Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 2013/2014

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Jugend und Wissenschaft Abschlussprüfung an der Fachoberschule im Schuljahr 0/0 Fach (B) Prüfungstag. Juni 0 Prüfungszeit Zugelassene Hilfsmittel Allgemeine Arbeitshinweise Spezielle Arbeitshinweise 09:00 - :00 Uhr Mathematische Formelsammlungen (keine selbst angefertigten) ohne Musterlösungen, Taschenrechner ohne Graphikdisplay, keine CAS-Rechner, frei programmierbare Speicher müssen gelöscht sein. Das Handbuch muss vorliegen. Sollte Ihr Taschenrechner die Möglichkeit zum numerischen Differenzieren oder Integrieren bieten oder in der Lage sein, Gleichungen oder Gleichungssysteme zu lösen, dürfen Sie bei Ihren Lösungen davon keinen Gebrauch machen. Ihre Lösungswege sind so zu gestalten und zu dokumentieren, wie sie ohne diese Hilfsmittel durchgeführt werden. Bleistifte dürfen nur für Skizzen benutzt werden. Die Reinschriften und Entwürfe sind nur auf den besonders gekennzeichneten Bögen anzufertigen, die Sie für die Prüfung erhalten. Diese sind zu nummerieren und sofort mit Ihrem Namen zu versehen. Für jede neue Aufgabe ist ein neuer gekennzeichneter Bogen zu beginnen. Schwerwiegende oder gehäufte Verstöße gegen die sprachliche Richtigkeit oder gegen die äußere Form führen zu einem Abzug von bis zu einem Punkt (Malus- Regelung). Bedenken Sie die Folgen einer Täuschung oder eines Täuschungsversuchs! Der Aufgabensatz besteht aus vier verschiedenen Einzelaufgaben, die Sie alle bearbeiten müssen! Gesamtzahl der abgegebenen Lösungsblätter (Reinschrift): Bewertungseinheiten, Gesamtpunkte und Gesamtnote : Blätter Aufgabe Nr.: Soll Ist Ist (ggf. Zweitkorrektur) Summe: 00 Notenpunkte: 5 Punkte Punkte Maluspunkt - Punkt Punkt Insgesamt: Datum, Unterschrift: Punkte Note: Punkte Note: gilt nur für doppelt qualifizierende Bildungsgänge mit Fachhochschulreife

2 Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Aufgabenvorschlag B Funktionsuntersuchung / Gegeben ist die Funktion f mit der Funktionsgleichung = f( x) x x x, x. Untersuchen Sie das Symmetrieverhalten des Funktionsgraphen G f und begründen Sie Ihre Aussage. / Berechnen Sie anschließend den Schnittpunkt des Funktionsgraphen mit der y-achse.. Die einzige Nullstelle x N des Funktionsgraphen G f liegt im Intervall [ 5; ]. Berechnen Sie einen Näherungswert für diese Nullstelle x N durch ein geeignetes Verfahren. Brechen Sie die Berechnung nach drei Iterationsschritten ab. Beurteilen Sie die Genauigkeit des von Ihnen berechneten Näherungswertes. /7. Bestimmen Sie die Hoch- und die Tiefpunkte des Funktionsgraphen G f. /0. Weisen Sie nach, dass W( 0) der Wendepunkt des Funktionsgraphen G f ist. /.5 Skizzieren Sie den Funktionsgraphen G f im Intervall [,5; 5] unter Zuhilfenahme aller ermittelten Punkte. /6 Berechnen Sie auch die Funktionswerte der Intervallgrenzen. Verwenden Sie das Koordinatensystem auf der folgenden Seite..6 Berechnen Sie die Schnittpunkte der Wendetangente mit den Koordinatenachsen. /6.7 Verschiebt man den Funktionsgraphen G f um 0 Längeneinheiten in Richtung der y-achse nach unten, erhält man den Funktionsgraphen G g mit der Funktionsgleichung gx ( ) = x x x+, x, Berechnen Sie alle Schnittpunkte des Funktionsgraphen G g mit der x-achse. /6 Fortsetzung auf der folgenden Seite Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 5

3 Land Berlin Koordinatensystem zu Aufgabe Funktionsuntersuchung Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 5

4 Land Berlin Fluss /6 Die Abbildung zeigt eine Karte, auf der der Verlauf eines Flussabschnittes und einer Straße dargestellt sind. LE 00 m Der Verlauf des Flussabschnittes lässt sich durch eine Funktion f dritten Grades beschreiben. Der Fluss geht im Punkt W ( 88 ) von einer Linkskrümmung in eine Rechtskrümmung über. Die Straße trifft bei x = auf den Fluss und schneidet ihn in einem rechten Winkel. Der Verlauf der Straße wird durch die Funktion s mit sx ( ) = x+ 0 beschrieben.. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes, an dem die Straße den Fluss überquert. Welche mathematische Bedeutung hat der Punkt W ( 88 ) bezüglich des Graphen von f? Begründen Sie Ihre Aussage. /. Stellen Sie ein Gleichungssystem zur Bestimmung der Funktionsgleichung der Funktion f auf. Dieses Gleichungssystem sollen Sie nicht lösen. /7. Die Funktionsgleichung der Funktion f kann mithilfe des folgenden Gleichungssystems bestimmt werden. Lösen Sie dieses und geben Sie die Funktionsgleichung von f an. /6 Hinweis: Zum Lösen des Gleichungssystems rechnen Sie mit Brüchen oder mit fünf Nachkommastellen! Gleichungssystem zum Bestimmen der Funktionsgleichung f ( x) = ax + bx + cx + d der Funktion f. 88a + 0b + 6c + d = 5 9a + b + c = 6a + b + 5c + d =,5 a + b = 0 Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 5

5 Land Berlin Lagerhalle /5 Der Bau einer Lagerhalle wird geplant. Sie soll eine rechteckige Grundfläche von 800 m² haben und durch zwei Trennwände in x- und eine in y-richtung in sechs Räume aufgeteilt werden (siehe Skizze). Für jeden laufenden Meter Außenwand betragen die Kosten 900, für jeden laufenden Meter Innenwand betragen sie 00. Die Maße x und y sollen so optimiert werden, dass die Gesamtkosten für die Wände minimal sind.. Zeigen Sie, dass man die Zielfunktion für die Berechnung der Gesamtkosten für die Wände mit der Funktionsgleichung Kx ( ) = 00 x+ = 00 x x x beschreiben kann, wenn man als Längeneinheit einen Meter wählt. /. Berechnen Sie mithilfe der Zielfunktion die optimalen Maße der Lagerhalle (auf cm genau). Ermitteln Sie die minimalen Gesamtkosten für die Wände. Fassen Sie die Ergebnisse in einem Antwortsatz zusammen. [Zur Kontrolle: Kmin 8 659,8 ] /7. Zeigen Sie mithilfe der Zielfunktion, dass die Gesamtkosten für die Wände nur um ca. 0, % größer werden, wenn man von den optimalen Maßen abweicht und einen gleich großen, quadratischen Grundriss wählt. / Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 5

6 Land Berlin Stahlskulptur /7 Gegeben sind die vier Funktionen ( x ) 8 f ( x) = x + x g ( x) = x + x 5 h ( x) = x + 5 i ( x) = x +,8 + + Die Abbildung zeigt die Seitenfläche einer Stahlskulptur. Sie wird durch die Graphen der beiden Funktionen f und g und durch die x-achse begrenzt. Eine Längeneinheit entspricht einem Meter. Die Breite der auf dem Boden (x-achse) beginnenden Seitenfläche (der Abstand der Nullstellen der Funktionen f und g) beträgt einen Meter.. Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Funktionsgraphen G f und G g sowie der x-achse begrenzt wird. /7 Geben Sie Ihr Ergebnis in einem Antwortsatz in m an.. In der Mitte der Seitenfläche ist eine Linse ausgeschnitten. Diese Linse wird vollständig durch die Funktionsgraphen G h und G i begrenzt. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieser Linse. /8 Geben Sie Ihr Ergebnis in einem Antwortsatz in m an.. Berechnen Sie den Inhalt der Seitenfläche, die in der obigen Abbildung grau unterlegt ist. / Geben Sie Ihr Ergebnis in einem Antwortsatz in m an. Aufgabenvorschlag B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 5 von 5

7 Die Anzahl der Bewertungseinheiten für jede Teilaufgabe ist verbindlich. Die Verteilung der Bewertungseinheiten innerhalb einer Teilaufgabe ist der korrigierenden Lehrkraft überlassen. Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Erwartungshorizont für Aufgabenvorschlag B Aufg. Erwartete Teilleistung. Da im Funktionsterm sowohl gerade als auch ungerade Exponenten vorkommen, ist der Funktionsgraph G f weder achsensymmetrisch zur y-achse noch punktsymmetrisch zum Ursprung. (Oder: Nachweis über die entsprechenden Kriterien.) BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Da f (0) =, ist S (0 ) der Schnittpunkt des Funktionsgraphen G f mit der y-achse. y. n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) 0 -, , , , , ,06676,7868-0, , , ,0086-0, , , ,008 0, oder n xn f(xn) f'(xn) f(xn)/f'(xn) 0-5, , , , ,90 -,996008, , , ,07050,69-0, , , ,0098-0, Die gesuchte Nullstelle liegt bei xn, 08. Je nach Verfahren und Startwert der Berechnung wird eine Aussage getroffen, wie viele Nachkommastellen sich nicht mehr verändern und mit welcher Genauigkeit die Nullstelle bestimmt wurde. 7 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

8 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung. f ( x) = x x f ( x) = x f ( x) = 0 = 6 x x = x x x / = ± + ±, x, x, f (,),97 > 0 T (, 5, 07) f (,),57 < 0 H (,,9). Nachweis über die entsprechende hinreichende und notwendige Bedingung für Wendepunkte: f ( x) = x und f ( x) = f () = 0 und f () 0 und es ist: f () = 0.5 f(-,5) = - 5,675 f(5) = 0 BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Graph Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

9 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung.6 Gegeben: W ( 0) und m = 6 f () = 5 Gesucht: t( x) = mx + b = ( ) + b b = 5 5 Es ergibt sich: 6 66 tx ( ) = x t(0) = S y t( x) = 0 = x + S x gx ( ) = x x x = x x x = x x x + 5 x = erfüllt die Gleichung ( x x x + 5) : ( x ) = x x 5 0 = x x 5 x/ = ± 6 x = 5; x = Daraus ergeben sich die Punkte: Sx ( 0) S (5 0) x S x ( 0) 6 Summe Aufgabe : 9 0 Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

10 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung. f() = s () = + 0 = S( ) Da sich der Verlauf des Flusses und somit das Krümmungsverhalten ändert, besitzt der Graph von f in W einen Wendepunkt. Somit gilt f ''(8) = 0 und f '''(8) 0. f ( x) = ax + bx + cx + d ; f '( x) = ax + bx + c ; f ''( x) = 6ax + b f (8) = 8 Wendepunkt f ''(8) = 0 Wendepunkt f () = Schnittpunkt S der Graphen von f und s. f '() = = = 0,5 m s s ist Normale bzgl. f in S Gleichungssystem: 5a + 6b + 8c + d = 8 8a + b = 0 6a + 6b + c + d = 8a + 8b + c = 0,5. Lösungen des Gleichungssystems berechnen a = ; b = ; c = ; d = 8 Funktionsgleichung: f( x) = x + x x+ 8 6 Summe Aufgabe : Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite von 7

11 - Erwarungshorizont B Land Berlin f xs(0;6) = z 0 = z 0z 6 Aufg. Erwartete Teilleistung BE in AB I II III BE. Hauptbedingung: Die Kosten K( xy, ) = 900( x + y) + 00( x + y) = 00x + 000y sollen minimal sein. 800 Nebenbedingung: x y = 800 y = x Zielfunktion durch Einsetzen hergeleitet: K( x) = 00x = 00x+ x x. Minimum berechnen: Bestimmen der Ableitungsfunktionen: K ( x) = x und K ( x) = x Hinreichende Bedingung: Mögliche Extremstellen: K ( x) = 0 und K ( x) > x = 0 00x = 0 x E, E = ± 6, 97 (negative Lösung nicht sinnvoll) Hinr. Bed. prüfen: K ( 6, 97) 6, 6 > 0 Min. optimales y: 800 y = 9, 66 6, 97 5 minimale Kosten: K ( 6, 97) 8659, 8 Für x = 6,97 m und y = 9,66 m ergeben sich die minimalen Gesamtkosten für die Wände in Höhe von 8659,8.. Mehrkosten bei quadratischem Grundriss: ( ) x = y = 800 ; K , 9 K( 800 ) K( 6, 97) =, 76 Prozentsatz: p = 0, Summe Aufgabe : 5 8 Erbrachte Teilleistung Begutachtung Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 5 von 7

12 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung. 8 f( x) = 0 = x + x + 0 = x 8x 9 Substitution: u = x 0 = u 8u 9 u / = ± u = 9 u = Einsetzen in die Substitutionsgleichung: 9 = x = x x = x = x/ R Aus den Nullstellen von f und der Abbildung ergeben sich die Nullstellen von g: x = x = BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung 8 ( ) A = x + x + dx 0 8 = [ x + x + ] x 5 9 6,8 FE 5 0 ( ) A = x + x + dx 0 = [ x + x + x] 5, FE A = A A = 7, FE Der Inhalt der gesuchten Fläche beträgt 7, m. Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 6 von 7

13 Erwartungshorizont B Land Berlin Aufg. Erwartete Teilleistung. hx ( ) = ix ( ) 5 5 x +,8 = x + 0 = 5x = x 5 x 0,8 x 0,8 Außerdem ergibt sich: dx ( ) = hx ( ) ix ( ) = 5x + 0,8 8 ( 5 ) 0 0 A = x + dx ,8 = [ x + x] 0 0 0, FE A = A = 0, FE Der Inhalt der gesuchten Fläche beträgt 0, m.. AG = 7,m 0, m = 7 m Der Inhalt der Seitenfläche beträgt 7 m. Summe Aufgabe BE in AB Erbrachte Teilleistung I II III BE Begutachtung Erwartungshorizont B Abschlussprüfung Fachoberschule 0 Seite 7 von 7