Präsenz-Aufgaben = i. (a) i 15 = i 14 i = (i 2 ) 7 i = ( 1) 7 i = i i 15 = 0 + ( 1)i, i (i i) = i 1 = i i 15 = 0 + 1i,

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1 Präsenz-Aufgben Schreiben Sie z in der Form z α + βi mit α,β R. Aus der Vorlesung ist beknnt: i i i 1, i 1 1 i i i i i 1 i. () i 15 i 1 i (i ) 7 i ( 1) 7 i i i 15 + ( 1)i, (b) i 15 1 i 15 () 1 i i i i i (i i) i 1 i i i, (c) i 15 (i 15 ) () ( i) i i i, (d) i 15 (i 15 ) (b) i i 15 + ( 1)i, (e) i 1 (i ) 7 ( 1) 7 1 i i, (f) i 1 1 i 1 (e) i i, (g) i 1 (i 1 ) (e) ( 1) 1 i i, (h) i 1 (i 1 ) (f) ( 1) 1 i i,. Schreiben Sie z z 1 + z, z z 1 z, z z 1 z, z z 1 z in der Form z α + βi mit α,β R. () z i und z 3 5i z 1 + z i, z 1 z + 8i, z 1 z 3 5i + 9i 15i 3 + i i, z 1 z (1 + 3i)(3 + 5i) 3 + 5i + 9i 15 (3 5i)(3 + 5i) i i, (b) z 1 + i und z i z 1 + z 3i + 3i, z 1 z + 5i, z 1 z i 8i + 1i + ( 1)i, z 1 z ( + i)( + i) ( i)( + i) + i 8i i 5 8 ( ) i, 5 (c) z i und z i 1

2 z 1 + z 3 + 6i, z 1 z 3 + i, z 1 z 5 + 3i, z 1 (3 + 5i)( i) z i ( i) 5 3i ( 3)i. 3. Schreiben Sie die folgenden komplexen Zhlen z in der Form z z (cos φ + isin φ) mit φ R. Sei z + bi, dnn z + b. Aus z z (cosφ + i sin φ) folgt dmit + b cosφ und b + b sin φ, d.h. b cosφ und sin φ + b + b () z 1 + i z und cosφ 1, sin φ 1 φ π 1 + i ( ( π ( π cos + i sin, ) )) (b) z 1 i z 1 + ( 1) und cosφ 1, sin φ 1 φ 7π 1 i ( cos ( ) 5π + i sin ( )) 5π, (c) z 1+i z ( 1) + 1 und cosφ 1, sin φ 1 φ 3π 1 + i ( cos ( ) 3π + i sin ( )) 3π, (d) z 1 i z ( 1) + ( 1) und cosφ 1, sin φ 1 φ 5π 1 i ( cos ( ) 7π + i sin ( )) 7π.. Seien,b C. Die Gleichung z + z + b ht genu dnn genu eine Lösung, wenn b gilt. Ht die Gleichung z + z + b genu eine Lösung, dnn

3 Es gilt b, dnn b. + b z }{{} 1 b z }{{} b b b. z + z + z ± z + z + b ht genu eine Lösung. 5. Sei z C weder reell noch rein imginär, d.h., z α + βi mit α, β R\{}. Mn zeige: () Von den Punkten z und 1 z Hlbebene. liegt einer in der oberen Hlbebene, der ndere in der unteren (b) Die Punkte z und 1 z linken Hlbebene. liegen entweder beide in der rechten Hlbebene oder beide in der Sei z α+βi mit α, β, dnn 1 z 1 α + βi Zu (). Zu zeigen: Für z α + βi und 1 z α + β i gilt: β > β <. α βi (α + βi)(α βi) 1 α + β(α βi) Angenommen β >, dnn β β α + β <, weil α + β > und β <. Angenommen β <, dnn β β α + β >, weil α + β > und β >. Zu (b). Zu zeigen: Für z α + βi und 1 z α + β i gilt: α > α >. 3

4 Angenommen α >, dnn α α α + β >, weil α + β >. Angenommen α <, dnn α α α + β <, weil α + β > und α <. 6. Seien z 1,z,z 3 komplexe Zhlen uf dem Einheitskreis. Zeige: z 1,z,z 3 bilden genu dnn ein gleichseitiges Dreieck, wenn z 1 + z + z 3 gilt. Wie us der Vorlesung beknnt ist, knn jede komplexe Zhl z trigonometrisch drgestellt werden: z z (cosφ + i sin φ), d.h. z ist durch den Winkel φ und den Betrg z eindeutig bestimmt. Der Winkel des Produkts von zwei komplexen Zhlen z 1 und z ist die Summe von deren Winkeln und der Betrg ist ds Produkt von den Beträgen z 1 und z. Liegen lso z 1 und z uf dem Einheitskreis, d.h. z 1 1 und z 1, dnn liegt z 1 z uch uf dem Einheitskreis, denn z 1 z Insbesondere gilt für eine komplexe Zhl, die uf dem Einheitskreis liegt, z z 1 + i 1. (Im Folgenden wird gelegentlich eine komplexe Zhl uf dem Einheitskreis durch den Winkel identifiziert.) Seien nun z 1, z, z 3 komplexe Zhlen uf dem Einheitskreis, dnn sind folgende Behupungen richtig: I. (z 1,, z ) (z 1 z 3,, z z 3 ) 1 c c (Mit (c,, c ) wird der von c, und c gebildete Winkel bezeichnet) Seien α 1, α und α 3 die zu z 1, z und z 3 gehörenden Winkel und (z 1,, z ) α, dnn α α α 1 (oder α α 1 α ). Die komplexen Zhlen z 1 z 3 und z z 3 liegen uch uf dem Einheitskreis und die zugehörigen Winkel sind α 1 + α 3 sowie α + α 3. Es ist leicht zu sehen, dss für (z 1 z 3,, z z 3 ) gilt: (z 1 z 3,, z z 3 ) (α + α 3 ) (α 1 + α 3 ) α (oder (z 1 z 3,, z z 3 ) (α 1 + α 3 ) (α + α 3 ) α), nders gesgt α (z 1,, z ) (z 1 z 3,, z z 3 ). Der Winkel (z 1,, z ) wird durch die Multipliktion von z 1 und z mit z 3 nicht geändert. II. Sei z 1 1, dnn gilt: z 1, z, z 3 bilden ein gleichseitiges Dreieck z 1 + i 3 1 z und z 1 i 3 (oder z 1 i 3 und z 1 + i 3 ). -1 z 3 z 1-1 1

5 Bilden z 1, z, z 3 ein gleichseitiges (und dmit ein gleichwinkliges) Dreieck, dnn o.b.d.a. (z 1,, z ) (z,, z 3 ) (z 3,, z 1 ) 1. Dnn beträgt der zu z gehörige Winkel 1, d.h., z cos 1 + i sin i 3 und der zu z 3 gehörende Winkel beträgt 1 + 1, d.h. z 3 cos + i sin 1 i 3. Die komplexen Zhlen z 1 1, z 1 + i 3 und z 1 i 3 sind die dritten Einheitswurzeln, die ein gleichwinkliges und dmit ein gleichseitiges Dreieck bilden. III. Sei z 1 1, dnn gilt: z 1 + z + z 3 z 1 + i 3 und z 1 i 3 (oder z 1 i 3 und z 1 + i 3 ). Seien z cosφ + i sin φ und z 3 cosφ 3 + i sin φ 3 und 1 + z + z 3, d.h. z + z 3 (cos φ + i sin φ ) + (cosφ 3 + i sin φ 3 ) 1. Drus folgt: sin φ sin φ 3 sin( φ 3 ) und dmit φ φ 3. Weiterhin erhlten wir: cosφ +cosφ 3 cos( φ 3 ) + cosφ }{{} 3 cosφ 3 1 und dmit cosφ 3 1, d.h. φ 3 φ 1. cos φ 3 Durch ds Einsetzen in z und z 3 erhlten wir ds erwünschte Ergebnis. klr. Behuptung. Seien z 1, z, z 3 komplexe Zhlen uf dem Einheitskreis. Zeige: z 1, z, z 3 bilden genu dnn ein gleichseitiges Dreieck, wenn z 1 + z + z 3 gilt. (Im Folgenden wird mit ω 3 die dritte Einheitswurzel 1 + i 3 bezeichnet. Offensichtlich gilt ω 3 1 i 3.) Angenommen z 1, z, z 3 liegen uf dem Einheitskreis und bilden ein gleichseitiges (und dmit gleichwinkliges) Dreieck. Insbesondere gilt (z 1,, z ) (z,, z 3 ) (z 3,, z 1 ) 1. D z 1 uch uf dem Einheitskreis liegt, folgt us I.: (z 1 z 1,, z z 1 ) (z z 1,, z 3 z 1 ) (z 3 z 1,, z 1 z 1 ) 1 Drus folgt: z 1 z 1, z z 1 und z 3 z 1 bilden ein gleichseitiges Dreieck; ußerdem gilt z 1 z 1 1. Aus II. folgt z z 1 ω 3 und z 3 z 1 ω3 und us III. folgt: z 1 z 1 + z z 1 + z 3 z 1 z 1 (z 1 + z + z 3 ) ( z 1 ) z 1 + z + z 3 Angenommen, z 1 + z + z 3. Zu zeigen ist z 1 z z z 3 z 3 z 1. (Zur Errinnerung z 1 z 1 z z z 3 z 3 1 ). Es gilt z 1 z z 1 + ( z ) }{{} z 1 + z 3 (z 1 + z 3 )(z 1 + z 3 ) (z 1 + z 3 )(z 1 + z 3 ) z 1 +z 3 z 1 z }{{} 1 +z 1 z 3 + z 1 z 3 + z 3 z 3 z }{{} 3 z 3 + z 1 z 3 + z 1 z 3 + z 1 z 1 z 3 z 3 z 1 z 1 (z 3 + z 1 )(z 3 + z 1 ) z 3 + z }{{} 1 z 3 z z z 3 z 3 z 5

6 Aus z 1 z z z 3 folgt z 1 z z z 3. In nloger Weise lässt sich uch z z 3 z 3 z 1 beweisen. Ein lterntiver Beweis: Angenommen, z 1 + z + z 3, dnn (z 1 + z + z 3 ) z 1 z 1 z }{{} 1 +z z 1 + z 3 z 1 1 (III.) z z 1 ω 3 und z 3 z 1 ω3 Aus II. folgt, dss z 1 z 1, z z 1, z 3 z 1 ein gleichseitiges Dreieck bilden, d.h. (z 1 z 1,, z z 1 ) (z z 1,, z 3 z 1 ) (z 3 z 1,, z 1 z 1 ) 1. Nch I. gilt (z 1,, z ) (z,, z 3 ) (z 3,, z 1 ) 1 und demnch bilden z 1, z, z 3 ein gleichseitiges Dreieck. 6

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