (λ 2 + 2δλ + ω 2 0) Q(t) = 0 λ 2 + 2δλ + ω 2 0 = 0 mit den Lösungen: λ 1,2 = δ ± δ 2 ω 2 0 = δ ± ω 2 = δ ± iω (4.19) mit ω 2 = ω0 2 δ 2. Die allgemeine Lösung der homogenen DGL orientiert sich daran, ob der Dämpfungsgrad D größer, gleich oder kleiner als 1 ist. Allgemein gilt: Q h (t) = A e λ 1t + B e λ 2t Die homogene DGL entspricht dem Fall, dass keine Spannung anliegt. Die Lösungen dieser Gleichung beschreiben folglich die Entladung eines bereits aufgeladenen Kondensators. Das muss bei den Randbedingungen berücksichtigt werden. Für die drei folgenden Situationen haben die Randbedingungen für die exakte Lösung immer die gleiche Form: Q h (0) = Q 0 = CU 0 und dq h dt (0) = I(0) = 0 (4.20) Kriechfall (δ > ω 0, D > 1) Beim Kriechfall ist die Dämpfung so stark, dass der Kondensator sehr langsam entladen wird und nur asymptotisch seine Spannung verliert. Es findet keine Schwingung statt! Mit den beiden Integrationskonstanten folgt: ( ( δ+ δ Q h (t) = A e 2 ω0 )t ) 2 δ δ + B e 2 ω0 2 t Mit den Randbedingungen ergibt sich für die Konstanten in Gleichung 4.21: A = CU 0 δ + δ 2 ω0 2, B = CU 0 δ + δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2 (4.21) Abb zeigt für R = 320 Ω, L = 9,0 mh und C = 2,2 µf den Spannungsabfall am Kondensator und den Strom I. Der Kondensator war zu Beginn geladen mit einer Spannung von 10 V. Beim Kriechfall stellt sich die Spannung nur sehr langsam und ohne überzuschwingen ein. Auch

120 120 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Spannung (V) Aperiodischer Grenzfall Strom (A) Schwingfall 4 Kriechfall Kriechfall -6-8 Schwingfall -0.1 Aperiodischer Grenzfall Zeit (s) Zeit (s) Abbildung 4.11: Kondensatorspannung und Strom beim Entladen (Schwingfall, Kriechfall und Aperiodischer Grenzfall) der Entladestrom schwingt nicht über und bleibt relativ klein. Aperiodischer Grenzfall (δ = ω 0, D = 1) Beim aperiodischen Grenzfall wird die Dämpfung so gering, dass der Kondensator in der kürzesten Zeit entladen wird. Auch in diesem Fall kommt es zu keinen Schwingungen. Der Strom zeigt ebenfalls keine Schwingungen, ist aber wegen der kürzeren Entladungszeit größer als der im Kriechfall. Wegen δ = ω 0 verschwindet in Glg die Wurzel. Damit man für die einzustellenden Anfangsbedingungen wieder zwei Integrationskonstanten zur Verfügung hat, nimmt die Lösung folgende allgemeine Form an (mit den Anfangsbedingungen folgt: A = CU 0 und B = δa): Q h (t) = e δt (A + Bt) Q h (t) = CU 0 e δt (1 + δ t) (4.22) U C (t) = U 0 e δt (1 + δ t) und I(t) = δ 2 e δt CU 0 t (4.23) Abb zeigt für den gleichen Schwingkreis neben dem Kriechfall auch den aperiodischen Grenzfall. Der Ohmsche Widerstand beträgt hier jedoch R = 2 L/C = 127,9 Ω. Schwingfall (δ < ω 0, D < 1) Wenn die Dämpfung noch kleiner wird, stellt sich die Spannung am Kondensator erst nach einem Einschwingvorgang auf den endgültigen Wert ein. Die Wurzel im Exponenten von Glg wird jetzt rein imaginär. Die allgemeine Lösung nimmt dann die folgende Form an: Q h (t) = e δt ( A e iωt + B e iωt)

121 4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 121 In dieser Relation ist sowohl Real- wie auch Imaginärteil Lösung der DGL. Man kann daher mit anderen Integrationskonstanten schreiben: Q h (t) = e δt (A cos ωt + B sin ωt) Mit den bekannten Anfangsbedingungen (Glg. 4.20) findet man A = CU 0 und B = Aδ/ω, also: (cos ωt + δω ) sin ωt Q h (t) = CU 0 e δt (4.24) Abb zeigt für den gleichen Schwingkreis, jedoch mit einem kleineren Ohmschen Widerstand (R = 12, 8Ω) die Situation, bei der es deutlich zu einem Überschwingen kommt. Bei kleiner Dämpfung verläuft Q h (t) und damit auch U C (t) annähernd wie ein Cosinus. Der Strom ergibt sich durch die Zeitableitung von Glg und hat die Form eines gedämpften Sinus: (cos ωt + δω ) sin ωt U C (t) = U 0 e δt I(t) = CU 0 e δt ( ω + δ2 ω ) (4.25) sin ωt (4.26) Zwischen beiden hat man also ungefähr eine Phasenverschiebung von π/2. Der Strom eilt der Spannung voraus. Lösung der inhomogenen Differentialgleichung Wenn nicht die Entladung sondern die Aufladung des Kondensators in einem Schwingkreis untersucht wird, muss die inhomogene DGL 4.15 gelöst werden. Dies geschieht, indem man eine beliebige partikuläre Lösung dieser Glg. sucht. Da in diesem Fall der inhomogene Teil eine Konstante ist, erfüllt Q p = CU 0 die DGL. Zu allen allgemeinen Lösungen der homogenen DGL tritt der partikuläre Teil additiv hinzu. Bei allen drei im folgenden aufgeführten Fällen sind die Anfangsbedingungen gegeben durch: Kriechfall (δ > ω 0, D > 1) Q(0) = 0 und dq(0) dt = I(0) = 0 Die allgemeine Lösung lautet: ( ( δ+ δ Q(t) = CU 0 + A e 2 ω0 )t ) 2 δ δ + B e 2 ω0 2 t Mit den Anfangsbedingungen findet man für die Integrationskonstanten: A = CU 0 δ + δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2 B = CU 0 δ δ 2 ω0 2 2 δ 2 ω0 2

122 122 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Spannung (V) Schwingfall Strom (A) Aperiodischer Grenzfall Kriechfall Kriechfall Aperiodischer Grenzfall Zeit (s) -0.1 Schwingfall Zeit (s) Abbildung 4.12: Kondensatorspannung und Strom beim Aufladen (Schwingfall, Kriechfall und Aperiodischer Grenzfall) Aperiodischer Grenzfall (δ = ω 0, D = 1) Allgemeine Lösung: Q(t) = CU 0 + e δt (A + Bt) Mit den Integrationskonstanten A = CU 0 und B = δa folgt für die Lösung: Schwingfall (δ < ω 0, D < 1) Allgemeine Lösung: Q(t) = CU 0 [ 1 e δt (1 + δ t) ] Q(t) = CU 0 + e δt (A cos ωt + B sin ωt) Mit den Anfangsbedingungen folgt für die Lösung: [ (cos ωt + δω )] sin ωt Q(t) = CU 0 und damit für Spannung U C und Strom I: U C (t) = U 0 [ 1 e δt 1 e δt I(t) = CU 0 e δt ( (cos ωt + δω sin ωt )] ω + δ2 ω ) sin ωt

123 4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 123 Elektrische und Magnetische Energie Der Energiesatz ist ein erstes Integral der zugrunde liegenden Bewegungsgleichung (Differentialgleichung). Daher kann man aus dem Energiesatz wieder die DGL herleiten. Wenn im Schwingkreis ein Strom fließt, sorgt der Ohmsche Widerstand für Verluste durch Umwandlung der Energie in Wärme. Wenn E ges die zur Zeit t noch vorhandene Gesamtenergie ist, beträgt die Verlustleistung: deges = I U dt R = I 2 R Die Gesamtenergie des Schwingkreises setzt sich zu jedem Zeitpunkt aus der Summe der magnetischen (Induktivität) und der elektrostatischen Energien (Kapazität) zusammen: E ges = 1 2 LI2 + 1 Q 2 2 C Mit der Verlustleistung und mit I = dq/dt folgt: d dt ( 1 2 LI Q 2 ) = I 2 R L d2 Q C dt 2 Diese Gleichung ist identisch mit Glg R dq dt + 1 C Q = 0 Während des Entladeprozesses, aber auch während des Aufladeprozesses, schwingt die Energie zwischen der magnetischen Feldenergie der Spule E magn = 1 2 LI2 und der elektrischen Feldenergie des Kondensators E el = 1 Q 2 hin und her. Bei sehr kleinem Dämpfungsgrad (D << 1 und 2 C ω 2 = ω0 2 δ 2 ω0) 2 gilt annähernd: I(t) = I 0 e δt sin ω 0 t Q(t) = Q 0 e δt cos ω 0 t U C (t) = U 0 e δt cos ω 0 t Im zeitlichen Mittel ist die magnetische gleich der elektrischen Energie (E magn = E el ), daraus folgt mit Q = CU C : LI 2 0 = CU 2 0. In diesem praktisch ungedämpften Fall sind der Strom und die Spannung gegeneinander um π/2 phasenverschoben. Für die Gesamtenergie folgt: E ges = 1 2 LI CU C 2 = 1 2 LI2 0 e 2δt sin 2 ω 0 t + 1 ( 1 2 CU 0 2 e 2δt cos 2 ω 0 t = 2 LI ) 2 CU 0 2 e 2δt Die Gesamtenergie klingt (annähernd) exponentiell mit der Zeit ab! Zusammenfassung Bei diesem Versuch wird ein elektrischer Schwingkreis angeregt und die freie gedämpfte Schwingung aufgezeichnet. Die Dämpfung und die Phasendifferenz zwischen U(t) und I(t) wird sichtbar. In der Auswertung werden die ermittelten Parameter Frequenz ω und Dämpfungsfaktor δ der Schwingung mit den Vorhersagen aufgrund der Vorversuche verglichen. Die Dämpfung soll mit verschiedenen zusätzlichen Ohmschen Widerständen variiert werden (z.b. aperiodischer Grenzfall und Kriechfall wenn möglich). Im gedämpften Schwingkreis gilt vereinfacht: I(t) = I 0 e δ t sin(ω t ϕ) und U(t) = U 0 e δ t sin(ω t) (4.27)

124 124 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE mit ω = 2π f = ω 2 0 δ 2, ω 0 = 1 und δ = R L C 2 L (4.28) Wurde der Vorversuch zur Charakterisierung der Spulen nicht durchgeführt, müssen die Spulen mit Hilfe der Ergebnisse der Schwingungsversuche charakterisiert werden. Mit den Gleichungen 4.28 folgt: L = Versuchsaufbau 1 (ω 2 + δ 2 ) C und R = 2δ (ω 2 + δ 2 ) C Der Schwingkreis wird gemäß Abbildung 4.13 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Der Strom fließt durch Eingang A des Sensor-CASSYs und die Kondensatorspannung wird an Eingang B gemessen. Zu Beginn des Experiments wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. INPUT A I U INPUT B U R 12 V S + SENSOR CASSY Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 Rastersteckplatte, DIN A4 1 Kondensator 1 µf 1 Kondensator 2,2 µf 1 Kondensator 4,7 µf 1 Kondensator 10 µf 1 Spule 250 Windungen 1 Spule 500 Windungen 1 Spule 1000 Windungen 1 Satz Brückenstecker 3 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 1 Taster Abbildung 4.13: Schaltbild zur Aufnahme von freien, gedämpften Auflade- bzw. Entlade- Schwingungen Versuchsdurchführung Ladespannung U 0 am Kondensator auf etwa 6 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen Spannungsquelle S auf EIN (1) bei Messung Entladevorgang, auf AUS (0) mit automatischer Umschaltung auf EIN (1) bei Beginn der Messung des Ladevorgangs.

125 4.4. GEDÄMPFTER LC-SCHWINGKREIS 125 a) b) Abbildung 4.14: a) Auflade- bzw. b) Entlade-Schwingungen

126 126 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. U B1 = 5 V, fallende Tendenz (Entladevorgang) bzw. U B1 = 0, 5 V, steigende Tendenz (Ladevorgang) einstellen! Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) Versuchsauswertung Zur Sichtbarmachung der Phasenverschiebung zwischen Strom und Spannung normiert man die beiden gemessenen Verläufe I(t) und U C (t) und stellt sie graphisch in einem Diagramm dar oder vergleicht z.b. die Nulldurchgänge der Spannungsmesung mit der Lage der Maxima der Strommessung (Abbildung 4.14b). Die Frequenz f der Schwingung lässt sich am leichtesten im Frequenzspektrum ermitteln, welches mittels einer Fouriertransformation der gemessenen Kondensatorspannung U B1 bzw. dem gemessenen Strom I A1 bestimmt werden kann und dann die Frequenz f z.b. mit der Peakschwerpunktsmethode oder mit der PeakfinderFanomethode berechnet wird (Abbildung 4.15a). Die Dämpfungskonstante δ ergibt sich aus der Anpassung einer Einhüllenden an die Messung U C (t) (Abbildung 4.15b). Bestimmen Sie die Kreisfrequenz ω, die Dämpfungskonstante δ und vergleichen Sie ihre Ergebnisse mit den Vorhersagen gemäß den Ergebnissen der Voruntersuchungen, eingesetzt in die Gleichungen Aufgrund der Umpolarisierung des Dielektrikums des Kondensators und der Ummagnetisierung des Spulenmaterials durch die Wechselspannung bzw. Wechselstrom der Schwingung treten zusätzliche Verlustwiderstände auf (siehe Anhang 4.6). Berücksichtigen Sie den Beitrag der Verlustwiderstände zu den Ergebnissen der Voruntersuchungen und vergleichen Sie dies mit ihren Ergebnissen. a) b) Abbildung 4.15: Beispielmessung einer freien, gedämpften Schwingung (C = 2, 2 µf, Spule mit 500 Windungen (L = 9 mh, R L = 2, 2 Ω)). a) Frequenzspektrum mittels Fouriertransformation, Anpassung mittels Fanofunktion, b) Anpassung einer Einhüllenden an U C (t)

127 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE Gekoppelte LC-Schwingkreise Versuchsbeschreibung Ein elektrischer Schwingkreis 1 kann induktiv mit einem zweiten erregten Schwingkreis 2 koppeln. Der Kreis 1 wird dadurch zu erzwungenen Schwingungen erregt. Die Resonanz tritt auf, wenn ω 1 = ω 2 ist. Dann wird die Erscheinung der Schwebung beobachtet: Die Schwingungsenergie pendelt zwischen den Kreisen hin und her (gekoppelte Schwingungen). Bei diesem Versuch werden die Fundamentalschwingungen und die Schwebung der gekoppelten Schwingkreise aufgezeichnet. Dazu wird das Frequenzspektrum der gekoppelten Schwingkreise mit dem Spektrum eines ungekoppelten Schwingkreises verglichen. Das fouriertransformierte Signal der gekoppelten Schwingkreise zeigt die Aufspaltung in zwei symmetrisch um das ungekoppelte Signal liegende Verteilungen, deren Abstand von der Kopplung der Schwingkreise abhängt. Ausgehend von den Differentialgleichungen der gekoppelten Schwingkreise: Ï 1 + k Ï2 + I 1 L C = 0 (4.29) Ï 2 + k Ï1 + I 2 L C = 0 (4.30) mit Kopplung k (0 < k < 1) folgen die beiden Eigenfrequenzen ω + und ω zu ω k = ω + < ω 0 < ω = ω 0 1 k. Insbesondere ist die Schwingungsfrequenz des gekoppelten Systems gleich (für kleine k). ω + + ω 2 = ω 0 1 k 2 ω 0 k 1 = ( ω0 ω + ) 2 1, k 2 = 1 ( ω0 ω ) 2, σ k1/2 = ( 2ω0 ω +/ ) ) 2 ( σω0 + ω +/ ( ω0 ω +/ ) 2 ( ) 2 σω+/ Hinweis: Die Aufspaltung in zwei exakt gleich große Signale gelingt nur bei genau gleichen Schwingkreisen. Durch Toleranzen der Induktivitäten L und der Kapazitäten C ist das nicht immer genau gegeben. Es sollen die Kondensatoren und Spulen verwendet werden, die bei den Voruntersuchungen und den freien gedämpften Schwingungen charakterisiert worden sind. Die Kopplungen k 1 und k 2 werden aus den beiden Frequenzen der Fundamentalschwingungen (Moden) f 1 und f 2 berechnet und sollten innerhalb der Fehler den gleichen Zahlenwert für die Kopplung ergeben. Für die im weiteren Verlauf gezeigten Messungen trifft das zu, wenn σ ω0 σ ω+/ 10 Hz beträgt. Dann findet man k 1 = 0,109, k 2 = 0,133 und σ k = 0,029. ω +/

128 128 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE Analogie zu gekoppelten Pendeln in der Mechanik Die Situation der induktiv gekoppelten elektrischen Schwingkreise entspricht der von gekoppelten Pendeln (Teil I, Mechanik), mit dem Unterschied, dass die Kopplung bei den Schwingkreisen durch Spannungen hervorgerufen wird, die in den Spulen induziert werden. In den Differentialgleichungen treten daher Terme der Form kl I auf. Die Konstante k gibt den Kopplungsgrad an. Das führt im Gegensatz zu gekoppelten Pendeln dazu, dass die Kopplungsstärke für beide Fundamentalschwingungen eine Rolle spielt. Bei Schwingkreisen, die mit identischen Komponenten aufgebaut werden, gelten die Differentialgleichungen (Summen der Spannungen verschwinden): I1 C dt + L I1 + kl I 2 = 0 (Schwingkreis 1) I2 C dt + L I2 + kl I 1 = 0 (Schwingkreis 2) Hier wurden Dämpfungsterme zunächst vernachlässigt. Differentiation nach der Zeit führt zu der Standardform der gekoppelten Differentialgleichungen (Gleichungen 4.29, 4.30). Addition der Gleichungen 4.29 und 4.30 ergibt: Durch Umformung findet man: (Ï1 + Ï2) + 1 L C (I 1 + I 2 ) + k (Ï1 + Ï2) = 0 Ï LC (1 + k) I + = 0 wobei I + = I 1 + I 2 einer der beiden Fundamentalströme ist. Daraus erhält man die Kreisfrequenz dieser Fundamentalschwingung: ω + = 1 LC (1 + k) = ω 0 (4.31) 1 + k ω 0 = 1/ LC ist dabei die Kreisfrequenz jedes der Schwingkreise ohne Kopplung. Diese Fundamentalschwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung beide Kondensatoren in der Art auflädt, dass die Ströme I 1 und I 2 parallel durch die Spulen fließen (Abbildung 4.16a). In gleicher Weise ergibt Subtraktion der beiden Gleichungen: Ï + 1 LC (1 k) I = 0 wobei I = I 1 I 2 der zweite Fundamentalstrom ist. Diese Fundamentalschwingung hat die Kreisfrequenz: ω = 1 LC (1 k) = ω 0 (4.32) 1 k

129 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 129 U C1 C 1 L C L U C2 U C1 C 1 L C L U C2 a) + U0 U 0 + b) + U0 + U 0 Abbildung 4.16: Fundamentalschwingungen zweier gekoppelter Schwingkreise a) gleichsinnige und b) gegensinnige Anregung Diese Schwingung kann angeregt werden, wenn man in der Schaltung die Kondensatoren entgegengesetzt aufgeladen werden, so dass die Ströme in entgegengesetzter Richtung durch die Spulen fließen (Abbildung 4.16b). Beide Fundamentalschwingungen zeigen, wie in der Mechanik, keine Schwebungserscheinungen sondern wegen der Dämpfung einen einfachen exponentiellen Abfall der maximalen Amplituden. Die Strom-Kombination I + entspricht dem Fall gleichsinnig ausgelenkter Pendel; dies führt zu einer kleinen Schwingungsfrequenz. I dagegen entspricht den gegensinnig ausgelenkten Pendeln (die Kopplung wirkt sich dann stärker aus) und führt zu einer größeren Schwingungsfrequenz. Wenn man die Frequenzen der Fundamentalschwingungen und vielleicht der nicht-gekoppelten Schwingkreise gemessen hat, kann man mit Hilfe der Gleichungen 4.31 und 4.32 den Kopplungsgrad der Schwingkreise bestimmen: k = f 2 f 2 + f 2 + f 2 + = ω2 + ω ω 2 0 ω 2 ω 2 + Wenn durch die Wahl der Anfangsbedingungen Schwebung eingestellt wird, ergibt sich wie in der Mechanik durch die Mittelung der Schwingungsfrequenzen f + unf f die Frequenz der gekoppelten Schwingung: f k = f + f + 2 f 0, und aus der halben Differenz erhält man die Frequenz der Schwebung: f schw = f f +. 2 Berücksichtigung der Dämpfung (einige wichtige Relationen): Die Differentialgleichungen für die beiden Fundamentalschwingungen haben dann folgende Form: Mit den Definitionen Ï + + Ï + β ± = R L(1 + k) I + + R L(1 k) I + R 2L(1 ± k), ω2 ±0 = 1 LC (1 + k) I + = 0 1 LC (1 k) I = 0 1 LC(1 ± k)

130 130 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE folgt: Die Lösungen der Gleichungen 4.33 sind: Ï ± + 2β ± I ± + ω 2 ±0 I ± = 0 (4.33) I ± = e β ±t (a ± sin ω ± t + b ± cos ω ± t) mit den Kreisfrequenzen ω± 2 = ω±0 2 β±. 2 Die Größen a ± und b ± sind vier Integrationskonstanten, die durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Die messbaren Größen sind nicht die Kombinationen I ±, sondern die Ströme und z. B. Kondensatorspannungen in den beiden Schwingkreisen. Die Kondensatorspannungen sollen jetzt andeutungsweise berechnet werden. Die Ströme in den Schwingkreisen berechnen sich durch I 1 = (I + + I )/2 bzw. I 2 = (I + I )/2. Daraus lassen sich die gesuchten Spannungen (etwas aufwendig) berechnen: U 1/2 = 1 C I 1/2 dt = 1 C e β +t ω 2 +0 ± 1 C e β t ω 2 0 { a + 2 ( β + sin ω + t ω + cos ω + t) + b + 2 ( β + cos ω + t + ω + sin ω + t)} { a 2 ( β sin ω t ω cos ω t) + b 2 ( β cos ω t + ω sin ω t)} Die Anfangsbedingungen werden meist so gewählt, dass die Kondensatoren für t = 0 durch Spannungen U 10 und U 20 aufgeladen sind und zunächst kein Strom fließt. Aus I 1 (0) = I 2 (0) = 0 folgt immer b + = b = 0. Für die Kondensatorspannungen für t = 0 findet man dann a + ω + 2ω 2 +0 a + ω + 2ω a ω 2ω 2 0 a ω 2ω 2 0 = U 10 (0) C = U 20 (0) C Damit ergeben sich folgende Lösungen für die Kondensatorspannungen: Gleichsinnige Aufladung: U 10 = U 20 = U 0 : U 1 = U 2 = U 0 e β +t ω + (β + sin ω + t + ω + cos ω + t) Abbildung 4.17a zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und 2. Gegensinnige Aufladung: U 10 = U 20 = U 0 : U 1 = U 2 = U 0 e β t ω (β sin ω t + ω cos ω t) Abbildung 4.17a zeigt unten die Spannung am Kondensator 1. Am 2. Kondensator ist die Spannung entgegengesetzt. Die Frequenz ist höher, als bei gleichsinniger Aufladung!

131 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE 131 a) Spannung (V) Spannung (V) x 10-2 t(s) x 10-2 t(s) b) Spannung (V) Spannung (V) t(s) t(s) Abbildung 4.17: a) Fundamentalschwingungen und b) Schwebung zweier gekoppelter Schwingkreise mit R = 2, 5 Ω, L = 9 mh und C = 1, 0 µf Schwebung: U 10 = U 0 und U 20 = 0: U 1/2 = U 0 [e β +t { 1 2ω + ( β + sin ω + t ω + cos ω + t)} ± e β t { 1 2ω ( β sin ω t ω cos ω t)}] Abbildung 4.17b zeigt oben die Spannung am Kondensator 1 und unten am Kondensator Versuchsaufbau Der erste Schwingkreis wird gemäß den Abbildungen 4.18 und 4.19 auf der Rastersteckplatte aufgebaut. Die Kondensatorspannung wird an Eingang B des Sensor CASSYs gemessen. Zu Beginn des Versuchs wird der Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der Taster gedrückt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt. Der zweite Schwingkreis wird separat aufgebaut. Seine Spule wird für die Kopplung der Schwingkreise direkt neben die erste Spule gestellt. Es kann die Spannung am zweiten Kondensator an Eingang A des Sensor-CASSYs gemessen werden. Bei gleichsinniger bzw. gegensinniger Anregung wird ebenfalls der zweite Kondensator aus der Spannungsquelle S aufgeladen. Zum Start der Schwingung wird der zweite Taster ebenfalls betätigt, welcher dabei die Spannungsquelle S kurzschließt.

132 132 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE INPUT A I U INPUT B U R 12 V S + SENSOR CASSY Benötigte Geräte: 1 Sensor-CASSY 1 CASSY Lab 1 Rastersteckplatte, DIN A4 2 Kondensator 1, 2,2, 4,7, 10 µf 2 Spulen 250, 500, 1000 Windungen 5 Paar Kabel, 50 cm rot/blau 1 Taster a) Abbildung 4.18: Schaltbild zur Aufnahme der Schwebung von gekoppelten Schwingungen INPUT A INPUT A I I U U INPUT B INPUT B U U R R 12 V S + 12 V S + SENSOR CASSY SENSOR CASSY a) b) Abbildung 4.19: Schaltbild zur Aufnahme von gekoppelten Schwingungen bei a) gleichsinniger und b) gegensinniger Anregung

133 4.5. GEKOPPELTE LC-SCHWINGKREISE Versuchsdurchführung Ladespannung U 0 auf etwa 9 V einstellen - dazu Spannungsquelle S entsprechend einstellen, Spannungsquelle eingeschaltet lassen. Polung der an den Schwingkreisen anliegenden Spannungen bei gleichsinniger bzw. gegensinniger Anregung einstellen. Zur Beobachtung der Schwebung nur an einen Schwingkreis Spannung anlegen Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen das Messintervall auf 10 µs und die Anzahl auf 2000 einstellen, entsprechend einer Messzeit von 20 ms Im Menü Einstellungen, Messparameter anzeigen weiterhin einen Trigger auf z.b. U B1 = 5 V, fallende Tendenz einstellen! Messung mit F9 starten (wartet dann auf Triggersignal) Schwingkreis mit Taster schließen (erzeugt Triggersignal) Abstand der Spulen und damit die Kopplungsstärke variieren Versuchsauswertung Fall der Schwebung: Im ungekoppelten Fall ergibt sich eine gedämpfte harmonische Schwingung (Abbildung 4.20a). Die gekoppelte Schwingung besitzt die gleiche Einhüllende (Abbildung 4.20a). Im ungekoppelten Fall zeigt das Frequenzspektrum nur ein Signal, dessen Frequenz sich durch die Berechnung des Signalschwerpunkts ermitteln lässt (Abbildung 4.20b). Im gekoppelten Fall spaltet die Frequenz symmetrisch in zwei Frequenzen auf. Die Amplituden sind nur halb so groß wie im ungekoppelten Fall und der Abstand hängt von der Kopplung ab (Abbildung 4.20b). Die Abbildung 4.20c zeigt die gemessenen Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren für den Fall der Schwebung bei den gekoppelten Schwingungen. Die Abbildung 4.20d zeigt die ungekoppelte und die Fundamentalschwingungen der gekoppelten Schwingungen bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung. Bestimmen Sie den Kopplungsgrad k aus diesen verschiedenen Messungen und geben Sie die Ergebnisse mit Fehlern an.

134 134 KAPITEL 4. ELEKTRIZITÄTSLEHRE a) b) c) d) Abbildung 4.20: a) Ungekoppelter (grüner Verlauf) und gekoppelter Schwingkreis (Schwebung, blaue Linie), b) Frequenzspektren der ungekoppelten und der gekoppelten Schwingungen c) Spannungsabfälle an den beiden Kondensatoren im Fall der Schwebung, d) Fundamentalschwingungen bei gleich- bzw. gegensinniger Anregung

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