Folgen und Reihen. 23. Mai 2002

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1 Folge ud Reihe Reé Müller 23. Mai 2002 Ihaltsverzeichis 1 Folge Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge Rekursive Defiitio eier Folge Grezwert ud uedliche Folge Reihe 6 3 Arithmetische Folge ud Reihe 6 4 Geometrische Folge Reihe 8 5 Reche mit Grezwerte Beispiele zu Grezwert-Berechuge

2 2 V. Folge ud Reihe 1 Folge 1.1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge Defiitio 1.1 Uter eier reelle Zahlefolge versteht ma eie geordete Mege reeller Zahle. Die symbolische Schreibweise lautet: a = a 1, a 2, a 3,..., a,... N ) Die Zahle a 1, a 2, a 3,... heisse Glieder der Folge, a ist das -te Glied der Folge. Das allgemeie Glied eier Folge a ka durch eie Term i der Variable agegebe, dem sogeate Bildugsgesetz. I diesem Fall et ma die Folge explizit defiiert. Beispiel 1.1 Das Bildugsgesetz eier Folge a sei a = 4 1. Somit lautet die erste vier Glieder der Folge. a 1 = = 3, a 2 = = 7, a 3 = = 11, a 4 = = 15 Somit lautet die Folge: a = 3, 7, 11, 15,... Die Glieder eier Folge a lasse sich durch Pukte auf eier Zahlegerade darstelle. Für die Zahlemege a = 1 1 = 0, 1 2, 2 3, liege die erste vier Glieder wie folgt auf dem Zahlestrahl: a 0 a2 a 3 a 4 a Aufgabe 1.1 Gebe Sie die erste füf Glieder folgeder Folge a. a) a = 2 3 b) b = + 1) 1 c) c = 2 1 d) d = + 1)! :! ) e) e = 2 Aufgabe 1.2 Welches ist das kleiste Glied der Folge y = ? Aufgabe 1.3 Gesucht ist das kleiste, für welches x kleier als 0.1 ist. a) x = 0.9 b) x = Aufgabe 1.4 Gebe Sie die erste 10 Elemete der Folge ist eie Primzahl a.

3 1 Defiitio ud Darstellug eier reelle Zahlefolge Rekursive Defiitio eier Folge Defiitio 1.2 Rekursiv defiiert et ma eie Folge, we das allgemeie Glied a durch eie oder mehrere Vorgäger bestimmt wird. Beispiel 1.2 Für Fakultät! = 1) 2) existiert ebefalls eie rekursive Defiitio! = a : a = a 1, a 0 = 1 Die Defiitio beihaltet zum Eie de Zusammehag zum Vorgäger-Glied a = a 1 ud zum Adere eie sogeate Verakerug bei a 0 = 1 damit die Rekursio icht uedlich fortgesetzt wird, soder beim Elemet a 0 abbricht. Wir begie Die Berechug mit dem Elemet a 1. Da dieses Elemet icht als Verakerug i der Defiitio vorkommt, müsse wir die rekursive Abbildugsvorschrift verwede. a 1 = 1 a 0. Das Vorgäger-Elemet etehme wir als Verakerug aus der Defiitio. Also köe wir a 1 bereche: a 1 = 1 1 = 1. Nu köe wir das zweite Elemet a 2 mit Hilfe vo a 1 bereche. Dieser Prozess ka der Reihe ach beliebig fortgesetzt werde. Somit erhalte wir für die erste Glieder der Folge a =! : a =! = 1, 2, 6, 24, 120, Aufgabe 1.5 Bereche Sie das 6. Glied der Folge: a) a +1 = a + 8, a 1 = 6 b) b = 3b 1, b 1 = 1 c) c = 2c 1 +, c 1 = 3 d) x +1 = a 1 + a, a 1 = 1, a 2 = 3 Aufgabe 1.6 Gegebe sei die Folge x mit x +1 = 0.5x ud x 1 = Wie viele Glieder dieser Folge sid grösser als 0.1? Aufgabe 1.7 Schreibe Sie die Folge sowohl explizit als auch implizit. a) a = 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64,... b) b = 1, 4, 7, 10, 13,... c) c = 6, 24, 120, 720, 5040,... d) d m = 3, 33, 333, 3333,... Aufgabe 1.8 Defiiere Sie die Folge rekursiv a) a = 0.1, 0.01, 0.001, ,... b) b = 1, 101, 10101, ,... c) a = 3 1 Aufgabe 1.9 Gegebe ist die Folge x = 100 k ) a) Wie viele Glieder hat die Folge höchstes? b) Gebe Sie eie Rekursiosformel a.

4 1 Grezwert ud uedliche Folge 4 Beispiel 1.3 Das Sirpiński-Dreieck ist ei bekates Beispiel aus der Fraktale-Geometrie. Es hadelt sich dabei um eie uedlich lage fortgesetzte Abbildug. Wobei bei jedem Schritt eie eue Figur etsteht. Ma ka daher auch vo eier Folge vo Dreicke spreche. Das Sirpiński-Dreieck etsteht aus eiem gleichseitige Dreieck durch sukzessive Etferug der jeweilige um de Faktor 2 verkleierte Dreiecke, dere Ecke die jeweilige Seitemittelpukte der Dreiecke aus dem voragehede Iteratiosschritt sid. I jedem Iteratiosschritt verrigert sich die Fläche um de Faktor 3/4. Die erste Kostruktiosschritte des Sierpiski Dreieck 1.2 Grezwert ud uedliche Folge Wir wolle us zuächst eigehed mit de Eigeschafte der Zahlefolge a = 1 1 beschäftige ud erstelle zu diesem Zweck eie Wertetabelle: a Wir köe der Tabelle folgede Eigeschafte etehme: 1. Alle Glieder Fuktioswerte) sid kleier als 1, d.h. es gilt a k < 1, k 2. Mit zuehmedem Idex werde die Glieder der Folge ud äher sich der Zahl 1. Ziehe wir daraus die Folgerug, dass i jeder och so kleie Umgebug der Zahl 1 fast alle Glieder der Folge liege. So ist beispielsweise ab dem 11. Glied der Abstad aller folgede Glieder vo der Zahl 1 kleier als 0.1. Mit adere Worte, alle Glieder a mit 11 erfülle die Bedigug a 1 < 0.1. Vom 101. Glied a ist der Abstad aller Folgeglieder vo der Zahl 1 sogar och kleier als Das heisst, jedes Glied a mit 101 erfüllt a 1 < Mit zuehmede uterscheide sich die Glieder vo a immer weiger vo 1. Ma spricht daher auch vo eiem Grezwert der Folge.

5 1 Grezwert ud uedliche Folge 5 Defiitio 1.3 Die reelle Zahl g heisst Grezwert oder Limes der Zahlefolge a, we es zu jedem ε > 0 eie atürliche Zahl 0 gibt, so dass für alle 0 stets a g < ε ist. Eie Folge mit dieser Eigeschaft et ma koverget. Mit adere Worte besagt obige Defiitio, dass ma de Grezwert eier kovergete Folge mit edlich viele Glieder beliebig geau aäher ka. Das heisst der geforderte maximal Abstad vom Grezwert g ergibt, die Azahl ötige Glieder 0 Beispiel 1.4 Ab welchem Glied 0 besitzt die Glieder der Folge a = kleier als 0.1 vom Grezwert 0? Die Bedigug lautet hier: 1 < 1 10 Durch kreuzweises Multipliziere erhalte wir: > 10 1 eie Abstad Das heisst, ab dem 11. Glied der Folge a liege die Werte der Glieder alle äher als 0.1 bei 0. Defiitio 1.4 Eie Folge a heisst koverget, we Sie eie Grezwert g besitzt. Symbolische Darstellug des Grezwertes: a = g Gelese: Limes vo a für gege Uedlich gleich g. Eie Folge a, die keie Grezwert besitzt, heisst diverget. Beispiel 1.5 Die Folge a = 1 ist koverget mit dem Grezwert 0. ) 1 g = = 0 Beachte Sie, dass uter dem Limes steht ud icht =. wird ie gleich Uedlich gesetzt. Die Variable wird ur beliebig geau, d.h ach Defiitio 1.3 a Uedlich hera geführt. Beispiel 1.6 Die Folge a = 3 = 1, 8, 27, 64,... besitzt keie Grezwert. g = 3 = Mit zuehmede wird auch desse dritte Potez grösser. Dieser Tred ist uaufhaltsam, es gibt also keie Grezwert. Die Folge ist daher diverget.

6 6 2 Reihe Defiitio 2.1 Eie Reihe ist die Summe vo Glieder eier Folge a. a 1 + a a k 1 + a k = s k ist die Summe der Glieder a i vo i = 1 bis i = k. a i Es wird zwische edliche ud uedliche Folge uterschiede. Bei udeliche Folge geht k gege. Beispiel 2.1 Die Kreiszahl π ka durch eie Reihe berechet werde. Sie ist durch folgede uedliche Reihe gegebe: [ ] 1) k π = 4 = 4 [1 13 2k ] k=0 Aufgrud der wechselde Vorzeiche der Glieder spricht ma hier auch vo eier alterierede Reihe. Betrache wir die Summe π k der erste k Glieder. π π π π We der Recher arithmetische Operatio mit beliebiger Geauigkeit durchführe köte, ka π auf beliebig viele Stelle geau berechet werde. 3 Arithmetische Folge ud Reihe Das Merkmal vo arithmetische Folge ud Reihe liegt dari, dass die Differez zwische zwei aufeiaderfolgede Glieder kostat ist. Beispiel arithmetischer Reihe: 1, 2, 3, 4, 5, 6,... 2, 4, 6, 8, 10, 12, , 46, 44,... A de obige Beispiele sehe wir, dass die Differez zwische de Glieder der Folge stets kostat ist. Daraus ka ei Bildugsgesetz für arithmetische Reihe festgelegt werde. Defiitio 3.1 Eie arithmetische Folge a k lässt sich ach dem Bildugsgesetz a k+1 = a k + d festlege. Die Differez d zwische de Glieder ist eie Kostate. Zur eideutige Defiitio der Folge muss zusätzlich ei Afagselemet a 1 agegebe werde. Beispiel 3.1 s sei die Summe der atürliche Zahle vo 1 bis 100. Wie gross ist s? 100 s = k = =? k=1

7 7 Es stellt sich die Frage, ob es für die Berechug der Summe, z.b. der Summe der atürliche Zahle vo 1 bis 100, eie kompakte Formel existiert, so dass zur Berechug des Summewerts icht alle 100 Glieder aufsummiert werde müsse. Dies ist eie Überlegug wert. Scheibe wir zuächst die Summe der Glieder der Reihe ach auf. s = s = s = Nu schreibe wir diese Glieder i eier weitere Zeile och eimal auf, diesmal jedoch i absteigeder Reihefolge. We wir u jeweils die Summade dieser dieser beide Summe miteiader addiere, erhalte wir jedes mal de Wert 101. Da pro Zeile 100 Summade vorhade ist erhalte wird als Ergebis dieser Additio de Wert Somit ist 2s = = Da us eigetlich ur s iteressiert, köe wir obige Gleichug durch zwei dividiere ud erhalte s = Also beträgt die Summe der atürliche Zahle vo 1 bis Beachte Sie dass wir us durch diese eifache Überlegug das mühsame addiere der 100 Terme i 99 Additioe erspare. I Folgede wolle wir eie allgemeie Formel für die Berechug vo arithmetische Reihe herleite. Wir defiiere die arithmetische Reihe wie folgt: a k+1 = a k + d mit dem erste Elemet a 1 Die Variable s k sei die Summe der erste k Elemete. a i = a 1 +a 2 + +a k = a 1 +a 1 +d)+a 1 +2d)+a 1 +3d)+ +a 1 +k 2)d)+a 1 +k 1)d) We wir die Glieder a k durch de Afagswert a 1 sowie die Differez d ausdrücke, köe wir die k a 1 -Summade zusammefasse ud d aus faktorisiere. a i = k a 1 + d k 2) + k 1) ) Nu müsse wir die Zahle vo 1 bis ud mit k 1 aufsummiere. Also setze wir aalog zum obige Beispiel a. s = k 3 + k 2 + k 1 + s = k 1 + k 2 + k s = k + k + k + + k + k + k Somit habe wir k 1 mal k i der uterste Zeile. Also ist da s = kk 1) 2 Nu köe wir s i die ursprügliche Gleichug eisetze: a i = k a 1 + d s = k a 1 + d kk 1) 2 Wir habe somit eie Vorschrift, wie beliebige arithmetische Reihe berechet werde. Halte wir dieses Ergebis i eiem Satz fest. Satz 3.1 Eie arithmetische Reihe sei gegebe durch das Afagselemet a 1 sowie der Differez d der Glieder so dass für ei Glied a k gilt: a k = a k 1 + d Die Summe der erste k Glieder der Reihe ist da [ ] kk 1) a i = a 1 + a a k = k a 1 + d 2 i=0.

8 8 4 Geometrische Folge Reihe Das Merkmal vo geometrische Folge ud Reihe besteht dari, dass der Quotiet zweier aufeiaderfolgeder Glieder kostat ist. Beispiele für geometrische Folge: a = 1, 2, 4, 8, 16, 32,... b = 1, 0.1, 0.01, 0.001, , ,... c = 1 3, 9, 27, 81,... A de obige Beispiele sehe wir, dass die Quotiet zwei aufeiaderfolgede Glieder stets kostat ist. a +1 b +1 = 2, = 1 a b 10, c +1 = 3 c der Folge stets kostat ist. Daraus ka ei Bildugsgesetz für geometrische Reihe festgelegt werde. Defiitio 4.1 Eie arithmetische Folge a k lässt sich ach dem Bildugsgesetz a k+1 = a k q festlege. Das bedeutet, dass der Quotiet zwische zwei aufeiaderfolgeder Glieder a k ud a k+1 gleich q ud somit kostat ist. a k+1 a k = q = kost. k Beispiel 4.1 Wie gross ist die Summe s aller Zweier-Poteze vo 2 0 = 1 bis 2 10 = 1024? s = 10 k=0 2 k = = =? Wie bei de arithmetische Reihe stellt sich auch hier die Frage, ob der Summewert eier Reihe geschlosse, das heisst mit eier kompakte Formel berechet werde ka, ohe dass explizit jedes Glied der Folge aufsummiert werde muss. Schreibe wir zuächst wiederum die Glieder aus dem letzte Beispiel der Reihe ach auf. s = s = s 2s = I der zweite Zeile schreibe wir die Glieder och eimal auf, wobei wir aber jedes Glied och zusätzlich mit 2 multipliziere. Aschliessed subtrahiere wir die zweite Zeile vo der erste. Wir erkee dass alle Terme bis auf de erste der obere Zeile ud de letzte der zweite wegfalle. Somit köe wir schreibe: s 2s = Wir erhalte für s de geschlossee Aussdruck s = = = Im Folgede wolle wir wiederum eie allgemeie Formel für die Berechug vo geometrische Reihe herleite. Wir defiiere die Reihe wie folgt: a k+1 = q a k ud dem erste Elemet a 1. Die Variable s k sei die Summe der Glieder vo a 1 bis a k.

9 9 a i = a 1 + a 1 q + a 1 q 2 + a 1 q a 1 q k 2 + a 1 q k 1 Wir köe a 1 herausfaktorisiere ud erhalte: a i = a q + q 2 + q 3 + q k 2 + q k 1) 1) Nu müsse wir die Summe der Poteze vo q 0 = 1 bis q k 1 bereche. Wir tu dies aalog zum obige Beispiel. s = 1 + q + q q k 3 + q k 2 + q k 1 - qs = q + q 2 + q q k 2 + q k 1 + q k s qs = 1 - q k Somit erhalte wir für s s = 1 qk 1 q Dieses Ergebis für s köe wir i Gleichug 1 eisetze. a i = a 1 1 q k 1 q Wie bei de arithmetische Folge habe wir auch für die geometrische eie geschlossee Vorschrift gefude, mit welcher der Wert eier Reihe berechet werde köe. Halte wir als Satz fest:. Satz 4.1 Eie geometrische Reihe sei gegebe durch das Afagselemet a 1 sowie dem Quotiet q zweier aufeiaderfolgeder Glieder, so dass gilt: a k = q a k 1 a k a k 1 = q = kost. k Die Summe der erste k Glieder ist da wie folgt: 1 q a i = a 1 + a 2 + a a k = a 1 i=0 1 q 5 Reche mit Grezwerte Beim Reche mit Grezwerte sid folgede Recheregel zu beachte ohe Beweis):

10 10 Satz 5.1 Uter der Voraussetzug, dass die jeweilige Grezwerte existiere, gelte die folgede Regel: ) [C a ] = C a C : Kostate 2) N N [a ± b ] = a ± b 3) N N N ) ) [a b ] = a b 4) N N N ) a a ) N = N b b b 0 5) N N a = a 6) N N ) [a ] = a 7) N N ) = c a ) N ca N 8) [ ] ) logq a = log q 9) N N a 10) Nebe diese Rechegesetze gibt es och weitere spezielle Grezwerte. Wir führe Sie hier wieder ohe Beweis auf. Satz 5.2 Der Grezwert ist gleich Null. 1 N = 0 Satz 5.3 Der Grezwert q = 0 q < 1 ist gleich Null, sofer q kleier als 1 ist. Daduch wird q mit zuehmedem immer kleier. Satz 5.4 Der Grezwert = e ) etspricht der Euler sche Zahl e währed 1 1 ) = 1 e gleich dem Kehrwert vo e ist.

11 5 Beispiele zu Grezwert-Berechuge 11 Beweis 5.1 Betrachte wir zuächst de Grezwert. Wir köe diese Grezwert durch Umformuge köe wir de Grezwert auf de Ausdruck ) zurückführe: = 1 + ) 1 = [ = We wir durch z substituiere erhalte wir: [ z )) ) z ] 1 = e 1 = 1 z e )) ) 1) )) ] 1 Das ist u jedoch ichts aderes als die die erste im Satz Gleichug ) Somit bleibt och e Beispiele zu Grezwert-Berechuge Im folgede betrachte wir eiige Aufgabe bei dee wir versuche durch Umformuge die Grezwerte auf Stadardgrezwerte zurück zu führe ud diese zu bereche Beispiel 5.1 Bereche Sie ahad vo elemetare Umformuge de Grezwert. 2x 1 We wir de Bruch tree erhalte wir 2 ud 1. Der zweite Term ist ei Stadard-Grezwert, de wir kee. 2 1 = 2 1 ) 1 = 2 = 2 }{{ } 0 Beispiel 5.2 Bereche Sie de Grezwert durch elemetare Umformuge. 3x 2 1) x 1)x + 1) = 3 = 3 x 1) = 3 2) = 6 x 1 x + 1 x 1 x + 1 x 1 }{{} 2) Durch faktorisiere vo x 2 1) ka der Neer des Bruchs gekürzt werde. Das ermöglich das direkte Bereche des Grezwertes. Aufgabe 5.1 Bestimme Sie folgede Grezwerte 1 + a) 2 =? x 3 b) x x =? x 2 2x + 5 c) =? x x

3 Folgen, Reihen, Grenzwerte 3.1 Zahlenfolgen. Beispiele: 1, 2, 3, 4, 5,. 1, 3, 5, 7, 9, 3, 6, 9, 12, 15, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 10, 100, 1.000, 10.

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