Beispiellösungen zu Blatt 6

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1 µathematischer κorresponenz- zirkel Mathematisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufgabe 1 Beispiellösungen zu Blatt 6 Gibt es eine Quaratzahl, eren Quersumme 6 ist? Hinweis: Die Quersumme einer Zahl ist ie Summe ihrer Ziffern! Lösung: Es gibt keine Quaratzahl, eren Quersumme 6 ist. Dazu erinnern wir uns an ie Teilbarkeitsregeln für 3 un 9: Eine Zahl ist genau ann urch 3 teilbar, wenn auch ihre Quersumme urch 3 teilbar ist. Eine Zahl ist genau ann urch 9 teilbar, wenn auch ihre Quersumme urch 9 teilbar ist. Wir nehmen an, wir hätten eine Quaratzahl n = m 2 mit Quersumme 6. Da ie Quersumme 6 urch 3 teilbar ist, ist unsere Zahl n urch 3 teilbar. Weil 3 eine Primzahl ist, muss schon m urch 3 teilbar sein, also kann man mit einer natürlichen Zahl k schreiben: m = 3k. Damit ist n = m 2 = (3k) 2 = 9k 2 urch 9 teilbar. Dann muss aber auch ie Quersumme von n urch 9 teilbar sein. 6 ist nicht urch 9 teilbar, also gibt es keine Quaratzahl mit Quersumme 6. Aufgabe 2 Beim Göttinger Altstatfest sollen, wie in er Abbilung angeeutet, zwei Schmuckbäner zwischen zwei Bäumen aufgehängt weren, un zwar jeweils von er Spitze es einen Baums zum unteren Stammene es aneren Baums. Die Organisatoren es Festes sin nun ein wenig besorgt, enn es soll unter en Bänern wenigstens noch so viel Platz bleiben, ass ein Mensch arunter urchgehen kann. Zwar sin ie Höhen er Bäume erst kürzlich bestimmt woren,? nämlich = 6 m un = 4 m, aber er Abstan er Bäume ist völlig unbekannt. Muss man hierzu em Vermessungsamt einen Auftrag erteilen oer kann man ie Organisatoren vorher schon beruhigen? Lösung: Die Veranstalter brauchen sich keine Sorgen zu machen! Egal, wie weit ie Bäume voneinaner entfernt stehen: ort, wo sich ie Bäner kreuzen, sin sie 2,40 Meter über er Ere.

2 Lösungen zu Blatt 6 2 Zum Beweis benötigt man kaum mehr als ie Strahlensätze (nämlich für ie Gleichungen (1) un (2)). Die Skizze rechts efiniert ie Bezeichnungen für ie Lösung: h Nun gilt: (3) in (1) eingesetzt ergibt = h, (1) = h sowie (2) + =. (3) = h, (4) un (2) ist äquivalent zu = h Setzt man ies in (4) ein, so erhält man. = h h = h h. Hochmultiplizieren es Nenners = h h h = h = h( + ) un Auflösen nach h ergibt h = +. Setzt man schließlich ie gegebenen Werte ein, bekommt man wie behauptet: h = m = 2,4 m. Selbst wenn man avon ausgeht, ass ie Schmuckbäner in Wirklichkeit noch ein wenig urchhängen, ist as völlig ausreichen afür, ass noch ein Mensch arunter urchgehen kann.

3 Lösungen zu Blatt 6 3 Aufgabe 3 Bei em Zahlenschloss an Peters Fahrra muss man urch Drehen reier Rächen, auf enen jeweils ie Ziffern 1, 2 un 3 stehen, einen reiziffrigen Zahlencoe einstellen, um as Schloss zu öffnen. Angenommen, as Schloss ist efekt un öffnet sich schon, wenn beliebige zwei er rei Ziffern richtig eingestellt sin, wie viele Versuche braucht ein potentieller Dieb ann höchstens (wenn er schlau ist!), um as Schloss zu öffnen? Lösung: Ein (wirklich schlauer!) potentieller Dieb kommt mit nur fünf Versuchen aus. Der Grun afür, ass man überhaupt mit weniger als neun Versuchen auskommen kann, ist folgener: Peters ursprünglicher Zahlencoe sei (A, B, C), wobei A, B, C jeweils eine er Ziffern 1, 2 oer 3 sin. Stellt er Dieb nun einen Versuchscoe (a, b, c) ein un as Schloss öffnet sich, ist er glücklich. Wenn es sich aber nicht öffnet, so kommen auf einen Schlag sieben (!!!) mögliche Coes nicht mehr für (A, B, C) in Frage, nämlich ie Coes (a, b, ), (a,, c) un (, b, c), wobei wieer eine beliebige er rei Ziffern 1, 2 oer 3 ist. Wäre nämlich einer ieser Coes gleich (A, B, C), so hätte er Coe (a, b, c) mit Peters Zahlencoe (A, B, C) wenigstens zwei Ziffern gemeinsam, as efekte Schloss hätte sich also öffnen müssen. Wie viele Möglichkeiten hat Peter überhaupt für seinen Coe (A, B, C)? Für jee er rei Stellen kommen genau rei verschieene Werte in Frage, also gibt es genau 3 3 = 27 Möglichkeiten. Davon kann er Dieb mit nur einem Versuch genau sieben ausschließen! Insbesonere kann er as Schloss mit rei Versuchen höchstens zufällig, aber nicht sicher (un as war ja gefragt!) knacken, a er bis ahin höchstens 3 7 = 21 Coes als Peters Zahlencoe ausschließen kann. Ist einer er übrigen = 6 Coes er richtige, so hat sich as Schloss nach en rei Versuchen noch nicht geöffnet. Aber vier Versuche könnten och theoretisch reichen, oer? Schließlich sin 4 7 = 28 Coes mehr, als es überhaupt gibt, also muss Peters Coe abeigewesen sein, oer? Nein, leier nicht. Zwar kann er Dieb mit jeem er vier Versuche sieben Coes ausschließen, aber iese müssen nicht alle verschieen sein (un sin es auch nicht). Würe er Dieb zum Beispiel ummerweise viermal enselben Coe versuchen, würe er trotzem nur sieben un nicht 4 7 = 28 Coes ausschließen. Folgenermaßen sieht man, ass es bei vier Versuchen minestens zwei solche Überschneiungen gibt, also wenigstens = 1 möglicher Peter-Coe unausgeschlossen bleibt: Für ie erste Stelle a eines Coes (a, b, c) hat man rei Möglichkeiten. Unter vier verschieenen Coes C 1, C 2, C 3 un C 4 muss es also zwei geben, ie ie gleiche erste Stelle haben. Sei also zum Beispiel C 1 = (a, b, c) un C 2 = (a,, e). Dann sin unter en jeweils sieben Coes, ie C 1 un C 2 ausschließen, auch ie beien (a,, c) un (a, b, e), ie von beien ausgeschlossen weren man hat also minestens zwei Überschneiungen unter en urch

4 Lösungen zu Blatt 6 4 vier Versuche ausgeschlossenen Coes, un es weren insgesamt nicht mehr als = 26 Peter-Coes ausgeschlossen. Mit vier Versuchen ist man also auch nicht auf er sicheren Seite, enn es könnte immer noch einer er nicht ausgeschlossenen Coes er richtige sein; ann bliebe as Schloss nach iesen vier Versuchen geschlossen! Dass es schließlich mit fünf Versuchen sicher klappt, zeigt man zum Beispiel mit folgener Tabelle: Nr. Coe Für en richtigen Coe aurch ausgeschlossen: 1 (1, 1, 2) (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 1, 3), (1, 2, 2), (1, 3, 2), (2, 1, 2), (3, 1, 2) 2 (2, 2, 1) (2, 2, 1), (2, 2, 2), (2, 2, 3), (2, 1, 1), (2, 3, 1), (1, 2, 1), (3, 2, 1) 3 (3, 3, 2) (3, 3, 1), (3, 3, 2), (3, 3, 3), (3, 2, 2), (2, 3, 2) 4 (1, 3, 3) (1, 3, 1), (1, 3, 3), (1, 2, 3), (2, 3, 3) 5 (3, 1, 3) (3, 1, 1), (3, 1, 3), (3, 2, 3), (2, 1, 3) Spätestens nach iesen fünf Versuchen ist as Schloss offen, enn in er letzten Spalte er Tabelle kommen alle 27 Möglichkeiten vor. Wie man auf ie Tabellenlösung kommt? Eine Möglichkeit besteht arin, sich jeen Coe als Punkt in einem Würfel vorzustellen. Dann schließt jeer Coe gerae ie Punkte im Würfel aus, ie auf einer gemeinsamen achsenparallelen Geraen mit iesem Coe liegen. z (3,1,3) Abbilung 1: Die fünf Versuche In obigem Bilchen sin ie fünf Coes er Tabelle urch große Punkte markiert. Man erkennt, ass jeer anere Punkt auf einer gemeinsamen achsenparallelen Geraen mit irgeneinem er fünf markierten Punkte liegt. Um solche fünf Punkte zu finen, muss man aber trotzem noch ein wenig probieren. (Insbesonere wir man, wie zuvor bewiesen, mit vier Punkten nicht auskommen!)

5 Lösungen zu Blatt 6 5 Aufgabe 4 Man nehme en Prospekt eines beliebigen Supermarktes, Möbelhauses oer Computerlaens. Jees Proukt hat ort seinen Preis un um iese Preise soll es in ieser Aufgabe zunächst einmal gehen. Schaut man sich iese Zahlen nämlich genauer an, so stellt man in er Regel fest: Die meisten Preise haben als letzte Ziffer eine 9, einige wenige vielleicht eine 0 oer 5, aber anere Ziffern kommen so gut wie gar nicht vor. Doch in ieser Aufgabe soll nicht ie letzte, sonern ie erste Ziffer er Zahlen eine Rolle spielen. Uns interessiert folgene Frage: Kommen ie Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 un 9 gleich oft als erste Ziffer vor oer nicht? Lösung: Zunächst einmal eine kleine Geschichte: Am Anfang es zwanzigsten Jahrhunerts gab es noch keine Taschenrechner oer Computer, mit enen Wissenschaftler ihre Berechnungen urchführen konnten. Stattessen beiente man sich sogenannter Logarithmentafeln; vielleicht habt ihr so etwas schon mal in älteren Formelsammlungen gesehen. Mit iesen konnte man ann auch kompliziertere Berechnungen vereinfachen. Man muss sich as als Buch vorstellen, in em in einer großen Tabelle für sehr viele Zahlen zwischen 1 un 10 (also z. B. in 1/10000-Schritten) er Logarithmus ieser Zahlen angegeben war, also ie Zahl, ie man heute beim Taschenrechner urch einfaches Drücken er log-taste erhält. Wenn ihr as mal ausprobiert, weret ihr feststellen, ass iese Tabelle ausreicht, um en Logarithmus von allen Zahlen mit einer bestimmten Genauigkeit zu ermitteln (Vergleicht einfach mal ie Werte von log 1,2, log 12 un log 120!). Ein amerikanischer Phsiker namens Frank Benfor, er sein Logarithmentafelbuch sehr oft benutzt haben muss, stellte 1938 fest, ass ie voreren Seiten viel mehr abgegriffen waren als ie hinteren. In seinen Berechnungen mussten also sehr viel häufiger Zahlen vorgekommen sein, ie mit einer 1 oer 2 angefangen haben, als solche, ie mit einer 8 oer 9 beginnen. Diese Feststellung wure später nach ihm Benfors Gesetz oer auch First-Digit- Gesetz genannt, obwohl sie auch schon 1881 von Simon Newcomb gefunen wure: Die Wahrscheinlichkeit, ass eine Zahl mit 1 beginnt, ist viel größer (ca. 30 Prozent) als ie Wahrscheinlichkeit, ass eine Zahl mit 9 beginnt (ca. 5 Prozent). Genauer gesagt ist ie Wahrscheinlichkeit, ass eine Zahl mit er Ziffer n beginnt, log( n+1 ) (siehe n Schaubil??).

6 Lösungen zu Blatt 6 6 Kann man ieses Gesetz irgenwie begrünen? Die wichtigste Feststellung ist, ass ie meisten Vorgänge weniger in absoluten Zahlen als vielmehr in Größenornungen einzuornen sin. Es gibt viel mehr Pfützen als Tümpel, mehr Tümpel als Seen un mehr Seen als Meere. Wenn man also ie Flächen er Gewässer betrachtet, so gibt es mehr zwischen einem un zwei Quaratmetern als zwischen zwei un rei Quaratmetern, ebenso zwischen Quaratmetern un Quaratmetern mehr als zwischen un Doch man kann noch genauer analsieren: Die Anzahl er Gewässer mit Größe zum Beispiel zwischen einem un zwei Quaratmetern ist gleich er Anzahl er Gewässer mit Größen zwischen zwei un vier Quaratmetern un er Anzahl mit Größen zwischen vier un acht Quaratmetern. Dies ist ie Voraussetzung afür, ass ie Verteilung er Anfangsziffern so aussieht wie im Schaubil angegeben. Denn ann ist er Balken bei er Eins gerae so groß wie ie von Zwei un Drei zusammen un so groß wie ie von Vier, Fünf, Sechs un Sieben zusammen. Man nennt iese Eigenschaft Skaleninvarianz. Solche Verteilungen finet man insbesonere bei eponentiellen Wachstumsvorgängen, was nichts aneres beeutet, als ass sich eine bestimmte Größe in einem gewissen Zeitintervall (zum Beispiel ein Jahr) jeweils vervielfacht (also zum Beispiel veroppelt, verreifacht, halbiert). So etwas finet man in er Umgebung sehr häufig, auf er einen Seite bei Populationen von Bakterien, auf er aneren Seite bei Sparguthaben oer Aktieninizes. Das Erstaunliche ist, ass ieses Gesetz auch bei Größen gilt, für ie iese Art von Wachstum nicht so offensichtlich auftritt, zum Beispiel bei Dateigrößen auf einer Festplatte oer beliebig ausgewählten Zahlen in einer Zeitung. Es scheint sich also um eine Verteilung er Verteilungen zu haneln! Un wer ie Dateigrößen auf seiner Festplatte untersucht hat, wir festgestellt haben, ass iese bei genügen großer Anzahl gut em Gesetz gehorchen, ie Abweichung beträgt meist nur ein paar Prozent. Aber man stellt auch meistens bei er einen oer aneren Zahl einen Ausreißer fest. Un

7 Lösungen zu Blatt 6 7 solche Ausreißer euten arauf hin, ass auf ieser Festplatte nicht nur irgenwelche Daten liegen, sonern eine größere Anzahl einer ganz bestimmten Sorte, zum Beispiel Abspeicherungen eines Programms. Damit hat as Verfahren auch eine praktische Beeutung: In en USA untersucht man Steuererklärungen großer Unternehmen, inem man ie Häufigkeit er Anfangsziffern zählt. (maschinell, sin ja keine Lochkarten, ie Genauigkeit ist also recht hoch). Genügen sie Benfors Gesetz, scheint alles in Ornung. Hat aber jeman ie Bilanzen gefälscht, so weicht ie Verteilung ab, a ie meisten Menschen azu tenieren, eher Zahlen, ie mit 5 oer 6 beginnen, auszuwählen un amit Benfors Gesetz zu verletzen. Auch bei en von euch untersuchten Supermarktpreisen kann man iese Gesetzmäßigkeit feststellen: Supermarktpreise Anzahl erste Ziffer Der Verlauf er Kurve entspricht für ie Anfangsziffern 1 bis 8 Benfors Gesetz. Anererseits sieht man eutlich, ass viel mehr Preise, als man nach iesem Gesetz erwarten würe, mit einer 9 beginnen, vermutlich aus pschologischen Grünen. Viel mehr zu iesem Thema finet man im Internet, zum Beispiel unter un Stan: 12. Dezember 2000