Praktikum - Zustandsraum (ZR)

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1 Praktikum - Zustandsraum (ZR) Lehrveranstaltung: Regelung im Zustandsraum Hörerschaft: MMB-H, MEC Version: 28. Juni 2012 Autor: Dirk Bräuer Themenschwerpunkt: Modellierung und Regelung von Systemen im Zustandsraum Zielstellung: Aufstellen eines nichtlinearen Zustandsraummodells und Linearisierung am Arbeitspunkt Untersuchungen zur Beobachtbarkeit und Steuerbarkeit von Systemen Praktische Bedeutung von SISO und MIMO Systemen Entwurf von Zustandsrückführungen mittels Polvorgabe Simulation und Berechnung von Zustandsraummodellen mit Hilfe von Matlab/Simulink Voraussetzungen: Praktika der Grundlagenvorlesung Grundlegende Kenntnisse im Umgang mit Matlab/Simulink Literatur: Unbehauen, H.: Regelungstechnik II, Vieweg+Teubner Verlag, 9. Auflage, 2007 Lunze, J.: Regelungstechnik 2, Springer Verlag, 6. Auflage, 2010 Schulz, G.: Regelungstechnik 2, Oldenbourg Verlag, 2. Auflage, 2008 Lutz, H.; Wendt, W.: Taschenbuch der Regelungstechnik, Verlag Harri Deutsch, 7. Auflage, 2007 Franklin, G. F.; Powel, J. D.; Emami-Naeini, A.: Feedback Control of Dynamic Systems, Pearson Verlag, 5. Auflage,

2 1 Einleitung Die klassische Regelungstechnik befasst sich mit der Modellierung und Regelung von Eingrößensystemen. Diese sogenannten SISO-Systeme (Single Input Single Output) besitzen eine Stell- und eine Regelgröße und werden durch eine Differentialgleichung n-ter Ordnung beschrieben. Die gezielte Beeinflussung der Regelgröße wird mit Hilfe von PID- oder Mehrpunktreglern realisiert. Diese Vorgehensweise ist für eine Vielzahl technischer Systeme in der Praxis ausreichend. Beispiele hierfür sind die Temperaturregelung in einem Raum, Füllstandsregelung in einem Behälter oder die Drehzahlregelung eines Gleichsstrommotors. Werden mehrere solcher Eingrößensysteme miteinander kombiniert, reichen diese regelungstechnischen Verfahren meist nicht aus. Die Kopplung der Teilsysteme erschwert deren separate Regelung. Für die Behandlung solcher Mehrgrößensysteme werden Zustandsregelungen eingesetzt. Basis für die Zustandsregelung ist die Modellierung der technischen Systeme im Zustandsraum. Dabei können MIMO-Systeme (Multiple Input Multiple Output) mit mehreren Stell- und Regelgrößen ebenso behandelt werden wie Eingrößensysteme. Es ergibt sich ein einheitliches Konzept zur Modellierung, Regelung und Analyse für eine Vielzahl technischer Systeme. Das Praktikum Mehrgrößenregelung soll grundsätzliche Kenntnisse der Zustandsraummodellierung und -regelung am Beispiel eines Dreitanksystems vermitteln. 2

3 2 Regelungstechnische Grundlagen 2.1 Darstellung von SISO Systemen im Zustandsraum Bei der Behandlung von Eingrößensystemen werden zur Beschreibung Differentialgleichungen n-ter Ordnung verwendet. Beispiel hierfür sei das in (1) dargestellte PT n -System. x (n) a + 1 x (n 1) a a 2 ẍ a + a 1 ẋ a + a 0 x a = b 0 x e (1) Für die Zustandsraumdarstellung wird diese Differentialgleichung n-ter Ordnung in ein System von n Differentialgleichungen erster Ordnung umgewandelt. Hierfür werden die Ableitungen der Ausgangsgrößen wie folgt substitutiert: x 1 = x a x 2 = ẋ 1 = ẋ a. (2) x n = ẋ n 1 = x (n 1) a Werden die einzelnen x i in die Differentialgleichung (1) eingesetzt, so folgt (3). x (n) a + 1 x n a 2 x 3 + a 1 x 2 + a 0 x 1 = b 0 x e (3) Umgestellt nach x (n) a ergibt sich damit: x (n) a = ẋ n = b 0 x e 1 x n... a 2 x 3 a 1 x 2 a 0 x 1 (4) Mit (2) und (4) existieren insgesamt n Gleichungen für ẋ 1 bis ẋ n. Diese Differentialgleichungen können zu einem Differentialgleichungssystem erster Ordnung (siehe (5)) zusammengefasst werden. Dieses System stellt die Zustandsgleichung des SISO-Systems dar. ẋ x 1 0 ẋ x 2 0. = x e (5) ẋ n x n 1 0 ẋ n a b x 0 n Die Ausgangsgröße x a des ursprünglichen Systems entspricht der Zustandsgröße x 1. Die Ausgangsgröße lässt sich damit mit der Ausgangsgleichung (6) des SISO-Systems aus dem Zustandsvektor bestimmen. 3

4 x 1 [ ] x 2 x a = x n 1 x n (6) Unter Einführung der Systemmatrix A, des Eingangsvektors b, des Ausgangsvektors c und des Zustandsvektors x folgt aus (5) und (6) das Zustandsraummodell des SISO-Systems mit (7). ẋ = Ax + bx e x a = c T x (7) 2.2 Erweiterungen auf MIMO Systeme Die Gleichung (7) behandelt Systeme mit einer Eingangsgröße x e und einer Ausgangsgröße x a. Verallgemeinert lassen sich mit dem Zustandsraum jedoch auch Systeme mit r Eingangsgrößen und m Ausgangsgrößen beschreiben. Die Eingangsgrößen werden im Vektor u und die Ausgangsgrößen im Vektor y zusammengefasst. Diese erfordert, dass der Eingangsvektor b zu einer Eingangsmatrix B und der Ausgangsvektor c zur Ausgangsmatrix C erweitert wird. Damit ergibt sich die allgemeine Zustandsraumdarstellung für Mehrgrößensysteme (8). ẋ = Ax + Bu y = Cx (8) Bei bestimmten Systemklassen könnnen die Eingangsgrößen direkt die Ausgangsgrößen beeinflussen. Dies wird über die Einführung einer Durchgangsmatrix D in der Ausgangsgleichung realisiert. Diese Klasse der sogenannten sprungfähigen Systeme ist jedoch für die Praktikumsdurchführung nicht relevant. Die in der Zustands- und Ausgangsgleichung widergegebenen Zusammenhänge lassen sich mit den aus der klassischen Regelungstechnik geläufigen Blockschaltbildern nach Abbildung 1 veranschaulichen. Abbildung 1: Blockstruktur des Zustandsraummodells 4

5 2.3 Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit Zwei wesentliche Eigenschaften von Systemen sind Steuerbarkeit und die Beobachtbarkeit. Sie sind Voraussetzung für die Anwendung bestimmter Zustandsraumkonzepte und sollen aus diesem Grunde hier kurz aufgegriffen werden. Steuerbarkeit Die Steuerbarkeit kennzeichnet die Fähigkeit, ein System durch die vorhandenen Eingangsgrößen in einen gewünschten Systemzustand zu überführen. Steuerbarkeit ist somit grundlegend für die Anwendung von Regelungen im Zustandsraum. Die in der Literatur verwendete Definition besagt: Ein System ist vollständig steuerbar, wenn es für jeden Anfangszustand x(t 0 ) eine Steuerfunktion u(t) existiert, welche das System innerhalb einer endlichen Zeitspanne t 0 t t 1 in den Endzustand x(t 1 ) = 0 überführt. Für die Überprüfung der Steuerbarkeit wird die Steuerbarkeitsmatrix S S aufgestellt. [ ] S S = B AB A 2 B A n 1 B (9) Besitzt die Steuerbarkeitsmatrix vollen Rang n, so ist das System vollständig steuerbar. Beobachtbarkeit Während die Steuerbarkeit sich mit der gezielten Beeinflussung der Zustände beschäftigt, wird mit der Beobachtbarkeit festgestellt, ob die Ausgangsgrößen des Systems einen Rückschluss auf die Zustandsgrößen erlauben. Sie ist Voraussetzung für Zustandsrekonstruktion durch einen Zustandsbeobachter. Die Definition besagt: Ein System ist vollständig beobachtbar, wenn bei bekannter äußerer Beeinflussung u(t) und bekannten Matrizen A, B und C aus dem Ausgangsvektor y(t) in einem endlichen Zeitintervall t 0 t t 1 der Anfangszustand x(t 0 ) eindeutig bestimmt werden kann. Ähnlich der Steuerbarkeit kann die Beobachtbarkeit eines Systems mit Hilfe einer Matrix, der Beobachtbarkeitsmatrix S B, überprüft werden. C CA S B = CA 2. CA n 1 (10) Ein System genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix den vollen Rang n besitzt. 5

6 2.4 Zustandsregelung Zur gezielten Beeinflussung der Zustandsgrößen wird eine Rückführung über einen Regler wie in der klassischen Regelungstechnik durchgeführt. Dabei lässt sich entweder der Zustandsvektor oder der Ausgangsvektor zurückführen. Im Folgenden wird nur auf die Zustandsvektorrückführung Bezug genommen. Dabei wird der Vektor x über eine Reglermatrix K auf den Eingang des Systems u zurückgeführt. Es gilt: u = Kx (11) Dies ermöglicht bei geeigneter Wahl von K, die Dynamik des Systems im geschlossenen Kreis zu beeinflussen. Grundlegende Entwurfsziele sind dabei die Stabilisierung der Strecke, Dämpfung von schwingendem Systemverhalten und das schnellere Abklingen von Störeinflüssen. Ist zusätzlich eine Anpassung der Regelgrößen an frei wählbare Sollwerte w erforderlich, so wird die Regelung durch einen Vorfilter V ergänzt. Für die Eingangsgrößen u des Systems gilt damit: u = Kx + V w (12) Die Blockstruktur der Zustandsvektorrückführung mit Vorfilter ist in Abbildung 2 dargestellt. Abbildung 2: Blockstruktur der Zustandsrückführung mit Vorfilter 6

7 3 Behandlung von Zustandsraummodellen mit Matlab/Simulink Matlab und Simulink bieten eine Vielzahl von Funktionen zur Analyse und zum Reglerentwurf im Zustandsraum. Die meisten Funktionen sind nicht in der Grundversion enthalten und werden über die Control System Toolbox ergänzt. Im Folgenden ist eine Übersicht der für das Praktikum relevanten Funktionen mit ihren notwendigen Parametern gegeben: SYS=ss(A,B,C,D) Erzeugt ein Zustandsraummodell SYS mit den zugehörigen Matrizen A, B, C und D. [A,B,C,D]=ssdata(SYS) Liefert die Matrizen A, B, C und D des Zustandsraummodells SYS zurück. step(sys) Zeichnet die Sprungantwort des Systems SYS. Für Mehrgrößensysteme werden die Wirkungen aller Eingangsgrößen auf alle Ausgangsgrößen separat ausgegeben. P=pole(SYS) Berechnet die Pole P des Zustandsraummodells SYS. pzmap(sys) Gibt die Lage der Pole und Nullstellen des Systems SYS im PN- Diagramm aus. CO=ctrb(A,B) Liefert die Steuerbarkeitsmatrix CO für das Zustandsraummodell mit der Systemmatrix A und der Eingangsmatrix B. OB=obsv(A,C) Liefert die Beobachtbarkeitsmatrix OB für das Zustandsraummodell mit der Systemmatrix A und der Ausgangsmatrix C. N=rank(M) Berechnet den Rang N der Matrix M. inv(m) Gibt die Inverse der Matrix M zurück. K=acker(A,B,P) Berechnet die Reglermatrix K für ein SISO-System nach der Ackermann- Formel für die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B und die gewünschten Pollagen P. K=place(A,B,P) Berechnet die Reglermatrix K für ein MIMO-System nach dem Kautsky- Verfahren für die Systemmatrix A, die Eingangsmatrix B und die gewünschten Pollagen P. Für den Umgang mit Simulink werden die bereits aus dem Praktikum Regelkreis bekannten Blöcke verwendet. Zusätzlich existiert ein Block State-Space (Abbildung 3) zur direkten Verwendung von Zustandsraummodellen in Simulink unter Vorgabe der Matrizen A, B und C. Alternativ ist eine Modellierung über den Aufbau der Blockstruktur nach Abbildung 1 möglich. Abbildung 3: State-Space Block in Simulink 7

8 4 Dreitank-Modell 4.1 Aufbau Der betrachtete Versuchsstand besteht aus drei gekoppelten Behältern B 1, B 2 und B 3 mit maximal 50 cm Füllhöhe und einem Radius von 10 cm. Aus einem Vorratstank kann über drei separat ansteuerbare Pumpen P 1, P 2, P 3 Wasser in die einzelnen Behälter gefördert werden. Die maximale Förderleistung liegt bei ca. 50 l/min. Zusätzlich verfügt jeder Tank über einen Auslauf am Behälterboden sowie eine Kopplung zu den jeweils benachbarten Behältern. Die Menge des ausströmenden Wassers kann dabei über Handventile V 1z, V 2z und V 3z bzw. V 12 und V 23 frei reguliert werden. Der Rohrinnenradius im gesamten System ist einheitlich mit 6 mm gewählt. Zielstellung ist, mit Hilfe eines Zustandsreglers die Flüssigkeitsstände in allen drei Behältern zu beeinflussen. Abbildung 4 zeigt den schematischen Versuchsaufbau. Die zugehörigen Größen sind in der Tabelle 1 angegeben. Abbildung 4: Aufbau des Dreitanksystems Größe Bedeutung Einheit h i Füllhöhe Behälter i m Q ie Zuflussmenge Behälter i m 3 /s Q iz Abflussmenge Behälter i m 3 /s Q ij Fluss von Behälter i in Behälter j m 3 /s Tabelle 1: Technische Größen des Versuchsaufbaus 8

9 4.2 Modellierung Die Modellierung des Dreitank-Systems erfolgt mit Hilfe der Bilanzgleichungen der einzelnen Behälter. Die zeitlich veränderliche Größe ist die Füllmenge des Behälters und somit das Volumen. Dessen Änderung entspricht der Differenz aus zufließendem Wasser Q zu und abfließendem Wasser Q ab. dv dt = V = Q zu Q ab (13) Da die Querschnittsfläche A B des Behälters über der Höhe konstant ist, kann die Änderung des Volumens auf die Änderung der Höhe h bezogen werden: V = A B ḣ (14) Der Zufluss wird über die Pumpen direkt eingestellt und wird somit als Eingangsgröße des Systems verwendet. Der Abfluss über die Ventile V z ergibt sich nach dem Gesetz von Torricelli (15). Dieses bestimmt die Abflussgeschwindigkeit v in Abhängigkeit der Füllhöhe h. v = 2gh (15) Die abfließende Menge ergibt sich aus dem Produkt von Rohrquerschnittsfläche A R und der Abflussgeschwindigkeit v. Über die Ventile V z lässt sich der Abflussquerschnitt reduzieren. Vereinfachend wird hierfür für jedes Ventil eine Größe 0 k V 1 eingeführt. Über diese Größe kann der Abflussquerschnitt zwischen komplett geschlossenem Ventil (k V = 0) und komplett geöffnetem Ventil k V = 1 angepasst werden. Für die Abflussmenge ergibt sich damit Gleichung (16). Q ab = k V A R v (16) Das Gesetz von Torricelli lässt sich auch auf gekoppelte Behälter anwenden. Hierbei wird anstelle der Höhe h die Höhendifferenz h der Füllstände nach Gleichung (17) verwendet. v = 2g h (17) Dabei ist offensichtlich, dass die Differenz nicht negativ werden kann, was anderenfalls eine komplexe Abflussgeschwindigkeit zur Folge hätte. Wird Gleichung (17) für zwei gekoppelte Behälter mit den Füllhöhen h 1 und h 2 benötigt, so lässt sich die Abflussgeschwindigkeit unter Berücksichtigung einer negativen Differenz nach Gleichung (18) berechnen. v = sgn(h 1 h 2 ) 2g h 1 h 2 (18) Dabei bezeichnet sgn( ) die Signum-Funktion (Vorzeichenfunktion). Damit ergibt sich für h 1 < h 2 eine negative Abflussgeschwindigkeit, eingesetzt in (16) folgt daraus ein negativer Volumenstrom. Das Wasser fließt somit von Behälter 2 nach Behälter 1. 9

10 Die im Rahmen der Modellierung verwendeten Parameter des Dreitank-Systems sind in Tabelle 2 zusammengefasst. Größe Bedeutung Einheit v Abflussgeschwindigkeit m/s A B Behälterfläche m 2 k V Ventilöffnung (0..1) A R Rohrfläche m 2 Tabelle 2: Parameter zur Modellierung des Dreitanksystems Für den Füllstandsbehälter ergibt zusammengefasst ein Zustandsraummodell mit maximal drei Eingangsgrößen (Zuflüsse Q 1e, Q 2e, Q 3e ) und maximal drei Ausgangsgrößen (Füllhöhen h 1, h 2, h 3 ). Werden einzelne Pumpen bzw. Füllstandssensoren nicht verwendet, lassen sich Modelle mit weniger Ein- und Ausgangsgrößen erzeugen. Auch führt ein komplettes Absperren einzelner Ventile (bspw. das komplette Unterbinden einer Behälterkopplung) zur Änderung der Systemklasse. 10

11 5 Aufgabenstellung 1. Aufstellen des parametrischen Zustandsraummodells des Dreitanksystems a) Bestimmen Sie aus den gegebenen Grundgleichungen die einzelnen Zu- und Abflüsse (Q 1z, Q 2z, Q 3z, Q 12 und Q 23 ) der Behälter. b) Berechnen Sie mit Hilfe der Behälterbilanzen (13) die Änderung der Füllhöhen ḣ1, ḣ2 und ḣ3. c) Linearisieren Sie die Gleichungen mit Hilfe der Taylorreiheneintwicklung am Arbeitspunkt. Der Arbeitspunkt ist als stationärer Systemzustand mit den Größen Q 1e0, Q 2e0, Q 3e0, h 10, h 20 und h 30 festgelegt. Wählen Sie hierbei o.b.d.a. h 10 > h 20 > h 30. d) Geben Sie das lineare Zustandsraummodell des Systems mit den Matrizen A, B, C und D an. 2. Für den Praktikumsversuch wird zunächst von einem SISO-Modell ausgegangen. Dabei ist der Zufluss nur über den ersten Behälter möglich. Die Ventile V 1z und V 2z sind vollständig geschlossen, der Abfluss des dritten Behälters ist zu 25 % geöffnet. Die Ventile zwischen den Behältern sind zu 75 % geöffnet. Ausgangsgröße ist der Füllstand des dritten Behälters. a) Berechnen Sie den Zufluss im ersten Behälter Q 1e, wenn im stationären Zustand die Füllhöhe im dritten Behälter 20 cm betragen soll. Welche Füllhöhen ergeben sich für Behälter 1 und 2? b) Bestimmen Sie die Parameter der Systemmatrizen für die ermittelten Füllstände. c) Untersuchen Sie das Modell auf Steuerbarkeit und Beobachtbarkeit. 3. Modellanalyse mit Matlab/Simulink a) Geben Sie die Matrizen in Matlab ein und erzeugen sie ein zugehöriges Zustandsraumobjekt. b) Plotten Sie die Sprungantwort des Systems und prüfen Sie die Ausgabe auf Plausibilität. c) Berechnen Sie den Rang der Steuerbarkeits- und der Beobachtbarkeitsmatrix. d) Erstellen Sie ein Simulink-Modell des Dreitank-Systems und testen Sie das Verhalten der Zustands- und Ausgangsgrößen bei veränderlichem Eingang Q 1e. 4. Entwicklung eines Zustandsreglers a) Bestimmen Sie die Pole des Ausgangssystems und lassen Sie deren Lage im PN-Diagramm ausgeben. b) Mit Hilfe der Ackermann-Formel sind die Pole des geschlossenen Kreises weiter links in der komplexen Halbebene zu platzieren. Wählen Sie geeignete Pollagen und bestimmen Sie die Rückführung k. 11

12 c) Simulieren Sie das Regelverhalten mit Hilfe von Simulink, lassen Sie hierbei eine sprungförmige Störgröße auf den Ausgang der Strecke wirken. d) Was passiert, wenn die Pole weiter links (bzw. weiter rechts) in der komplexen Halbebene gewählt werden? Was ergibt sich bei der Wahl konjugiert komplexer Pole? 5. Sollwertfolge a) Das System soll einem Sollwert, welcher die Füllhöhe des dritten Tanks beschreibt, folgen können. Wie muss eine Vorfiltermatrix V gewählt werden, damit im stationären Zustand y = w gilt? b) Integrieren Sie die Vorfiltermatrix in das Simulinkmodell und simulieren Sie einen Führungsgrößensprung von 5 cm. 12

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