Zentralpotential. Zweikörperproblem. Symmetrie Erhaltungsgröße Vereinfachung. Transformation zu Schwerpunkts- und Relativkoordinaten
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- Sara Vogt
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1 Zentralpotential Zweikörperproblem Symmetrie Erhaltungsgröße Vereinfachung 1. Translation Schwerpunktsimpuls Einteilchenproblem 2. Zeittransl. Energie Dgl. 1. Ordnung 3. Rotation Drehimpuls Radialgl. Transformation zu Schwerpunkts- und Relativkoordinaten Schwerpunktskoordinate Relativkoordinate Transformation: Rücktransformation: Kinetische Energie: "reduzierte Masse"
2 Schwerpunktskoordinate: Relativkoordinate: (1),(2) in (1.1): "reduzierte Masse" Sehr nützliche Vereinfachung: Dynamik von R und r entkoppelt zyklisch Schwerpunktsimpuls ist erhalten. Relativkoordinate: beschreibt ein effektives Einteilchenproblem für Wähle Zylinderkoordinaten als verallg. Koord.: (LG2): Drehimpulserhaltung!
3 Reduktion zur Radialproblem Triviale Lösung v. (3.6): Bewegung nur in Ebene Offensichtliche Lösung v. (3.5): erhaltener Drehimpuls (1),(2) entspricht der Wahl: -Achse Drehimpulsvektor Drehimpulsvektor: Radial-Gleichung: (3.4) "Zentrifugalkraft" (favorisiert große ρ) Energieerhaltung: E = erhalten
4 Erhaltene Energie: Gl. (1) ist eine DGL 1. Ordnung für "Effektives Potential für Radialbewegung" Effektive Radialkraft: Wir kennen nun im Prinzip: Zahl der Integrationskonstanten: Allgemein erwartet: Lösung von 3 DGL 2. Ordnung für je und erfordert 12 Integrations.-Konst.: aus aus aus Wir haben hier: Lösung v. Radial-Gl.: Separation d. Variablen: Integriere: = Funktion von ρ bekannt, diese Relation invertieren bekannt! eingesetzt in bekannt! Integrieren bekannt!
5 Bahnkurve: (ohne Zeitabhängigkeit anzugeben) Analog zu (L49.1): Separation d. Variablen: Integration: Funktion v. ρ bekannt Diese Relation invertieren bekannt Qualitative Diskussion der Bewegung (WICHTIG!) Typischer Fall 1: z.b. für Harmonischer Osz. mit Gleichgewichtsabstand (z.b. Vibr. eines 2-atomigen Moleküls) für nur "gebundene" Bewegung möglich Umkehrpunkte bei
6 Typischer Fall 2: z.b. für Gravitations- oder Coulomb-Potential für 2 Arten von Bewegung sind möglich: hier = 0 gemalt ungebundene Bewegung "Streuung durch Zentrifugalbarriere" gebundene Bewegung Typischer Fall 3: z.b. für für: 3 Arten v. Bewegung sind möglich: Streuung: (immer) Umkehrpunkt gebundene Bewegung: Fall ins Zentrum (läuft durchs Zentrum hindurch)
7 Gebundene Bwg.: ist Bahn geschlossen oder nicht? hängt von ab! sei Winkeländerung zwischen geschlossen: ungeschlossen: Bedingung für geschlossene Bwg.: Bahn schließt nach n Schleifen: hängt von U ab! Nachrechnen: Bahn ist Ellipse Bahn schließt nach 2 Schleifen Kepler-Problem Gravitationsoder Coulomb-Pot.: Dimension der Konstantnen: Grav.-Pot. Coulomb-Pot. Effektives Pot.: Für diese Form ist Bahnkurve lösbar! Johannes Kepler ( ) Bronstein durch Wahl v.
8 Definition: Parameter: Exzentrizität: Bahnkurve: (durch clevere Ausnutzung von Energie- und Drehimpuls-Erhaltung!) (14.6) beschreibt Kegelschnitte: Hyperbel Parabel möglich möglich Ellipse (vergleiche 12.3) Kreis unabhängig von
9 Bahngleichung: Wir zeigen nun, dass (1) für eine Ellipse beschreibt: "Perihel" "Brennpunkt" große kleine Halbachse quadratische Ergänzung (16.11) = Ellipse: Check Skizze: "Perihel" "Brennpunkt" [a = große Halbachse] [folgt auch aus (14.6) mit [b = kleine Halbachse] [folgt auch aus (14.6) mit ]
10 Keplerschen Gesetze: 1. Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen, mit Sonne in einem Brennpunkt. Herleitung: im SP-System Planet Sonne beschreiben gegenläufige Ellipsen Schwerpunkt liegt in einem Brennpunkt. sogar für Jupiter. Planet umkreist Sonne auf elliptischer Bahn, mit Sonne im Brennpunkt 2. Die vom Fahrstrahl pro Zeit überstrichene Fläche ist konstant Herleitung: Fläche des Dreiecks 3. Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse Herleitung: Fläche der Ellipse: eine Umdrehung Umlaufzeit: Nebenrechnung: Proportionalitätskonstante: etwa gleich für alle Planeten.
11 Zusammenfassung: Zentralpotential Gesamtsystem: Schwerpunktsystem: Relativsystem: Zylinderkoordinaten: Reduktion zur Radialproblem: = erhaltener Drehimpuls Radial-Gleichung: Erhaltene Energie: Zusammenfassung: Kepler-Problem Grav.-Pot. Coulomb-Pot. Bahn beschreibt Kegelschnitte: Ellipsenbahn für Keplerschen Gesetze: 1. Planetenbahnen sind Ellipsenbahnen, mit Sonne in einem Brennpunkt. "Perihel " "Brennpunkt 2. Die vom Fahrstrahl pro Zeit überstrichene Fläche ist konstant Planet 3. Quadrat der Umlaufzeit ist proportional zur dritten Potenz der großen Halbachse Sonne
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