Schätzen von Populationswerten

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1 Schätze vo Populatioswerte 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 Schätze vo Populatioswerte Ziel: Ermöglichug vo Aussage über die Grudgesamtheit ahad vo Stichprobedate Logische Methode: Iduktiosschluss Grudlage des Iduktiosschlusses: Aahme über die Kewerteverteilug der Stichprobeziehug 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003

2 Iduktioschluss Risiko eies Fehlschlusses uvermeidbar Jedoch: Iferezstatistische Modelle ermögliche, die Fehlerwahrscheilichkeit abzuschätze ud zu miimiere 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Stichprobeziehug ud Repräsetativität statistische Repräsetativität: Kleie Abweichuge zwische Populatio ud Stichprobe wahrscheilich, große Abweichuge uwahrscheilich Grudlage statistischer Repräsetativität: Jedes Elemet der Grudgesamtheit hat die gleiche Wahrscheilichkeit i die Stichprobe zu gelage (Gleichverteilug) 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 4

3 Schätze ud Kewerteverteilug Zetraler Grezwertsatz liefert Aahme über die Art der (Wahrscheilichkeits-) Verteilug vo Stichprobekewerte Wahrscheilichkeitstheorie liefert Aahme über die Parameter der Kewerteverteilug: Ihr Erwartugswert ud ihre Variaz etspreche de jeweilige Populatioswerte Werde diese Parameter geschätzt, besteht die Möglichkeit, die Auftreteswahrscheilichkeit der Stichprobekewerte zu bestimme 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schätzer ud Schätzug Defiitio Schätzer, bzw. Schätzfuktio: Zufallsvariable, die für die Schätzug eies Populatiosparameters verwedet wird (i userem Fall die jeweilige Stichprobekewerteverteilug) Defiitio Schätzug: Realisatio des Schätzers (erhobeer Stichprobekewert) 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

4 Schätzug ud Statistische Repräsetativität Aufgrud der Aahme der statistische Repräsetativität (kleie Abweichuge wahrscheilich, große Abweichuge uwahrscheilich) ka ma hoffe, dass die jeweilige Schätzug die Parameter des Schätzers (ud damit der Populatio) mehr oder weiger gut aähert d.h.: Wir bestimme Kewerteverteilugs- ud Populatiosparameter mit Hilfe der erhobee Kewerte 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Güte der Schätzug Defiitio Aussage über die Güte der Schätzug lasse sich ahad vo Eigeschafte des Schätzers (Schätzfuktio) mache. Die Geltug dieser Verteilugsaussage für die jeweilige Realisatio ist wiederum durch die Aahme der statistische Repräsetativität bestimmt. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

5 Erwartugstreue des Schätzers Eie Schätzfuktio ist erwartugstreu, bzw. uverzerrt, we ihr Erwartugswert mit dem Populatioskewert übereistimmt. So sid z.b.: Kewerteverteiluge vo Ateile ud Mittelwerte erwartugstreu; Kewerteverteiluge vo Stichprobevariaze verzerrt (icht erwartugstreu). 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Effiziez eies Schätzers We verschiedee Schätzer (z.b. Mittelwertskewerteverteilug ud Mediakewerteverteilug) vergliche werde, ist der Schätzer effizieter, der im Mittel äher am gesuchte Populatioswert liegt. Maß der Effiziez: Variaz, bzw. Stadardabweichug Je geriger die Variaz eies Schätzers, desto effizieter ist er. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

6 Kosistez eies Schätzers Ei Schätzer ist kosistet, we bei steigedem Stichprobeumfag die Wahrscheilichkeit gege eis geht, dass die Differez zwische eier Schätzug ud dem Populatioswert beliebig klei wird. D.h. Ist eie Schätzfuktio kosistet, werde die Schätzuge mit steigedem Populatiosumfag immer besser. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 Schätze vo Populatioswerte Puktschätzug 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 6

7 Puktschätzug Hier werde mit Hilfe vo Stichprobedate Populatiosparamter geschätzt. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schätze vo Populatiosateile Bei eier Zufallsauswahl mit Zurücklege ist der geschätzte Stadardfehler eies Stichprobeateils (p ) p ( p ) 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

8 Schätze vo Populatiosateile Bei eier Zufallsauswahl ohe Zurücklege ist der geschätzte Stadardfehler eies Stichprobeateils (p ) p ( p ) N N 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schätze vo Populatiosateile Der Stadardfehler ist maximal, we der Populatiosateil 0,5 beträgt Die Obergreze für de Stadardfehler π ergibt sich daher bei: ( p) 0,5 ( p) 0,5 N (N ) Mit Zurücklege Ohe Zurücklege 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

9 9 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schätzug vo Populatiosmittelwerte Geschätzter Stadardfehler eies Stichprobemittelwerts (mit Zurücklege): s ) ( SS ) ( x ) ( x _ i _ i 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schätzug vo Populatiosmittelwerte Geschätzter Stadardfehler eies Stichprobemittelwerts (ohe Zurücklege): N N s N N ) ( SS N N ) ( ) x x ( _ i _ i

10 Schätzug vo Populatiosmittelwerte Geschätzte Populatiosvariaz: s ( x i i SS x ) 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schätzug vo Populatiosmittelwerte Stadardfehler der Kewerteverteilug der geschätzte Populatiosvariaz bei Zufallsauswahle aus ormalverteilte Populatioe: ( ) 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

11 Schätze vo Populatioswerte Itervallschätzug 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 Itervallschätzug Hier wird ei Itervall berechet, i dem der gesuchte Populatioswert mit eier vorgegebee Wahrscheilichkeit liegt. Itervallschätzuge sid aufwediger als Puktschätzuge aber auch sicherer. Itervallschätzuge sid da falsch, we das geschätzte Itervall de gesuchte Populatioswert icht ethält. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003

12 Schritt : Festlegug der Kewerteverteilug Zur Bestimmug der Itervallgreze ist die Ketis der Kewerteverteilug otwedig. Ei möglicher Fall: We das betrachtete Merkmal i der Populatio ormalverteilt ist, da sid die Stichprobemittelwerte ormalverteilt mit dem Erwartugswert µ ud der Variaz /. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Schritt : Festlegug der Kewerteverteilug Τ x i ( x i µ ( x ) ) x µ SS ( ) x µ s ( ) x µ 7.Sitzug 35 Seite, SoSe 003 4

13 Schritt : Festlegug des Fehlerrisikos ud der Quatilwerte I dem zweite Schritt ist die Etscheidug über das och akzeptierte Fehlerrisiko eier Itervallschätzug ötig. Dieses Fehlerrisiko wird als Irrtumswahrscheilichkeit ( α ) bezeichet. Wird α 0% festgelegt, da überdeckt das Itervall um de gesuchte Populatioswert 90% der Kewerteverteilug. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe SCHRITT ergäze Seite 39 ud 40 fehle. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

14 Schritt 3: Bestimmug der Itervallgreze Zur Bestimmug der Itervallgreze wird die Gleichug der vorige Folie so umgeformt, dass der gesuchte Populatioswert allei i der Mitte der Ugleichug steht. Die Breite eies Kofidezitervalls hägt vo der Irrtumswahrscheilichkeit α ab die der Forscher festlegt. 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Iterpretatio vo Kofidezitervalle 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

15 5 / - / 3 6$ :; A BDC E FHG I J K E L MON L MHP Q QRSL M T E U V M W E M K V N J I I V MOT Y U V M ZL [G I J K E L M\ FHE K K V I ]$V K ++4 ) / 0 /. ) - +, '() )! "$# % & 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Abbildug aus Kühel/Krebs, 00: 43 Berechug vo Kofidezitervalle Kofidezitervalle für Mittelwerte: Ist ei Merkmal i der Populatio ormalverteilt ud ist die Variaz bekat, da ist der Stichprobemittelwert mit der Variaz um de Erwartugswert ormalverteilt. / µ 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

16 Berechug vo Kofidezitervalle Kofidezitervall für de Populatiosmittelwert vo. c.i.( µ z ) x± z α / α Populatiosmittelwert vo α / Wert des - / Quatils für de 7.Sitzug 35 Seite, SoSe Awedugsbeispiel zu Berechug eies Kofidezitervalls für eie Populatiosmittelwert. Wie hoch ist das durchschittliche Alter der Bevölkerug i der BRD? 350 ; 46.7; 8. s Das 95%-Kofidezitervall mit Irrtumswahrscheilichkeit 5% wird wie folgt berechet: 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

17 Awedugsbeispiel zu s c.i.( µ ) x ± zα / 46.7 ± 46.7 ± Sitzug 35 Seite, SoSe Kofidezitervalle für Ateile Kofidezitervall für de Populatiosateil der Ausprägug eies biäre Merkmals: c.i.( π ) p ± (p ) z α / 7.Sitzug 35 Seite, SoSe

18 Awedugsbeispiel 48 Kostruktio eies Kofidezitervalls (für de Stimmeateil der FDP) für eie Populatiosateil (mit α 5%): 93 ; 9% wolle FDP wähle p ( p) c.i.( π ) p ± zα / ± ± Sitzug 35 Seite, SoSe