Hausaufgabe 7 Abgabe am oder am in der Übung

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1 Stochasti, Sommersemester 04 Hausaufgabe 7 Abgabe am 6.5. oder am.5. in der Übung Prof. Dr. I. Veselić Dr. M. Tautenhahn, Dr. C. Schumacher Aufgabe. Sei a (0, /). Die Wahrscheinlicheit p, dass eine Familie genau Kinder hat liege bei p 0 a, p a und p ( a) ( ) für. Es ist beannt, dass eine Familie genau zwei Jungs hat. Wie groß ist die Wahrscheinlicheit, dass (a) die Familie nur zwei Kinder hat? (b) die Familie auch genau zwei Mädchen hat? Man nehme an, dass die Wahrscheinlicheit, ein Mädchen zu beommen, genauso groß ist wie die Wahrscheinlicheit, einen Jungen zu beommen. Kommentar zu Satz von Bayes für Kinder: Die Lösung ann man auch gleich mit Zufallsgrößen formulieren. Lösung zu Aufgabe : (Satz von Bayes für Kinder) bayesfamilie.tex Innerhalb einer Familie ist die Anzahl der Jungs binomialverteilt mit Parameter p / (weil die Geburten unabhängig voneinander stattfinden). Sei A ein Ereignis, sei J das Ereignis, dass genau zwei Jungen vorliegen. Für N 0 sei K das Ereignis, dass in der Familie genau Kinder sind. Wir haben P (A J ) P (A J ) P (J ) P (J A) P (A) P ( N 0 (J K )) P (J A) P (A) N 0 P (J K ) P (K ). Die Reihe im Nenner hängt nicht von A ab. Ihre Summe ist P (J K ) P (K ) P (J K ) P (K ) ( a) ( ) N 0 ( ) ( a) ( ) ( a) ( ). Die geometrische Reihe onvergiert für q < absolut, also önnen wir sie gliedweise differenzieren: 0 q q q 0 ( q) ( )q 0 ( q) Also ist, mit q /4, ( ( ) 4) n Wir erhalten daher P (A J ) (a) Wir haben P (K ) ( a) und P (J K ) 4 P (K J ) ( ( ) 4) 6 7 ( a) P (J A) P (A). 7 ( a) P (J K ) P (K ) ( 4 ) 7. (Binomialverteilung), und damit 7 ( a) 4 7 ( a) 64.

2 (b) Unter der Voraussetzung, dass genau zwei Jungs vorliegen, ist die Bedingung, dass genau zwei Mädchen vorliegen, äquivalent zu K 4 : M J K 4 J. Wir haben P (K 4 ) ( a) und P (J K 4 ) 6( 4 ), und damit P (K 4 J ) 7 ( a) P (J K 4 ) P (K 4 ) 7 ( a) ( a) 5. Aufgabe. Tom Bayes hat sich auf seiner Reise durch den Oberrabensteiner Nationalpar verirrt. Seiner Erinnerung nach schätzt er, dass mit Wahrscheinlicheit p der Ausgang aus dem Nationalpar im Osten liegt und mit Wahrscheinlicheit p im Westen. Bevor er sich auf den Weg macht, fragt er jedoch einen Passanten mehrmals nach der Richtung zum Ausgang, um seinen Kenntnisstand zu verbessern. Die Personen in Nationalpar reagieren auf die Frage nach dem Ausgang genauso, wie in Aufgabe auf Hausaufgabenblatt 5 beschrieben. Zeigen Sie: (a) Egal welche Antwort Tom auf seine erste Frage beommt, er glaubt weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlicheit p orret ist. (b) Sind die ersten beiden Antworten identisch (OO oder WW), so glaubt Tom weiterhin, dass die Antwort Osten mit Wahrscheinlicheit p orret ist. (c) Nach drei gleichen Antworten beurteilt Tom die Situation folgendermaßen: P (Osten orret OOO) 9p p und P (Osten orret WWW) p 9 + p. Welche Werte ergeben sich für p 9 0? Lösung zu Aufgabe : (Bayes im Oberrabensteiner Nationalpar) bayes.tex Sei O das Ereignis, dass der Ausgang im Osten liegt und W das Ereignis, dass er sich im Westen befindet. Für das Verhalten der Passanten schreiben wir wie in der Aufgabe O und W, wobei mehrere Buchstaben für mehrere aufeinanderfolgende Antworten stehen. Zunächst ergeben sich einige Wahrscheinlicheiten aus dem Verhalten der Passanten, das sich ja bei Vertauschung des Ostens und des Westens nicht ändert: P (W O) P (O W), P (O O) 4 P (W W), P (WW O) P (OO W), P (OO O) 4 4 P (WW W), P (WWW O) P (OOO W), P (OOO O) P (WWW W). Für ein beliebiges Wort σ über dem Alphabet {W, O} liefert die Formel von Bayes P (O σ) P (O) P (σ O) P (O) P (σ O) + P (W) P (σ W) p P (σ O) p P (σ O) + ( p) P (σ W).

3 Das Einsetzen in σ liefert damit P (O W) p P (W O) p P (W O) + ( p) P (W W) p p + ( p) P (O O) p P (O O) p P (O O) + ( p) P (O W) p P (O WW) P (O OO) P (O WWW) P (O OOO) p + ( p) p P (WW O) p P (WW O) + ( p) P (WW W) p p p P (OO O) p P (OO O) + ( p) P (OO W) p p p P (WWW O) p P (WWW O) + ( p) P (WWW W) p p + ( p) 9 p 9 + p, p P (OOO O) p P (OOO O) + ( p) P (OOO W) p 9 p 9 + ( p) 9p p, was zu zeigen war. Für p 9/0 ergeben sich die Werte P (O WWW) p, p, + ( p) + ( p) , P (O OOO) 9 0 p, p, 0. Aufgabe. Angenommen, die Anzahl der Geburten an einem Tag in einem Kranenhaus ist Poissonverteilt mit Parameter λ > 0. Jede Geburt ist ein Junge mit Wahrscheinlicheit p und ein Mädchen mit Wahrscheinlicheit q p, unabhängig von anderen Geburten und unabhängig von der Gesamtzahl der Geburten. Seien J und M die Zahl der Jungen beziehungsweise Mädchen. (a) Zeigen Sie P(J j, M m) (λp)j e λp. (b) Folgern Sie, J und M sind unabhängig und Poissonverteilt mit Parameter λp bzw. λq. Kommentar zu Poissonverteilung bei Geburten: Vergleiche poissonhats.tex: Poisson"verteilte H"ute Lösung zu Aufgabe : (Poissonverteilung bei Geburten) geburten.tex (a) Ist die Gesamtzahl der Geburten fest, so sind Mädchen und Jungen binomialverteilt, d. h. es gilt für alle j, m N 0 : j + m P(J j, M m J + M j + m) p j ( p) m. j (Dabei ist J + M die Gesamtzahl der Geburten an einem Tag.) Da J + M poissonverteilt ist, gilt P (J + M j + m) λj+m (j + m)! e λ,

4 d. h. j + m P ({J j, M m}) p j ( p) m λ j+m j (j + m)! e λ (λp)j e λp. (b) Wir haben daher P ({J j}) P {J j, M m} P ({J j, M m}) (λp) j e λp (λp)j e λp (λp)j e λp e λq e λq (λp)j e λp, e λq (λq) m d. h. die Gewichtsfuntion von J ist die Gewichtsfuntion der Poissonverteilung. Da die Gewichtsfuntion eine Verteilung eindeutig festlegt, ist J Poissonverteilt. Um zu zeigen, dass M poissonverteilt ist, tausche man in der bisherigen Rechnung (J, j, p) gegen (M, m, q) aus. Die Unabhängigeit von J und M ist folgendermaßen definiert: A, B P(N 0 ): P(J A, M B) P(J A)P(M B). Es geht also darum, ob P (J,M) P J P M für die Bildverteilungen von (J, M), J und M gilt. Die Zufallsvariablen nehmen nur Werte in N 0 an. Zwei Maße sind gleich, wenn sie auf einem schnittstabilen Erzeuger übereinstimmen. Als schnittstabilen Erzeuger wählen wir die Elementarereignisse (und ) E : { } {{(j, m)} j, m N 0 }. Es genügt also, die Unabhängigeit an der Gewichtsfuntion zu überprüfen. In (a) haben wir diese Frage positiv gelärt, also sind J und M unabhängig. Aufgabe 4. Eine Münze mit Wahrscheinlicheit p < / für Zahl wird wiederholt geworfen. Sei A, N das Ereignis, dass bei den Würfen, +,..., + mindestens mal in Folge Zahl fällt. Zeigen Sie, dass P (A tritt für unendlich viele ein) 0. Hinweis: Definieren Sie das Ereignis {X j, X j+,..., X j+ }, j, N, wobei X j bedeutet, dass der j-te Wurf Zahl ist. Benutzen Sie einen Satz von Borel-Cantelli. Lösung zu Aufgabe 4: (Borel Cantelli) Wir definieren borelcantelli.tex j+ : {X j, X j+,..., X j+ } {X i }. Weil die Ausgänge der einzelnen Münzwürfe voneinander unabhängig sind, gilt j+ j+ j+ P P {X i } P ({X i }) p p. ij ij ij ij 4

5 Zusätzlich haben wir A + j und damit P (A ) + ( P j ) + j p ( ) + p (p) p + p. Wegen 0 p < /, d. h. 0 p <, onvergiert die Reihe n N P (A n) absolut. Teil (i) des Borel- Cantelli-Lemmas liefert P lim sup A n 0, n was zu zeigen war. 5

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