Brückenkurs Rechentechniken

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1 Brückenkurs Rechentechniken Dr. Jörg Horst Technische Universität Dortmund Fakultät für Mathematik SS 2014

2 1 Vollständige Induktion Vollständige Induktion 2 Funktionenfolgen Punktweise Konvergenz Gleichmäßige Konvergenz 3 Anwendungen der Differentialrechnung Differenzierbarkeit Satz von Rolle Mittelwertsatz der Differentialrechnung Die Regel von de l Hospital 4 Die Taylor-Formel Die Taylor-Formel 5 Lineare Algebra Lineare Abbildungen

3 Vollständige Induktion Vollständige Induktion (7.1) Aussagen von der Form Für alle natürlichen Zahlen n n 0 gilt A(n). kann man in zwei Schritten beweisen:

4 Vollständige Induktion Vollständige Induktion (7.1) Aussagen von der Form Für alle natürlichen Zahlen n n 0 gilt A(n). kann man in zwei Schritten beweisen: 1 Schritt 1 - Induktionsanfang. Man bestätigt die Aussage A(n) für den Wert n = n 0.

5 Vollständige Induktion Vollständige Induktion (7.1) Aussagen von der Form Für alle natürlichen Zahlen n n 0 gilt A(n). kann man in zwei Schritten beweisen: 1 Schritt 1 - Induktionsanfang. Man bestätigt die Aussage A(n) für den Wert n = n 0. 2 Schritt 2 - Induktionsschritt (n n + 1). Unter der Induktionsvoraussetzung, dass A(n) für ein n gelte, zeigt man die Richtigkeit von A(n + 1).

6 Vollständige Induktion Beispiel (7.2) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N 0 und x, y R gilt n k=0 ( ) n x k y n k = (x + y) n k

7 Vollständige Induktion Beispiel (7.2) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N 0 und x, y R gilt Beispiel (7.3) Zeigen Sie n k=0 ( ) n x k y n k = (x + y) n k Für alle n N ist n 2 + n gerade.

8 Vollständige Induktion Beispiel (7.2) Beweisen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N 0 und x, y R gilt Beispiel (7.3) Zeigen Sie n k=0 ( ) n x k y n k = (x + y) n k Für alle n N ist n 2 + n gerade. Beispiel (7.4) Zeigen Sie n N, n 4 : 2 n n!.

9 Vollständige Induktion Beispiel (7.5) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion n N, n 2 : n > n.

10 Vollständige Induktion Beispiel (7.5) Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion n N, n 2 : n > n. Beispiel (7.6 Bernoullische Ungleichung) Zeigen Sie Für alle x R, x 1 und n N 0 gilt (1 + x) n 1 + nx.

11 Punktweise Konvergenz Definition (8.1 Punktweise Konvergenz) Die Folge (f n ) konvergiert punktweise auf I gegen f, wenn für jedes x I die Zahlenfolge f n (x) gegen f (x) für n gegen konvergiert, d.h. x I ε > 0 n 0 N : n n 0 = f n (x) f (x) < ε

12 Gleichmäßige Konvergenz Definition (8.2 Gleichmäßige Konvergenz) Gegeben sei ein Intervall I sowie eine Folge (f n ) n N von Funktionen f n : I R. Diese Folge konvergiert gleichmäßig auf dem Teilintervall J gegen eine Funktion f : J R, wenn gilt: ε > 0 n 0 N x J : n n 0 = f n (x) f (x) < ε Die Funktion f heißt dann der gleichmäßige Grenzwert der Folge (f n ) auf J.

13 Gleichmäßige Konvergenz Definition (8.2 Gleichmäßige Konvergenz) Gegeben sei ein Intervall I sowie eine Folge (f n ) n N von Funktionen f n : I R. Diese Folge konvergiert gleichmäßig auf dem Teilintervall J gegen eine Funktion f : J R, wenn gilt: ε > 0 n 0 N x J : n n 0 = f n (x) f (x) < ε Die Funktion f heißt dann der gleichmäßige Grenzwert der Folge (f n ) auf J. Satz (8.3) Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig auf I gegen f f n (x) f (x) n 0 gilt. sup x I

14 Gleichmäßige Konvergenz Satz (8.4) 1 f n f gleichmäßig = f n f punktweise. 2 Sind alle f n stetig, und konvergiert (f n ) gleichmäßig gegen f, dann ist auch f stetig. 3 Sind alle f n differenzierbar und konvergiert die Folge der Ableitungen f n gleichmäßig gegen eine Funktion g und die Folge (f n ) an einer Stelle x 0 I gegen einen Grenzwert, dann gilt: Die Folge (f n ) konvergiert gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f f ist differenzierbar mit f = g.

15 Gleichmäßige Konvergenz Beispiel (8.5) 1 f n : [0, 1] R, f n (x) = x n. nx ; 0 x 1 n 2 f n : [0, 2] R, f n (x) = 1 2 nx ; n < x < 2. n 2 0 ; n x 2

16 Gleichmäßige Konvergenz Beispiel (8.5) 1 f n : [0, 1] R, f n (x) = x n. nx ; 0 x 1 n 2 f n : [0, 2] R, f n (x) = 1 2 nx ; n < x < 2. n 2 0 ; n x 2 Beispiel (8.6) 1 f n : [0, 4] R, f n (x) = 2nx n 2 + x 2. 2 f n : [0, ) R, f n (x) = 2nx n 2. Betrachten Sie ebenso + x 2 die Folge ( f n ) n N.

17 Differenzierbarkeit Definition (9.1) Sei f : [a, b] R heißt in dem Punkt x 0 (a, b) differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 existiert. f (x 0 ) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x 0.

18 Differenzierbarkeit Definition (9.1) Sei f : [a, b] R heißt in dem Punkt x 0 (a, b) differenzierbar, wenn der Grenzwert f (x 0 ) := lim x x0 f (x) f (x 0 ) x x 0 existiert. f (x 0 ) nennt man die Ableitung von f an der Stelle x 0. Satz (9.2) Sei f : [a, b] R stetig auf [a, b] und differenzierbar auf (a, b). a) f ist auf [a, b] konstant f (x) = 0 für alle x (a, b). b) Ist f (x) > 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton wachsend in [a, b]. c) Ist f (x) < 0 für alle x (a, b), so ist f streng monoton fallend in [a, b].

19 Differenzierbarkeit Beispiel (9.3) Zeigen Sie, dass für alle x > 0 gilt: ( ln ) > 1 x 1 + x.

20 Differenzierbarkeit Beispiel (9.3) Zeigen Sie, dass für alle x > 0 gilt: ( ln ) > 1 x 1 + x. Beispiel (9.4) Die Funktion f : [ 1, 1] R ist definiert durch f (x) = { x 4 e x2 4 sin 8 x 3, x 0 0, x = 0 Zeigen Sie, dass f auf [ 1, 1] differenzierbar ist.

21 Satz von Rolle Satz (9.5 Der Satz von Rolle) Sei f : [a, b] R in dem beschränkten Intervall [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar. Ist f (a) = f (b), so gibt es einen Punkt ξ (a, b) mit f (ξ) = 0.

22 Satz von Rolle Satz (9.5 Der Satz von Rolle) Sei f : [a, b] R in dem beschränkten Intervall [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar. Ist f (a) = f (b), so gibt es einen Punkt ξ (a, b) mit f (ξ) = 0. Beispiel (9.6) Sei f : [ 1, 1] R mit f (x) = 1 x 2( e 2x 1 ). a) Zeigen Sie, dass f auf ( 1, 1) differenzierbar ist, und bestimmen Sie dort die Ableitung. b) Weisen Sie die Existenz eines ξ ( 1, 1) mit f (ξ) = 0 nach.

23 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz (9.7 Erster Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Sei f : [a, b] R in dem beschränkten Intervall [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein ξ (a, b) mit f (ξ) = f (b) f (a) b a

24 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiel (9.8) Zeigen Sie mit dem Mittelwertsatz folgende Aussagen: a) e x > 1 + x für x 0. b) ln(1 + x) x x+1 für x > 1. c) (1 + x) a 1 + ax für x 1 (mit a 1).

25 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Beispiel (9.8) Zeigen Sie mit dem Mittelwertsatz folgende Aussagen: a) e x > 1 + x für x 0. b) ln(1 + x) x x+1 für x > 1. c) (1 + x) a 1 + ax für x 1 (mit a 1). Beispiel (9.9) Zeigen Sie für die Funktion f : [ 1, 1] R, f (x) = dass f auf [ 1, 1] beschränkt ist. { x 4 e x2 4 sin 8 x 3, x 0 0, x = 0,

26 Mittelwertsatz der Differentialrechnung Satz (9.10 Zweiter Mittelwertsatz der Differentialrechnung) Seien f, g : [a, b] R in dem beschränkten Intervall [a, b] stetig und in (a, b) differenzierbar. Dann gibt es ein ξ (a, b) mit g (ξ) [ f (b) f (a) ] = f (ξ) [ g(b) g(a) ]. Speziell für g (x) 0 für alle x (a, b) folgt f (ξ) f (b) f (a) g = (ξ) g(b) g(a).

27 Die Regel von de l Hospital Satz (9.11 Regel von de l Hospital) Sei a Häufungspunkt eines Intervalls I, seien f : I R und g : I R differenzierbar auf I \ {a}, sei g (x) 0 für jedes x I \ {a}, und sei lim f (x) = lim g(x) = 0. x a x a Existiert so existiert auch und der Wert ist c. c := lim x a f (x) g (x), f (x) lim x a g(x),

28 Die Regel von de l Hospital Beispiel (9.12) Berechnen Sie folgende Grenzwerte: sin x 1 lim x 0 x ( 1 x 1 sin x cos x 1 x 0 2 lim x 0 3 lim x n 4 lim x 0 sin(x 2 ) (sin x) 2 5 lim x 0 e x 1 e x 1 6 lim x e x 1 e x 1 ), n N

29 Die Regel von de l Hospital Beispiel (9.13) Berechnen Sie folgende Grenzwerte: 1 lim x 0+ x 1 x sin(π cos x) 2 lim x 0 x ( 2 sin x 3 lim x 0 x 3 4 lim x x sin 1 x cos x ) x 2

30 Die Regel von de l Hospital Beispiel (9.14 Anwendung) Sei f : [0, 5] R differenzierbar und f habe genau zwei Nullstellen in (0, 5). a) Zeigen Sie: f hat höchstens drei Nullstellen. b) Geben Sie ein f an, so dass sowohl f als auch f jeweils genau zwei Nullstellen haben.

31 Die Taylor-Formel Satz (10.1) Sei I ein Intervall, x 0 ein innerer Punkt von I und n N 0. Die Funktion f sei n-mal stetig differenzierbar auf I und (n + 1)-mal differenzierbar im Inneren von I. Dann gilt für alle x I f (x) = T n (x) + R n (x) (Taylor-Formel) mit dem n-ten Taylor-Polynom T n, T n (x) = n k=0 f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k, k! und dem Restglied R n mit einem geeigneten ξ zwischen x 0 und x, R n (x) = f (n+1) (ξ) (n + 1)! (x x 0) n+1.

32 Die Taylor-Formel Beispiel (10.2 Beispiel) Sei h > 0. Bestimmen Sie das erste und zweite Taylorpolynom T 1 bzw. T 2 von f : ( h, ) R, f (x) = x + h mit Entwicklungspunkt 0. Folgern Sie daraus T 2 (x) < f (x) < T 1 (x) für x > 0, indem Sie die entsprechenden Restfunktionen abschätzen.

33 Die Taylor-Formel Beispiel (10.2 Beispiel) Sei h > 0. Bestimmen Sie das erste und zweite Taylorpolynom T 1 bzw. T 2 von f : ( h, ) R, f (x) = x + h mit Entwicklungspunkt 0. Folgern Sie daraus T 2 (x) < f (x) < T 1 (x) für x > 0, indem Sie die entsprechenden Restfunktionen abschätzen. Beispiel (10.3 Beispiel) Ersetzen Sie f (x) := cos(1 + x 2 ) durch das zweite Taylorpolynom T 2 von f in x 0 = 0 und schätzen Sie den Fehler im Bereich x 1 10 ab.

34 Die Taylor-Formel Beispiel (10.4 Beispiel) Sei f durch f (x) = e sin x gegeben. 1 Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades von f an der Stelle x 0 = 0 2 Zeigen Sie, dass der Fehler kleiner als 10 4 ist, wenn f im Intervall [ 1 10, 0] durch sein drittes Taylorpolynom ersetzt wird.

35 Die Taylor-Formel Beispiel (10.4 Beispiel) Sei f durch f (x) = e sin x gegeben. 1 Bestimmen Sie das Taylorpolynom 4. Grades von f an der Stelle x 0 = 0 2 Zeigen Sie, dass der Fehler kleiner als 10 4 ist, wenn f im Intervall [ 1 10, 0] durch sein drittes Taylorpolynom ersetzt wird. Beispiel (10.5 Beispiel) Bestimmen Sie für die Funktion f : R R mit f (x) = e x 2 x 2 die zugehörige Taylorreihe um x 0 = 0, und geben Sie ihren Konvergenzradius an.

36 Die Taylor-Formel Beispiel (10.6 Beispiel) Sei f : R R die Funktion mit f (x) = 1 + cos x. a) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen von f außerhalb der Stellen z k = (2k + 1)π, k Z. b) Zeigen Sie, dass f (x) = cf (x) außerhalb der Stellen z k und bestimmen Sie c R. c) Geben Sie die Taylorreihe von f in x 0 = 0 an.

37 Lineare Abbildungen Es bezeichne K ein Körper und V, W zwei K-Vektorräume. Definition (11.1 Lineare Abbildung) Eine Abbildung f : V W heißt linear, falls gilt a) Für alle x, y V gilt f (x + y) = f (x) + f (y). b) Für alle a R, x V gilt f (a x) = a f (x).

38 Lineare Abbildungen Es bezeichne K ein Körper und V, W zwei K-Vektorräume. Definition (11.1 Lineare Abbildung) Eine Abbildung f : V W heißt linear, falls gilt a) Für alle x, y V gilt f (x + y) = f (x) + f (y). b) Für alle a R, x V gilt f (a x) = a f (x). Definition (11.2 Kern und Bild einer linearen Abbildung) Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann heißt Kern f := { x V f (x) = 0 } der Kern von f und Bild f := f (V ) := { w W es existiert x V : f (x) = w } das Bild von f.

39 Lineare Abbildungen Satz (11.3) Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt f injektiv Kern f = {0}.

40 Lineare Abbildungen Satz (11.3) Es sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt f injektiv Kern f = {0}. Beispiel (11.4 Beispiel) Seien s, t R und f : R 2 R 2 eine Abbildung mit ( ) x f (x, y) = für alle x, y R. sy + tx a) Beweisen Sie, dass f linear ist. b) Bestimmen Sie den Kern von f. c) Für welche s, t ist f injektiv?

41 Lineare Abbildungen Beispiel (11.5 Beispiel) Seien n N und w 1,..., w n W Vektoren. Die Abbildung f : R n W sei definiert durch f (a 1, a 2,..., a n ) := n a i w i. i=1 Dann ist f linear.

42 Lineare Abbildungen Beispiel (11.6 Beispiel) Sie f : R 3 R 4 definiert durch f (x, y, z) = x + 2z y z x + y 2x + 3z. a) Bestimmen Sie die zugehörige Darstellungsmatrix A := M E 3 E 4 (f ), wobei E n die kanonische Basis des R n darstellt. b) Es seien B = 1, 1, 0 und B = , 1 1, 1 0, Basen des R 3 bzw. R 4. Bestimmen Sie M B B (f ).

43 Lineare Abbildungen Beispiel (11.7 Beispiel) Im Vektorraum der Polynome vom Grade 3 über R sei f gegeben durch f (p) = p. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix MB B (f ) für a) die Basis B = {1, x, x 2, x 3 }, b) die Basis B = {x 2, 2x 2 1, x 2 x, x 3 + 2x 2 + x + 2}.

44 Lineare Abbildungen Beispiel (11.8 Beispiel) V sei der Teilraum des Raumes aller Abbildungen von R nach R, der von e x, xe x, x 2 e x, x 3 e x erzeugt wird. Desweiteren sei φ : V V über φ(f ) := f definiert, wobei f die zweite Ableitung von f sei. a) Zeigen Sie, dass {e x, xe x, x 2 e x, x 3 e x } eine Basis von V ist. b) Zeigen Sie, dass wirklich φ(v ) V gilt und dass φ linear ist. c) Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix von φ bezüglich der Basis B = {e x, xe x, x 2 e x, x 3 e x }. e) Bestimmen Sie die zweite Ableitung der Funktion g(x) := ( x 3 x 2 + x 1 ) e x ohne eine der üblichen Ableitungsregeln zu verwenden.

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