Die Zylinderfunktionen

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1 Die Zylinderfunktionen Betrachten Schwingungen einer Pauke. Auslenkung v = v(t, x, y) des Trommelfells ist Lösung der Wellengleichung 2 v t = v := 2 v 2 x + 2 v 2 y 2 als Produkt aus zeitabhängiger und ortsabhängiger Funktion v(x, y, t) = f(t) u(x, y) Jeder Punkt vollführt harmonische Schwingung, f(t) = exp(iωt). Erhalten für u Helmholtz-Gleichung u + ω 2 u = 0. Frequenz ω ist ebenfalls zu bestimmen. Zu jedem möglichen Wert von ω sucht man dann außerdem alle zugehörigen Lösungen u. Probleme dieses Typs nennt man Eigenwertprobleme.

2 Kreisförmiges Trommelfell, Polarkoordinaten u = u(r, ϕ), 2 u r r u r u r 2 ϕ + 2 ω2 u = 0. Suchen Lösungen als Produkt u(r, ϕ) = g(r)h(ϕ). Einsetzen r 2 g (r) + rg (r) + r 2 ω 2 g(r) g(r) = h (ϕ) h(ϕ) = k = const, Beide Seiten konstant. Zwei getrennte Differentialgleichungen h (ϕ) + k h(ϕ) = 0 (1) r 2 g (r) + rg (r) + (r 2 ω 2 k) g(r) = 0 (2) Konstante k muß so bestimmt werden, daß (1) eine 2π-periodische Lösung besitzt. Gilt genau dann, wenn k = n 2 mit n = 0, 1, 2,.... Zugehörige Lösungen h(ϕ) = cos nϕ und h(ϕ) = sin nϕ, komplex zusammengefasst h(ϕ) = exp(inϕ). Einsetzen von k = n 2 in (2), r 2 g (r) + rg (r) + (r 2 ω 2 n 2 ) g(r) = 0. (3) Substitution x = ωr und Bezeichnung J = g ergibt Besselsche Differentialgleichung x 2 J (x) + x J (x) + (x 2 n 2 ) J(x) = 0 (4) Lösungen heißen Besselfunktionen oder Zylinderfunktionen.

3 Weil die Ordnung der Differentialgleichung zwei ist, erwartet man, dass zwei linear unabhängige Lösungen existieren. Suchen Lösung durch Reihenentwicklung. Dazu Potenzreihenansatz J(x) = x n k=0 c k x k. Einsetzen in die Differentialgleichung (4) und Koeffizientenvergleich (1 + 2n)c 1 = 0, ( n 2)c 2 + c 0 = 0, ( n 3)c 3 + c 1 = 0, (k 2 + 2n k)c k + c k 2 = 0. Weil c 0 frei wählbar c 0 = 1. Dann c 2k 1 = 0, c 2k = ( 1) k 1 4 k k! (n + 1)(n + 2)... (n + k). Die erhaltene Reihe J(x) = x n k=0 konvergiert für alle reellen x. ( 1) k 4 k k! (n + 1)(n + 2)... (n + k). x 2k (5)

4 Üblicherweise verwendet man ein Vielfaches dieser Funktion (Division durch 2 n Γ(n + 1)), J n (x) := k=0 ( 1) k ( x ) 2k+n. (6) k! Γ(n + k + 1) 2 Diese Lösungen J n der Besselschen Differentialgleichung werden Besselfunktionen 1. Art der Ordnung n genannt. Die Graphen der Besselfunktionen erster Art für nichtnegative ganzzahlige Ordnungen und positives x haben folgenden Verlauf:

5 Die Reihendarstellung ( z ν J ν (z) := 2) k=0 ( 1) k ( z ) 2k. k! Γ(ν + k + 1) 2 konvergiert nun sogar für einen beliebigen komplexen Wert ν und alle z C. Anstelle von n schreibt man dann meist ν. Im Komplexen ist allerdings mit dem Faktor z ν Vorsicht geboten, dieser lebt auf einer Riemannschen Fläche. Üblicherweise schneidet man C längs der negativen reellen Achse auf, um eine eindeutige Funktion zu erhalten und benutzt den Hauptwert. Insbesondere ist dann für positive reelle x und ν R der Wert J ν (x) reell.

6 Ist n nicht ganzzahlig, sind die Funktionen J n und J n linear unabhängige Lösungen der Besselschen Differentialgleichung. Für ganzzahliges n gilt jedoch J n (z) = ( 1) n J n (z), so dass eine zweite linear unabhängige Lösung der Besselschen Differentialgleichung gebraucht wird. Diese Besselfunktionen zweiter Art Y ν (oder Neumann-- Funktionen) definiert man zunächst für nichtganzzahlige ν als Linearkombination von J ν und J ν, Y ν (z) := J ν(z) cos πν J ν (z) sin πν falls ν / Z, und bildet für n Z die Funktionen Y n durch Grenzübergang, Y n (z) := lim ν n Y ν (z). Die Graphen der Besselfunktionen zweiter Art für ganzzahliges n haben folgenden Verlauf

7 Damit ist die allgemeine Lösung der Besselschen Differentialgleichung für jeden (komplexen) Wert von ν durch gegeben. C 1 J ν (x) + C 2 Y ν (x) Im eingangs besprochenen Beispiel sind die einzigen bei r = 0 beschränkten Lösungen der Diferentialgleichung (3) die Besselfunktion n-ter Ordnung g n (r) = J n (ωr) Der Wert von ω ist nun noch so zu bestimmen, daß die Randbedingungen des Ausgangsproblems erfüllt sind, also muß für eine am Rand r = 1 eingespannte Membran (Dirichletproblem) J n (ω) = 0 sein. Man kann zeigen, daß die Besselfunktion J ν für ν > 1 unendlich viele reelle Nullstellen besitzt. Dies ergibt für jedes n unendlich viele Lösungen ω n,m, m = 1, 2,.... Die entsprechenden Eigenfunktionen des Ausgangsproblems sind schließlich die Funktionen u n,m (r, ϕ) = exp(inϕ) J n (ω n,m r). (7) mit den zugehörigen Eigenwerten (Frequenzen) ωn,m. 2 Natürlich kann man die komplexe Exponentialfunktion durch sin und cos ersetzen.

8 Die Bilder zeigen verschiedene Schwingungsformen einer kreisförmigen am Rand eingespannten Membran.

9 Die Bilder zeigen verschiedene Schwingungsformen einer kreisförmigen am Rand eingespannten Membran. Die Auslenkung ist durch die Helligkeit kodiert.

10 Im Zusammenhang mit Reihenentwicklungen sind Orthogonalitätsrelationen wichtig. Zwei Funktionen f und g werden auf einem Intervall (a, b) orthogonal genannt, wenn gilt b a f(t) g(t) dt = 0. Bespielsweise bilden die Funktionen {1, sin t, cos t, sin 2t, cos 2t,..., } ein System von Funktionen, die auf (0, 2π) paarweise orthogonal sind. Dieses System bildet die Grundlage für die Entwicklung von Funktionen in eine Fourierreihe. Seine komplexe Variante ist das System e int, n =..., 2, 1, 0, 1, 2,.... Besselfunktionen besitzen eine etwas modifizierte Orthogonalitätseigenschaft. Satz. Sind p und q zwei verschiedene positive Nullstellen von J ν (x), so gilt 1 0 x J ν (px) J ν (qx) dx = 0.

11 Bezeichnet man die Nullstellen von J ν (x) mit p 1, p 2,..., p n,... und setzt ϕ n (x) = x J ν (p n x), so bilden die ϕ n ein Orthogonalsystem auf dem Intervall (0, 1). Man beachte, daß die Ordnung ν hier festgehalten ist. Wir erhalten also für jedes ν ein Orthogonalsysteme.

12 Die Orthogonalitätsrelation spielt eine entscheidende Rolle bei der Entwicklung von beliebigen Funktionen nach Besselfunktionen. Aus dem obigen Satz folgt, daß die Gesamtheit der Funktionen u n,m (r, ϕ) = exp(inϕ) J n (ω n,m r). ein orthogonales System auf der Einheitskreisscheibe D bildet, d.h. 2π 1 u n,m u k,l dx dy = u n,m (r, ϕ) u k,l (r, ϕ) r dr dϕ = 0, D 0 0 falls nicht k = n und l = m. Die Gesamtheit dieser Funktionen ist ein vollständiges System, d.h. jede (quadratisch integrierbare) Funktion auf der Kreisscheibe läßt sich in eine konvergente Reihe nach diesen Funktionen entwickeln.