Quadratisch, praktisch, gut!? Die handlungsorientierte Untersuchung von Vierecken und ihren Eigenschaften mithilfe von Geobrettern

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1 S 1 Quadratisch, praktisch, gut!? Die handlungsorientierte Untersuchung von Vierecken und ihren Eigenschaften mithilfe von Geobrettern Dr. Florian Schacht, Dortmund M 1 So viele Vierecke? Erkundung mit Geobrettern Hier lernst du verschiedene Vierecke kennen. Dazu arbeitest du mit einem Geobrett. Beispiel: In der Abbildung siehst du drei Quadrate, die auf dem Geobrett mit jeweils einem Gummiband gespannt sind. Findest du Vierecke? (Ich-Phase) Spanne verschiedenartige (konvexe) Vierecke auf dem Geobrett. Findet ihr Eigenschaften? (Du-Phase) Arbeite mit deinem Banknachbarn zusammen. Wählt drei Beispiele. Besprecht die Eigenschaften der verschiedenen Vierecke. Zeichnet die drei Vierecke in die Vorlage unten ein. Woran erkennt ihr die Vierecke? Geobrett Notiert jeweils drei charakteristische Eigenschaften zu jedem der gewählten Vierecke in eurem Heft. Wdjat/WIKIPEDIA - Lizenz: Creative Commons CC BY-SA 3.0 Viereck 1 Viereck 2 Viereck 3 Für schnelle Teams: Schreibt zu jedem der gewählten Vierecke einen Satz in euer Heft, in dem ihr die wichtigsten Erkennungsmerkmale des Vierecks beschreibt. Nutzt jeweils den Satzanfang Viereck Nr. 1 erkennt man daran,...

2 S 2 Wie lautet die Regel? (Wir-Phase) Arbeitet zu viert zusammen. Wählt zwei verschiedene Vierecke (eins pro Team) und vergleicht sie miteinander. Skizziert sie in der Vorlage. Welche Eigenschaften sind gleich und welche sind unterschiedlich? Notiert jeweils Gemeinsamkeiten und Unterschiede in eurem Heft. Viereck Team A Viereck Team B Wenn der Arbeitsprozess stockt, nutzt die Tippkarten (M 2). Vierecke Zug um Zug verändern (Du-Phase) Du spannst mit deinem Partner auf dem Geobrett zunächst ein beliebiges Viereck, das ihr dann Zug um Zug verändert, indem ihr das Gummiband an einer Ecke des Vierecks um einen anderen Nagel spannt. Dabei könnt ihr einen benachbarten Nagel als neue Ecke wählen oder aber auch Nägel überspringen. Achtet darauf, dass die neue Figur immer noch ein Viereck ist. Ziel dieser Aufgabe ist, die Veränderung des Vierecks zu erkunden, die Zug um Zug durch Versetzen der Ecken entsteht. Beispiel: In der Abbildung geht das rechte Viereck aus dem linken dadurch hervor, dass die untere Ecke in einem Zug versetzt wurde. a) In einem Zug: Spannt unterschiedliche Vierecke und verändert jeweils nur eine Ecke. Notiert in eurem Heft, welche Eigenschaften des Ausgangsvierecks sich verändern und welche gleich bleiben. b) In zwei Zügen: Spannt unterschiedliche Vierecke und verändert jeweils zweimal hintereinander eine der Ecken (die gleiche zweimal nacheinander oder zwei verschiedene). Notiert in eurem Heft, welche Eigenschaften des Ausgangsvierecks sich danach verändert haben und welche gleich geblieben sind. c) Muster bei zwei Zügen: Welche Muster könnt ihr entdecken, die beim zweimaligen Verändern der Ecken auftreten können? Beschreibt die Muster möglichst genau und notiert eine Erklärung in eurem Heft. Auch hier könnt ihr die Tippkarten nutzen (M 2).

3 S 3 M 2 Merksatzhilfe Tippkarten Nutzt folgende Satzstruktur, um euren Merksatz für Gemeinsamkeiten oder Unterschiede zu formulieren: Die beiden Vierecke haben folgende gemeinsame Eigenschaften: Sie... Die beiden Vierecke unterscheiden sich in folgenden Eigenschaften: Viereck 1... und Viereck 2... Begriffsbausteinkasten Vielleicht helfen euch einige der folgenden Begriffe, um die Gemeinsamkeiten und Unterschiede besser beschreiben zu können: Seiten, Seitenlänge, Diagonale, parallel, Winkel, rechter Winkel, senkrecht, Umfang, Flächeninhalt, Symmetrieachse, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch, gedreht, gespiegelt, verschoben zum Auftrag Vierecke in einem Zug verändern (a) Beginnt hier zunächst mit einem leichten Viereck, z. B. mit einem Quadrat. Versetzt nun eine Ecke. Jetzt könnt ihr verschiedene Beziehungen erkunden: Welche und wie viele Winkelgrößen verändern sich? Warum muss ein Winkel gleich groß bleiben? Welche und wie viele Seitenlängen verändern sich? Warum müssen zwei Seitenlängen gleich lang bleiben? Untersucht, ob durch eine Veränderung wieder ein Quadrat entstehen kann. zum Auftrag Vierecke in zwei Zügen verändern (b) Startet auch hier zunächst mit einem leichten Viereck, z. B. mit einem Rechteck. Verändert nun zweimal nacheinander jeweils eine Ecke entweder die gleiche Ecke zweimal nacheinander oder zwei unterschiedliche Ecken. Jetzt könnt ihr verschiedene Beziehungen erkunden: Wie müsst ihr die Ecken versetzen, sodass wieder ein Rechteck entsteht? Ist es möglich, dass zwei Seitenlängen gleich lang bleiben? zum Auftrag Muster bei zwei Zügen (c) Wenn du Vierecke zweimal veränderst, können bestimmte Muster auftreten. Es gibt Veränderungen, bei denen du in zwei Zügen aus einem Rechteck wieder ein Rechteck konstruieren kannst (siehe Abbildung). Findest du weitere solcher Muster?

4 S 4 M 3 Die verschlüsselte Vierecks-Nachricht ein Spiel Die Spielregeln für je zwei Spieler Beide Spieler sitzen Rücken an Rücken zueinander. Spieler 1 zeichnet ein Viereck in sein Heft. Spieler 2 nimmt ein leeres Blatt und einen Stift. Ziel ist, dass Spieler 1 sein Viereck an Spieler 2 übermittelt aber ohne den Fachbegriff für das Viereck zu nennen. Spieler 1 darf das Viereck nur beschreiben. Er darf die Eigenschaften des Vierecks nennen. Spieler 2 zeichnet nun das Viereck auf, das ihm Spieler 2 beschreibt. Danach vergleichen die Schüler die beiden aufgezeichneten Vierecke. Stimmen sie überein, bekommt Spieler 2 einen Punkt fürs Zeichnen und Spieler 1 einen Punkt fürs Beschreiben. Stimmen sie nicht überein, bekommt kein Spieler Punkte. Nun wird gewechselt, und Spieler 2 übermittelt ein neues Viereck an Spieler 1. Für eine falsche Beschreibung bekommt man einen Minuspunkt. Man spielt insgesamt 10 Runden. Gewonnen hat der Spieler, der am Ende die meisten Punkte hat. Ist der Spielstand unentschieden, gibt es ein Stechen. In meinem Viereck sind je zwei Seiten gleich lang... Die Zeichnung des Mädchens vergrößert: zur Beschreibung von Vierecken Bei der Übermittlung von Vierecken ist es vor allem wichtig, die Eigenschaften des Vier ecks und die Beziehungen von Seiten und Winkeln zu beschreiben. Hierfür helfen dir folgende Leitfragen: Welche Seiten sind gleich lang? Wo findest du gleich große Winkel? Wie viele rechte Winkel hat das Viereck? Begriffsbausteinkasten Bei der Beschreibung helfen dir die folgenden Fachbegriffe: parallele Seiten, rechter Winkel, senkrecht aufeinanderstehende Seiten, Seitenlänge, Winkelgröße, Symmetrieachse, gegenüberliegende Seiten oder Winkel, angrenzende Seiten oder Winkel, achsensymmetrisch, punktsymmetrisch

5 S 8 Schließlich leistet die Einstiegsstunde einen Beitrag zur Idee des Dynamischen, die sich spiralförmig nicht nur im Geometrieunterricht durch vielfältige Bereiche der mathematischen Schullaufbahn der Schüler zieht. Lernumgebungen mit Geobrettern zeichnen sich nämlich dadurch aus, dass sie in gewissen Grenzen auch dynamisch (werden, F. S.), nämlich dann, wenn man eine Ecke umspannt und dabei auf Veränderungen an der Figur achtet (Holzäpfel et al. 2008, S. 30). Hierzu eignet sich insbesondere die Aufgabe Vierecke Zug um Zug verändern (M 1). Ob bei (dynamischen) Abhängigkeiten in Dreiecken (die dynamisch sehr produktiv mithilfe von dynamischer Geometriesoftware in Klasse 7 erarbeitet werden können), bei funktionalen Abhängigkeiten (z. B. beim Funktionsbegriff (Klasse 8), bei der Differenzialrechnung (Klasse 10) oder bei der Betrachtung linear-algebraischer Phänomene in der Oberstufe: dynamische Betrachtungen fördern nicht nur mathematisch tragfähige Grundvorstellungen zu fundamentalen Begriffen der Mathematik, sie sind auch mittlerweile fester Bestandteil des Unterrichtsalltags (z. B. durch Nutzung von Computerräumen oder GTR bzw. CAS). Insofern wird eine solche Idee der Dynamik, die sich spiralförmig durch die Schulmathematik zieht, hier gefördert. Mathematik als Prozess und Produkt gerade im Geometrieunterricht Die zunehmende Verschlankung des Geometriecurriculums (vor allem hinsichtlich zentraler geometrischer Sätze, aber auch hinsichtlich der Beweisbedürftigkeit im Geometrieunterricht) läuft leider darauf hinaus, dass traditionelle geometrische Inhalte zum Teil aus dem curricularen Kanon gestrichen werden. Dennoch birgt gerade die Geometrie das Potenzial, eine Idee der mathematischen Theoriebildung zu bekommen (Lengnink / Leuders 2008, S. 3). Ein Problem im traditionellen Geometrieunterricht ist allerdings, dass die Anschauung häufig ein Beweisbedürfnis ersetzt: Für die Lernenden besteht selten ein Beweisbedürfnis, sie sehen doch, dass der Satz stimmt. (Lengnink et al. 2008, S. 3) Ein solches Beweisbedürfnis insbesondere im Geometrieunterricht zu wecken, sollte zentrales Anliegen Ihres Unterrichts sein. Allerdings sollten sich Begründungen und Beweise nicht an der Evidenz von Anschauungen orientieren, sondern vielmehr sollten Beweise auf die Frage nach dem Warum antworten (Lengnink et al. 2008, S. 3). Diese zentrale Grundidee übrigens zur wesentlichen prozessbezogenen Kompetenz des Argumentierens und Begründens steht in der Stunde im Mittelpunkt der Betrachtungen. Verdeutlichen Sie sie an der Frage: Welche Eigenschaft muss ein Viereck haben, damit es ein Quadrat ist? Eine solche und ähnliche weitere Fragen sind Ausgangspunkt der vorliegenden Stunde. Hier können Lernende eigenständig probieren, variieren, vermuten, eine Systematik entwickeln und beweisen (Lengnink et al. 2008, S. 3). Mathematik wird so weniger als Fertigprodukt verstanden, sondern vielmehr als Prozess. Freudenthal (1973) bringt das so auf den Punkt: Der Lernprozess sollte Perioden gerichteter Erfindung einschließen was objektiv keine Erfindung ist, kann es wohl aus der Perspektive des Lernenden sein. Nacherfundene Kenntnisse und Fähigkeiten werden besser verstanden und schärfer eingeprägt als solche, die weniger aktiv erworben wurden (Freudenthal 1973, S. 113f).

6 S 12 Lösungen und M 1 Tipps zum Einsatz So viele Vierecke? Erkundung mit Geobrettern Bei dieser offenen Erkundungsaufgabe arbeiten die Schüler zunächst allein (Ich- Phase), dann zu zweit (Du-Phase) und schließlich zu viert (Wir-Phase). Eine zentrale Rolle spielt hier die Idee verschiedenartiger konvexer Vierecke. Lassen Sie Ihre Schüler zunächst Vier ecke auf dem Geobrett spannen und bieten Sie in den weiteren Phasen Ihren Schülern Diskussionsanlässe, um die Idee verschiedenartiger Vierecke untereinander zu besprechen. Für einige Schüler sind möglicherweise schon kongruente Vierecke verschieden, wenn sie an unterschiedlichen Stellen auf dem Geobrett gespannt sind. Andere Schüler argumentieren, dass ein Quadrat ein Quadrat ist unabhängig von dessen Größe und Lage. Hier können Sie spannende Diskussionsanlässe auch für die Sicherungsphase nutzen. Auch die Fachsprache, die die Schüler hier für die Vierecke verwenden, ist durchaus unterschiedlich. Ermuntern Sie Ihre Schüler in dieser ersten Erkundung ruhig, kreative Namen für die gefundenen Vierecke zu finden, und reichen Sie Ihren Schülern die konsolidierten mathematischen Bezeichnungen nicht zu früh. Neben vielen kreativen Schülerideen können hier folgende Vierecke gefunden werden, die im Haus der Vierecke (M 4) in ihren Beziehungen untereinander klassifiziert werden: a) In einem Zug: Eine strukturerhaltende Veränderung liegt z. B. dann vor, wenn eine Spitze eines Drachens jeweils nach oben oder unten verlängert wird (Abbildung unten links). In diesem Fall ist das geometrische Objekt noch immer ein Drachen. Eine strukturverändernde Manipulation können die Schüler z. B. dann erzeugen, wenn eine Spitze der Raute (Abbildung unten rechts) verkürzt oder verlängert wird und dadurch ein Drachen entsteht, der keine Raute ist. Die Eigenschaften, die sich jeweils ändern oder gleich bleiben, sind durchaus vielfältig. Hierzu nutzen Ihre Schüler die Hinweise der Tippkarten, die bspw. zur Betrachtung von Lage- und Größenbeziehungen auffordern. Raute gleichschenkliger Drachen Rechteck Quadrat Trapez gleichschenkliges Trapez Parallelogramm allgemeines Viereck schiefer Drachen Im Rahmen der Erkundung Vierecke Zug um Zug verändern betrachten Ihre Schüler Beziehungen zwischen unterschiedlichen Vierecken, die sich durch die Veränderung einer Ecke des Vierecks ergeben. Ermuntern Sie Ihre Schüler, typisch mathematische Fragen zu stellen. Insbesondere bei den oben betrachteten Vierecken lassen sich interessante Eigenschaften erkunden, von denen hier einige aber natürlich nicht alle als Lösungshinweise notiert sind: strukturerhaltend strukturverändernd