Falls H die Eingabe verwirft, so wissen wir, dass M bei Eingabe w nicht hält. M hält im verwerfenden Haltezustand. Beweis:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Falls H die Eingabe verwirft, so wissen wir, dass M bei Eingabe w nicht hält. M hält im verwerfenden Haltezustand. Beweis:"

Transkript

1 1 Unentscheidbarkeit 2 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 #include <stdio.h> char *s="include <stdio.h>%cchar *s=%c%s%c;%cint main(){printf(s,10,34,s,34,10,10);}%c"; int main(){printf(s,10,34,s,34,10,10);} 3 4 Sei A TM = { M,w M ist eine Turing-Maschine, die w akzeptiert}. Die Sprache A TM ist nicht M M, M Nehmen wir an, es gäbe eine Turing-Maschine M, die die Sprache A TM entscheidet. D M Basierend auf M könnten wir dann eine Turing-Maschine D konstruieren, die bei Eingabe M Turing-Maschine M für Eingabe M, M simuliert, aber im verwerfenden Haltezustand hält, falls M diese Eingabe akzeptiert und im akzeptierenden Haltezustand sonst. D verwirft M genau dann wenn M die Eingabe M akzeptiert. Was tut D bei Eingabe D? Die Turing-Maschine D verwirft D genau dann wenn D die Eingabe D akzeptiert! Damit ist die Annahme, dass M existiert, ad absurdum geführt. 5 6 Halteproblem H = { M,w Turingmaschine M hält bei Eingabe w} Die Sprache H ist nicht Nehmen wir an, es gäbe eine Turing-Maschine H, die H entscheidet. Dann könnten wir uns das zu Nutze machen, um eine Turing-Maschine M zu konstruieren, die A TM entscheidet: Bei Eingabe M,w führt M zunächst die Berechnung von H für diese Eingabe aus. Falls H die Eingabe akzeptiert, so wissen wir, dass M bei Eingabe w hält. M simuliert dann die Berechung von M bei Eingabe w und hält im akzeptierenden Haltezustand, falls M Eingabe w akzeptiert, und im verwerfenden Haltezustand sonst. Falls H die Eingabe verwirft, so wissen wir, dass M bei Eingabe w nicht hält. M hält im verwerfenden Haltezustand. M würde die nicht entscheidbare Sprache A TM entscheiden. Also kann H nicht existieren. Also ist das Halteproblem H un 7 8 Unentscheidbare Probleme bei Turing-Maschinen Die Sprache A TM,ε = { M ε L(M)} ist nicht Wäre A TM,ε entscheidbar, so wäre auch A TM entscheidbar: Zu gegebenem M und w können wir leicht eine Turingmaschine M w konstruieren, die, wenn sie mit leerem Band gestartet wird, zunächst w auf das Band schreibt und dann M simuliert. Die Sprache E TM = { M L(M) = /0} ist nicht Wäre E TM entscheidbar, so wäre auch A TM entscheidbar: Zu gegebenem M und w können wir leicht eine Turingmaschine M w konstruieren, die jede von w verschiedene Eingabe verwirft und bei Eingabe w die Berechnung von M bei Eingabe w simuliert. Dann ist M,w A TM genau dann wenn M w E TM. Dann ist M,w A TM genau dann wenn M w A TM,ε.

2 9 10 Die Sprache A TM,all = { M L(M) = Σ } ist nicht Wäre A TM,all entscheidbar, so wäre auch A TM entscheidbar: Zu gegebenem M und w können wir leicht eine Turingmaschine M w konstruieren, die zunächst jede Eingabe löscht, dann w aufs Band schreibt und die Berechnung von M bei Eingabe w simuliert. Dann ist M,w A TM genau dann wenn M w A TM,all. Die Sprache Q TM = { M 1,M 2 L(M 1 ) = L(M 2 )} ist nicht Wäre Q TM entscheidbar, so wäre auch A TM,all entscheidbar: Wir können leicht eine Turingmaschine Y konstruieren, die jede Eingabe akzeptiert. Dann ist M A TM,all genau dann wenn M,Y Q TM Reduzierbarkeit Wir haben die Unentscheidbarkeit der betrachteten Sprachen bei Turing-Maschinen gezeigt, indem wir sie auf die bereits bekannte Unentscheidbarkeit anderer Sprachen zurückgeführt haben, insbesondere auf die Unentscheidbarkeit von A TM. Um zu zeigen, dass L nicht entscheidbar ist, haben wir gezeigt, dass eine unentscheidbare Sprache U entscheidbar wäre, wenn L entscheidbar wäre. Definition: Eine Sprache A heißt abbildungsreduzierbar auf eine Sprache B, falls es eine Turing-berechenbare Funktion f : Σ Σ gibt, so dass für alle w Σ gilt w A f (w) B Die Funktion f heißt Reduktion von A auf B. Wir schreiben A B, falls A auf B abbildungsreduzierbar ist. Falls A B und A ist nicht entscheidbar, dann ist auch B nicht Dies folgt unmittelbar aus folgendem Falls A B und B ist entscheidbar, dann ist auch A Analog zeigt man Falls A B und B ist rekursiv aufzählbar, dann ist auch A rekursiv aufzählbar. w TM f f (w) TM B f (w) B f (w) B w A w A Ferner gilt Lemma: Die Relation ist transitiv. TM A Aus dem Beweis der Unentscheidbarkeit von A TM,ε lässt sich A TM A TM,ε ableiten: Wir definieren eine Reduktion f : Σ Σ, die M,w auf M w abbildet und Wörter, die nicht von der Form M,w sind, auf Wörter, die nicht von der Form M sind. Diese Reduktionsfunktion f ist Turing-berechenbar und es gilt für alle x Σ x A TM f (x) A TM,ε Ferner lassen sich aus den Beweisen zur Unentscheidbarkeit von E TM, A TM,all und Q TM Turing-berechenbare Reduktionsfunktionen ableiten, so dass gilt: A TM E TM A TM A TM,all A TM,all Q TM

3 17 18 Halten und Akzeptieren Wenn eine Turing-Maschine ein Wort w nicht akzeptiert, so kann sie w verwerfen oder nie halten. Sei M eine Turing-Maschine, die L akzeptiert. Wir zeigen nun im Wesentlichen, dass wir annehmen dürfen, dass M genau dann hält, wenn das Eingabewort zu L gehört, denn wenn M diese Eigenschaft nicht besitzt, so lässt sich doch aus M leicht eine Turing-Maschine M mit dieser Eigenschaft ableiten, so dass L = L(M ) = L(M). Wir brauchen also in diesem Sinne nicht zwischen Halten und Akzeptieren zu unterscheiden. Lemma: A TM H. Wir müssen eine Reduktion f : Σ Σ angeben, so dass für alle x Σ gilt x A TM f (x) H Falls x nicht von der Form M,w ist, so ist f (x) = ε H. Ansonsten ist f ( M,w ) = M,w, wobei M genau dann hält, wenn M das Wort w akzeptiert: M enthält alle Zustände von M und einen weiteren Zustand q loop. M besitzt die gleichen Übergänge wie M, außer dass jeder Übergang, der in M zu q reject führt, nun zu q loop führt. Ferner ist δ(q loop,σ) = (q loop,σ,s) für alle σ aus dem Bandalphabet. Nun gilt L(M) = L(M ). Schließlich ist f Turing-berechenbar H = {x x ist von der Form M,w und die Turing-Maschine M hält nicht bei Eingabe w oder x ist nicht von dieser Form} Lemma: H ist nicht rekursiv aufzählbar. H ist rekursiv aufzählbar. Wäre auch H rekursiv aufzählbar, so wäre H entscheidbar, ist es aber nicht. Lemma: H A TM,all. Wir müssen eine Reduktion f : Σ Σ angeben, so dass für alle x Σ gilt x H f (x) A TM,all Falls x nicht von der Form M,w ist, so ist f (x) = M all, wobei M all eine Turing-Maschine ist, die bei allen Eingaben hält. Folglich gilt M all A TM,all. Ansonsten ist f ( M,w ) = M # w, wobei M # w eine Turing-Maschine ist, die ihre Eingabe y nach folgendem Verfahren bearbeitet: Kopiere Eingabe y auf ein zweites Band 2 Lösche das Eingabeband und schreibe w auf das Band 3 Simuliere M bei Eingabe w für y Schritte oder bis M hält 4 Falls M angehalten hat, gehe in eine Endlosschleife über 5 Ansonsten halte akzeptierend an M hält bei Eingabe w nicht, genau dann wenn M # w alle Eingaben akzeptiert. Ferner ist die Reduktion f, die M,w auf M # w abbildet, Turing-berechenbar. Sei Dann gilt und somit H ε = { M M hält bei Eingabe ε} H all = { M M hält bei allen Eingaben} H H ε A TM,ε H ε H H all A TM,all H all Lemma: A TM,all ist nicht rekursiv aufzählbar. Lemma: H ε ist nicht Lemma: H all ist nicht rekursiv aufzählbar Satz von Rice [Rice] Sei T eine echte, nicht-leere Teilmenge der Klasse aller rekursiv aufzählbaren Sprachen. Dann ist L T = { M L(M) T } Zu gegebenem M und w können wir eine Turingmaschine A M,w konstruieren, die zunächst ihre Eingabe x auf einem zweiten Band sichert, dann die Berechnung von M bei Eingabe w simuliert, und, falls diese Berechnung in einem akzeptierenden Haltezustand endet, anschließend die Berechnung von M L bei Eingabe x ausführt. nicht Wäre L T entscheidbar, so wäre auch A TM entscheidbar: O.B.d.A. sei /0 T. Sei L eine Sprache in T und sei M L eine Turing-Maschine, die L akzeptiert. L(A M,w ) ist entweder leer, also nicht in T, oder L, also in T, je nachdem ob M bei Eingabe w akzeptierend hält oder nicht. Also ist M,w A TM genau dann wenn A M,w L T.

4 25 26 Typischerweise ist T durch eine Eigenschaft definiert. Um den Satz von Rice anwenden zu können, muss nachgewiesen werden, dass mindestens eine, aber nicht alle von Turing-Maschinen akzeptierten Sprachen diese Eigenschaft besitzen. Beispiel: Die Sprache { M L(M) ist regulär} ist nicht Die Behauptung folgt aus dem Satz von Rice mit T = REG: Die Sprachklasse REG ist weder leer, denn L(a ) liegt in REG, noch umfasst REG alle rekursiv aufzählbaren Sprachen, denn die Sprache {a n b n n 0} ist rekursiv aufzählbar, liegt aber nicht in REG. Also ist der Satz von Rice anwendbar. Unentscheidbare Probleme bei allgemeinen Grammatiken Da wir zu einer Turing-Maschine M eine allgemeine Grammatik G konstruieren können, so dass L(G) = L(M), lassen sich die Unentscheidbarkeitsresultate von Turing-Maschinen auf allgemeine Grammatiken übertragen: A TM { G,w G ist eine Grammatik und w L(G)} Die Sprache A UG = { G,w G ist eine Grammatik und w L(G)} ist nicht Ebenso gilt Die Sprache { G 1,G 2 G 1 und G 2 sind Grammatiken und L(G 1 ) = L(G 2 )} ist nicht Aus dem Satz von Rice folgt ferner beispielsweise Die Sprachen { G G ist eine Grammatik und ε L(G)}, { G G ist eine Grammatik und L(G) = /0}, { G G ist eine Grammatik und L(G) ist endlich}, { G G ist eine Grammatik und L(G) ist regulär}, { G G ist eine Grammatik und L(G) ist kontextfrei} und { G G ist eine Grammatik und L(G) ist entscheidbar} sind jeweils nicht Postsches Korrespondenzproblem Definition: Sei Σ ein Alphabet. Eine nicht-leere Folge von geordneten Wortpaaren ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n )) mit x i,y i Σ + heißt Postsches Korrespondenzsystem. Eine nicht-leere Folge (i 1,i 2,...,i k ) von Indizes aus {1,2,...,n} heißt Lösung des Korrespondenzsystems, falls x i1 x i2...x ik = y i1 y i2...y ik Eine Lösung (i 1,i 2,...,i k ) des Korrespondenzsystems heißt speziell, falls i 1 = Beispiele: Das Korrespondenzsystem ((11, 111), (100, 001), (111, 11)) besitzt eine spezielle Lösung, nämlich (1, 2, 3): Das Korrespondenzsystem ((00, 0), (001, 11), (1000, 011)) besitzt keine Lösung! Das Korrespondenzsystem ((011, 1), (0, 00), (0, 11), (11, 0)) besitzt eine Lösung, nämlich (2,1,1,4,3,3,2,2), aber keine spezielle. Beim Postschen Korrespondenzproblem ist zu entscheiden, ob ein gegebenes Postsches Korrespondenzsystem eine Lösung besitzt. Beim modifizierten Postschen Korrespondenzproblem wird für ein gegebenes Postsches Korrespondenzsystem nach der Existenz einer speziellen Lösung gefragt, also nach einer Folge (1,i 2,...,i k ) von Indizes gesucht, so dass x 1 x i2...x ik = y 1 y i2...y ik Im Folgenden sei P eine Kodierung des Postschen Korrespondenzsystem P, z.b. über dem Alphabet {0, 1}. pcp = { P P besitzt eine Lösung} mpcp = { P P besitzt eine spezielle Lösung} mpcp ist un Wir zeigen A UG = { G,w w L(G)} mpcp. Wir müssen eine geeignete Reduktionsfunktion f : Σ Σ angeben. Falls x Σ keine Grammatik kodiert, ist f (x) keine Kodierung eines Postschen Korrespondenzsystem. Ansonsten sei G = (V,Γ,R,S) die in x kodierte Grammatik und w das in x kodierte Wort. Dann ist f (x) die Kodierung des folgenden Postschen Korrespondenzsystem P: O.B.d.A. nehmen wir an, dass und nicht in Γ enthalten sind. Das erste Wortpaar in P ist (, S ) Ferner enthält P das Wortpaar (a, a) für alle a Γ, das Wortpaar (A, A) für alle A V, sowie das Wortpaar (, ). Für alle u G v in R enthält P das Wortpaar (u, v)

5 33 34 Schließlich enthält G das Wortpaar ( w, ) P besitzt eine spezielle Lösung genau dann wenn w L(G). Die Funktion f ist Turing-berechenbar und es gilt für alle x Σ x A UG f (x) mpcp Mit einem Algorithmus, der das modifizierte Postsche Korrespondenzproblem löst, könnte man also entscheiden, ob ein Wort w zu der von einer Grammatik G erzeugten Sprache L(G) gehört. Beispiel: G = ({S,B,C},{a,b,c},R,S) S ε S asbc CB BC ab ab bb bb bc bc cc cc w = aabbcc (, S ) (a, a) (b, b) (c, c) (S, S) (B, B) (C, C) (S, ε) (S, asbc) (CB, BC) (ab, ab) (bb, bb) (bc, bc) (cc, cc) (, ) ( aabbcc, ) Lemma: mpcp pcp. S asbc aasbcbc aabcbc aabbcc S asbc aasbcbc aabcbc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc aabbcc O.B.d.A. nehmen wir an, dass # und $ nicht in den Wortpaaren des Postschen Korrepondenzsystems P vorkommen. Zu P = ((u 1,v 1 ),...,(u n,v n )) konstruieren wir ein Postsches Korrepondenzsystems P, so dass P genau dann eine spezielle Lösung besitzt, wenn P eine Lösung besitzt. Für w = σ 1 σ 2 σ m Γ + mit σ i Γ für i = 1,...,m sei g # L(w) = #σ 1 #σ 2...#σ m und g # R(w) = σ 1 #σ 2 #...σ m # P = ((#g # R (u 1), g # L (v 1)), (g # R (u 1), g # L (v 1)), (g # R (u 2), g # L (v 2)),......, (g # R (u n), g # L (v n)), ($,#$)). Falls (1,i 2,...,i k ) eine spezielle Lösung für P ist, so ist (1,i 2 + 1,...,i k + 1,n + 2) eine Lösung für P. Falls (j 1,j 2,...,j k ) eine Lösung für P ist, so muss j 1 = 1 und j k = n + 2 gelten. Dann ist (1,j 2 1,...,j k 1 1) eine spezielle Lösung für P. Die Reduktionsfunktion f bildet P auf P ab. Beispiel: P = ((1,101),(10,00),(011,11)). P = ((#1#,#1#0#1),(1#,#1#0#1),(1#0#,#0#0),(0#1#1#,#1#1),($,#$)). #1#0#1#1#1#0#0#1#1#$ #1#0#1#1#1#0#0#1#1#$ Unentscheidbare Probleme bei kontextfreien Grammatiken Aus dem Gezeigten ergibt sich pcp ist nicht Ferner gilt pcp ist rekursiv aufzählbar. Die Sprache { G 1,G 2 G 1 und G 2 sind kontextfreie Grammatiken und L(G 1 ) L(G 2 ) = /0} ist nicht Wir zeigen pcp { G 1,G 2 L(G 1 ) L(G 2 ) /0}

6 41 42 Sei P = ((x 1,y 1 ),(x 2,y 2 ),...,(x n,y n )) ein Postsches Korrespondenzproblem über dem Alphabet Σ. Zu P konstruieren wir Grammatiken R 1 umfasst die Regeln S 1 A$B A a 1 Ax 1 a n Ax n a 1 x 1 a n x n B y R 1 Ba 1 y R n Ba n y R 1 a 1 y R n a n und G 1 = ({S 1,A,B},Σ {a 1,...,a n,$},r 1,S 1 ) G 2 = ({S 2,T},Σ {a 1,...,a n,$},r 2,S 2 ) R 2 umfasst die Regeln S 2 a 1 S 2 a 1 a n S 2 a n T T σtσ für alle σ Σ T $ L(G 1 ) = {a ik...a i1 x i1...x ik $y R j m...y R j 1 a j1...a jm k,m 1,i µ,j ν {1,...,n} } L(G 2 ) = {uv$v R u R u {a 1,...,a n }, v Σ } P besitzt die Lösung (i 1,i 2,...,i k ) genau dann wenn L(G 1 ) L(G 2 ) das Wort a ik...a i1 x i1...x ik $y R i k...y R i 1 a i1...a ik enthält. Da alle Wörter in L(G 1 ) L(G 2 ) von obiger Form sind, ist L(G 1 ) L(G 2 ) /0 genau dann wenn P eine Lösung besitzt. Die zu dieser Transformation gehörige Reduktionsfunktion ist Turing-berechenbar. Also ist { G 1,G 2 L(G 1 ) L(G 2 ) /0} nicht entscheidbar, also ist auch { G 1,G 2 L(G 1 ) L(G 2 ) = /0} nicht Die Sprache A CFG,all = { G G ist eine kontextfreie Grammatik über dem Alphabet Σ mit L(G) = Σ } ist nicht Beweisskizze: Wir zeigen, dass E TM = { M L(M) = /0} entscheidbar wäre, wenn A CFG,all entscheidbar wäre. Ein Wort w wird von einer Turingmaschine M akzeptiert, genau dann wenn es eine akzeptierende Berechnung für w gibt, also eine Folge C 0,C 1,...,C n von Konfigurationen mit Wir kodieren die Konfigurationen von M in naheliegender Weise als Kodierung des relevanten Bandinhalts, in den der aktuelle Zustand als Markierung der Position des Schreib-Lesekopfs integriert ist. C bezeichne die Kodierung der Konfiguration C. Eine Berechnung C 0 M C 1 M M C n gerader Länge kodieren wir als Wort C 0 # C 1 R # C 2 # C 3 R # C 4 # # C n und eine Berechnung C 0 M C 1 M M C n ungerader Länge als C 0 M C 1 M C 2 M M C n so dass C 0 die Startkonfiguration für w und C n eine akzeptierende Haltekonfiguration ist. C 0 # C 1 R # C 2 # C 3 R # C 4 # # C n R Die Sprache L M, die alle Wörter über dem Kodierungsalphabet umfasst, die keiner gültigen Berechnung von M entsprechen, ist kontextfrei, denn es gibt einen Kellerautomaten, der genau diese Wörter akzeptiert. Ein Wort w gehört zu L M, falls w nicht von der gesuchten Form ist, oder C 0 keine Startkonfiguration ist, oder C n keine akzeptierende Haltekonfiguration ist, oder es ein i [0..n 1] gibt, so dass C i M C i+1 nicht gilt. Jede dieser Bedingungen lässt sich mit einem Kellerautomaten überprüfen. Also gibt es einen Kellerautomaten, der L M akzeptiert. Zu diesem Kellerautomaten können wir eine kontextfreie Grammatik G mit L(G) = L M konstruieren. L M enthält alle Wörter über dem Kodierungsalphabet genau dann wenn L(M) = /0. Zu gegebenem M können wir wie beschrieben eine kontextfreie Grammatik G konstruieren, so dass G A CFG,all g.d.w. M E TM Wäre A CFG,all entscheidbar, so wäre also auch E TM

7 49 Ferner kann man zeigen: Die Sprachen L(G 1 ) L(G 2 ) = }, L(G 1 ) L(G 2 ) ist kontextfrei}, L(G 1 ) L(G 2 )}, L(G 1 ) = L(G 2 )}, { G G ist eine kontextfreie Grammatik und G ist mehrdeutig}, { G G ist eine kontextfreie Grammatik und L(G) ist regulär} und { G G ist eine kontextfreie Grammatik und L(G) ist kontextfrei} sind jeweils nicht

Ausgewählte unentscheidbare Sprachen

Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Proseminar Theoretische Informatik 15.12.15 Ausgewählte unentscheidbare Sprachen Marian Sigler, Jakob Köhler Wolfgang Mulzer 1 Entscheidbarkeit und Semi-Entscheidbarkeit Definition 1: L ist entscheidbar

Mehr

Kapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14

Kapitel: Die Chomsky Hierarchie. Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Kapitel: Die Chomsky Hierarchie Die Chomsky Hierarchie 1 / 14 Allgemeine Grammatiken Definition Eine Grammatik G = (Σ, V, S, P) besteht aus: einem endlichen Alphabet Σ, einer endlichen Menge V von Variablen

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben

Grundlagen der Theoretischen Informatik Musterlösungen zu ausgewählten Übungsaufgaben Dieses Dokument soll mehr dazu dienen, Beispiele für die formal korrekt mathematische Bearbeitung von Aufgaben zu liefern, als konkrete Hinweise auf typische Klausuraufgaben zu liefern. Die hier gezeigten

Mehr

Das Postsche Korrespondenzproblem

Das Postsche Korrespondenzproblem Das Postsche Korrespondenzproblem Eine Instanz des PKP ist eine Liste von Paaren aus Σ Σ : (v 1, w 1 ),..., (v n, w n ) Eine Lösung ist eine Folge i 1,..., i k von Indizes 1 i j n mit v i1... v ik = w

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Dr. Werner Meixner, Dr. Alexander Krauss Sommersemester 2010 Lösungsblatt 11 15. Juli 2010 Einführung in die Theoretische

Mehr

Rekursiv aufzählbare Sprachen

Rekursiv aufzählbare Sprachen Kapitel 4 Rekursiv aufzählbare Sprachen 4.1 Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Durch Zulassung komplexer Ableitungsregeln können mit Grammatiken größere Klassen als die kontextfreien Sprachen beschrieben

Mehr

2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik

2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik 2. Übungsblatt 6.0 VU Theoretische Informatik und Logik 25. September 2013 Aufgabe 1 Geben Sie jeweils eine kontextfreie Grammatik an, welche die folgenden Sprachen erzeugt, sowie einen Ableitungsbaum

Mehr

Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung

Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Automaten und formale Sprachen Klausurvorbereitung Rami Swailem Mathematik Naturwissenschaften und Informatik FH-Gießen-Friedberg Inhaltsverzeichnis 1 Definitionen 2 2 Altklausur Jäger 2006 8 1 1 Definitionen

Mehr

Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion

Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion Berechenbarkeit und Komplexität: Rekursive Aufzählbarkeit und die Technik der Reduktion Prof. Dr. Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität 26. November 2007 Semi-Entscheidbarkeit

Mehr

Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet.

Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet. Rückschau 12.11.04 Wir haben eine Beziehung zwischen entscheidbar und rekursiv aufzählbar hergeleitet. Wir haben das Prinzip der Diagonalisierung eingeführt und mit DIAG eine erste nicht rek. aufz. Sprache

Mehr

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen Prof. Dr. F. Otto 26.09.2011 Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen SS 2011 Name:................................

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Turingmaschinen und rekursiv aufzählbare Sprachen (II) 2.07.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen V7, 3.11.09 Willkommen zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und Formale Sprachen Friedhelm Meyer auf der Heide 1 Rückblick

Mehr

Teil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie

Teil V. Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie Teil V Weiterführende Themen, Teil 1: Kontextsensitive Sprachen und die Chomsky-Hierarchie Zwei Sorten von Grammatiken Kontextsensitive Grammatik (CSG) (Σ, V, P, S), Regeln der Form αaβ αγβ α, β (Σ V ),

Mehr

Unentscheidbarkeit. Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen

Unentscheidbarkeit. Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: und effiziente Algorithmen Wintersemester 2011/12 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan & Jan Stückrath Worum geht

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik 1 Grundlagen der Theoretischen Informatik Till Mossakowski Fakultät für Informatik Otto-von-Guericke Universität Magdeburg Wintersemester 2014/15 2 Kontextfreie Grammatiken Definition: Eine Grammatik G

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik 0 KIT 17.05.2010 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen der Informatik nationales Forschungszentrum Vorlesung in am

Mehr

Formale Sprachen. Script, Kapitel 4. Grammatiken

Formale Sprachen. Script, Kapitel 4. Grammatiken Formale Sprachen Grammatiken Script, Kapitel 4 erzeugen Sprachen eingeführt von Chomsky zur Beschreibung natürlicher Sprache bedeutend für die Syntaxdefinition und -analyse von Programmiersprachen Automaten

Mehr

11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken

11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken Theorie der Informatik 7. April 2014 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen Theorie der Informatik 11. Kontextsensitive und Typ-0-Sprachen 11.1 Kontextsensitive und allgemeine Grammatiken Malte Helmert

Mehr

Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem

Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem Reduzierbarkeit und das Post'sche Korrespondenzproblem Agenda Motivation Reduzierbarkeit Definition Bedeutung Post'sches Korrespondenzproblem (PKP) Modifiziertes Post'sches Korrespondenzproblem (MPKP)

Mehr

Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive

Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Lemma Für jede monotone Grammatik G gibt es eine kontextsensitive Grammatik G mit L(G) = L(G ). Beweis im Beispiel (2.): G = (V,Σ, P, S) : P = {S asbc, S abc, CB BC, ab ab, bb bb, bc bc, cc cc}. (i) G

Mehr

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders 10.4.2007 Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 11 Punkte Aufgabe 2. Minimalautomaten

Mehr

Theoretische Informatik Mitschrift

Theoretische Informatik Mitschrift Theoretische Informatik Mitschrift 2. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Beispiel: Syntaxdefinition in BNF :=

Mehr

Berechenbarkeit und Komplexität

Berechenbarkeit und Komplexität Berechenbarkeit und Komplexität Prof. Dr. Dietrich Kuske FG Theoretische Informatik, TU Ilmenau Wintersemester 2010/11 1 Organisatorisches zur Vorlesung Informationen, aktuelle Version der Folien und Übungsblätter

Mehr

Lösungen zur 1. Klausur. Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie

Lösungen zur 1. Klausur. Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie Hochschuldozent Dr. Christian Schindelhauer Paderborn, den 21. 2. 2006 Lösungen zur 1. Klausur in Einführung in Berechenbarkeit, formale Sprachen und Komplexitätstheorie Name :................................

Mehr

Referat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen

Referat rekursive Mengen vs. rekursiv-aufzählbare Mengen Kapitel 1: rekursive Mengen 1 rekursive Mengen 1.1 Definition 1.1.1 informal Eine Menge heißt rekursiv oder entscheidbar, wenn ihre charakteristische Funktion berechenbar ist. 1.1.2 formal Eine Menge A

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie

Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Einführung in Berechenbarkeit, Formale Sprachen und Komplexitätstheorie Wintersemester 2005/2006 07.02.2006 28. und letzte Vorlesung 1 Die Chomsky-Klassifizierung Chomsky-Hierachien 3: Reguläre Grammatiken

Mehr

Typ-1-Sprachen. Satz 1 (Kuroda ( ) 1964)

Typ-1-Sprachen. Satz 1 (Kuroda ( ) 1964) Typ-1-Sprachen Satz 1 (Kuroda (1934-2009) 1964) Eine Sprache L hat Typ 1 (= ist kontextsensitiv) genau dann, wenn sie von einem nichtdeterministischen LBA erkannt wird. Beweis: Sei zunächst L Typ-1-Sprache.

Mehr

Theoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I)

Theoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I) Theoretische Informatik I (Grundzüge der Informatik I) Literatur: Buch zur Vorlesung: Uwe Schöning, Theoretische Informatik - kurzgefasst. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg/Berlin, 4. Auflage, 2001.

Mehr

11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P

11. Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen und Komplexität Rekursive Aufzählbarkeit, Entscheidbarkeit Laufzeit, Klassen DTIME und P 11 Woche: Turingmaschinen, Entscheidbarkeit, P 239/ 333 Einführung in die NP-Vollständigkeitstheorie

Mehr

Lösungen zur 3. Projektaufgabe TheGI1

Lösungen zur 3. Projektaufgabe TheGI1 Marco Kunze (makunze@cs.tu-berlin.de) WS 2001/2002 Sebastian Nowozin (nowozin@cs.tu-berlin.de) 21. 1. 2002 Lösungen zur 3. Projektaufgabe TheGI1 Definition: Turing-Aufzähler Ein Turing-Aufzähler einer

Mehr

Abschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution

Abschluss gegen Substitution. Wiederholung. Beispiel. Abschluss gegen Substitution Wiederholung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen: DFAs NFAs Reguläre Ausdrücke:, {ε}, {a}, und deren Verknüpfung mit + (Vereinigung), (Konkatenation) und * (kleenescher Abschluss) Abschluss gegen

Mehr

1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2004/2005

1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2004/2005 Universität Karlsruhe Theoretische Informatik Fakultät für Informatik WS 2004/05 ILKD Prof. Dr. D. Wagner 24. Februar 2005 1. Klausur zur Vorlesung Informatik III Wintersemester 2004/2005 Aufkleber Beachten

Mehr

Kontextfreie Sprachen

Kontextfreie Sprachen Kontextfreie Sprachen Bedeutung: Programmiersprachen (Compilerbau) Syntaxbäume Chomsky-Normalform effiziente Lösung des Wortproblems (CYK-Algorithmus) Grenzen kontextfreier Sprachen (Pumping Lemma) Charakterisierung

Mehr

Theoretische Informatik 2

Theoretische Informatik 2 Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Entscheidbare und semi-entscheidbare Sprachen Definition Eine NTM M hält bei Eingabe x, falls

Mehr

Theoretische Informatik 2

Theoretische Informatik 2 Theoretische Informatik 2 Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2009/10 Die Chomsky-Hierarchie Definition Sei G = (V, Σ, P, S) eine Grammatik. 1 G heißt vom Typ 3 oder

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 heoretische Informatik 1 uringmaschinen David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung echnische Universität Graz 11.03.2016 Übersicht uring Maschinen Algorithmusbegriff konkretisiert

Mehr

Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen. Wintersemester 2011/12

Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: Komplexitätstheorie und effiziente Algorithmen. Wintersemester 2011/12 Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität alias Theoretische Informatik: und effiziente Algorithmen Wintersemester 2011/12 Prof. Barbara König Übungsleitung: Henning Kerstan & Jan Stückrath Barbara König

Mehr

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken

Wortproblem für kontextfreie Grammatiken Wortproblem für kontextfreie Grammatiken G kontextfreie Grammatik. w Σ w L(G)? Wortproblem ist primitiv rekursiv entscheidbar. (schlechte obere Schranke!) Kellerautomat der L(G) akzeptiert Ist dieser effizient?

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Die Registermaschine (random access machine, RAM) 0 I 0 1 I 1 2 I 2 m I m Programm

Mehr

Theoretische Informatik

Theoretische Informatik Theoretische Informatik Lektion 10: Entscheidbarkeit Kurt-Ulrich Witt Wintersemester 2013/14 Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik Lektion 10 1/15 Inhaltsverzeichnis Kurt-Ulrich Witt Theoretische Informatik

Mehr

Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität

Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität RWTH Aachen Lehrgebiet Theoretische Informatik Reidl Ries Rossmanith Sanchez Tönnis WS 2012/13 Probeklausur 25.01.2013 Probeklausur zur Vorlesung Berechenbarkeit und Komplexität Aufgabe 1 (1+2+6+3 Punkte)

Mehr

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen

Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen Johannes Blömer Skript zur Vorlesung Einführung in Berechenbarkeit, Komplexität und formale Sprachen Universität Paderborn Wintersemester 2011/12 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 2 1.1 Ziele der Vorlesung...................................

Mehr

Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie

Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany. Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Stefan Schmid TU Berlin & T-Labs, Berlin, Germany Reduktionen in der Berechenbarkeitstheorie Problem: Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? 2 Beispiel P1 Wie komme ich von hier zum Hamburger Hbf? kann

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informatik Johannes Köbler Institut für Informatik Humboldt-Universität zu Berlin WS 2011/12 Deterministische Kellerautomaten Von besonderem Interesse sind kontextfreie Sprachen,

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 4. Kellerautomaten und kontextfreie Sprachen (III) 17.06.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Übersicht 1. Motivation 2. Terminologie

Mehr

Übungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17

Übungsblatt 7. Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 16/17 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Übungsblatt 7 Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik im W 16/17 Ausgabe 17. Januar 2017 Abgabe 31. Januar 2017, 11:00 Uhr (im

Mehr

Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2011/2012

Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2011/2012 Institut für Theoretische Informatik Lehrstuhl Prof. Dr. D. Wagner Hauptklausur zur Vorlesung Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2011/2012 Hier Aufkleber mit Name und Matrikelnr. anbringen

Mehr

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER

Formale Sprachen. Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie. Rudolf FREUND, Marian KOGLER Formale Sprachen Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Rudolf FREUND, Marian KOGLER Grammatiken Das fundamentale Modell zur Beschreibung von formalen Sprachen durch Erzeugungsmechanismen sind Grammatiken.

Mehr

Aufgabentypen: Spickerblatt: kontextfrei (Typ 2): zusätzlich: u ist eine!"# v 1

Aufgabentypen: Spickerblatt: kontextfrei (Typ 2): zusätzlich: u ist eine!# v 1 Info4 Stoff Aufgabentypen: Grammatik CH einordnen NFA DFA Grammatik Chomsky-NF CYK-Algorithmus: Tabelle / Ableitungsbäume Grammatik streng kf. Grammatik Grammatik Pumping Lemma Beweis, dass Gr. nicht reg,

Mehr

Turing-Maschine. Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen. Turing-Maschine. Beispiel

Turing-Maschine. Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen. Turing-Maschine. Beispiel Berechenbarkeit und Komplexität Turing-Maschinen Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.jku.at Research Institute for Symbolic Computation (RISC) Johannes Kepler University, Linz, Austria http://www.risc.jku.at

Mehr

Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie

Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Grammatiken und die Chomsky-Hierarchie Def.: Eine Grammatik G=(Σ,V,S,R) besteht aus endlichem Alphabet Σ endlicher Variablenmenge V mit V Σ= Startsymbol SєV endlicher Menge R с (V Σ) + x(v Σ)* von Ableitungsregeln

Mehr

Frank Heitmann 2/47. 1 Ein PDA beginnt im Startzustand z 0 und mit im Keller. 2 Ist der Automat

Frank Heitmann 2/47. 1 Ein PDA beginnt im Startzustand z 0 und mit im Keller. 2 Ist der Automat Formale Grundlagen der Informatik 1 Kapitel 5 Über reguläre Sprachen hinaus und (Teil 2) Frank Heitmann heitmann@informatik.uni-hamburg.de 21. April 2015 Der Kellerautomat - Formal Definition (Kellerautomat

Mehr

WS06/07 Referentin: Katharina Blinova. Formale Sprachen. Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven

WS06/07 Referentin: Katharina Blinova. Formale Sprachen. Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven WS06/07 Referentin: Katharina Blinova Formale Sprachen Hauptseminar Intelligente Systeme Dozent: Prof. Dr. J. Rolshoven 1. Allgemeines 2. Formale Sprachen 3. Formale Grammatiken 4. Chomsky-Hierarchie 5.

Mehr

Umformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz.

Umformung NTM DTM. Charakterisierung rek. aufz. Spr. Chomsky-3-Grammatiken (T5.3) Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Chomsky-0-Grammatik Rek. Aufz. Satz T5.2.2: Wenn L durch eine Chomsky-0- Grammatik G beschrieben wird, gibt es eine NTM M, die L akzeptiert. Beweis: Algo von M: Schreibe S auf freie Spur. Iteriere: Führe

Mehr

Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14

Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 2013/14 Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Jörn Müller-Quade Musterlösung zur Hauptklausur Theoretische Grundlagen der Informatik Wintersemester 23/4 Vorname Nachname Matrikelnummer Hinweise Für die

Mehr

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen

Entscheidungsprobleme. Berechenbarkeit und Komplexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit. Die Entscheidbarkeit von Problemen Berechenbarkeit und Komlexität Entscheidbarkeit und Unentscheidbarkeit Wolfgang Schreiner Wolfgang.Schreiner@risc.uni-linz.ac.at Research Institute for Symbolic Comutation (RISC) Johannes Keler University,

Mehr

Turing-Maschinen. Definition 1. Eine deterministische Turing-Maschine (kurz DTM) ist ein 6- Dem endlichen Alphabet Σ von Eingabesymbolen.

Turing-Maschinen. Definition 1. Eine deterministische Turing-Maschine (kurz DTM) ist ein 6- Dem endlichen Alphabet Σ von Eingabesymbolen. Turing-Maschinen Nachdem wir endliche Automaten und (die mächtigeren) Kellerautomaten kennengelernt haben, werden wir nun ein letztes, noch mächtigeres Automatenmodell kennenlernen: Die Turing-Maschine

Mehr

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III

Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik. Klausur: Informatik III Name Vorname Matrikelnummer Universität Karlsruhe Institut für Theoretische Informatik o. Prof. Dr. P. Sanders 26. Feb. 2007 Klausur: Informatik III Aufgabe 1. Multiple Choice 10 Punkte Aufgabe 2. Teilmengenkonstruktion

Mehr

Endliche Sprachen. Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für

Endliche Sprachen. Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für Endliche Sprachen Folgerung: Alle endlichen Sprachen sind regulär. Beweis: Sei L={w 1,,w n } Σ*. Dann ist w 1 +L+w n ein regulärer Ausdruck für L. 447 Zusammenfassung Beschreibungsformen für reguläre Sprachen:

Mehr

Theoretische Informatik. Grammatiken. Grammatiken. Grammatiken. Rainer Schrader. 9. Juli 2009

Theoretische Informatik. Grammatiken. Grammatiken. Grammatiken. Rainer Schrader. 9. Juli 2009 Theoretische Informatik Rainer Schrader Institut für Informatik 9. Juli 2009 1 / 41 2 / 41 Gliederung die Chomsky-Hierarchie Typ 0- Typ 3- Typ 1- Die Programmierung eines Rechners in einer höheren Programmiersprache

Mehr

1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie

1 Einführung. 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen. 3 Berechnungsmodelle. 4 Unentscheidbarkeit. 5 Unentscheidbare Probleme. 6 Komplexitätstheorie 1 Einführung 2 Typ-0- und Typ-1-Sprachen 3 Berechnungsmodelle 4 Unentscheidbarkeit 5 Unentscheidbare Probleme 6 Komplexitätstheorie 15 Ziele vgl. AFS: Berechnungsmodelle für Typ-0- und Typ-1-Sprachen (Nicht-)Abschlußeigenschaften

Mehr

Theoretische Informatik 1

Theoretische Informatik 1 Theoretische Informatik 1 Nichtdeterminismus David Kappel Institut für Grundlagen der Informationsverarbeitung TU Graz SS 2012 Übersicht Nichtdeterminismus NTM Nichtdeterministische Turingmaschine Die

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 29.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Motivation 2. Terminologie 3. Endliche Automaten und reguläre

Mehr

7. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16

7. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16 Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Informatik Prof. Dr. Peter Sanders L. Hübschle-Schneider, T. Maier 7. Übungsblatt zu Theoretische Grundlagen der Informatik im WS 2015/16 http://algo2.iti.kit.edu/tgi2015.php

Mehr

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen

Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Beschreibungskomplexität von Grammatiken Definitionen Für eine Grammatik G = (N, T, P, S) führen wir die folgenden drei Komplexitätsmaße ein: Var(G) = #(N), Prod(G) = #(P ), Symb(G) = ( α + β + 1). α β

Mehr

Grammatiken. Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V. Startsymbol S V. Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S)

Grammatiken. Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V. Startsymbol S V. Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S) Grammatiken Eine Grammatik G mit Alphabet Σ besteht aus: Variablen V Startsymbol S V Produktionen P ( (V Σ) \ Σ ) (V Σ) Kurzschreibweise G = (V, Σ, P, S) Schreibweise für Produktion (α, β) P: α β 67 /

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2015 22.04.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

Grundbegriffe. Grammatiken

Grundbegriffe. Grammatiken Grammatiken Grammatiken in der Informatik sind ähnlich wie Grammatiken für natürliche Sprachen ein Mittel, um alle syntaktisch korrekten Sätze (hier: Wörter) einer Sprache zu erzeugen. Beispiel: Eine vereinfachte

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik Sommersemester 2016 20.04.2016 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt 1. Terminologie 2. Endliche Automaten und reguläre Sprachen

Mehr

GTI. Hannes Diener. 6. Juni - 13. Juni. ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de

GTI. Hannes Diener. 6. Juni - 13. Juni. ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de GTI Hannes Diener ENC B-0123, diener@math.uni-siegen.de 6. Juni - 13. Juni 1 / 49 Die Turingmaschine war das erste (bzw. zweite) formale Modell der Berechenbarkeit. Sie wurden bereits 1936 (also lange

Mehr

2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen

2.4 Kontextsensitive und Typ 0-Sprachen Definition 2.43 Eine Typ 1 Grammatik ist in Kuroda Normalform, falls alle Regeln eine der folgenden 4 Formen haben: Dabei: A, B, C, D V und a Σ. Satz 2.44 A a, A B, A BC, AB CD. Für jede Typ 1 Grammatik

Mehr

Formale Sprachen und Automaten

Formale Sprachen und Automaten Turingmaschinen Formale Sprachen und Automaten Das Konzept der Turingmaschine wurde von dem Englischen Mathematiker Alan M. Turing (1912-1954) ersonnen. Turingmaschinen, Typ-0- und Typ-1-Grammatiken Der

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik

Grundlagen der Theoretischen Informatik Grundlagen der Theoretischen Informatik 3. Endliche Automaten (V) 21.05.2015 Viorica Sofronie-Stokkermans e-mail: sofronie@uni-koblenz.de 1 Bis jetzt Determinierte endliche Automaten (DEAs) Indeterminierte

Mehr

Speicherplatz-Komplexität 1 / 30

Speicherplatz-Komplexität 1 / 30 Speicherplatz-Komplexität 1 / 30 Speicherplatz-Komplexität Warum sollte uns die Ressource Speicherplatz interessieren? Um die Komplexität der Berechnung von Gewinnstrategien für viele nicht-triviale 2-Personen

Mehr

Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014

Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014 Klausur zur Vorlesung Grundbegriffe der Informatik 5. März 2014 Klausurnummer Nachname: Vorname: Matr.-Nr.: Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 max. Punkte 6 8 4 7 5 6 8 tats. Punkte Gesamtpunktzahl: Note: Punkte Aufgabe

Mehr

Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung

Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung Unentscheidbare Probleme: Diagonalisierung Prof Dr Berthold Vöcking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexität RWTH Aachen Oktober 2011 Berthold Vöcking, Informatik 1 () Vorlesung Berechenbarkeit

Mehr

a n b n c n ist kontextsensitiv kontextfreie Sprachen (Typ 2) Abschnitt 3.3 kontextfreie Sprachen: Abschlusseigenschaften Chomsky NF und binäre Bäume

a n b n c n ist kontextsensitiv kontextfreie Sprachen (Typ 2) Abschnitt 3.3 kontextfreie Sprachen: Abschlusseigenschaften Chomsky NF und binäre Bäume Kap 3: Grammatiken Chomsky-Hierarchie 32 Kap 3: Grammatiken Kontextfreie 33 a n b n c n ist kontextsensiti Beispiel 3111 modifizieren: Σ = {a, b, c G = (Σ, V, P, X ) V = {X, Y, Z P : X ε X axyz ZY YZ ay

Mehr

Pumping-Lemma. Beispiel. Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen. S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc.

Pumping-Lemma. Beispiel. Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen. S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Pumping-Lemma Beispiel Betrachte die kontextsensitive Grammatik G mit den Produktionen S asbc abc CB HB HB HC HC BC ab ab bb bb bc bc cc cc. Sie erzeugt z.b. das Wort aabbcc: S asbc aabcbc aabhbc aabhcc

Mehr

8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen

8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen 8. Turingmaschinen und kontextsensitive Sprachen Turingmaschinen (TM) von A. Turing vorgeschlagen, um den Begriff der Berechenbarkeit formal zu präzisieren. Intuitiv: statt des Stacks bei Kellerautomaten

Mehr

Theoretische Grundlagen der Informatik

Theoretische Grundlagen der Informatik Theoretische Grundlagen der Informatik Turing-Maschine, Berechenbarkeit INSTITUT FÜR THEORETISCHE 0 KIT 07.11.2011 Universität des Dorothea Landes Baden-Württemberg Wagner - Theoretische und Grundlagen

Mehr

Informatik II. Registermaschinen. Registermaschinen. Registermaschinen. Rainer Schrader. 7. Dezember 2005

Informatik II. Registermaschinen. Registermaschinen. Registermaschinen. Rainer Schrader. 7. Dezember 2005 Informatik II Rainer Schrader Zentrum für Angewandte Informatik Köln 7. Dezember 25 / 82 2 / 82 Gliederung Aufbau und Eigenschaften universelle RAM s RAM-Berechenbarkeit Nichtentscheidbarkeit Reduzierbarkeit

Mehr

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016

Formale Methoden 2. Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Formale Methoden 2 Gaetano Geck Lehrstuhl I Logik in der Informatik WS 2015/2016 Teil 3: Kodierung 1 Motivation 2 Exkurs Grundlagen formaler Sprachen 3 Grundlagen 4 Beispielkodierungen FM2 (WS 2014/15,

Mehr

Berechenbarkeit. Script, Kapitel 2

Berechenbarkeit. Script, Kapitel 2 Berechenbarkeit Script, Kapitel 2 Intuitiver Berechenbarkeitsbegriff Turing-Berechenbarkeit WHILE-Berechenbarkeit Church sche These Entscheidungsprobleme Unentscheidbarkeit des Halteproblems für Turingmaschinen

Mehr

Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl

Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl Theoretische Informatik Testvorbereitung Moritz Resl Bestandteile einer Programmiersprache: a) Syntax (Form): durch kontextfreie Grammatik beschrieben b) Semantik (Bedeutung) 1.) Kontextfreie Sprachen

Mehr

Kapitel 3: Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie Gliederung

Kapitel 3: Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie Gliederung Gliederung 1. Berechenbarkeitstheorie 2. Grundlagen 3. Grundlegende Ergebnisse aus der Komplexitätstheorie 4. Die Komplexitätsklassen P und NP 5. Die Komplexitätsklassen RP und BPP 3.1. Ressourcenkompression

Mehr

THEORETISCHE INFORMATIK

THEORETISCHE INFORMATIK THEORETISCHE INFORMATIK Vorlesungsskript Jiří Adámek @ Institut für Theoretische Informatik Technische Universität Braunschweig Dezember 28 Inhaltsverzeichnis Endliche Automaten. Mathematische Grundbegriffe......................

Mehr

Theorie der Informatik

Theorie der Informatik Theorie der Informatik 8. Reguläre Sprachen II Malte Helmert Gabriele Röger Universität Basel 24. März 24 Pumping Lemma Pumping Lemma: Motivation Man kann zeigen, dass eine Sprache regulär ist, indem man

Mehr

Theoretische Informatik I

Theoretische Informatik I Theoretische Informatik I Einheit 2.4 Grammatiken 1. Arbeitsweise 2. Klassifizierung 3. Beziehung zu Automaten Beschreibungsformen für Sprachen Mathematische Mengennotation Prädikate beschreiben Eigenschaften

Mehr

THEORETISCHE INFORMATIK II

THEORETISCHE INFORMATIK II THEORETISCHE INFORMATIK II Vorlesungsskript Jiří Adámek Institut für Theoretische Informatik Technische Universität Braunschweig Juni 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Endliche Automaten 1 1.1 Mathematische Grundbegriffe.......................

Mehr

Übung Theoretische Grundlagen

Übung Theoretische Grundlagen Übung Theoretische Grundlagen Berechenbarkeit/Entscheidbarkeit Nico Döttling November 26, 2009 INSTITUT FÜR KRYPTOGRAPHIE UND SICHERHEIT KIT University of the State of Baden-Wuerttemberg and National Laboratory

Mehr

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen

Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen Prof. Dr. F. Otto 24.03.2011 Fachbereich Elektrotechnik/Informatik Universität Kassel Klausur zur Vorlesung Theoretische Informatik: Berechenbarkeit und Formale Sprachen WS 2010/2011 Name:................................

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Einführung in die Theoretische Informatik Woche 10 Harald Zankl Institut für Informatik @ UIBK Wintersemester 2014/2015 Zusammenfassung Zusammenfassung der letzten LV Satz Sei G = (V, Σ, R, S) eine kontextfreie

Mehr

Theoretische Informatik HS2009 1

Theoretische Informatik HS2009 1 Theoretische Informatik HS2009 1 Stefan Heule 9. Dezember 2009 1 License: Creative Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported (http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/) Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen

Mehr

Einführung in die Theoretische Informatik

Einführung in die Theoretische Informatik Technische Universität München Fakultät für Informatik Prof. Tobias Nipkow, Ph.D. Sascha Böhme, Lars Noschinski Sommersemester 2011 Lösungsblatt 11 1. August 2011 Einführung in die Theoretische Informatik

Mehr

Sprachen und Automaten. Tino Hempel

Sprachen und Automaten. Tino Hempel Sprachen und Automaten 11 Tino Hempel Bisherige Automaten Automat mit Ausgabe/Mealy-Automat Akzeptor, Sprache eines Akzeptors Grenze: L = {a n b n } Kellerautomat erkennt L = {a n b n } Grenze:? T. Hempel

Mehr

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008

Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 2. Aufgabenblatt zur Vorlesung Grundlagen der Theoretischen Informatik, SoSe 2008 (Dr. Frank Hoffmann) Lösung von Manuel Jain und Benjamin Bortfeldt Aufgabe 1 Einelementiges Alphabet (4 Punkte) (a) Geben

Mehr

Deterministischer Kellerautomat (DPDA)

Deterministischer Kellerautomat (DPDA) Deterministische Kellerautomaten Deterministischer Kellerautomat (DPDA) Definition Ein Septupel M = (Σ,Γ, Z,δ, z 0,#, F) heißt deterministischer Kellerautomat (kurz DPDA), falls gilt: 1 M = (Σ,Γ, Z,δ,

Mehr

Formale Sprachen und endliche Automaten

Formale Sprachen und endliche Automaten Formale Sprachen und endliche Automaten Formale Sprachen Definition: 1 (Alphabet) Ein Alphabet Σ ist eine endliche, nichtleere Menge von Zeichen oder Symbolen. Ein Wort über dem Alphabet Σ ist eine endliche

Mehr

Wie viel Mathematik kann ein Computer?

Wie viel Mathematik kann ein Computer? Wie viel Mathematik kann ein Computer? Die Grenzen der Berechenbarkeit Dr. Daniel Borchmann 2015-02-05 Wie viel Mathematik kann ein Computer? 2015-02-05 1 / 1 Mathematik und Computer Computer sind schon

Mehr