Festigkeitslehre. Modulprüfung in Technischer Mechanik am 11. August Aufgaben. Name: Vorname: Matr.-Nr.: Fachrichtung: Hinweise:

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Barbara Steinmann
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1 Modulrüfung in Technischer Mechanik am. August 205 Festigkeitslehre Aufgaben Name: Vorname: Matr.-Nr.: Fachrichtung: Hinweise: Bitte schreiben Sie deutlich lesbar. Zeichnungen müssen sauber und übersichtlich sein. Die Benutung roter Farbstifte ist nicht ugelassen. Aufgaben werden nur beurteilt, wenn sie auf den ausgegebenen Blättern gelöst sind. Eventuell abgegebene Formelsammlungen werden als nicht vorhanden betrachtet. Trennen Sie die Aufgabenblätter nicht auf. Bei den Aufgaben muss eindeutig der Lösungsweg erkennbar sein. Ein Ergebnis ohne Lösungsweg wird nicht bewertet. Sollten für eine Aufgabe mehrere widersrüchliche Lösungen angegeben sein, so wird keine bewertet. Streichen Sie deshalb falsche Rechenschritte oder Zeichnungen durch. Aufgabe 2 4 Punkte (Eintrag erfolgt durch Institut)

2 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre. August 205. Aufgabe: (ca. 20 % der Gesamtunkte) Die beiden linear-elastischen Schichten a und b der Dicke h eines ebenen ächigen Verbundwerkstos seien fest miteinander verklebt. Es kann angenommen werden, dass in ihnen jeweils ein homogener (ortsunabhängiger) Sannungs- und Vererrungsustand herrscht. a E, ν a h h b ν b E, Das Material ist in -Richtung durch einen ortsunabhängigen Druck belastet, d.h. σ a = σ b =. Wegen des festen Verbundes ist ε a = ε b und ε a = ε b. a) Welcher Zusammenhang besteht innerhalb jeder der beiden Schichten wischen σ und σ sowie wischen ε und ε? Beachten Sie, dass weder Geometrie noch Belastung von der - bw. -Richtung abhängen! b) Welcher Zusammenhang besteht wischen σ a und σ b? Beachten Sie, dass der Verbund in - und -Richtung unbelastet ist! c) Geben sie die Sannung σ a in Abhängigkeit von an. Gegeben: h, E a, E b, ν a, ν b,.

3 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre. August Aufgabe: (ca. 24 % der Gesamtunkte) q A EI L B EI L C EI L D Bearbeiten Sie für den dargestellten Träger folgende Teilaufgaben: a) Geben Sie die erforderlichen Übergangsbedingungen ur Integration der Biegelinie in den Punkten B und C an. b) Ermitteln Sie für den Bereich BC die Durchbiegung w() durch Integration der Dierentialgleichung der Biegelinie. c) Skiieren Sie die Biegelinie für den gesamten Träger unter Angabe der wesentlichen Werte. Gegeben: L, q, EI.

4 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre. August 205. Aufgabe: (ca. 28 % der Gesamtunkte) L F a F Seitenansicht a a Vorderansicht Der dargestellte Kragträger mit dreieckförmigem Vollquerschnitt wird wie angegeben durch eine eentrisch angreifende Einelkraft F belastet. a) Ermitteln Sie die durch die Last F hervorgerufenen Schnittgröÿen an den Stellen = L und = 2L. b) Berechnen Sie an der Stelle = L die Normalsannung im Schwerunkt sowie Ort und Gröÿe der etremalen Normalsannungen im Querschnitt. c) Skiieren Sie in der obigen Vorderansicht die Sannungsnulllinie. d) Wo muss gan allgemein die Nulllinie verlaufen, wenn die Kraft F innerhalb des Kerns des Querschnitts angreift? durch den Schwerunkt tangential an die Querschnittsäche auÿerhalb der Querschnittsäche Gegeben: a, L = 24 a, F, I = I = a 4 96

5 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre. August Aufgabe: (ca. 28 % der Gesamtunkte) EI, GI T A F 2L B EI C D L L Das dargestellte räumliche Tragwerk wird im Punkt D durch eine Kraft F belastet. Bestimmen Sie die Auagerkraft C im Punkt C sowie die Verschiebung des Punktes B in -Richtung mit Hilfe des Prinis der virtuellen Kräfte. Gegeben: L, EI, GI T = 2 EI, F Hinweis: Die Aufgabe ist mit dem Prini der virtuellen Kräfte u lösen. Andere Lösungswege werden nicht bewertet.

6 Institut für Mechanik Prof. Dr.-Ing. habil. P. Betsch Prof. Dr.-Ing. habil. Th. Seelig Prüfung in Festigkeitslehre. August 205 Werte der Integrale s 0 P () K()d K() s a s b s P() k k k k k k 2 a b a+b= k S k s ks 2 ks 2 ks 2 (k + k 2 )s 2 ks 2 ks 2 ks ks 6 ks 6 (k + 2k 2 )s 6 k( + a)s ks 2 ks 6 ks ks 6 (2k + k 2 )s 6 k( + b)s ks 2 k 2 ( + 2 )s k 6 ( )s k 6 (2 + 2 )s [ 6 (2k + k 2 ) (k + 2k 2 )]s [ k 6 [ ( + b) + 2 ( + a)]s k ( + 2 )s s/2 s/2 2 ks 4 ks 4 ks 4 (k + k 2 )s k 2b ( 4a2 )s 5 2 ks c s c+d= d s 2 ks k 6 ( + c)s k 6 ( + d)s 6 [k ( + d) + k 2 ( + c)]s k 6bc (2c c2 a 2 )s für c a k ( + cd)s S 2 ks ks ks (k + k 2 )s k ( + ab)s 8 5 ks S 2 ks 4 ks 5 2 ks 2 (5k + k 2 )s k 2 (5 a a2 )s 7 5 ks S 2 ks 5 2 ks 4 ks 2 (k + 5k 2 )s k 2 (5 b b2 )s 7 5 ks S ks 2 ks 4 ks 2 (k + k 2 )s k 2 ( + b + b2 )s 5 ks S ks 4 ks 2 ks 2 (k + k 2 )s k 2 ( + a + a2 )s 5 ks S = Scheitel einer quadratischen Parabel

7 Modulrüfung in Technischer Mechanik am. August 205 Festigkeitslehre Lösungen Name: Vorname: Matr.-Nr.: Fachrichtung:

8 Aufgabe Elastiitätsgeset: Eε = σ ν(σ + σ ) σγ = τ a) Richtungs- und ortsunabhängiger Vererrungs- bw. Sannungsustand ε a = ε a ε b = ε b σ a = σ a σ b = σ b b) Gleichgewicht in - bw. -Richtung hσ a + hσ b = 0 σ a = σ b hσ a + hσ b = 0 σ a = σ b c) ε = ε a = ε b = ε a = ε b E a ε = σ a ν a (σ a ) () E b ε = σ a ν b ( σ a ) (2) aus (2) ε = σa E + b νb σa E + νb b E b + νb = σ a E b + νb E b mit () σ a = Ea ε ν a ν a = Ea = E a ν b E b ν νa a ν a ( + Ea ν a ν b + ν b ν a E b σ a + Ea E b ) = Eaνb Ebνa ( ν a )E b + ( ν b )E a E b ν b ν νa a ν a

9 Aufgabe 2 a) w ( = L) = 0 w B ( = L) = L EI w ( = 2L) = 0 w C ( = L) = 0 ql 2 = ql4 6EI Hinweis: EI L F w= F L EI auswendig! b) EIw = q EIw = q + C EIw = 2 q2 + C + C 2 EIw = 6 q + 2 C 2 + C 2 + C EIw = 24 q4 + 6 C + 2 C C + C 4 M = EIw = 2 q2 C C 2 w ( = 2L) = 0 : 2qL 2 2C L C 2 = 0 () w ( = L) = 0 : 2 ql2 C L C 2 = 0 (4) () (4) 2 ql2 C L = 0 C = 2 ql C 2 = 2 ql2 + 2 ql2 = ql 2

10 2 w( = 2L) = 0 : ql4 + 8L 6 ( ql2 L) L2 + 2LC + C 4 = 0 (5) w( = L) = ql4 6EI : 24 ql4 + 6 ( 2 ql)l + ql2 2 L + C L + C 4 = ql4 (6) 6 (5) (6) 5 24 ql4 7 4 ql4 + 2 ql4 + C L = ql4 6 C = ql4 L ( ) = ql ( ) = ql C 4 = ql4 24 ( ) = 5 2 ql4 Alternativ: w() = q 24EI (4 6L + 2L 2 2 L + 0L 4 ) q Koordinatentransformation: = L EIw = q EIw = q + C EIw = 2 q 2 + C + C 2 = M( ) M( = 0) = 0 C 2 = 0 M( = L) = 2 ql2 C L 0 = 0 C = 2 ql EIw = 2 q 2 2 ql EIw = 6 q 4 C 2 + C EIw = 24 q 4 2 ql + C + C 4

11 EIw( = 0) = ql4 6 C 4 = ql4 6 EIw( = L) = 24 ql4 2 ql4 + C L + ql4 6 = 0 C = 8 ql w( ) = q EI ( L 8 L + 6 L4 ) w() = q EI ( L L L + 24 L L L L 2 24 L4 24 L + 24 L L4 ) = q 24EI (4 6L + 2L 2 2 L + 0L 4 ) c) w() Knick!

12 Aufgabe I = ah I 2 = I = 6 = a 2 a(a 2 ) 2 a a = a a 4 = a b h a/2 Abbildung : Querschnitt mit h = b = 2 a a) M = hf = 2 F a N = F M = a 2 F = 2 F a Q = Q = 0 M T = 0 b) A = 2 a 2 a = I = I = 96 a4 4 a2 σ(, ) = N A + M I M I

13 Schwerunkt: = 0, = 0 σ( = 0, = 0) = N A = 4F a 2 σ C ( = a 2, = 6 a) = 4 F a 6F 2 a 6 a = F a 2 ( a + = F 4 ( a σ B ( = 0, = a) = 4 F a + 6F 2 a σ A ( = a 2, = 6 a) = 4 F a 6F 2 a 6F a a 2 2 ) = 2 F a 2 6F a a 2 2 ) = 4 F a 2 a = F a 2 ( ) = 4 F a 2 A min S B C ma

14 c) σ(, ) = 4F a 2 + 6F = = 6F a + =! 0 a 6F a a 6F a 6F 4F a 2 2 a Hinweise ur Lage der Sannungs-NL: arallel ur Kante links von S im QS S,72 0,44a 0,577a d) Die Sannungsnulllinie verläuft auÿerhalb der Querschnittsäche, wenn die Kraft F im Kern des Querschnitts angreift.

15 Aufgabe 4 Sstem -fach statisch unbestimmt (a = 7, n = : 6n a) Wahl: C v = X 0-Sstem -Sstem 2FL M 0 M 0 T 2FL F F FL 2FL +2L M M T +L +L Einussahlen: α 0 = [ L6 EI (F L + 4F L)L + ] (2F L( 2L)2L) = [ 56 EI F L 8 ] F L 2F L = F L 2 EI α = [ EI ( L)2 L + ] ( 2L)2 (2L) + L 2 2L GI ] T = 4 L = EI [ L + 8 L + L EI C v = X = α 0 α = 8 F + GI T L( 2F L)2L

16 Verschiebung in Punkt B: M 2L +0,75FL M 0,625FL FL w B = EI [ ] 2L( 0, 75F L)2L = F L EI

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