Integralrechnung. Mit der Integralrechnung können Flächen unterhalb eines Graphen in festgelegten Grenzen, hier 1 und 2, exakt berechnet werden.

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1 Integralrechnung Mit der Integralrechnung können Flächen unterhalb eines Graphen in festgelegten Grenzen, hier und, eakt berechnet werden. 3 f() = Wir betrachten zunächst Flächeninhalte, die elementar berechnet werden können. Sei A() der Flächeninhalt unterhalb des Graphen in den Grenzen von 0 bis. Ermittle A(), A(), A(). Was fällt dir auf? a) f() = 3

2 Integralrechnung b) f() = 3 c) f() = + 3

3 Integralrechnung f() = f() = A() = A() = f() = + A() = 4 + Die Vermutung, dass stets A () = f() gilt, liegt nahe. Um Flächeninhalte zu bestimmen, müsste man f aufleiten (integrieren), um A() zu erhalten. Demnach ergäbe sich für den Flächeninhalt unter dem Graphen der Funktion f() = in den Grenzen von bis (siehe Seite ) A = A() A() = 7 3 [FE], A() = 3 3. Die Vermutung wird sich als richtig erweisen. An dieser Stelle folgen einige Übungen. Leibniz ersann folgende Schreibweise: A = [ ] d = 3 3 = = 7 3 Das Integralzeichen erinnert an eine Summe von Rechtecken, d legt die Integrationsvariable fest, möglich wäre: d Bestimme algebraisch den Inhalt der Fläche a) unter dem Graphen von f() = 3 + in den Grenzen a =, b = 4, b) die der Graph von f() = 9 mit der -Achse einschließt, c) den die beiden Graphen von f() = +, g() = 6+ miteinander einschließen. Die Ergebnisse sind ganzzahlig und ergeben zusammen 36, sie können mit fnint(f(x), X, a, b) überprüft werden. A() heißt Integralfunktion. Der Beginn bei Null ist willkürlich, eine andere Wahl führte zu A()+C mit einer additiven Konstante (warum?), die aber ohnehin bei der Differenzbildung [A()+C] b a herausfallen würde. Für die Flächenberechnung muss daher nur eine Funktion F() (Stammfunktion) ermittelt werden, für die F () = f() gilt. A = b a f()d =[F()] b a = F(b) F(a) 3

4 Zusammenhang entdecken Aus einem Ventil, das langsam geöffnet und dann wieder geschlossen wird, fließt Wasser. Die Funktion f erfasst die ausfließende Wassermenge in Liter/Std. (Änderungsrate). A() erfasst die Wassermenge, ist bis zum Zeitpunkt = a ausgeflossen ist. Wie verläuft A() weiter? A() A(a) a f Zeit (in Std.) 4

5 Zusammenhang entdecken Aus einem Ventil, das langsam geöffnet und dann wieder geschlossen wird, fließt Wasser. Die Funktion f erfasst die ausfließende Wassermenge in Liter/Std. (Änderungsrate). A() erfasst die Wassermenge, ist bis zum Zeitpunkt = a ausgeflossen ist. Wie verläuft A() weiter? A() = f(a) A(a) a f sei hinreichend klein. Der Zuwachs von A() an der Stelle = a (genauer = A(a+ ) A(a)) beträgt f(a), dem Inhalt des gezeichneten Rechtecks. A() hat an der Stelle = a somit die Steigung f(a). Die Stelle a ist beliebig, daher gilt A () = f(). 5

6 Zusammenhang entdecken Aus einem Ventil, das langsam geöffnet und dann wieder geschlossen wird, fließt Wasser. Die Funktion f erfasst die ausfließende Wassermenge in Liter/Std. (Änderungsrate). A() erfasst die Wassermenge, ist bis zum Zeitpunkt = a ausgeflossen ist. Wie verläuft A() weiter? A() = f(a) A(a) a a a f sei hinreichend klein. Der Zuwachs von A() an der Stelle = a (genauer = A(a+ ) A(a)) beträgt f(a), dem Inhalt des gezeichneten linken Rechtecks. A() hat an der Stelle = a somit die Steigung f(a). Die Stelle a ist beliebig, daher gilt A () = f(). GTR \Y = -/9 X (X 6) \Y = fnint(y,x,0,x) fnint(y,variable,linke Grenze,rechte Grenze) 6

7 Integralrechnung Welche Besonderheiten beinhalten die folgenden Fälle? d) 3 f() = e) 3 f() = + 7

8 Integralrechnung Gegeben sind die Funktionen f() = g() = Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen eingeschlossen wird. 3 9 [FE] 8

9 Integralrechnung Gegeben sind die Funktionen f() = 4 g() = 4 Berechne den Inhalt der Fläche, die von den Graphen eingeschlossen wird. f() g() [FE] 9

10 Faktorregel f 3f Begründe anschaulich die Faktorregel: b b kf()d = k f()d a a 0

11 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 5 A() f() = Die Punkte stellen die Summe der Rechtecksinhalte von Null beginnend dar. A() ist die Flächenfunktion der Treppenfunktion, die sich durch die Rechtecke ergibt. Ermittle A (). Tipp: Welche Bedeutung hat (FE)?

12 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 5 A() F() f() = 4 4 = f(a+ /) 3 3 a 4 Das zu einem Steigungsdreieck gehörenden Rechteck hat den Inhalt (FE). Es ist zu erkennen, dass A () f() ist, z.b. an der Stelle a: A (a) = = f(a+ /) f(a) F() ist die Stammfunktion von f(), die durch den Ursprung verläuft. Schon bei dieser Rechteckbreite stimmt A() mit F() erstaunlich gut überein.

13 Einstieg f() = 4 Welche Beziehungen bestehen zwischen den Graphen? Welche Vermutung liegt dann nahe? 3

14 Anmerkungen zur Didaktik Zum Einstieg in die Integralrechnung eignen sich die Inhalte der Seiten bis 3. Zur Begründung des Hauptsatzes siehe nächste Seite, sowie die entsprechende GeoGebra-Datei. Sehnenvierecke (trapezförmig) sind besonders geeignet, den Graphen von f zu approimieren. Dem Schluss von der Änderungsrate auf den Bestand liegen Rechtecksummen zugrunde (die Änderungsrate wird für als konstant angesehen). Die Thematisierung von Ober- und Untersummen ermöglicht es, Vermutungen aufzustellen; einen Einblick erhält man dadurch nicht. Die Betrachtung der -Zuwächse der Punkte (nächste Seite) und der Steigungen der Verbindungslinien führt zu der Erkenntnis, dass das Differenzieren und das Ermitteln einer Integralfunktion inverse Operationen sind. 4

15 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 5 f() = Erläutere den Sinn der Punkte. Ermittle allgemein die Steigung der Verbindungsstrecke zweier benachbarter Punkte (a f(a)) und (a+ f(a+ )). Welche Vermutung liegt nahe? 5

16 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 5 f() = Erläutere den Sinn der Punkte. Ermittle allgemein die Steigung der Verbindungsstrecke zweier benachbarter Punkte (a f(a)) und (a+ f(a+ )). Welche Vermutung liegt nahe? Die Differenz der -Werte jeweils zweier benachbarter Punkte ist der Inhalt des zugehörigen Sehnenvierecks. Die -Koordinate jeden Punkts ( ) stellt die Summe der trapezförmigen Sehnenvierecksinhalte von 0 bis dar. d = [f(a)+f(a+d)]d d d = [f(a)+f(a+d)] f(a) Das doppelte Trapez ergibt ein Rechteck. 6

17 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung 5 F() f() =