4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen

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1 $Id: folgen.tex,v /12/02 12:07:25 hk Exp hk $ 4 Reelle und komplexe Zahlenfolgen 4.1 Folgenkonvergenz In der letzten Sitzung haben wir die Rechenregeln für Folgengrenzwerte hergeleitet. Dies sind zum einen die arithmetischen Regeln Satz 6 und zum einen das Einschnürungslemma Lemma 5.(b). Wir kennen auch bereits einige wichtige Beispiele konvergenter Folgen, etwa 1 lim n ( = 0, lim n = e, lim n) n n = 1 und allgemein konnten wir in Satz 8 allgemeine in n rationale Folgen behandeln. Zum Ende dieses Abschnitts wollen wir noch einen 1 letzten wichtigen Begriff einführen, der den Grenzwertbegriff etwas verallgemeinert. Wir schauen uns zunächst einmal das Beispiel der Folge a n = ( 1) n wie nebenstehend gezeigt an. Diese Folge ist natürlich nicht konvergent, sie besitzt ja beispielsweise konvergente Teilfolgen, die gegen verschiedene Grenzwerte konvergieren. 0.5 Man ist trotzdem versucht zu sagen, dass +1 und 1 zwar keine Grenzwerte aber etwas Grenzwertartiges sind. Man spricht hier von Häufungspunkten der 1 Folge (a n ) n N. Es gibt im wesentlichen zwei verschiedene, aber äquivalente, Arten einen Häufungspunkt zu definieren, einmal über Teilfolgen und einmal über eine ɛ n 0 Definition. Wir wählen hier die erste Möglichkeit und beweisen anschließend, dass sie zur zweiten Version äquivalent ist. Definition 4.8: Sei K {R, C} und sei (a n ) n N eine Folge in K. Eine Element a K heißt ein Häufungspunkt von (a n ) n N wenn es eine gegen a konvergente Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N gibt. Einige Beispiele von Häufungspunkten sind wie folgt: 1. Ist (a n ) n N a K, so konvergiert nach Lemma 1.(a) auch jede Teilfolge von (a n ) n N gegen a, d.h. a ist der einzige Häufungspunkt von (a n ) n N. 2. Die Folge (( 1) n ) n N hat genau zwei Häufungspunkte nämlich 1 und

2 3. Die Folge (sin(n)) n N hat jede reelle Zahl a [ 1, 1] als Häufungspunkt. Das ist nicht mehr so offensichtlich, auf einen Beweis wollen wir aber verzichten. Kommen wir nun zur äquivalenten ɛ n 0 Definition von Häufungspunkten. Dass eine Folge (a n ) n N gegen eine Zahl a konvergiert bedeutet das sie a ab einem gewissen Index stets bis auf eine beliebig vorgegebene Fehlerschranke ɛ > 0 nahe kommt. Dass a ein Häufungspunkt ist bedeutet dagegen nur das die Folge der Zahl a immer wieder beliebig nahe kommt. Lemma 4.9 (Charakterisierung von Häufungspunkten) Sei K {R, C} und seien (a n ) n N eine Folge in K und a K. Dann ist a genau dann ein Häufungspunkt der Folge (a n ) n N wenn es für jedes ɛ > 0 und jedes n 0 N stets ein n N mit n n 0 und a n a < ɛ gibt. Beweis: = Es gibt eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N mit (a nk ) k N a. Seien ɛ > 0 und n 0 N gegeben. Dann existiert ein k 0 N mit a nk a < ɛ für alle k N mit k k 0. Setze k := max{k 0, n 0 } N. Dann ist n k N mit n k k n 0 und a nk a < ɛ. = Zunächst existiert ein n 0 N mit a n0 a < 1. Ist k N und ist n k schon definiert, so wähle ein n k+1 N mit n k+1 n k + 1 > n k und a nk+1 a < 1/(k + 2). Induktiv wird so eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N mit a nk a < 1/(k + 1) für alle k N definiert. Nach Lemma 4.(d,e) gilt auch (a nk ) k N a. Damit ist a ein Häufungspunkt der Folge (a n ) n N. In logischen Quantoren geschrieben, wird die Bedingung des Lemmas zu (ɛ > 0) (n 0 N) (n n 0 ) : a n a < ɛ. Während die Konvergenzdefinition fordert, dass die Folge ab einem geeigneten Index ganz in einem beliebig kleinen vorgegebenen Kreis mit Mittelpunkt a liegt, wird hier nur gefordert, dass die Folge immer wieder in einen solchen Kreis zurückkehrt. Das Verhalten von Häufungspunkten bezüglich Addition und Multiplikation von Folgen kann recht kompliziert sein, es gibt allerdings einen Fall der sich gut behandeln läßt, wenn nämlich eine der beteiligten Folgen konvergent ist. Lemma 4.10: Seien K {R, C}, (a n ) n N eine Folge in K und H := {a K a ist ein Häufungspunkt von (a n ) n N } die Menge der Häufungspunkte von (a n ) n N in K. Weiter seien b K und (b n ) n N eine konvergente Folge in K mit (b n ) n N b. Dann gelten (a) Die Menge M := {a + b a H} ist die Menge der Häufungspunkte der Folge (a n + b n ) n N. (b) Ist b 0, so ist die Menge N := {ab a H} die Menge der Häufungspunkte der Folge (a n b n ) n N. 11-2

3 Beweis: Sei a H. Dann existiert eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N mit (a nk ) k N a, also ist nach Lemma 1.(a) und Satz 6.(a,c) auch (a nk + b nk ) k N a + b und (a nk b nk ) k N ab, d.h. a + b ist ein Häufungspunkt von (a n + b n ) n N und (a n b n ) n N ein Häufungspunkt von (a n b n ) n N. Dies beweist jeweils eine der beiden Inklusionen in (a) beziehungsweise (b). (a) Sei umgekehrt a K ein Häufungspunkt der Folge (a n + b n ) n N. Da nach Lemma 6.(b) auch ( b n ) n N b gilt, ergibt die bereits bewiesene Teilaussage das a := a b ein Häufungspunkt der Folge (a n ) n N = ((a n + b n ) b n ) n N ist, d.h. es gilt a H und somit a = a + b M. (b) Sei nun a K ein Häufungspunkt der Folge (a n b n ) n N. Wegen b 0 ergibt Satz 6.(d) auch (1/b n ) n n0 1/b für ein geeignetes n 0 N und somit ist a := a/b K nach der bereits bewiesenen Teilaussage ein Häufungspunkt der Folge (a n ) n n0 = ((a n b n )/b n ) n n0, also auch ein Häufungspunkt der Folge (a n ) n N, und somit a H. Damit haben wir auch a = a b N. Im Fall b = 0 kann die Aussage (b) des Lemmas tatsächlich falsch werden, ist etwa a n = n und b n = 1/n für alle n N mit n 1, so ist H = aber a n b n = 1 für alle n N mit n 1 und (a n b n ) n N hat den Häufungspunkt Reelle Zahlenfolgen In diesem Abschnitt wollen wir auf einige spezielle Eigenschaften diskutieren, die nur den reellen aber nicht den komplexen Fall betreffen. Die Folgen (( 1) n ) n N und (n) n N sind beide divergent, aber auf sehr verschiedene Weise. Man ist versucht zu sagen, dass letztere Folge gegen + konvergiert, und eine derartige Verallgemeinerung des Konvergenzbegriffs stellt sich tatsächlich als sinnvoll heraus. Zur exakten Definition müssen wir uns nur an die in 1.4 eingeführten erweiterten reellen Zahlen R = R {, + } erinnern. Konvergenz gegen ± kann in R wie folgt definiert werden: Definition 4.9 (Konvergenz in R) Sei (a n ) n N eine reelle Zahlenfolge. (a) Die Folge (a n ) n N konvergiert in R gegen + wenn es für jedes c R ein n 0 N mit a n > c für alle n N mit n n 0 gibt. (b) Die Folge (a n ) n N konvergiert in R gegen wenn es für jedes c R ein n 0 N mit a n < c für alle n N mit n n 0 gibt. Nach der archimedischen Eigenschaft der reellen Zahlen 1.Lemma 5 ist beispielsweise (n) n N +. In Formeln ausgedrückt ist (a n ) n N + (c R) (n 0 N) (n n 0 ) : a n > c, (a n ) n N (c R) (n 0 N) (n n 0 ) : a n < c. 11-3

4 Weiter sagen wir das eine reelle Zahlenfolge (a n ) n N in R konvergiert, wenn sie entweder in R konvergiert oder in R gegen ± konvergiert. Der Zusatz in R ist hier wichtig, wenn nur von Konvergenz die Rede ist, so ist dies im Sinne der Definition des vorigen Abschnitts gemeint, also ohne ± als Grenzwerte zuzulassen. In der Literatur finden Sie oft auch die alternative Bezeichnung bestimmt divergent gegen + beziehungsweise oder auch divergent gegen ±. Wir sprechen hier von Konvergenz in R da die formalen Eigenschaften der Konvergenz in R beinahe identisch mit denen der gewöhnlichen Konvergenz sind. Auf zwei Mißverständnisse wollen wir hier gesondert hinweisen. Eine divergente Folge muss keinesfalls gegen + oder konvergieren, beispielsweise sind die Folgen a n = ( 1) n oder a n = ( 1) n n beide divergent und auch nicht in R konvergent. Weiter muss eine gegen + konvergente Folge keinesfalls monoton steigend sein, sie muss nur schließlich über jeder vorgegebenen Grenze liegen, darf aber ruhig immer mal wieder kleiner werden. Ein Beispiel hierfür ist etwa die Folge a n = n + 2( 1) n. Die Aussagen des vorigen Abschnitts übertragen sich, soweit sinnvoll, auch auf die Konvergenz in R. Insbesondere gelten die Rechenregeln für Grenzwerte solange die rechte Seite überhaupt definiert ist, also beispielsweise nicht von der Form oder 0 ist. Für den Quotienten konvergenter Folgen kann man dabei zusätzlich zu den Regeln aus 1.4 noch x + = x := 0 für alle x R und + x := sign(x) sowie := sign(x) x für alle x R\{0} vereinbaren. Auch einen Zusammenhang mit Nullfolgen kann man leicht herstellen, für eine reelle oder komplexe Zahlenfolge (a n ) n N mit a n 0 für alle n N ist genau dann a n + wenn (1/a n ) n N eine Nullfolge ist. Schließlich kann man im reellen Fall die Divergenzaussage in Satz 8.(c) noch zu a r n r + + a 0 lim b s n s + + b 0 = sign(a r ) sign(b s ) für r > s verschärfen. Da all dies sehr den Überlegungen des vorigen Abschnitts ähnelt, haben wir in der Vorlesung auf den Beweis all dieser Dinge verzichtet, in diesem Skript wollen wir aber ruhig die vollständigen Beweise angeben. Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei reelle Zahlenfolgen. 1. Ist (a n ) n N +, so ist (a n ) n N offenbar nach oben unbeschränkt aber nach unten beschränkt. Letzteres gilt da es ein n 0 N mit a n > 0 für alle n n 0 gibt und setzen wir c := min{0, a 0,..., a n0 1}, so ist a n c für alle n N. Ist (a n ) n N, so ist (a n ) n N analog nach unten unbeschränkt und nach oben beschränkt. 2. Konvergiert (a n ) n N in R gegen ein a R, so konvergiert auch jede Teilfolge von (a n ) n N gegen a. Dies ist analog zu Lemma 1.(a). 11-4

5 3. Die Folge (a n ) n N kann auch in R höchstens gegen ein a R konvergieren. In der Tat, nach Lemma 1.(b) gibt es höchstens einen reellen Grenzwert. Nach Aussage (1) und Lemma 2.(a) kann die Folge auch nicht gleichzeitig gegen eine reelle Zahl und ± konvergieren. Schließlich kann sie nach (1) auch nicht gleichzeitig gegen + und konvergieren. Für eine in R konvergente Folge schreiben wir auch wieder lim a n R für den eindeutig bestimmten Grenzwert in R. 4. Setzen wir + := :=, so überträgt sich auch Lemma 2.(b) auf in R konvergente Folgen. Für den Fall eines reellen Grenzwerts ist dies das Lemma 2.(b) und für den Grenzwert ± ist die Aussage klar. 5. Der Satz 3 erweitert sich zu der Aussage das überhaupt jede monoton steigende reelle Zahlenfolge in R gegen ihr Supremum konvergiert und jede monoton fallende reelle Zahlenfolge gegen ihr Infimum konvergiert. Nehme etwa an das (a n ) n N eine monoton steigende reelle Folge ist. Ist (a n ) n N dann nach oben beschränkt so konvergiert (a n ) n N nach Satz 3 gegen das Supremum sup{a n n N}. Ist (a n ) n N dagegen nach oben unbeschränkt, so ist zunächst sup{a n n N} = und wir müssen (a n ) n N einsehen. Ist jetzt c R, so ist c keine obere Schranke der Folge (a n ) n N, es gibt also ein n 0 N mit a n0 > c. Für jedes n N mit n n 0 ergibt die vorausgesetzte Monotonie unserer Folge dann auch a n a n0 > c. Also ist tatsächlich (a n ) n N. Für monoton fallende Folgen können wir dann analog vorgehen. 6. Die beiden Aussagen von Lemma 5 übertragen sich offenbar auf die Konvergenz in R. Etwas genauer können wir sagen: Sind (a n ) n N und (b n ) n N zwei reelle Zahlenfolgen mit a n b n für alle n N und (a n ) n N +, so ist auch (b n ) n N +. Ist nämlich c R, so existiert ein n 0 N mit a n > c für alle n N mit n n 0, und für jedes n N mit n n 0 ist damit auch b n a n > c. Analog folgt aus a n b n für alle n N und (b n ) n N auch (a n ) n N. Aus dieser Beobachtung folgen nun alle Aussagen des Lemma 5 wenn einer der beteiligten Grenzwerte ± ist. 7. Auch die Rechenregeln für Folgengrenzwerte Satz 6 gelten für in R konvergente Folgen (a n ) n N, (b n ) n N soweit die rechte Seite überhaupt definiert ist. Seien nämlich a, b die jeweiligen Grenzwerte der beiden Folgen. Sind a, b R so wissen wir bereits alles nach Satz 6, es sind also nur noch die Fälle zu betrachten in denen ± als Grenzwerte vorkommen. Wir gehen dies der Reihe nach für Summen, Produkte und Quotienten durch. (a) Wir beginnen mit der Summenfolge. Damit a + b definiert ist, muss {a, b} {+, } gelten. Sei etwa a =. Dann ist b R { } und auf jeden Fall ist (b n ) n N damit nach unten beschränkt, es gibt also ein d R mit 11-5

6 b n d für alle n N. Sei c R. Dann existiert ein n 0 N mit a n > c d für alle n N mit n n 0 und für n N mit n n 0 folgt damit auch a n + b n a n + d > c d + d = c. Folglich ist (a n + b n ) n N + = a + b. Die anderen Fälle sind analog. (b) Nun kommen wir zu den Produkten, dies ist etwas komplizierter da wir diesmal auch die Vorzeichen von a und b berücksichtigen müssen. Damit a b definiert ist muss a, b 0 sein, da wir ja a {+, } oder b {+, } annehmen. Wir betrachten zunächst den Fall a = +. Wir behaupten das es ein n 1 N und eine Konstante β > 0 gibt so, dass für alle n N mit n n 1 im Fall b > 0 stets b n > β ist und im Fall b < 0 stets b n < β ist. Hierzu unterscheiden wir drei verschiedene Fälle. Zunächst sei b R und setze β := b /2 > 0. Es gibt ein n 1 N mit b n b < b /2 für alle n N mit n n 1. Ist weiter b > 0, so folgt für alle n N mit n n 1 auch b n = b (b b n ) b b n b > b b /2 = b /2 = β, und ist b < 0 so ist für alle n N mit n n 1 analog auch b n < b /2 = β. Ist dagegen b {+, }, so setze β := 1 > 0. Im Fall b = + existiert ein n 1 N mit b n > 1 = β für alle n N mit n n 1 und im Fall b = gibt es ebenso ein n 1 N mit b n < 1 = β für alle n N mit n n 1. Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Nun sei ein c R gegeben. Dann existiert ein n 2 N mit a n > c /β für alle n N mit n n 2. Setze n 0 := max{n 1, n 2 }. Sei n N mit n n 0 gegeben. Im Fall b > 0 haben wir dann b n > β > 0 und somit a n b n > c β b n c β = c c, β und im Fall b < 0 haben wir wegen b n < β < 0 analog a n b n < c β b n c β = c c. β Dies zeigt (a n b n ) n N + wenn b > 0 ist und (a n b n ) n N wenn b < 0 ist, wir haben also ( ) ( ) lim (a nb n ) = sign(b) = ( ) b = lim a n lim b n. Dabei interpretieren wir sign(+ ) := 1 und sign( ) := 1. Damit ist alles gezeigt wenn a = + ist. Die anderen drei Fälle, also a = oder b = ± folgen analog. (c) Schließlich kommen wir zu den Quotienten. Wir schicken eine kleine Hilfsbehauptung voraus: Ist K {R, C} und ist (c n ) n N eine Folge in K mit c n 0 für alle n N so gilt ( ) 1 lim c n = + ist eine Nullfolge c n n N

7 Dies ist im wesentlichen nur eine Umformulierung. = Nehme also ( c n ) n N + an. Sei ɛ > 0 gegeben. Dann existiert ein n 0 N mit c n > 1/ɛ für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 ist damit auch 1 = 1 c n < ɛ. Dies zeigt (1/c n ) n N 0. = Sei c R. Dann existiert ein n 0 N mit 1 c n = 1 < 1 c + 1 c n für alle n N mit n n 0. Für jedes n N mit n n 0 ist damit auch c n c n > c + 1 > c c, und wir haben ( c n ) n N + eingesehen. Damit ist diese erste Behauptung bewiesen. Im reellen Fall K = R kann man die Aussage noch etwas verfeinern. Ist (c n ) n N eine Nullfolge und haben alle Folgenglieder dasselbe Vorzeichen σ { 1, 1}, so ist c n = σc n für alle n N und es folgt (c n ) n N σ. Wir kommen jetzt zur Behandlung der Quotientenfolge (a n /b n ) n N wobei wieder b n 0 für alle n N vorausgesetzt sei. Ist a R und b R\{0}, so sind wir in der Situation von Satz 6.(d). Nun sei a R und b {, + }. Dann ist insbesondere ( b n ) n N +, also ist (1/b n ) n N eine Nullfolge und da (a n ) n N nach Lemma 2.(a) beschränkt ist, ist nach Lemma 4.(c) auch der Quotient (a n /b n ) n N eine Nullfolge. Definieren wir also x + := x := 0 für jedes x R, so gilt die Grenzwertformel für Quotienten auch in dieser Situation. Im nächsten Fall ist a R\{0}, b = 0 und alle Folgenglieder b n für n N haben dasselbe Vorzeichen, d.h. es existiert ein σ { 1, 1} mit sign(b n ) = σ für alle n N. Wie oben bemerkt ist dann (1/b n ) n N σ und mit der schon behandelten Produktformel folgt ( ) ( an = a n 1 ) (σa). b n b n n N Im letzten Fall ist b R\{0} und a {, + }. Dann ist nach Satz 6.(d) auch (1/b n ) n N 1/b. Mit dem schon behandelten Produktfall folgt ( ) ( an = a n 1 ) a b n b n b, wenn wir n N n N + x := sign(x) und x 11-7 n N := sign(x)

8 für jedes x R\{0} definieren. Mit den hier gegebenen Interpretationen von Quotienten mit ± im Zähler oder im Nenner gilt also auch die Quotientenformel für Grenzwerte in R solange die rechte Seite definiert ist. 8. Als letzte Aussage wollen wir uns noch um Satz 8.(c) kümmern. Es seien also K {R, C} und r, s N mit r > s sowie a 0,..., a r, b 0,..., b s K mit a r 0 und b s 0 gegeben. Im Beweis von Satz 8.(c) haben wir bereits gesehen, dass es ein n 0 N mit a r n r + + a 0 b s n s + + b 0 a r 4 b s n für alle n N mit n n 0 gibt, und dies liefert lim a r n r + + a 0 b s n s + + b 0 =. Im reellen Fall K = R können wir noch etwas mehr sagen. Nach Satz 8.(b) wissen wir ( 1 lim n arn ) r + + a 0 = a r 0, r s b s n s + + b 0 b s und wegen (n r s ) n N + ist damit ( ) a r n r + + a 0 ar lim = sign = sign(a b s n s r ) sign(b s ). + + b 0 b s Die Definition der Häufungspunkte einer reellen Folge läßt sich wörtlich auf Häufungspunkte in R übertragen. Die neu hinzukommenden Häufungspunkte lassen sich dabei leicht beschreiben, für jede reelle Zahlenfolge (a n ) n N gelten + ist Häufungspunkt von (a n ) n N (a n ) n N ist nach oben unbeschränkt, ist Häufungspunkt von (a n ) n N (a n ) n N ist nach unten unbeschränkt. Ist nämlich + ein Häufungspunkt von (a n ) n N in R, so existiert eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N mit (a nk ) k N +, und damit ist (a nk ) k N und somit auch (a n ) n N nach oben unbeschränkt. Nun nehme umgekehrt an, dass (a n ) n N nach oben unbeschränkt ist. Dann existiert insbesondere ein n 0 N mit a n0 > 0. Ist jetzt k N und ist n k bereits definiert, so existiert auch ein n k+1 N mit a nk+1 > max{a 0, a 1,..., a nk, k + 1}, also insbesondere a nk+1 > k + 1 und n k+1 > n k. Hierdurch wird induktiv eine Teilfolge (a nk ) k N von (a n ) n N mit a nk > k für alle k N definiert. Damit ist auch lim k a nk = + und wir haben eine gegen + konvergente Teilfolge der Folge (a n ) n N gefunden, d.h. + ist ein Häufungspunkt dieser Folge. Die Aussage über den Häufungspunkt folgt analog. 11-8

9 Weiter gilt auch Lemma 10 für Häufungspunkte in R, sind also (a n ) n N eine reelle Zahlenfolge, H die Menge ihrer Häufungspunkte in R und (b n ) n N eine konvergente reelle Zahlenfolge mit dem Grenzwert b R, so ist M = {a + b a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n + b n ) n N in R und ist b 0 so ist N = {ab a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n b n ) n N in R. Beachte dabei das die Folge (b n ) n N tatsächlich im gewöhnlichen Sinne konvergent sein soll, also mit reellen Grenzwert, und nicht etwa nur in den erweiterten reellen Zahlen konvergiert. Dies ist leicht einzusehen. Sind H, M, N die entsprechenden reellen Mengen, so wissen wir bereits nach Lemma 10 das M die Menge der reellen Häufungspunkte von (a n + b n ) n N und N im Fall b 0 die Menge der reellen Häufungspunkte von (a n b n ) n N ist. Wir müssen uns also nur noch überlegen was mit den Häufungspunkten ± passiert. Beginnen wir mit dem Summenfall. Da die Folge (b n ) n N nach Lemma 2.(a) insbesondere beschränkt ist, ist (a n + b n ) n N genau dann nach oben beschränkt wenn (a n ) n N nach oben beschränkt ist, d.h. genau dann gilt H wenn ein Häufungspunkt von (a n + b n ) n N ist. Analog ist auch genau dann H wenn ein Häufungspunkt von (a n + b n ) n N ist, und wegen ( ) + b = und ( ) + b = folgt die Behauptung über die Häufungspunkte von (a n + b n ) n N. Für die Aussage über die Produktfolge nehme nun b 0 an. Zunächst sei b > 0. Dann gibt es ein n 0 N mit b/2 < b n < 2b für alle n N mit n n 0 und damit ist die Folge (a n b n ) n N genau dann nach oben beschränkt wenn (a n ) n N nach oben beschränkt, d.h. genau dann ist H wenn ein Häufungspunkt von (a n b n ) n N ist. Analog ist genau dann H wenn ein Häufungspunkt von (a n b n ) n N ist, und wegen ( ) b = und ( ) b = folgt unsere Behauptung. Im letzten verbleibenden Fall ist b < 0. Dann gibt es ein n 0 N mit 2b < b n < b/2 für alle n N mit n n 0 und somit ist (a n b n ) n N genau dann nach obenunbeschränkt wenn (a n ) n N nach unten unbeschränkt ist, d.h. genau dann gilt H wenn ein Häufungspunkt von (a n b n ) n N ist. Analog ist auch genau dann H wenn ein Häufungspunkt von (a n b n ) n N ist. Da aber ( ) b = und ( ) b = gelten, folgt die Behauptung auch in diesem Fall. Wir werden zeigen, dass in den erweiterten reellen Zahlen R jede reelle Zahlenfolge einen Häufungspunkt besitzt. Wir werden sogar noch mehr einsehen, es gibt immer einen kleinsten und einen größten Häufungspunkt der Folge, und diese beiden können wir sogar recht explizit angeben. Sei also (a n ) n N eine völlig beliebige reelle Zahlenfolge. Für jedes n N betrachten wir A n := sup a k = sup{a k k N, k n} R { }. k n Sind M, N R zwei Teilmengen mit M N, so ist sup N R eine obere Schranke von M, und somit gilt sup M sup N. Haben wir also n N, so ist wegen {a k k N, k n + 1} {a k k N, k n} auch A n+1 A n. Damit ist (A n ) n N eine monoton fallende Folge in R und nach der Erweiterung von Satz 3 auf die erweiterten reellen Zahlen konvergiert diese Folge gegen ihr Infimum, also existiert der sogenannte Limes Superior s := lim A n = inf A n R. n N 11-9

10 Wir wollen zunächst klären wann s eine reelle Zahl ist. Hierzu sind verschiedene Fälle zu unterscheiden. Ist die Folge (a n ) n N nach oben unbeschränkt, so ist für jedes n N auch die Menge {a k k N, k n} nach oben unbeschränkt, also A n = +. Somit ist auch der Grenzwert s = +. Nun nehme an, dass (a n ) n N nach oben beschränkt ist, d.h. es gibt ein c R mit a n c für alle n N. Für jedes n N ist c dann auch eine obere Schranke der Menge {a k k N, k n}, und wir haben A n c. Als nicht reeller Wert von s kommt also nur noch in Frage. Hierzu behaupten wir: s = lim a n =. Ist nämlich s = so folgt wegen a n A n für alle n N auch lim a n =. Nun nehme umgekehrt (a n ) n N an. Sei a R. Dann existiert ein n 0 N mit a n < a 1 für alle n N mit n n 0. Sei jetzt n N mit n n 0 gegeben. Für jedes k N mit k n n 0 ist dann a k < a 1, d.h. a 1 ist eine obere Schranke der Menge {a k k N, k n}, und somit ist A n a 1 < a. Dies beweist (A n ) n N, also s =. Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Insgesamt ist s also genau dann eine reelle Zahl wenn die Folge (a n ) n N nach oben beschränkt ist und nicht in R gegen konvergiert. Der Limes Superior s ist keine obere Schranke der Folge, ist beispielsweise a n = 1/n für n 1, so ist auch A n = 1/n für n 1 und es folgt s = lim A n = 0, die gesamte Folge ist hier also größer als ihr Limes Superior. Selbst wenn wir etwas über den Limes Superior hinausgehen, also ein a mit a > s betrachten, so muss a keine obere Schranke sein, es ist aber zumindest eine obere Schranke für so gut wie alle Folgenglieder, nämlich für alle Folgenglieder bis auf höchstens endlich viele Ausnahmen. Dies ist der Inhalt der folgenden kleinen Hilfsaussage: Für jedes a R besteht die folgende Äquivalenz: a > s (b R) (n 0 N) : [b < a (n N, n n 0 ) : a n < b]. Sei also ein a R gegeben. Zunächst nehme a > s an, also insbesondere s + und a. Da a > s = inf{a n n N} keine untere Schranke der Menge {A n n N} ist, existiert ein n 0 N mit A n0 < s. Weiter existiert ein b R mit A n0 < b < a, nämlich b = A n0 + 1 falls a = + ist und b := (s + A n0 )/2 wenn a R ist. Für jedes n N mit n n 0 ist auch a n A n0 < b. Nun nehme umgekehrt an, dass es ein b R und eine natürliche Zahl n 0 N mit b < a und a n < b für alle n N mit n n 0 gibt. Dann gilt auch s A n0 = sup{a n n N, n n 0 } b < a, also ist s < a. Damit ist diese Zwischenbehauptung bewiesen. Als nächste Aussage wollen wir zeigen, dass s ein Häufungspunkt von (a n ) n N in R ist. Ist dabei s = +, so ist (a n ) n N nach oben unbeschränkt und wir wissen bereits das s = + ein Häufungspunkt von (a n ) n N ist. Ist s =, so ist (a n ) n N und s = ist sogar der Grenzwert von (a n ) n N, also erst recht ein Häufungspunkt. Nun nehme s R an und wir wollen Lemma 9 anwenden. Seien also ein ɛ > 0 und ein n 1 N gegeben. Wegen s + ɛ > s existieren eine reelle Zahl b R und ein Index n 2 N mit b < s + ɛ und 11-10

11 a n < b für alle n N mit n n 2. Setze n 0 := max{n 1, n 2 }. Dann gilt s ɛ < s = inf{a n n N} A n0 = sup{a n n N, n n 0 }, und nach 1.Lemma 3 existiert ein n N mit n n 0 und a n > s ɛ. Insbesondere ist also n n 1. Wegen n n 2 ist auch a n < b < s + ɛ, also haben wir s ɛ < a n < s + ɛ und dies bedeutet a n s < ɛ. Nach Lemma 9 ist s damit auch in diesem Fall ein Häufungspunkt von (a n ) n N. Tatsächlich ist s nicht nur irgendein Häufungspunkt von (a n ) n N sondern der größte solche Häufungspunkt. Dies ist nicht mehr schwer zu beweisen. Sei a R ein beliebiger Häufungspunkt von (a n ) n N. Wir müssen zeigen, dass dann a s gilt. Andernfalls wäre a > s und wie oben gezeigt gibt es b R und n 0 N mit b < a und a n < b für alle n N mit n n 0. Insbesondere ist die Folge (a n ) n N nach oben beschränkt, also ist + kein Häufungspunkt von (a n ) n N und wir haben a +. Folglich ist a R und nach Lemma 9 existiert ein n N mit n n 0 und a n a < a b. Dies ergibt aber den Widerspruch a n < b = a (a b) < a a n a a (a a n ) = a n, und somit muss a s sein. Wir fassen diese Überlegungen und einige Ergänzungen in einem Satz zusammen. Satz 4.11 (Limes Superior und Limes Inferior) Sei (a n ) n N eine reelle Zahlenfolge. (a) Der Limes Superior lim sup a n := lim sup k n a k R ist der größte Häufungspunkt der Folge (a n ) n N in R und der Limes Inferior a n := lim inf k n a k R ist der kleinste Häufungspunkt der Folge (a n ) n N in R. (b) Ist (a n ) n N in R konvergent mit (a n ) n N a, so ist auch (c) Es gilt und genau dann ist lim sup a n wenn die Folge (a n ) n N in R konvergiert. lim sup a n = a n = a = lim a n. a n = a n lim sup a n 11-11

12 (d) Es gelten lim sup a n = + (a n ) n N ist nach oben unbeschränkt, lim sup (e) Für jedes a R gelten und a n = lim a n =, a n = (a n ) n N ist nach unten unbeschränkt, a n = + lim a n = +. a > lim sup a n (b R) (n 0 N) : [b < a (n N, n n 0 ) : a n < b] a < a n (b R) (n 0 N) : [b > a (n N, n n 0 ) : a n > b]. Beweis: Die Aussagen (a,d,e) über den Limes Superior haben wir bereits oben bewiesen und die über den Limes Inferior folgen analog. Es ist also nur noch (b) und (c) zu zeigen. Da der Grenzwert einer in R konvergenten Folge ihr einziger Häufungspunkt ist, ist (b) dabei eine unmittelbare Folgerung aus (a). Weiter ist die Ungleichung a n lim sup a n ebenfalls nach (a) klar und ist (a n ) n N in R konvergent, so stimmen der Limes Superior und der Limes Inferior nach (b) überein. Wir nehmen nun a := lim sup a n = a n an, und wollen (a n ) n N a in R zeigen. Ist a {+, }, so ist dies klar nach Teil (d), wir müssen also nur noch den Fall a R betrachten. Sei ɛ > 0 gegeben. Wegen a ɛ < a < a + ɛ existieren nach (e) zwei reelle Zahlen b 1, b 2 R mit b 1 > a ɛ und b 2 < a + ɛ sowie zwei natürliche Zahlen n 1, n 2 N mit a n > b 1 für alle n N mit n n 1 und a n < b 2 für alle n N mit n n 2. Setze n 0 := max{n 1, n 2 }. Ist dann n N mit n n 0, so haben wir a ɛ < b 1 < a n < b 2 < a + ɛ, also a n a < ɛ. Dies zeigt (a n ) n N a und auch (c) ist vollständig bewiesen. Wir gehen jetzt einige Beispiele durch. 1. Es ist ( 1)n = 1 und lim sup( 1) n = 1 da 1 und 1 die beiden Häufungspunkte der Folge sind. 2. Die Folge a n = ( 1) n n ist nach oben und unten unbeschränkt, hat also + und als Häufungspunkte. Da dies die größten und kleinsten Elemente in R sind, ist damit ( 1)n = und lim sup( 1) n =

13 3. Diesmal sei a n := { n, n ist gerade, 0, n ist ungerade. Offenbar sind 0 und + dann zwei Häufungspunkte von (a n ) n N. Wegen a n 0 für alle n N kann keine Teilfolge von (a n ) n N gegen eine negative Zahl oder gegen konvergieren, also ist 0 der kleinste Häufungspunkt der Folge. Es folgen a n = 0 und lim sup a n = Schließlich sei a n = sin(n). Wir hatten bereits bemerkt, dass die Menge der Häufungspunkte von (sin n) n N genau das Intervall [ 1, 1] ist, und damit folgen sin(n) = 1 und lim sup sin(n) = +1. Zum Abschluß unserer Überlegungen über den Limes Inferior und den Limes Superior wollen wir noch einige kleine Rechenregeln für diese zusammenstellen. Lemma 4.12 (Rechenregeln für Limes Inferior und Limes Superior) Seien (a n ) n N und (b n ) n N zwei reelle Zahlenfolgen. Dann gelten: (a) Ist a n b n für jedes n N, so sind auch (b) Ist (b n ) n N konvergent, so ist a n b n und lim sup (a n + b n ) = a n + lim b n und lim sup a n lim sup b n. (a n + b n ) = lim sup a n + lim b n. (c) Ist (b n ) n N konvergent mit von Null verschiedenen Grenzwert b R\{0}, so sind ( ) ( ) (a n b n ) = a n lim b n, ( ) ( ) lim sup(a n b n ) = lim sup a n lim b n wenn b > 0 ist und (a n b n ) = lim sup(a n b n ) = ( ) lim sup a n ( ) a n ( lim ( lim b n b n ), ) wenn b < 0 ist

14 Beweis: (a) Sei n N und setze A n := sup{a k k N, k n} und B n := sup{b k k N, k n}. Für jedes k N mit k n haben wir a k b k B n, also ist B n eine obere Schranke der Menge {a k k N, k n} und somit gilt A n B n. Mit Lemma 5.(a), eventuell in der Form für die erweiterten reellen Zahlen, folgt lim sup a n = lim A n lim B n = lim sup b n. Die Aussage über den Limes Inferior ergibt sich analog. (b,c) Seien b R der Grenzwert der Folge (b n ) n N und H die Menge der Häufungspunkte von (a n ) n N in R. Nach Satz 11.(a) ist s := max H der Limes Superior der Folge (a n ) n N und t := min H der Limes Inferior der Folge (a n ) n N. Weiter ist nach Lemma 10.(a) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen M = {a + b a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n + b n ) n N in R. Da für x, y H stets genau dann x y gilt wenn x + b y + b ist, ist nach Satz 11.(a) auch lim sup (a n + b n ) = max M = s + b = lim sup a n + lim b n. Nun kommen wir zum Produkt und nehmen b 0 an. Nach Lemma 10.(b) in der Form für die erweiterten reellen Zahlen ist N := {ab a H} die Menge der Häufungspunkte von (a n b n ) n N in R. Ist b > 0, so gilt für alle x, y H genau dann x y wenn xb yb ist, also ist nach Satz 11.(a) auch lim sup(a n b n ) = max N = sb = ( ) lim sup a n ( ) lim b n. Ist dagegen b < 0, so gilt für x, y H genau dann x y wenn yb xb ist, also ist in diesem Fall ( ) ( ) lim sup(a n b n ) = max N = tb = a n lim b n. Damit sind alle Aussagen für den Limes Superior bewiesen und die entsprechenden Aussagen über den Limes Inferior folgen analog. Der Satz 11 besagt insbesondere das jede reelle Zahlenfolge einen Häufungspunkt in R hat. Eine direkte Konsequenz dieser Beobachtung ist der sogenannte Satz von Heine-Borel: Satz 4.13 (Satz von Heine-Borel) Sei K {R, C}. Dann hat jede beschränkte Folge in K einen Häufungspunkt. Beweis: Zunächst sei K = R. Ist dann (a n ) n N eine beschränkte reelle Zahlenfolge, so ist nach Satz 11.(d) auch s := lim sup a n R und nach Satz 11.(a) ist s ein Häufungspunkt von (a n ) n N. Damit ist die Aussage im reellen Fall bewiesen

15 Nun sei K = C und es sei (z n ) n N eine beschränkte komplexe Zahlenfolge. Wie am Ende von 3.1 festgehalten sind dann auch die reellen Zahlenfolgen (Re(z n )) n N und (Im(z n )) n N beschränkt. Wie bereits gezeigt hat (Re(z n )) n N einen Häufungspunkt a R, und somit gibt es eine gegen a konvergente Teilfolge (Re(z nk )) k N von (Re(z n )) n N. Ebenso gibt es dann auch eine gegen ein b R konvergente Teilfolge (Im(z nkl )) l N von (Im(z nk )) k N. Nach Lemma 1.(a) ist auch (Re(z nkl )) l N a und Lemma 1.(e) ergibt damit (z nkl ) l N a + ib C. Damit ist a + ib ein Häufungspunkt von (z n ) n N und der Satz ist auch im komplexen Fall bewiesen. Man kann den Satz von Heine-Borel auch direkter, und ohne den Limes Superior zu verwenden, beweisen. Wie im Beweis gesehen reicht es den reellen Fall einzusehen, und hierzu kann man zeigen das jede reelle Zahlenfolge immer eine monoton steigende oder eine monoton fallende Teilfolge enthält. Mit Satz 3 folgt dann die Existenz eines reellen Häufungspunkts einer jeden beschränkten reellen Zahlenfolge. 4.3 Cauchyfolgen Wir kommen nun zum letzten Thema dieses Kapitels. Ein Problem unserer Konvergenzdefinition ist, dass man zum Nachweis einer Konvergenzaussage (a n ) n N a immer bereits einen Kandidaten a für den Grenzwert der Folge kennen muss. Nur für monotone reelle Zahlenfolgen konnten wir mit Satz 3 die Konvergenz der Folge einsehen ohne den Grenzwert kennen zu müssen. In diesem Abschnitt werden wir mit dem Begriff einer Cauchyfolge eine weitere Möglichkeit kennenlernen, die Konvergenz einer Folge ohne Kenntnis ihres Grenzwerts zu beweisen. Formal ist die Definition einer Cauchyfolge recht ähnlich zur Konvergenzdefinition, man fordert nicht mehr das die Folgenglieder einem Grenzwert a nahekommen, sondern das sich alle Folgenglieder mit ausreichend großen Index einander nahekommen. Definition 4.10 (Cauchyfolgen) Sei K {R, C}. Eine Folge (a n ) n N in K heißt eine Cauchyfolge wenn es für jedes ɛ > 0 ein n 0 N mit a n a m < ɛ für alle n, m N mit n, m n 0 gibt. In logischen Quantoren geschrieben wird diese Definition zu (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m < ɛ. Ganz genauso wie bei der Definition der Konvergenz, kann man das < hier auch gegen ein ersetzen, die Folge ist also auch genau dann eine Cauchyfolge wenn (ɛ > 0) (n 0 N) (n, m N, n, m n 0 ) : a n a m ɛ gilt. Wir werden gleich sehen, dass jede konvergente Folge auch eine Cauchyfolge ist und damit kennen wir dann bereits recht viele Beispiele von Cauchyfolgen. Zuvor wollen 11-15

16 wir aber ein explizites Beispiel einer Cauchyfolge diskutieren. Wir definieren rekursiv eine reelle Zahlenfolge (a n ) n N indem wir a 0 := 0 und a n+1 := 1 a2 n 3 für alle n N setzen. Beispielsweise sind a 1 = 1/3, a 2 = 8/27 und a 3 = 665/2187. Die Folge ist weder monoton steigend noch monoton fallend, auch nicht ab irgendeinem noch so großen Startindex. Es ist auch nicht sofort zu sehen, ob die Folge (a n ) n N konvergent ist. Wir werden im Folgenden einsehen, dass (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Wir beginnen mit einer einfachen Beobachtung. Ist x R mit 0 < x < 1/3, so gelten auch 0 < x 2 < 1/9 und 8/9 < 1 x 2 < 1, also insgesamt 8/27 < (1 x 2 )/3 < 1/3, also haben wir (x R) : 0 < x < 1 3 = 0 < 8 27 < 1 x2 3 < 1 3. Insbesondere bedeutet dies das für jedes n N aus a n (0, 1/3) auch a n+1 = (1 a 2 n)/3 (0, 1/3) folgt. Da a 2 = 8/27 (0, 1/3) gilt, folgt per vollständiger Induktion auch 0 < a n < 1/3 für alle n N mit n 2. Für jedes n N mit n 3 ergibt sich weiter a n+1 a n = 1 a 2 n 3 1 a2 n 1 3 Ist wieder n N mit n 3, so sind damit auch und so fortfahrend folgt auch = 1 3 a2 n a 2 n 1 = 1 3 a n + a n 1 a n a n 1 a n + a n 1 a n a n 1 < a n a n 1. a n+2 a n+1 < 2 ( ) a n+1 a n < a n a n 1, 9 a n+3 a n+2 < 2 ( ) a n+2 a n+1 < a n a n 1, 9 a n+k a n+k 1 ( ) k 2 a n a n 1, 9 für alle k N. Streng genommen ist dies ein Beweis durch vollständige Induktion auf deren exakte Durchführung wir hier verzichten. Wenden wir dies speziell auf n = 3 an und schreiben k = n 2 für ein neues n N mit n 2, so wird diese Abschätzung zu a n+1 a n ( ) n 2 2 a 3 a 2,

17 und wir wollen uns überlegen, dass hierus folgt das (a n ) n N eine Cauchyfolge ist. Hierzu schreiben wir für n, m N mit m > n m 1 a m a n = (a m a m 1 ) + (a m 1 a m 2 ) + + (a n+1 a n ) = (a k+1 a k ) und erhalten für n 2 m 1 m 1 a m a n = (a k+1 a k ) a k+1 a k k=n k=n ( m 1 k=n k=n ( ) ) k 2 2 a 3 a 2. 9 Die hier rechts stehende Summe ist eine sogenannte geometrische Summe und um diese weiter auszuwerten, brauchen wir ein allgemeines Lemma, das mit der konkreten Situation nichts zu tun hat. Lemma 4.14 (Die geometrische Summe) Seien q C und n N. Dann gilt n k=0 q k = 1 qn+1 1 q für q 1, und n q k = n + 1 für q = 1. k=0 Beweis: Die Aussage für q = 1 ist klar, wir nehmen also q 1 an. Schreibe s := n k=0 qk. Dann ist q s = n n q k+1 = q n+1 + q k 1 = q n s, k=0 k=0 also und dies ergibt die Behauptung. (1 q)s = s qs = 1 q n+1, Mit diesem Lemma ausgerüstet, werden wir dieses Beispiel in der nächsten Sitzung beenden können

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