Exponentialfunktion - typische Beispiele
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- Sophia Meyer
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1 Exp_typBsp.odt Exponentialfunktion - 1/6 Exponentialfunktion - typische Beispiele Es geht um Wachstums- oder Abnahmevorgänge Nützlich in vielen Beispielen ist der folgende Ansatz : N(t)=N 0 a t t steht sehr oft für die Zeit (oder auch für eine Höhe, Schichtdicke,...). N steht für eine Anzahl oder die Menge eines Stoffes oder... [z.b. für einen bestimmte Geldbetrag] N (t) steht für N zur Zeit t. [z.b. Geldbetrag nach zweieinhalb Jahren: N (2,5), t in Jahren] N 0 steht für N zur Zeit 0, also z.b. für N am Beginn des interessierenden Zeitraums. [durch Einsetzen von t=0 in den Ansatz ergibt sich: N (0) = N 0 a 0 = N0 1 = N 0 ] a bestimmt, wie schnell N wächst (wenn a > 1) oder fällt (wenn a < 1, aber positiv). [z.b.: Wachstum 7 % (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 1,07; oder Verdoppeln (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 2; Abnahme 20 % (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 0,80; oder Halbieren (pro Zeiteinheit) ergibt: a = 0,5 ] Durchgerechnete Beispiele: A) Für N sind konkrete Zahlen gegeben. 1) "Die TeilnehmerInnenzahl im Internet wächst monatlich um 12 %, derzeit beträgt sie ca. 20 Millionen." a) Wie lange dauert es, bis sie sich verdoppelt hat? b) Wann erreicht sie 100 Millionen? c) Wie hoch wäre sie nach 5 Jahren? Lösung: Aus der Angabe ergibt sich der Ansatz: N (t) = 20 1,12 t (Zeit t in Monaten) (TeilnehmerInnenzahl N in Millionen) a) Verdoppeln nach der Zeit t bedeutet: N (t) = 2 N 0 = 2 20 = 40 Aus dem Ansatz folgt: N (t) = 20 1,12 t Daraus ergibt sich: 40 = 20 1,12 t / : 20 2 = 1,12 t / log log 2 = log 1,12 t Nach den Rechenregeln für Logarithmen: log 2 = t log 1,12 / : log 1,12 t = log(2) log(1,12) 0, , ,12 6 Nach ca. 6 Monaten verdoppelt sich die TeilnehmerInnenzahl. [Probe: 20 1, ,5 --- Das ist ca. das Doppelte von 20.] b) N (t) = 100 und N (t) = 20 1,12 t ergeben: 100 = 20 1,12 t Die weitere Rechnung läuft wie in a) und ergibt: log(5) t = log(1,12) 0, , ,2 Nach ca. 14 Monaten erreicht die TeilnehmerInnenzahl 100 Millionen. [Probe: 20 1,12 14,2 99,98 oder 20 1, ,7 ]
2 c) Nach 5 Jahren = nach 60 Monaten (!) ergibt sich N (60) = 20 1, Exponentialfunktion - 2/6 Nach 5 Jahren ergibt sich rechnerisch eine TeilnehmerInnenzahl von Millionen, das sind ca. 18 Milliarden, also mehr als die Weltbevölkerung. Wenn das gegeben Wachstum tatsächlich stimmt, dann kann es keinesfalls mehrere Jahre unverändert bleiben, es muss sich abschwächen.
3 Exponentialfunktion - 3/6 2) Ein Sparer legt zu Jahresbeginn auf ein Sparbuch mit 7 % Zinsen pro Jahr und 6 Jahren Laufzeit. Von den Zinsen werden sofort bei Gutschrift 22 % KESt (Kapitalertragsteuer) abgezogen. a) Wie hoch ist der Nettozinssatz (tatsächlicher Zinsertrag, ohne KESt)? b) Wie viel bekommt der Sparer nach Ablauf der 6 Jahre ausbezahlt? c) Wie viel würde er bekommen, wenn ihm keine KESt abgezogen würde? Lösung:a) Der Nettozinssatz ist 7 0,78 = 5,46 % p.a. b) N (6) = , = ,91 c) Ohne KESt würde der Sparer erhalten: ,07 6 = ,04 3) Wie hoch muss der Nettozinssatz einer Sparform sein, damit aus in 30 Jahren 1 Million wird? Lösung: N(t) = N 0 a t t = 30 Jahre, N (t) = 1 Million, N 0 = 0,1 Million Das ergibt: 1 = 0,1 a 30 / : 0,1 10 = a 30 a = 30 10=1,07978 Der Zinssatz muss 7, 98% betragen. [Probe: , = ] B) N ist allgemein gegeben [ N (t) relativ zu N 0, d.h. als Bruchteil oder Vielfaches von N 0 ]. 4) Ein Wertpapier weist einen Wertzuwachs von 8 % p.a. netto auf. Wie lange dauert es, bis sich sein Wert verdoppelt? Lösung: Die Angabe liefert folgenden Ansatz: N (t) = N 0 1,08 t Doppelter Wert nach der Zeit t bedeutet: N (t) = 2 N 0 Daraus ergibt sich: N 0 1,08 t = 2 N 0 / : N 0 (dadurch fällt N 0 weg ) 1,08 t = 2 / log log(2) und wie in 1): t = log(1,08) 0, , ,0 Nach 9 Jahren verdoppelt das Wertpapier seinen Wert. 5) Nach einem AKW-Unfall kann radioaktives Iod unsere Gesundheit gefährden. Es hat eine Halbwertszeit von 8 Tagen, das heißt nach 8 Tagen ist nur mehr die Hälfte der ursprünglichen Menge und damit auch nur mehr die Hälfte der Strahlenbelastung vorhanden. Wie lange dauert es, bis nur mehr ein Zehntel der Strahlenbelastung vorhanden ist? Lösung: Der allgemeine Ansatz lautet: N (t) = N 0 a t (Zeit t in Tagen) 1. Schritt: Ermitteln von a aus der gegebenen Halbwertszeit. Nach 8 Tagen ist N (t): laut Ansatz: N (8) = N 0 a 8 und weil nach 8 Tagen noch die Hälfte da ist: N (8) = 0,5 N 0 [ = die Hälfte von N 0 ] Daraus ergibt sich: N 0 a 8 = 0,5 N 0 / : N 0 a 8 = 0,5 a = 8 0,5 0,91700 Somit lautet der Ansatz für diese radioaktive Substanz: N (t) = N 0 0,917 t [Probe: N(8) = N 0 0,917 8 N 0 0, also rund die Hälfte von N 0 ]
4 Exponentialfunktion - 4/6 1 2 Schritt: Gesucht ist jetzt die Zeit t für N (t) = 10 von N 0, d. h. N (t) = 0,1 N 0 Aus dem 1. Schritt hat sich ergeben: N (t) = N 0 0,917 t Daraus folgt: 0,1 N 0 = N 0 0,917 t / : N 0 0,1 = 0,917 t / log log(0,1) und wie in 1): t = log(0,917) 1 0, ,57 Nach ca. 27 Tagen, also knapp 4 Wochen, ist die Strahlenbelastung auf ein Zehntel des ursprünglichen Wertes gefallen. 6) In lebenden Organismen ergibt sich durch den Stoffwechsel ein konstanter Wert des radioaktiven Isotops 14 C. Nach dem Tod zerfällt das 14 C im Körper mit einer Halbwertszeit von 5730 Jahren. Wie alt ist ein Skelett, dessen 14 C - Gehalt auf 30% der ursprünglichen Menge abgesunken ist? Lösung: Ähnlich wie in 5): Nach 5730 Jahren ist N (t): N (5730) = N 0 a 5730 und weil 5730 Jahre die Halbwertszeit ist: N (5730) = 0,5 N 0 Daraus ergibt sich: N 0 a 5730 = 0,5 N 0 / : N 0 a 5730 = 0,5 a = ,5 0, Gesucht ist jetzt die Zeit t für N (t) = 30 % von N 0, d. h. N (t) = 0,3 N 0 Aus dem 1. Schritt hat sich ergeben: N (t) = N 0 0, t Daraus folgt: 0,3 N 0 = N 0 0, t / : N 0... und wie in 1): t = log(0,3) log(0,999879) 0, , Das Skelett ist ca Jahre alt. 7) In lebenden Organismen ergibt sich durch den Stoffwechsel ein konstanter Wert des radioaktiven Isotops 14 C. Nach dem Tod zerfällt das 14 C im Körper nach der folgenden Gleichung: N (t) = N 0 0, t N (t) gibt dabei die noch vorhandene Menge 14 C an, t die vergangene Zeit in Jahren. Eine Mumie weist einen 14 C - Gehalt von 62 ± 1 % der ursprünglichen Menge auf. Wann ist sie gestorben (nach unserer Zeitrechnung)? Lösung: Das Todesjahr liegt in dem Zeitraum, der sich aus dem Werten 1) N (t) = 0,61 N 0 bzw. 2) N (t) = 0,63 N 0 ergibt. 0,61 N 0 = N 0 0, t 0,63 N 0 = N 0 0, t log(0,61) t 1 = log(0,999879) 4085 t 2 = log(0,63) log(0,999879) 3818 Das ergibt nach unserer Zeitrechnung: = = Somit liegt das Todesjahr mit ziemlicher Sicherheit zwischen 2100 und 1800 vor Christus. (Das Runden soll den Zeitraum nicht verkleinern!)
5 Exponentialfunktion - 5/6 8) Ein Brillenglas für eine Sonnenbrille lässt 40 % des Lichtes durch. Wie viel Licht geht durch 2 solcher Brillengläser, wenn man sie aufeinander legt? Lösung: Ansatz N (t) = N 0 0,40 t N (2) = N 0 0,40 2 = N 0 0,16, d.h. 16 % des Lichts gehen durch 2 Gläser durch. 9) Wie lange dauert es, bis bei einer Inflationsrate von 4 % jährlich das Geld nur mehr die Hälfte wert ist? Lösung: Das Geld ist nur mehr die Hälfte wert, wenn sich die Preise P(t) verdoppelt haben. P (t) = P 0 1,04 t und P (t) = 2 P 0 ergibt: 2 P 0 = P 0 1,04 t log(2), weiter wie in 4) liefert: t = log(1,04) 17,67 In 17 Jahren und 8 Monaten, also rund 18 Jahren wäre das Geld nur mehr die Hälfte wert.
6 Exponentialfunktion - 6/6 Übungsbeispiele: 10) Eine Partei verliert jährlich ca. 12% ihrer Mitglieder. Wann ist ihr Mitgliederstand auf geschrumpft? 2000 hatte sie Mitglieder. [Lösung: Im Jahr 2011] 11) Ein Kredit von ,- wurde zu folgenden Bedingungen aufgenommen: 20 Jahre Laufzeit, 8 Prozent Zinsen pro Jahr, Rückzahlung am Ende der Laufzeit samt der aufgelaufenen Zinsen. a) Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag? b) Wie hoch ist der Rückzahlungsbetrag, wenn der Zinssatz verdoppelt wird? [Lösung: a) ,71 b) ,95 ] 12) Jemand bietet Ihnen eine Sparform zu folgende Bedingungen an: ,- Einlage zu Jahresbeginn ergeben nach Ablauf von 4 Jahren ,-. Welchem Zinssatz bei jährlicher Verzinsung entspricht das? [Lösung: 5,75 %] 13) Ein Wertpapier hat in 13 Jahren seinen Wert verdoppelt. Welchem Zinssatz bei jährlicher Verzinsung entspricht das? [Lösung: 5,48 %] 14) Wie lange dauert es, bis sich bei einem jährlichen Verbrauchszuwachs von 3,7% der Stromverbrauch verdoppelt? [Lösung: ca. 19 Jahre] 15) Das schmerzstillende Mittel Acetylsalicylsäure (Aspirin, Aspro,...) wird im Körper exponentiell abgebaut, seine wirksame Menge im Körper eines nierengesunden Menschen halbiert sich alle 3 Stunden. Wie lange dauert es, bis von einer 0,5g-Tablette nur mehr 10mg im Körper ist? [Lösung: 17 Stunden; (Zwischenschritt: N(t) = N 0 0,7937 t ) ] 16) Von radioaktivem Radium sind nach 100 Jahren noch ca. 95,8 % vorhanden, der Rest ist unter Aussendung von Strahlung zerfallen. Wie groß ist die Halbwertszeit von Radium? (Das ist die Zeit, in der die Hälfte der ursprünglich vorhandenen Menge zerfallen ist.) [Lösung: 1615 Jahre; (Zwischenschritt: N(t) = N 0 0, t ) ] 17) Lösen Sie die folgenden Gleichungen auf 4 Dezimalen genau: a) 12 = 23 7 x b) 5,2 = 1,14 x = x 1,2 16 [Lösung: a) x = - 0,3343 b) x = 1,2421 c) x = 197,8535 ] 18) Eine Bevölkerungszahl wächst um a) 3 %, b) 1 %, c) 12 % jährlich. Wie lange dauert es, bis sie sich verdoppelt hat? Stimmt die Aussage "Vierfaches prozentuelles Wachstum hat zur Folge, dass sich die Bevölkerungszahl in einem Viertel der Zeit verdoppelt."? Überprüfen Sie die Aussage anhand der Rechenergebnisse von a) und c) [Lösung: a) 23,45 Jahre = 23 Jahre und 5 Monate, b) 69,66 Jahre = 69 Jahre und 8 Monate, c) 6,116 Jahre = 6 Jahre und 6 Wochen. Nein, aber als Näherung ist die Aussage brauchbar.] 19) In einem Ei befinden sich 2000 Salmonellen. Wie viele sind es nach 2 Wochen, wenn sich ihre Zahl täglich verdoppelt? [Lösung: , also rund 33 Millionen]
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