Formelsammlung (zusammengestellt aus... )

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1 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Formelsammlung (zusammengestellt aus... a D. Schröder, Elektrische Antriebe: Grundlagen, Springer-Verlag, 7. b D. Schröder, Elektrische Antriebe: Regelung von Antriebssstemen, Springer-Verlag, 9. c P. Vachenauer, Springers Mathematische Formeln: Taschenbuch für Ingenieure, Naturwissenschaftler, Informatiker, Wirtschaftswissenschaftler, Springer-Verlag,. Folgende Zusammenhänge werden immer wieder im Laufe der Übung gebraucht. Grundlagen linearer Regelungstechnik Lösungsformel für ax +bx+c = x, = b ( ± a 4 ac b für a,b,c R ( Rechenregeln für Logarithmus zur Basis x log x (a b c = log x (a+clog x (b für a,b,c,x R ( Komplexe Rechnung s = σ +j ω = s exp(j s C für σ,ω R (3 wobei s := σ j ω, s = s s = R{s} +I{s} und tan s = I{s} R{s}. Dann s = arctan ( I{s} + R{s},I{s} R{s} π,(i{s} < I{s} > R{s} π,i{s} R{s}. (4 Rechenregeln für arctan(x mit x R {± } Es gilt arctan( x = arctan(x und arctan ( = x π arctan(x,x > π arctan(x,x <. Folgende Funktionswerte arctan(x ergeben sich für ausgewählte Argumente x: x ± ± 3 ± ± 3 arctan(x ± π ± π 3 ± π 4 ± π 6 Seite /8

2 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Laplace-Transformation x(s = x(texp( stdt (oder kurz x(t x(s Für a,b R und a b gilt: ẋ(t sx(s x(+ (5 ẍ(t s x(s sx(+ ẋ(+ (6 {,t T σ(t T = e st (7,t < T s t n,n N n! (8 s n+ a b (exp( bt exp( at (9 (s+a(s+b exp( atcos(bt b exp( atsin(bt s+a (s+a +b ( ( (s+a +b ( exp( at exp( bt+(a btexp( bt ( (s+a(s+b (a b Faltungsregel für Impulsantworten f(t F(s und g(t G(s f(t g(t := t f(τg(t τdτ F(sG(s (3 Additivität von Betrag (in [db] und Phase im Bode-Diagramm F(jω = F (jω... F n (jω = F (jω exp(j F (jω... F n (jω exp(j F n (jω (4 F(jω db = log( F (jω... F n (jω = log( F (jω +...+log( F n (jω = F (jω db F n (jω db (5 F(jω = F (jω+...+ F n (jω (6 Standardreglerstrukturen P-Regler: u(t = V R e(t F P (s = u(s e(s = V R (7 PI-Regler: u(t = V R ( e(t+ T n e(tdt F PI (s = u(s ( e(s = V R + ( +stn = V R st n st n (8 PD-Regler: u(t = V R (e(t+t v ė(t F PD (s = u(s e(s = V R(+sT v (9 Seite /8

3 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand PID-Regler: u(t = V R (e(t+t v ė(t+ e(t dt T n F PID (s = u(s ( e(s = V R +st v + st n = V R ( +stn +s T v T n st n ( Anfangs- und Endwertsätze für F(s = (s u(s = Z(s N(s Wenn die Endwerte lim t + (t, lim t (t und lim t ẏ(t existieren und endlich sind, dann gilt lim t + lim t (t = lim(sf(su(s für deg(z < deg(n ( s (t = lim(sf(su(s ( s limẏ(t = lim(s F(su(s (3 t s wobei deg(z und deg(n die Ordnung des Zähler- bzw. Nennerpolnoms beschreiben. Stabilität von linearen Regelkreisen Ein Regelkreis der Ordnung m,n N, V S R, c,...,c m R und a,...,a n R mit der Übertragungsfunktion F S (s = (s u(s := V Z(s S N(s = V S c +c s+ +c m s m +s m a +a s+ +a n s n +s n mit m n (4 zwischen Eingang u(s und Ausgang (s ist (exponentiell stabil (d.h. Sstemantwort klingt ab, wenn alle Poleλ i vonf(s, d.h. alle Nullstellen des NennerpolnomsN(λ i = negativen Realteil R{λ i } < für alle i =,...,n besitzen. Routh-Hurwitz Stabilitätskriterium für lineare Regelkreise Dazu untersucht man das charakteristische Polnom n-ter Ordnung des LTI Sstems N(s = a +a s+a s + +a n s n, a,...,a n R. (5 Das charakteristische Polnom entspricht dem Nennerpolnom der Übertragungsfunktion. Es gilt: N(s ist ein Hurwitz-Polnom (d.h. Sstem ist exponentiell stabil, (i dann sind alle Koeffizienten a i > in N(s (notwendige Bedingung, d.h. nicht unbedingt ausreichend!; (ii genau dann, wenn der Koeffizient a n > und alle nordwestlichen Hurwitz-Unterdeterminanten D i > für i =,...,n (notwendige & hinreichende Bedingung Falls alle Koeffizienten a i > kann über das Liénard-Chipart-Kriterium die Anzahl der zu untersuchenden Determinaten reduziert werden. Es müssen lediglich die Determinanten D i mit ungeradem Index i =,3,5,... oder geradem Index i =,4,6,... auf Positivität geprüft werden. Dieser Sachverhalt basiert auf der linearen Abhängigkeit der Determinaten für a i > für alle i =,,3,... Seite 3/8

4 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Die Unterdeterminanten D i entstehen aus den Determinanten der entsprechenden (i,i- Untermatrizen in der linken oberen ( nordwestlichen Ecke der Koeffizienten-Matrix a n a n 3 a n 5... a n n+3 a n n+ a n a n a n 4... a n n+4 a n n+ a n a n 3... a n n+5 a n n+3 M n = a n a n... a n n+6 a n n+4 R n n. ( a a a Zu untersuchen sind D = a n und D = a n a n 3, etc. Es gilt a k = für k >. Kausalität (Realisierbarkeit Ein lineares dnamisches Sstem F S (s = (s := V u(s S Z(s = V N(s S c +c s+ +c m s m +s m a +a s+ +a n wird s n +s n kausal genannt, wenn m n. Die Sstemantwort (t eines kausalen Sstems hängt lediglich vom (vorangegangenen Verlauf der Eingangsgröße u(τ mit τ t ab. a n a n Zustandsdarstellung eines LTI Sstems (Regelungsnormalform Zustandsgleichung (Vektordifferentialgleichung und Ausgangsgleichung eines dnamischen Sstems n-ter Ordnung } ẋ(t = Ax(t+bu(t,x( = x R n (t = c (7 x(t mit dem Zustandsvektor x(t = ( x (t,..., x n (t R (z.b. Motorstrom & -drehzahl der Stellgröße u(t R (z.b. Motorspannung oder -moment der Sstemmatrix in Regelungsnormalform (RNF A = R n n ( a a a n dem Steuer-/Einkoppelvektor b = (,...,, V S R n dem Auskoppel-/Ausgangsvektor c = ( c, c,..., c n R n Übertragungsfunktion (aus Regelungsnormalform Darstellung im Laplace-Bereich mit s = σ + iω C ergibt F S (s = (s u(s = c (si n A c +c s+ +c n s n b = V S (9 a +a s+ +a n s n +s n linearen, zeit-invarianten (engl. linear, time-invariant Seite 4/8

5 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Stabilität eines LTI Sstems in Zustandsdarstellung (7 Ein Sstem der Form (7 ist für jeden Anfangswert x R n (exponentiell stabil und für jeden Anfangswertx R n und jeden beschränkten Eingangu( bounded-input, bounded-output (BIBO stabil, wenn alle Eigenwerte λ,...,λ n C der Matrix A negativen Realteil besitzen, d.h. R{λ i } < für alle i {,...,n}. Die Eigenwerte können durch Nullsetzen der charakteristischen [ Gleichung χ A (s := det(si n A = bestimmt werden. Hierbei entspricht ]. I n =.. R n n der Einheitsmatrix der Ordnung n. Die Eigenwerte λ i sind identisch mit den Polen der Übertragungsfunktion (3. Grundlagen: Drehfeldmaschinen Wichtige Grundlage zum Verständnis von Drehfeldmaschinen ist die Zeigertheorie (engl. space vector theor. Hierzu siehe Abbildung. u v w q q i q s i β s β ω s = φ s i s = i s s d ω k = φ k i d s b i q s b φ s φ k i d s d ω r = φ r c b r c r a r a b r c cr i α s a r a φ r α Abbildung : Zeigertheorie: Maschine mit Anschlussklemmen u, v, w, Stator-Wicklungen a, b, c und Rotor-Wicklungen a r, b r, c r (links und unterschiedliche Koordinatenssteme (rechts: 3-phasiges Koordinatensstem (a, b, c, statorfestes s-koordinatensstem (α,β, rotorfestes r-koordinatensstem (d,q und beliebiges k-koordinatensstem (d,q und Statorstrom i s mit Länge i s = i s s = (i α s +(i β s = is r = i s k mit entsprechenden Komponenten (z.b. i α s und i β s im Stator-Koordinatensstem. Seite 5/8

6 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Clarke-Transformation von Stranggrößen x abc in Statorgrößen x s = T C x abc mit T C : R 3 R 3, x a x b x c }{{} =:x abc x α x β x }{{} =:x s := } {{ } =:T C R 3 3 [Analogie zu D. Schröder: a := e j =, a := e j, a := e j4 ] wobei x {ψ r, ψ s, u r, i s,...}. T C ist regulär mit inverser Matrix T C = 3, d.h. xabc = T 3 x a x b x c (3 C xs. (3 Oft wird die Nullkomponente x vernachlässigt (z.b. gilt i = = i a +i b +i c bei Sternschaltung, dann vereinfachen sich die Clarke-Transformationsmatrizen zu T C = 3 3 R 3 und T 3 C = 3 R3. 3 Park-Transformation von Statorgrößen x s in beliebig umlaufendes Koordinatensstem (z.b. rotorfestes (d,q -KoS oder rotorflussfestes (d,q-kos Zur Vereinfachung wird die Nullkomponente (zero-sequence x in Statorgrößen vernachlässigt cos(φ sin(φ T P : R R, φ T P (φ := [Analogie zu D. Schröder: e jφ ] sin(φ cos(φ (3 wobei T P (φ regulär für alle φ R mit inverser Matrix cos(φ sin(φ T P (φ = = T P (φ = T P ( φ. [Analogie zu D. Schröder: e jφ ] sin(φ cos(φ (33 Es gilt entsprechend cos(φ sin(φ T P ( φ = = T P ( φ = T P (φ. (34 sin(φ cos(φ Seite 6/8

7 Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4 Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Mithilfe der trigonometrischen Sätze folgt φ,φ R: T P (φ T P (φ = T P (φ +φ. [Analogie zu D. Schröder: e j(φ +φ ] (35 Für φ = π/ gilt ( π J := T P =, [Analogie zu D. Schröder: e j π ] (36 was einer (positiven Drehung um π/ eines Vektors x R entspricht. Die Matrizen J und T P (φ kommutieren, d.h. sin(φ cos(φ φ R: JT P (φ = = T P (φj, (37 cos(φ sin(φ Für d dt und φ =: ω gilt [Analogie zu D. Schröder: e j(π +φ = e j(φ+π = je jφ ]. Ṫ P (φ := d sin(φ cos(φ dt T P(φ = ω = ωjt P (φ = ωt P (φj (38 cos(φ sin(φ [Analogie zu D. Schröder: Ṫ P (φ := d dt T P(φ = ω [Analogie zu D. Schröder: [ sin(φ cos(φ d dt ejφ = jωe jφ = e j( π +φ = ωe j(φ+π ] cos(φ sin(φ ] d dt e jφ = jωe jφ ] = ωjt P (φ = ωt P (φ J Mit der Konvention φ k = φ lässt sich mithilfe der Park-Transformation T P (φ k ausgehend von einem statorfesten Koordinatensstem (α, β in ein (beliebiges umlaufendes k-koordinatensstem (d,q (Superskript x k = (x d, x q übergegangen werden (39 x k = T P ( φ k x s = T P (φ k x s = x s = T P (φ k x k, (4 z.b. zur Rotorfluss-Orientierung (d.h. ψr q = ψ r q = und ψr d = ψr r = ψ k r, der Rotorfluss im k-koordinatensstem liegt exakt auf der d-achse. Seite 7/8

8 Optimierungstabelle ref ref, Führungsgröße z z Störgröße Seite 8/8 z F S {}}{ ref ref F R F G F Sσ F S F S Führungsglättung Regler Strecke Strecke Regler Einstellung Günstiger Opt. Nr. Tp F S Tp F R Bereich Krit. T n V R T v T G V S PT beliebig I V R +s s 3 PT V S (+st (+s PT 3 V S (+st (+st (+s BO V S T P V R BO T V S T > PI V R +st n st n BO T T V S T +st n T 4 PI V R SO 4 st n V S..4Tσ T PD V R (+st v BO T V S T T (+st n (+st v T > PID V R BO T T st n V S T (+st n (+st v T 7 T > 4 PID V R SO 4 T st n V S..4Tσ T 8 P V R BO T V V S V S S IT st (+s +st n T 9 beliebig PI V R SO 4 st n V S 4Tσ IT T PD V R (+st v BO T T V V S V S S st (+st (+s (+st n (+st v T beliebig PID V R SO 4 T T > st n V S 4 ref, ref, t an t an t aus t max ref, ±% t V S z V S z max V S z Verhalten bei Sprung der Wendetangente Führungsgröße ref (bzw. ref Störgröße z Nr. t aus (±% max ref, ref, T ers t an t an max V S z V S z 4,7 8,4,4 6,3,64 (4,7 (8,4 (,4 ref, (4, T,5..., 4,7 8,4,4 5,5 3 T / 3,... 4,7 8,4... 6,5,4...,43 4,7... 7,6 8,4... 3,3,4..., ( (4,7 (8,4,4 ref, + 4+ T 4,7 8,4,4 4,4 3,... 4,7 8,4... 6,5,4...,43 4,7... 7,6 8,4... 3,3,4..., T T T σ t t,...,6 T / ,5...,75 T / T / 6 4 T,4...,8 T / T / 7 4,7 8,4,4 (4,7 8 3, 6,5,43 7,6 3,3,8 4,6 T / 9 4,7 8,4,4 4+ T 3, 6,5,43 7,6 3,3,8 4 Abbildung : Optimierungstabelle für exakt bekannte Strecken mit Ordnung n 3 und rein reellen Polen (T, T...große Zeitkonstanten,...kleine (Ersatz-Zeitkonstante. 4 T,8 T / T / Lehrstuhl für elektrische Antriebsssteme und Leistungselektronik, TUM Formelsammlung (Stand Bewegungssteuerung durch geregelte elektrische Antriebe Übung (WS3/4